Ein Algorithmus zur Berechnung von Hecke-Operatoren

und

Anwendungen auf modulare Kurven

Dissertation zur Erlangung des Grades eines Doktors der

Naturwissenschaften (Dr. rer. nat. )

dem Fachbereich 6 (Mathematik und Informatik)

der Universität Gesamthochschule Essen im März 1996 vorgelegt von

Jacques Basmaji aus Saarbrücken

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

1 Einführung 1 1.1 Modulformen ganzzahligen und halbzahligen Gewichts . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Die Hecke-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Die Dimension der Raume S_{2}(Γ_{0}(N)) und S_{\frac{1}{2}} (Γ_{0}(N)) . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Die Shimura-Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Ein Algorithmus zur Konstruktion einer Basis von S_{k}(Γ_{0}(N), χ) in Fourier-Darstellung 9 2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Manin-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Die Involution i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Die Bedingung C_{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Die Mengen S_{m} und S′_{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Ein Algorithmus zur Berechnung des Hecke-Operators 27 3.1 Konstruktion von S_{m} und S′_{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Berechnung des Hecke-Operators T_{p} mittels der Menge S̄_{p} . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Der Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Laufzeitverhalten der Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Zur Auswahl eines Elements (u, v) fur S_{k}(Γ_{0}(N)) . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Anwendungen 47 4.1 Bestimmung der L-Reihe von Faktoren der Jacobischen J_{0}(N) . . . . . . . . . 47 4.2 Konstruktion von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.1 Ein Algorithmus zum Auffinden von Eigenformen . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.2 Ein Satz von Waldspurger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.3 Konstruktion einer Basis des Raum der Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} . 52 4.2.4 Konstruktion von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} mittels ternarer qua-

dratischer Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.5 Spitzenformen vom Gewicht 1 zu zweidimensionalen Galoisdarstellungen

von G_{ℚ} vom Typ S_{4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Bestimmung der Ordnung von Tate-Shafarevic Gruppen zu Twists elliptischer Kurven und 2- und 3-Rangbestimmung der Selmer-Gruppe 67 5.1 Auswahl des Beispielmaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2 Numerische Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2.1 Haufigkeiten der absoluten Werte von Fourier-Koeffizienten . . . . . . . 68 5.2.2 Bestimmung des 2-Rangs der Selmer-Gruppe elliptischer Kurven …. 69

A Tabellen von Eigenformen vom Gewicht \frac{3}{2} 73

B Tabellen der berechneten Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppen 111

C Beispiele zur Berechnung von Hecke-Operatoren T_{p} 127

D Tabellen zur Haufigkeitsverteilung der absoluten Werte der Fourier-Koeffi-zienten 137

iv  INHALTSVERZEICHNIS

Vorwort

Merel beschreibt in [Me4] einen Algorithmus zur Bestimmung der Fourier-Darstellung einer Basis des Raums der Spitzenformen zur Stufe N, Gewicht k und Nebentyp χ. Hierzu untersuchte er eingehend die Operation von Hecke-Operatoren T_{m} (m ∈ ℕ) auf Elementen P [u, v] aus ℂ_{k−2}[X, Y][ℙ^{1}(ℤ/Nℤ)], dem Vektorraum aller ℂ-Linearkombinationen von Elementen aus ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) mit Koeffizienten im Ring der homogenen Polynome in den Unbestimmten X und Y vom Grad k − 2. Um die Wirkung des Hecke-Operators auf diesen Elementen zu beschreiben, führte er den Begriff der Bedingung C_{m} ein, die folgendes besagt:

Sei M_{2}(ℤ) die Menge aller 2×2 Matrizen mit ganzzahligen Einträgen, und M_{2}(ℤ)_{m} die Menge der Matrizen aus M_{2}(ℤ) der Determinante m. Dann erfüllt das Element ∑_{M} u_{M}M ∈ ℂ[M_{2}(ℤ)_{m}] die Bedingung C_{m}, falls für alle Klassen K ∈ M_{2}(ℤ)_{m}/SL_{2}(ℤ) gilt

∑_{M∈K} u_{M}(M(∞) − M(0)) = (∞) − (0).

Man beachte dabei, daß diese Bedingung unabhängig vom Gewicht k und der Stufe N formuliert ist. Darüber hinaus gelang es ihm, Familien von Matrizen, die der oben gegebenen Charakterisierung genügen, explizit zu beschreiben, so daß eine Übertragung dieses Verfahrens auf den Computer möglich war.

Eine erste Implementierung des Algorithmus zeigte, daß man bei Wahl adäquater Stufen schnell eine Basis des Raums der Spitzenformen berechnen konnte. Wollte man jedoch Hecke-Operatoren für große Primzahlen p auswerten, so versagte diese Methode.

Zur Bestimmung des p-ten Hecke-Operators für Primzahlen p treten in dem von Merel vorgeschlagenen Matrizensystem ungefähr (p + 1) log p Matrizen auf, so daß die Konstruktion dieser Matrizen für große p und ihre Anwendung auf ein Element P [u, v] zu einem praktisch nicht mehr machbarem Rechenaufwand führt. Eine genaue Analyse des von Merel beschriebenen Matrizensystems führte zur Umformulierung der ursprünglichen Konstruktion dieser Systeme, so daß jetzt die Berechnung von Hecke-Operatoren T_{p} für Primzahlen der Größenordnung 10^{9} realisierbar ist (siehe Kapitel 3 Definition 9). Durch ein geschicktes Duchlaufen des Matrizensystems ist es nun möglich, die auftretenden Matrizen modulo der betrachteten Stufe N zusammenzufassen, so daß einerseits die Anzahl der nötigen Operationen von Matrizen auf Elementen P [u, v] und andererseits die Anzahl der auftretenden Matrizen über ℤ, die zu behandeln sind, reduziert werden konnte. Darüber hinaus gestattet dieser neue Algorithmus die simultane Berechnung von Hecke-Operatoren T_{p} und T_{q} zu Primzahlen p und q, die in der gleichen Kongruenzklasse modulo der betrachteten Stufe N liegen, wodurch eine weitere Reduzierung des Rechenaufwandes bei der Berechnung von Serien von Hecke-Operatoren erfolgt.

Dieser verbesserte Algorithmus zur Berechnung einzelner Hecke-Operatoren sowie die simultane Berechnung von Serien von Hecke-Operatoren wurde erfolgreich auf den Rechner übertragen und für eine große Reihe von Beispielen getestet. Die gewonnenen Laufzeitresultate zeigten in Übereinstimmung mit den zuvor gemachten theoretischen Überlegungen bezüglich der Güte des Algorithmus, daß das neue Verfahren deutlich schneller ist als der ursprüngliche Ansatz, wenn die Stufe N sehr klein ist gegenüber der Primzahl p, zu welcher der Hecke-Operator berechnet wird. Kehrt sich dieses Verhältnis um, so gewinnt wieder die alte Methode (vgl. Abschnitt 3.4).

Die vorliegende Arbeit gliedert sich wie folgt: Das erste Kapitel widmet sich der Zusammenstellung der zum weiteren Verständnis nötigen wichtigsten Definitionen und Sätze aus dem Gebiet der Modulformen.

Der von Merel entwickelte Algorithmus zur Bestimmung einer Basis des Vektorraums S_{k}( Γ_{0}(N), χ) der Spitzenformen der Stufe N, dem Gewicht k und dem Nebentyp χ ist Inhalt von Kapitel 2. Ausgangspunkt wird dabei das folgende Lemma sein.

Lemma

Sei f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N), χ), T_{m} der m-te Hecke-Operator und ϕ ∈ Hom_{ℂ}(S_{k}(Γ_{0}(N), χ), ℂ). Dann gilt

∑_{m=1}^{∞} ϕ(T_{m}f)q^{m} ∈ S_{k}(Γ_{0}(N), χ).

Das Lemma gestattet bei Kenntnis einer Spitzenform f und Linearformen ϕ die Konstruktion neuer Spitzenformen in Fourier-Darstellung. Wie man dieses Prinzip zur Konstruktion einer Basis von S_{k}(Γ_{0}(N), χ) nutzen kann und wie die Berechnung von Hecke-Operatoren auf Elementen P [u, v] erklärt wird, wird in den folgenden Abschnitten desselben Kapitels beschrieben.

In Kapitel 3 werden wir zuerst erklären wie man die im vorangehenden Kapitel gewonnenen Algorithmen auf den Rechner überträgt. Im zweiten Abschnitt werden wir eine neue Definition des von Merel beschriebenen Matrizensystems für Primzahlen p geben und zeigen wie sich mit diesem Ansatz ein neuer Algorithmus zur Berechnung von T_{p} herleiten läßt. Im vierten Abschnitt werden wir das Laufzeitverhalten des alten Verfahrens und unserer Methode analysieren und auf die jeweiligen Vorteile der Algorithmen eingehen. Während bei der Version nach Merel der Aufwand zur Bestimmung der Matrizenmenge und die Berechnung des Hecke-Operators von der betrachteten Primzahl abhängt, wird der Aufwand in unserem Algorithmus durch die betrachtete Stufe dominiert. Dieses Resultat werden wir mit zwei Tabellen verdeutlichen, die das jeweilige Laufzeitverhalten der beiden Algorithmen für verschiedene Beispiele wiedergeben. Abschließend geben wir an, wie im Falle von Spitzenformen vom Gewicht 2, die Wahl eines speziellen Elements (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) die Anzahl der nötigen Rechenoperationen weiter reduzieren kann.

Im vierten Kapitel wollen wir auf Anwendungen der in den vorangegangen Kapiteln entwickelten Methoden eingehen.

Aus Sicht der Kryptographie sind hyperelliptische Kurven vom Geschlecht 3, 4 oder 5 interessant. Mit den in Kapitel 3 gewonnenen Methoden ist es möglich, für Primzahlen p der Größenordnung 10^{9} die L-Reihe von Faktoren der Jacobischen J_{0}(N) zu berechnen und damit die Ordnung der zugehörigen Divisorklassengruppe vom Grad 0 über dem endlichen Körper mit p Elementen zu bestimmen, indem man das charakteristische Polynom des Frobenius-Endomorphismus π_{p} an der Stelle 1 auswertet. Insbesondere interessiert man sich für diejenigen Gruppen hoher Ordnung, die zyklisch sind oder wenigstens eine große zyklische Untergruppe besitzen. Dies bedeutet, daß man für Serien von Primzahlen p die Ordnung der Divisorklassengruppe für jede Primzahl bestimmen muß, bis man für eine Primzahl eine optimale Gruppe im obigen Sinne gefunden hat. Besonders bei der Umsetzung dieser Aufgabe auf den Rechner zeigt sich die Überlegenheit unserer Methode zur Berechnung von Hecke-Operatoren T_{p} gegenüber dem Ansatz von Merel.

Im zweiten Teil desselben Kapitels wollen wir beschreiben, wie man mit Hilfe einer Basis des Raums der Spitzenformen vom Gewicht 2, Nebentyp χ_{0} zur Stufe 16N und geeigneten Theta-Reihen eine Basis des Raums der Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2}, Stufe 16N und Nebentyp χ_{0} konstruiert. Die genaue Kenntnis dieses Vektorraums ist aufgrund eines Ergebnisses von Waldspurger von besonderem Interesse, da es den Wert der L-Reihe an der Stelle 1 zu Twists E_{−d} einer elliptischen Kurve E zu berechnen erlaubt, wenn man eine Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} kennt, die unter der Shimura-Abbildung auf die zu E gehörende Neuform f_{E} vom Gewicht 2 abgebildet wird.

Die Konstruktion solcher Eigenformen ist in speziellen Fällen bereits mit Hilfe von Linearkombinationen von Theta-Reihen zu ternären quadratischen Formen möglich. Ein weiterer Ansatz zum Auffinden von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2}, der aber auch nicht immer erfolgreich ist, wird durch das Studium von zweidimensionalen Galoisdarstellungen gegeben. Auf beide Methoden werden wir eingehen und mit dem ersten Verfahren an verschiedenen Beispielen vergleichen.

Zunächst haben wir versucht für alle elliptischen Kurven bis zum Führer 200, die in Tabelle 1 in [BiKu] aufgeführt sind, mit Hilfe einer der oben angegeben Methoden, eine geeignete Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} zu konstruieren. Die gewonnenen Resultate finden sich im Anhang. Darüber hinaus haben wir einige Beispiele mit erheblich größerem Führer berechnet.

Im letzten Kapitel wollen wir demonstrieren, wie man die Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2}, die man mit den zuvor vorgestellten Algorithmen bestimmen kann, zur Berechnung neuer interessanter Daten und experimentellen Untersuchungen nutzen kann.

Den Ausgangspunkt für den ersten Abschnitt des fünften Kapitel lieferten Untersuchungen von Eigenformen vom Gewicht \frac{3}{2}, die man mittels Linearkombinationen von Theta-Reihen zu ternären quadratischen Formen konstruiert hatte. Hierbei war das asymptotische Verhalten der Häufigkeitsverteilung der absoluten Werte der Fourier-Koeffizienten der Eigenform von Interesse. Es stellte sich die Frage, ob die gemachten numerischen Beobachtungen auch für Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} zutreffen, die man nicht mit Theta-Reihen konstruiert hat. Es zeigte sich, daß auch in dieser Situation die gleichen Beobachtungen wie im Fall von Spitzenformen zu Theta-Reihen gemacht werden konnten.

Des weiteren haben wir für ausgewählte Beispiele Waldspurgers Resultat angewendet und die Ordnung der Tate-Shafarevic Gruppe zu Twist E_{−d} (d ∈ ℕ) der jeweiligen Ausgangskurve E berechnet.

Das zusammengestellte Datenmaterial beider Rechnungen findet sich im Anhang.

Abschließen werden wir das Kapitel mit rechnerischen Untersuchungen zum 2- und 3-Rang von Selmer-Gruppen zu Twists von elliptischen Kurven, die durch Arbeiten von Heath-Brown motiviert wurden.

An dieser Stelle möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr. G. Frey für die Themenstellung und Unterstützung bei der Anfertigung und auch Aufmunterung zum Beenden der Arbeit bedanken. Dank gebührt auch Herrn Dr. X. Wang, der mir seine geleisteten Vorarbeiten auf dem Gebiet der Spitzenformen zur Verfügung stellte und verständlich machte und besonders Herrn Dr. W. Happle, dessen stetige Bereitschaft zur Diskussion und sein Engagement zum Gelingen meiner Arbeit von großem Vorteil war. Schließlich möchte ich nicht vergessen, allen Mitarbeitern der Arbeitsgruppe Zahlentheorie am Institut für Experimentelle Mathematik und all denjenigen zu danken, die in irgendeiner Weise Anteil am Entstehen dieser Arbeit hatten.

Essen, im März 1996 Jacques Basmaji

Kapitel 1

Einführung

Ziel dieses Kapitels ist es, alle zum weiteren Verständis der Arbeit notwendigen Begriffe und Sätze aus dem Gebiet der Modulformen zusammenzutragen. An verschiedenen Stellen wurde auf die Formulierung einer Aussage für einen allgemeineren Fall verzichtet und das jeweilige Ergebnis nur für unsere spezielle Situation angegeben. Deshalb sei an dieser Stelle auf die Zitate innerhalb dieses Abschnitts und auf weiterführende Literatur verwiesen (siehe z. B. [Sh1],[Mi] und [Ko]).

1.1 Modulformen ganzzahligen und halbzahligen Gewichts

Sei SL_{2}(ℤ) die Gruppe

SL_{2}(ℤ) = \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})| ad − bc = 1\} .

Zu jeder natürlichen Zahl N betrachten wir

Γ(N) = \{γ ∈ SL_{2}(ℤ) |γ ≡ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})(mod N)\} .

Γ(N) ist Normalteiler von SL_{2}(ℤ) und heißt Hauptkongruenzuntergruppe der Stufe N zu SL_{2}(ℤ). Eine Untergruppe von SL_{2}(ℤ) heißt Kongruenzuntergruppe zu SL_{2}(ℤ), falls sie Γ(N) für ein N enthält. Im folgenden betrachten wir die Kongruenzuntergruppen

Γ_{0}(N) = \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ℤ)| c ≡ 0(mod N)\}

und

Γ_{1}(N) = \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(N)| a ≡ d ≡ 1(mod N)\} .

Bezeichnen wir mit

ℍ = {τ ∈ ℂ| Im(τ) > 0}

die komplexe, obere Halbebene und mit ℍ^{∗} die erweiterte, komplexe, obere Halbebene unter Hinzunahme der Spitzen ℚ und ∞

ℍ^{∗} := ℍ ∪ ℚ ∪ {∞},

so operiert SL_{2}(ℤ) auf ℍ^{∗} vermöge der gebrochen linearen Transformation

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})(τ) = \frac{aτ + b}{cτ + d} mit (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ℤ).

Bezeichnen wir mit Γ eine der oben genannten Gruppen, so ist die Menge Γ\ℍ^{∗} eine kompakte Riemannsche Fläche und damit eine über ℂ definierte projektive, algebraische Kurve X(Γ). Die Kurve X(Γ) heißt modulare Kurve und wird für die Kongruenzuntergruppen Γ(N), Γ_{1}(N) und Γ_{0}(N) mit X(N), X_{1}(N) und X_{0}(N) bezeichnet.

1 Definition (a) Sei k ∈ ℤ und N ∈ ℕ. Γ sei eine der Kongruenzuntergruppen Γ_{0}(N) bzw. Γ_{1}(N). Eine Funktion f : ℍ⟶ℂ heißt Modulform bzw. Spitzenform vom Gewicht k und Stufe N bzgl. Γ , falls f die folgenden Bedingungen erfüllt

(i) f(γ(τ)) = (cτ + d)^{k}f(τ) ∀ γ ∈ Γ.

(ii) f ist holomorph bzw. holomorph und verschwindet in den Spitzen von Γ.

Der ℂ-Vektorraum dieser Modul- bzw. Spitzenformen wird mit M_{k}(Γ) bzw. S_{k}(Γ) bezeichnet.

(b) Sei

χ : ℤ/Nℤ^{∗}⟶ℂ^{∗}

ein Dirichlet-Charakter. Eine Funktion f(τ) aus M_{k}(Γ_{1}(N)) bzw. S_{k}(Γ_{1}(N)) heißt Modulform bzw. Spitzenform vom Gewicht k, der Stufe N und Charakter (Nebentyp) χ, falls gilt

f(γ(τ)) = χ(d)(cτ + d)^{k}f(τ) ∀ γ = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(N).

Der ℂ-Vektorraum dieser Funktionen wird mit M_{k}(Γ_{0}(N), χ) bzw. S_{k}(Γ_{0}(N), χ) bezeichnet.

1 Bemerkung: Da (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(N) ist, gilt für f : f(τ +1) = f(τ). Als periodische Funktion

besitzt f in der Spitze ∞ eine Fourier-Entwicklung der Form

f(τ) = ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}q^{n} mit q := e^{2πiτ} .

Die Koeffizienten c_{n} heißen Fourier-Koeffizienten von f. Die Holomorphie-Bedingung für f bedeutet nun, daß die Koeffizienten c_{n} für n < 0 verschwinden. Ist f holomorph und verschwindet in den Spitzen, so sind die Koeffizienten c_{n} = 0 für n ⩽ 0.

Für γ = (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(N) ist für f ∈ M_{k}(Γ_{0}(N)) bzw. S_{k}(Γ_{0}(N)) : f(γ(τ)) = f(τ) =

(−1)^{k}f(τ). Damit ist M_{k}(Γ_{0}(N)) bzw. S_{k}(Γ_{0}(N)) = {0} für ungerades Gewicht k.

Insbesondere ist M_{k}(Γ_{0}(N), χ) bzw. S_{k}(Γ_{0}(N), χ)= {0}, falls χ(−1) ≠ (−1)^{k} ist.

Ähnlich wie Modul- bzw. Spitzenformen ganzzahligen Gewichts zu Kongruenzuntergruppen kann man auch Modul- und Spitzenformen halbzahligen Gewichts definieren. Dabei werden für uns Formen vom Gewicht \frac{1}{2} und \frac{3}{2} von besonderem Interesse sein. Wir setzen

(\frac{c}{d})_{∗} := \begin{cases}−(\frac{c}{|d|}) & falls c < 0 und d < 0 \\ (\frac{c}{|d|}) & sonst \end{cases}

und

ε_{d} := \begin{cases}1 & falls d ≡ 1(mod 4) \\ i = \sqrt{−1} & falls d ≡ 3(mod 4). \end{cases}

2 Definition Es sei k ∈ \frac{1}{2} + ℤ und N ∈ 4ℕ. χ : ℤ/Nℤ^{∗}⟶ℂ sei ein Dirichlet-Charakter und Γ eine der Kongruenzuntergruppen Γ_{0}(N) bzw. Γ_{1}(N). Des weiteren setzen wir

(cτ + d)^{\frac{m}{2}} := ((cτ + d)^{\frac{1}{2}} )^{m} für m ∈ ℤ.

(a) Eine Funktion f : ℍ⟶ℂ heißt Modulform bzw. Spitzenform vom Gewicht k und Stufe N bzgl. Γ, falls f die folgenden Bedingungen erfüllt

(i) f(γ(τ)) = (\frac{c}{d})_{∗}^{2k} · ε_{d}^{−2k} · (cτ + d)^{k}f(τ) ∀ γ ∈ Γ.

(ii) f ist holomorph bzw. holomorph und verschwindet in den Spitzen von Γ.

Der ℂ-Vektorraum dieser Modul- bzw. Spitzenformen wird mit M_{k}(Γ) bzw. S_{k}(Γ) bezeichnet.

(b) Sei

χ : ℤ/Nℤ^{∗}⟶ℂ^{∗}

ein Dirichlet-Charakter. Eine Funktion f(τ) aus M_{k}(Γ_{1}(N)) bzw. S_{k}(Γ_{1}(N)) heißt Modulform bzw. Spitzenform vom Gewicht k, der Stufe N und Charakter (Nebentyp) χ, falls gilt

f(γ(τ)) = χ(d)(\frac{c}{d})_{∗}^{2k} · ε_{d}^{−2k} · (cτ + d)^{k}f(τ) ∀ γ = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(N).

Der ℂ-Vektorraum dieser Funktionen wird mit M_{k}(Γ_{0}(N), χ) bzw. S_{k}(Γ_{0}(N), χ) bezeichnet.

1.2 Die Hecke-Algebra

Auf dem ℂ-Vektorraum M_{k}(Γ_{0}(N), χ) der Modulformen ganzzahligen bzw. halbzahligen Gewichts zur Stufe N kann man für jede natürliche Zahl n einen Operator definieren, den Hecke-Operator T_{n}. Unter T_{n} werden Modulformen wieder auf Modulformen und Spitzenformen wieder auf Spitzenformen abgebildet. Die Hecke-Operatoren bilden eine kommutative Algebra, die Hecke-Algebra 𝕋 zur Stufe N. Im Falle ganzzahligen Gewichts wird die Hecke-Algebra von den Operatoren T_{p} und den Involutionen W_{q} erzeugt

𝕋 = ℤ[ W_{q}, T_{p}| p, q Primzahlen und p |̸N und q|N].

Es zeigt sich, daß im Falle halbzahligen Gewichts die Hecke-Operatoren T_{p} identisch null sind und die Hecke-Algebra 𝕋 erzeugt wird von den Operatoren T_{p^{2}} und den Involutionen W_{q}

𝕋 = ℤ[ W_{q}, T_{p^{2}}| p, q Primzahlen und p |̸N und q|N].

Auf eine genaue Einführung der Hecke-Operatoren T_{p} bzw. T_{p^{2}} verzichten wir an dieser Stelle und geben nur die Wirkung der Operatoren auf die Fourier-Koeffizienten von Modulformen ganzzahligen bzw. halbzahligen Gewichts an.

1 Proposition (a) Sei k ∈ ℤ, N ∈ ℕ, χ ein Dirichlet-Charakter modulo N und f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}q^{n} ∈ M_{k}(Γ_{0}(N), χ), dann gilt

f|T_{p}(τ) = ∑_{n=0}^{∞} (a_{pn} + χ(p)p^{k−1}a_{\frac{n}{p}} ) · q^{n}

mit a_{\frac{n}{p}} = 0, falls p |̸n und χ(p) = 0, falls p|N.

(b) Es sei k ∈ \frac{1}{2} + ℤ , N ∈ 4ℕ, χ ein Dirichlet-Charakter modulo N und f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}q^{n} ∈ M_{k}(Γ_{0}(N), χ) , dann gilt

f|T_{p^{2}}(τ) = ∑_{n=0}^{∞} (a_{p^{2}n} + χ(p)(\frac{(−1)^{λ} · n}{p})p^{λ−1}a_{n} + χ(p^{2})p^{2k−2}a_{\frac{n}{p^{2}}} ) · q^{n}

mit λ := k − \frac{1}{2}, a_{\frac{n}{p^{2}}} = 0, falls p^{2} |̸n und χ(p) = 0, falls p|N.

2 Bemerkung: Da die Hecke-Operatoren T_{n} untereinander kommutieren, wird für Primzahlen p_{1} und p_{2} jeder unter T_{p_{1}} bzw. T_{p_{1}}_{2} invariante Raum aus M_{k}(Γ_{0}(N), χ) und S_{k}(Γ_{0}(N), χ) unter T_{p_{2}} bzw. T_{p_{2}}_{2} wieder in sich abgebildet.

3 Definition Sei Γ eine der obigen Kongruenzuntergruppen von SL_{2}(ℤ). Sei k ∈ \frac{1}{2}ℤ und N ∈ ℕ, falls k ∈ ℤ ist und N ∈ 4ℕ sonst. Seien f und g aus M_{k}(Γ_{0}(N), χ)und wenigstens eine der beiden Funktionen aus S_{k}(Γ_{0}(N), χ), dann ist das Petersson-Skalarprodukt definiert durch

⟨f, g⟩ := \frac{1}{[\overline{SL_{2}(ℤ)} : \overline{Γ}]} ∫_{Γ\ℍ^{∗}} f(τ)\overline{g(τ)}y^{k−2}dxdy mit τ = x + i · y

und \overline{SL_{2}(ℤ)} := SL_{2}(ℤ)/ \{±(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})\}, \overline{Γ} := Γ/ \{±(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})\}.

3 Bemerkung: Das Petersson-Skalarprodukt ist unabhängig von der Auswahl des Fundamentalbereichs über den integriert wird und liefert ein hermitesches Skalarprodukt auf dem ℂ-Vektorraum S_{k}(Γ_{0}(N), χ). Ist n ∈ ℕ und prim zur Stufe N, χ ein Dirichlet-Charakter modulo N, und sei die komplexe Konjugation, dann gilt

⟨\sqrt{\overline{χ}(n)}T_{n}f, g⟩ = ⟨f, \sqrt{\overline{χ}(n)}T_{n}g⟩

und

⟨\overline{χ}(n)T_{n^{2}}f, g⟩ = ⟨f, \overline{χ}(n)T_{n^{2}}g⟩ mit f, g ∈ S_{k}(Γ_{0}(N), χ).

Die Operatoren \sqrt{\overline{χ}(p)}T_{p} und \overline{χ}(p)T_{p^{2}} sind also hermitesch, und wir können (vgl. Bem. 2) für S_{k}(Γ_{0}(N), χ) eine Basis aus simultanen Eigenfunktionen unter T_{p} bzw. T_{p^{2}} (p |̸N) finden.

Beschränken wir uns jetzt auf den Fall ganzzahligen Gewichts. Nach obiger Bemerkung existiert für S_{k}(Γ_{0}(N), χ) eine Basis aus simultanen Eigenfunktionen unter T_{p} (p |̸N). Im allgemeinen ist eine Eigenfunktion f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N), χ) nicht eindeutig durch ihre Eigenwerte λ_{p} unter T_{p} (p |̸N) gegeben. Spezielle Spitzenformen, sogenannte Neuformen, sind jedoch durch ihre Eigenwerte unter den Hecke-Operatoren eindeutig festgelegt.

Sei d_{1} · d_{2} = N und f ∈ S_{k}(Γ_{0}(d_{1}), χ), dann liegt f auch in S_{k}(Γ_{0}(N), χ), und g(τ) := f(d_{2}τ) ist ein Element aus S_{k}(Γ_{0}(N), χ). Der Unterraum von S_{k}(Γ_{0}(N), χ), welcher von den Formen, die man auf diese beiden Weisen aus Formen aus S_{k}(Γ_{0}(d), χ) für Teiler d von N (d > 1) erhält, nennt man den Raum der Altformen S_{k}^{alt}(Γ_{0}(N), χ) . Unter den Hecke-Operatoren werden Altformen wieder auf Altformen abgebildet. Das orthogonale Komplement zum Raum der Altformen bzgl. des Peterssonschen Skalarprodukts nennt man der Raum der Neuformen S_{k}^{neu}(Γ_{0}(N), χ) . Für den Raum der Neuformen gilt nun

1 Satz (Multiplizität 1) S_{k}^{neu}(Γ_{0}(N), χ) besitzt eine Basis aus Eigenfunktionen unter T_{p} (p |̸N). Die Unterräume, welche von den einzelnen Eigenfunktionen aufgespannt werden, sind alle eindimensional. Jede

6  1.3 Die Dimension der Räume S_{2}(Γ_{0}(N)) und S_{\frac{1}{2}} (Γ_{0}(N))

Eigenform f ∈ S_{k}^{neu}(Γ_{0}(N), χ) kann normiert werden und besitzt eine Fourier-Entwicklung der Gestalt

f(τ) = 1 + ∑_{n=2}^{∞} a_{n}q^{n} mit q := e^{2πiτ} .

1.3 Die Dimension der Räume S_{2}(Γ_{0}(N)) und S_{\frac{1}{2}}(Γ_{0}(N))

Mit unseren später beschriebenen Methoden werden wir insbesondere versuchen, eine Basis des Raums der Spitzenformen vom Gewicht 2 bzw. \frac{3}{2} zu bestimmen. Die Dimension von S_{2}(Γ_{0}(N)) läßt sich mittels der Hurwitzschen Geschlechtsformel leicht berechnen und ist gleich dem Geschlecht der Riemannschen Fläche Γ_{0}(N)\ℍ^{∗}, genauer gilt

2 Satz Sei N ∈ ℕ, dann ist das Geschlecht g der Riemannschen Fläche X_{0}(N) = Γ_{0}(N)\ℍ^{∗} gleich

g = 1 + \frac{μ(N)}{12} − \frac{ν_{2}(N)}{3} − \frac{ν_{3}(N)}{4} − \frac{ν_{∞}(N)}{2}

mit

μ(N) = [SL_{2}(ℤ) : Γ_{0}(N)] = N ∏_{p|N} (1 + \frac{1}{p})

ν_{2}(N) = \begin{cases}0 & falls 4|N \\ ∏_{p|N} (1 + ( \frac{− 1}{p})) & sonst \end{cases}

ν_{3}(N) = \begin{cases}0 & falls 9|N \\ ∏_{p|N} (1 + ( \frac{− 3}{p})) & sonst \end{cases}

ν_{∞}(N) = ∑_{d|N,d>0} φ(ggT (d, \frac{N}{d})) φ die Eulersche φ−F unktion.

Im Falle halbzahligen Gewichts gibt ein Ergebnis von Cohen und Oesterlé (vgl. [CoOe]) den Zusammenhang zwischen der Dimension des Raums der Spitzenformen vom Gewicht k und der Dimension des Raums der Modulformen vom Gewicht 2 − k (k ∈ \frac{1}{2} + ℤ) an. Insbesondere muß man zur Berechnung der Dimension des Raums S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N)), die Dimension des Raums M_{\frac{1}{2}} (Γ_{0}(N)) kennen. Nach einem Resultat von Serre und Stark (siehe [SeSt]) kann man aber eine Basis des Raums der Modulformen vom Gewicht \frac{1}{2} angeben und kennt damit die Dimension dieses Raumes, so daß man die Dimension des Raums S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N)) ebenfalls einfach bestimmen kann.

Modulformen sind uns als Fourier-Reihen mit unendlich vielen Koeffizienten gegeben. Diese Formen sind jedoch dadurch ausgezeichnet, daß sie bereits durch endlich viele Koeffizienten ihrer Fourier-Entwicklung eindeutig bestimmt und damit einer Berechnung mit Hilfe des Computers zugänglich sind. Die Anzahl der Koeffizienten, die nötig ist, um eine Modulform eindeutig zu identifizieren, ist leicht und explizit berechenbar. Es gilt

3 Satz Sei k ∈ \frac{1}{2} · ℤ und μ = [SL_{2}(ℤ) : Γ_{0}(N)]. Sei f(τ) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}q^{n} mit q := e^{2πiτ} eine Modulform vom Gewicht k, der Stufe N und Nebentyp χ. Sind alle Koeffizienten a_{n} für 0 ⩽ n ⩽ \frac{μk}{12} gleich 0, dann ist f(τ) identisch 0.

Beweis:

Anwendung von Theorem 8 in [Sc] S.114.

■

1.4 Die Shimura-Abbildung

Ein Bindeglied zwischen Modulformen ganzzahligen und halbzahligen Gewichts wird durch die Shimura-Abbildung gegeben.

{4 Satz \atop (a)} Sei k ⩾ 3 eine ungerade, ganze Zahl und N ∈ 4ℕ. Sei χ ein Charakter modulo N, und sei f(τ) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}q^{n} ein Element aus S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ). Wir setzen λ = \frac{k−1}{2}. Sei t eine ganze, quadratfreie Zahl, und χ_{t} der Charakter modulo tN, der gegeben ist durch

χ_{t}(m) = χ(m)( \frac{− 1}{m})^{λ}(\frac{t}{m}).

Wir definieren die Shimura-Abbildung S wie folgt: S(f) = F_{t}(τ) mit

F_{t}(τ) := ∑_{n=1}^{∞} A_{n}(t)q^{n}

und

∑_{l=1}^{∞} A_{l}(t)l^{−s} = (∑_{j=1}^{∞} χ_{t}(j)j^{λ−1−s}) (∑_{j=1}^{∞} a_{tj^{2}}j^{−s}) .

Sei f eine Eigenfunktion unter allen Hecke-Operatoren T_{p^{2}} für Primfaktoren p von N, die nicht den Führer von χ_{t} teilen, dann ist F_{t} ein Element aus M_{k−1}(N_{t}, χ^{2}) für eine gewisse ganze Zahl N_{t}. Ist k ⩾ 5, so ist F_{t} eine Spitzenform.

(b) Ist f Eigenform unter allen Operatoren T_{p^{2}} (p |̸N), dann ist F_{t} auch Eigenform unter den Operatoren T_{p} und es ist F_{t}|T_{p} = λ_{p}F_{t}, falls f|T_{p^{2}} = λ_{p}f ist.

4 Bemerkung: Niwa zeigte in [Ni], daß man für N_{t} immer \frac{N}{2} wählen kann. Im Fall k = 3 zeigte Flicker (siehe [Fl]), daß F_{t} ebenfalls Spitzenform ist, falls f bzgl. des Petersson-Produkts orthogonal ist zu den Formen Θ̃_{Ψ,s}(τ) = ∑_{n=1}^{∞} Ψ(n)nq^{sn^{2}} mit s ∈ ℕ und Ψ ein quadratischer Charakter. Wir bezeichnen den Unterraum von S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ), der von diesen Formen erzeugt wird, mit S0_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ).

Ein Algorithmus zur Konstruktion einer Basis von S_{k}(Γ_{0}(N), χ) in Fourier-Darstellung

In diesem Kapitel wird ein Algorithmus zur Berechnung einer Basis des Raums S_{k}(Γ_{0}(N), χ)der Spitzenformen vom Gewicht k bezüglich Γ_{0}(N) und Nebentyp χ, vorgestellt. Vorgeschlagen wurde dieser Algorithmus von Merel, dessen Arbeit [Me4] als Leitfaden für dieses Kapitel dient.

2.1 Motivation

1 Lemma Sei f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N), χ), T_{m} der m-te Hecke-Operator und ϕ ∈ Hom_{ℂ}(S_{k}(Γ_{0}(N), χ), ℂ). Dann gilt

∑_{m=1}^{∞} ϕ(T_{m}f)q^{m} ∈ S_{k}(Γ_{0}(N), χ).

Beweis:

Mit 𝕋 ⊂ End(S_{k}(Γ_{0}(N), χ)) bezeichnen wir die Hecke-Algebra zu S_{k}(Γ_{0}(N), χ). Sei a_{m} die Linearform, die einer Spitzenform f ihren m-ten Fourier-Koeffizienten zuordnet.Es gilt a_{m}(f) = a_{1}(T_{m}(f)). Die Abbildung

ξ : 𝕋 ⟶ Hom_{ℂ}(S_{k}(Γ_{0}(N), χ), ℂ)
t ⟼ a_{1} ∘ t

ist surjektiv. Wäre ξ nicht surjektiv, so gäbe es eine Spitzenform 0 ≠ f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N), χ) mit (a_{1} ∘ t)(f) = 0 ∀t ∈ 𝕋. Wir erhielten dann aber inbesondere für t = T_{m}

a_{m}(f) = a_{1}(T_{m}(f)) = 0 ∀m ∈ ℕ.

Also ist f = 0, was ein Widerspruch ist. Zu ϕ ∈ Hom_{ℂ}(S_{k}(Γ_{0}(N), χ), ℂ) gibt es also ein

t ∈ 𝕋 mit ϕ = a_{1} ∘ t, und wir erhalten

∑_{m=1}^{∞} ϕ(T_{m}f)q^{m} = ∑_{m=1}^{∞} a_{1}(tT_{m}f)q^{m} = ∑_{m=1}^{∞} a_{1}(T_{m}tf)q^{m}

= ∑_{m=1}^{∞} a_{m}(tf)q^{m} = t(f) ∈ S_{k}(Γ_{0}(N), χ).

■

Damit gestattet Lemma 1 bei Kenntnis einer Spitzenform f und Linearformen ϕ die Konstruktion neuer Spitzenformen in Fourier-Darstellung. Wie man dieses Prinzip zur Konstruktion einer Basis von S_{k}(Γ_{0}(N), χ) nutzen kann, werden wir in den folgenden Abschnitten beschreiben. Wir werden uns bei unseren Ausführungen auf den Fall von Spitzenformen ohne Nebentyp beschränken. Spitzenformen mit Nebentyp können ähnlich behandelt werden (vgl. Bemerkung 7).

2.2 Manin-Symbole

Sei k ∈ ℕ, k ⩾ 2 und N ∈ ℕ. Mit ℂ_{k−2}[X, Y] bezeichnen wir den ℂ-Vektorraum der homogenen Polynome in zwei Variablen vom Grad k − 2. Weiter sei ℂ_{k−2}[X, Y] [(ℤ/Nℤ)^{2} ] der Vektorraum von Linearkombinationen von Elementen aus (ℤ/Nℤ)^{2} mit Koeffizienten in ℂ_{k−2}[X, Y] . Die abelsche Gruppe M sei erzeugt von Elementen der Form {α, β} mit α, β ∈ ℙ^{1}(ℚ), welche die Relation

{α, β} + {β, γ} + {γ, α} = 0 mit α, β, γ ∈ ℙ^{1}(ℚ).

erfüllen. Wir setzen

M_{k} := ℂ_{k−2}[X, Y] ⊗ M .

Für Matrizen g = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℚ) definieren wir eine Operation auf den homogenen Poly-

nomen P ∈ ℂ_{k−2}[X, Y] und den Elementen P ⊗ {α, β} durch

P |_{g}(X, Y) := P (dX − bY, −cX + aY)
(P ⊗ {α, β})|_{g} := P |_{g} ⊗ {g(α), g(β)}.

4 Definition (a) Sei

M_{k} ^{Γ_{0}(N)} := {m ∈ M_{k} | m|_{g} = m ∀g ∈ Γ_{0}(N)} ,

dann bezeichnen wir mit M_{k} (Γ_{0}(N)) := M_{k} ⧸_{M_{k}} _{Γ_{0}(N)} den Vektorraum der modularen Symbole vom Gewicht k für Γ_{0}(N). Dabei verstehen wir unter P {α, β} das Bild von P ⊗ {α, β} ∈ M_{k} in M_{k} (Γ_{0}(N)).

(b) Sei g ∈ SL_{2}(ℤ) und P ∈ ℂ_{k−2}[X, Y] . Wir definieren das Manin-Symbol [P, g] ∈ M_{k} ( Γ_{0}(N)) durch

[P, g] := P |_{g}{g(0), g(∞)}.

Es gilt

5 Satz Sei g ∈ SL_{2}(ℤ) und P ∈ ℂ_{k−2}[X, Y] . Das Manin-Symbol [P, g] hängt nur von der Klasse Γ_{0}(N)g und dem Polynom P ab. Wenn g die Matrizen aus SL_{2}(ℤ) und P die Polynome in ℂ_{k−2}[X, Y] durchläuft, so erzeugen die Symbole [P, g] den Vektorraum M_{k} (Γ_{0}(N)), und es gelten die Relationen

[P, g] + [P |_{S^{−1}}, gS] = 0
[P, g] + [P |_{R^{−1}}, gR] + [P |_{R^{−2}}, gR^{2}] = 0

mit S = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) und R = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}).

Beweis:

siehe [Me4] und [Ma].

■

5 Bemerkung: Die Manin-Symbole können als ℂ-Linearkombination von Manin-Symbolen der Form [P, g] geschrieben werden, wobei P ein Monom der Gestalt X^{i}Y^{k−2−i} mit i ∈ {1, …, k − 2} ist. Da es nur endlich viele Monome gibt, und der Index [SL_{2}(ℤ) : Γ_{0}(N)] endlich ist, wird M_{k} (Γ_{0}(N))von endlich vielen Elementen erzeugt.

Wir definieren

ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) := {(c, d) ∈ (ℤ/Nℤ)^{2} | ggT (c, d, N) = 1} / ∼

mit (c, d) ∼ (c′, d′) ⟺ cd′ ≡ c′d (mod N).

Betrachten wir den Isomorphismus

φ : Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)⟶ℙ^{1}(ℤ/Nℤ)
[(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})] ⟼ (c, d)

und die Abbildung

m_{k} : ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k} ⟶^{m_{k}} M_{k} (Γ_{0}(N))
P [Γ_{0}(N)g] ⟼ [P, g].

Mit ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k} sei der Quotientenvektorraum bezeichnet, den man aus ℂ [X, Y] [Γ_{0} (N)\ Sl_{2}(ℤ)] erhält, wenn man die Relation

P [γ] = P |_{J}[γJ] mit γ ∈ Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ), P ∈ ℂ_{k−2}[X, Y] und J = (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

einführt. Mit ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}^{S} und ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}^{R} bezeichnen wir die Menge der Elemente aus ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}, die invariant unter den Matrizen S bzw. R sind. Dabei ist die Operation von SL_{2}(ℤ) definiert durch

(P [Γ_{0}(N)g])γ := P |_{γ^{−1}}[Γ_{0}(N)gγ] mit g, γ ∈ SL_{2}(ℤ).

Es gilt nun

6 Satz Die Sequenzen

0→ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}^{S} × ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}^{R}

→^{i} ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k} →^{m_{k}} M_{k} (Γ_{0}(N))→0 falls k > 2

und

0→ℂ →^{ξ} ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}^{S} × ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}^{R}

→^{i} ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k} →^{m_{k}} M_{k} (Γ_{0}(N))→0 falls k = 2

sind exakt.

Dabei wird unter der Abbildung i jedem Element (a, b) ∈ ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}^{S} × ℂ_{k−2}[X, Y] [Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)]_{k}^{R} das Element a + b zugeordnet und unter der Abbildung ξ wird ein Element c ∈ ℂ auf das Element (∑_{x∈ℙ^{1}(ℤ/Nℤ)} c[x], ∑_{x∈ℙ^{1}(ℤ/Nℤ)} c[x]) abgebildet.

Beweis:

siehe [Me4].

■

5 Definition Wir definieren die bilineare Paarung

⟨·, ·⟩ : (S_{k}(Γ_{0}(N)) ⊕ \overline{S_{k}(Γ_{0}(N))} ) × M_{k} (Γ_{0}(N))⟶ℂ
(f_{1} + f_{2}, P {α, β}) ⟼ ∫_{α}^{β} f_{1}(τ)P (τ, 1)dτ + ∫_{α}^{β} f_{2}(τ)P (τ̄, 1)dτ̄.

Dabei bezeichne \overline{S_{k}(Γ_{0}(N))} den Raum der antiholomorphen Spitzenformen.

2.3 Die Involution i  13

Weiter sei

P_{N} := ⋃_{d|N}(ℤ/dℤ)^{∗}

und

ℂ[P_{N}]_{k} := ℂ[P_{N}]⧸_{{ [a]∈ℂ[P_{N}]|[a]−(−1)^{k}[−a]=0}}

mit a ∈ (ℤ/dℤ)^{∗} und d|N. Wir definieren eine ℂ-lineare Abbildung

b : ℂ_{k−2}[X, Y][ℙ^{1}(ℤ/Nℤ)]⟶ℂ[P_{N}]_{k}
P (X, Y)[u, v] ⟼ P (1, 0)[v^{−1}]_{ggT (u,N)} − P (0, 1)[−u^{−1}]_{ggT (v,N)}

mit dem Inversen v^{−1} von v modulo dem ggT von u und N und dem Inversen u^{−1} von u modulo dem ggT von v und N. Falls a ∈ ℤ/Nℤ, d|N und a invertierbar modulo d ist, so bezeichnen wir mit [a]_{d} das Bild von [a (mod d)] in ℂ[P_{N}]_{k}. Es sei H := m_{k}(Ker(b)) ⊆ M_{k} (Γ_{0}(N)).

Schränkt man die oben definierte bilineare Paarung auf den Unterraum H ein, so gilt sogar

7 Satz Die Paarung

⟨·, ·⟩ : (S_{k}(Γ_{0}(N)) ⊕ \overline{S_{k}(Γ_{0}(N))} ) × H⟶ℂ
(f_{1} + f_{2}, [P, g]) ⟼ ∫_{0}^{∞} f_{1}|_{g}(τ)P (τ, 1)dτ + ∫_{0}^{∞} f_{2}|ḡ(τ)P (τ̄, 1)dτ̄.

ist nicht ausgeartet.

Beweis:

siehe [Me4].

■

2.3 Die Involution i

In diesem Abschnitt bezeichnen wir mit ε die Matrix (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}). Es gilt

8 Satz Die Abbildung

i : S_{k}(Γ_{0}(N)) ⊕ \overline{S_{k}(Γ_{0}(N))} ⟶S_{k}(Γ_{0}(N)) ⊕ \overline{S_{k}(Γ_{0}(N))}
f(τ) ⟼ f|ε̄(τ̄)

ist eine Involution, auf S_{k}(Γ_{0}(N)) ⊕ \overline{S_{k}(Γ_{0}(N))} , die S_{k}(Γ_{0}(N))und \overline{S_{k}(Γ_{0}(N))} vertauscht. Die Involution i^{∗} auf M_{k} (Γ_{0}(N))ist gegeben durch

i^{∗}(P {α, β}) = −P |ε̄{ε(α), ε(β)}

14  2.4 Die Bedingung C_{m}

i^{∗} wirkt auf den Manin-Symbolen wie folgt

i^{∗}([P, g]) = −[P |ε̃, εgε^{−1}] mit ε̃ = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}).

Bezeichnen wir mit H^{+} bzw. H^{−} die Unterräume von H, die invariant bzw. antiinvariant sind unter der Operation von i^{∗}, so haben wir eine Zerlegung von H in die direkte Summe

H = H^{+} ⊕ H^{−}.

2 Proposition Die bilinearen Paarungen

⟨·, ·⟩ : S_{k}(Γ_{0}(N)) × H^{+}⟶ℂ

und

⟨·, ·⟩ : S_{k}(Γ_{0}(N)) × H^{−}⟶ℂ

sind nicht ausgeartet.

Beweis:

siehe [Me4].

■

Sei {b_{1}, …, b_{n_{k}}} eine Basis von H^{+}, dann gibt es eine Basis {φ_{1}, …, φ_{n_{k}}} von S_{k}(Γ_{0}(N))^{∧}, des Dualraums von S_{k}(Γ_{0}(N)), mit

φ_{i}(f) = ∫_{0}^{∞} f|_{b_{i}}P (τ, 1)dτ ∀i ∈ {1, …, n_{k}}, mit f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)).

Wir wählen jetzt zu {φ_{1}, …, φ_{n_{k}}} eine Basis {f_{1}, …, f_{n_{k}}} mit

φ_{i}(f_{j}) = δ_{ij}.

Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie wir mit Hilfe der Existenz der Basis {f_{1}, …, f_{n_{k}}}, ohne diese explizit zu kennen, Koeffizienten von Spitzenformen in Fourier-Darstellung bestimmen können.

2.4 Die Bedingung C_{m}

Sei ℂ_{k−2}[X, Y] der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad k−2 in den Unbestimmten X und Y mit komplexen Koeffizienten. Sei P ∈ ℂ_{k−2}[X, Y] und (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ), dann definieren wir auf S_{k}(Γ_{0}(N)) eine Linearform [P, (u, v)] durch

S_{k}(Γ_{0}(N))⟶ℂ
f ⟼ ∫_{0}^{∞} f|_{(u,v)}(z)P (z, 1)dz.

Sei m ∈ ℕ, wir definieren

A_{m} := {γ ∈ M_{2}(ℤ)| det(γ) = m}

und

A_{m,N} := \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ A_{m}| c ≡ 0 (mod N) und ggT (d, N) = 1\} .

Γ_{0}(N) operiert auf A_{m,N}. Bezeichnen wir mit R_{m} ein Vertretersystem von Γ_{0}(N)\A_{m,N}, so ist der Hecke-Operator T_{m} auf f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)) gegeben durch

T_{m}(f(z)) = ∑_{γ∈R_{m}} m^{\frac{k}{2} −1}f|γ(z).

Für M = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℤ) bzeichnen wir mit P · M ∈ ℂ_{k−2}[X, Y] das Polynom, das definiert

ist durch

P · M(z) = P (aX + bY, cX + dY)

Sei (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ), dann definieren wir

[P, (u, v)] · M := \begin{cases}0 & falls (u, v)M ∉ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) \\ [P · M, (au + cv, bu + dv)] & sonst. \end{cases}

Die Bedingung C_{m} wird nun definiert durch

6 Definition Das Element ∑_{M} u_{M}M ∈ ℂ[A_{m}] erfüllt die Bedingung C_{m}, falls für alle K ∈ A_{m}/SL_{2}(ℤ) gilt

∑_{M∈K} u_{M}(M(∞) − M(0)) = (∞) − (0).

Für f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)) setzen wir

T_{m}([P, (u, v)])(f) := [P, (u, v)](T_{m}(f)).

Mit dieser Definition können wir den folgenden Satz formulieren.

9 Satz Sei (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) und P ∈ ℂ_{k−2}[X, Y]. Erfüllt ∑_{M} u_{M}M ∈ ℂ[A_{m}] die Bedingung C_{m}, dann gilt

T_{m}([P, (u, v)]) = ∑_{M} u_{M}[P, (u, v)] · M.

6 Bemerkung: Man beachte, daß die Bedingung C_{m} unabhängig von der betrachteten Stufe N und dem Gewicht k formuliert ist.

Zum Beweis von Satz 9 brauchen wir noch zwei Lemmata.

2 Lemma Die Abbildung

ψ : Γ_{0}(N)\A_{m,N}⟶SL_{2}(ℤ)\SL_{2}(ℤ)A_{m,N}
γ ⟼ SL_{2}(ℤ)γ

ist bijektiv.

Beweis:

Wir müssen die Injektivität zeigen.

Seien γ und γ′ ∈ A_{m,N} mit SL_{2}(ℤ)γ = SL_{2}(ℤ)γ′, dann ist aber γγ′^{−1} ∈ Γ_{0}(N), also ist ψ injektiv.

■

Für M = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℤ) bezeichnen wir mit M̃ die Matrix (\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}) und setzen

Ã_{m,N} := \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ A_{m,N} | c ≡ 0 (mod N) und ggT (a, N) = 1\} .

Weiter sei

j(M, z) := cz + d für M = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}).

Wegen Lemma 2 gibt es eine Abbildung

ϕ_{N} : Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ)⟶Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)

mit der Eigenschaft

Γ_{0}(N)ϕ_{N}(γg) = Γ_{0}(N)g ∀γ ∈ Ã_{m,N} und g ∈ SL_{2}(ℤ).

Offensichtlich gilt für ϕ_{N}

3 Lemma Die Abbildung

ϕ_{N} : Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ)⟶Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ)

hat die Eigenschaften

(a) Γ_{0}(N)ϕ_{N}(γg) = Γ_{0}(N)ϕ_{N}(γ)g ∀(γ, g) ∈ Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ) × SL_{2}(ℤ)

(b) ϕ_{N}^{−1}(Γ_{0}(N)) = Ã_{m,N}

(c) ϕ_{N}(γ)γ̃ ∈ A_{m,N} ∀γ ∈ Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ)

Beweis:

Die Beweise von (a) - (c) ergeben sich direkt aus der Definition von ϕ_{N}. Wir geben an dieser Stelle den Beweis zu (c).

Sei γ ∈ Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ) mit

γ = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})(\begin{matrix}e & f \\ g & h \end{matrix}), dabei sei (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ) und (\begin{matrix}e & f \\ g & h \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ℤ).

Dann ist ϕ_{N}(γ) = γ_{0}(\begin{matrix}e & f \\ g & h \end{matrix}) mit γ_{0} ∈ Γ_{0}(N)

⇒ϕ_{N}(γ)γ̃ = γ_{0}(\begin{matrix}e & f \\ g & h \end{matrix})(\begin{matrix}cf + dh & −af − bh \\ −ce − dg & ae + bg \end{matrix}) = γ_{0}(\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix})

Sei γ_{0} = (\begin{matrix}u & v \\ w & x \end{matrix}), dann ist

γ_{0}(\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}) = (\begin{matrix}ud − vc & −ub + va \\ wd − xc & −wb + xa \end{matrix})

Es ist wd−xc ≡ 0 (mod N). Da ggT (x, N) = ggT (a, N) = 1 ist, ist ggT (−wb+xa, N) = 1, also ϕ_{N}(γ)γ̃ ∈ A_{m,N}.

■

Sei g ∈ SL_{2}(ℤ). Wir bezeichnen mit φ die bijektive Abbildung von Γ_{0}(N)\SL_{2}(ℤ) → ℙ^{1}(ℤ /Nℤ) und setzen (u, v) = φ(Γ_{0}(N)g). Für M ∈ M_{2}(ℤ)∩GL_{2}(ℚ) definiert (u, v)M ein Element in ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) genau dann, wenn gM ∈ Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ) ist. Es ist φ(Γ_{0}(N)ϕ_{N}(gM)) = (u, v)M. Wir können nun Satz 9 beweisen.

Beweis:

Sei f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)) und g ∈ SL_{2}(ℤ) mit φ(Γ_{0}(N)g) = (u, v). Sei R Vertretersystem von Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ)/SL_{2}(ℤ). Falls g ∈ SL_{2}(ℤ), dann ist g^{−1}R ein Vertretersystem von g^{−1}Ã_{m,N}SL_{2}(ℤ)/SL_{2}(ℤ). Es ist

∑_{M} u_{M}[P, (u, v)] · M(f) = ∑_{M∈g^{−1}Ã_{m,N} SL_{2}(ℤ)}u_{M} ∫_{0}^{∞} P (Mz, 1)j(M, z)^{k−2}f|_{ϕ_{N} (gM)}(z)dz

= ∑_{r∈R} ∑_{M∈g^{−1}rSL_{2}(ℤ)}u_{M} ∫_{0}^{∞} P (Mz, 1)j(M, z)^{k−2}f|_{ϕ_{N} (gM)}(z)dz

Wir führen die Variablentransformation u = Mz durch, dann ist

dz = \frac{1}{mj(M^{−1}, u)}du

und erhalten

∑_{M} u_{M}[P, (u, v)] · M(f) = ∑_{r∈R_{g}} ∑_{M∈rSL_{2}(ℤ)}u_{M} ∫_{M(0)}^{M(∞)} P (u, 1)j(M, M^{−1}u)^{k−2}

f|_{ϕ_{N} (gM)}(M^{−1}u)\frac{1}{mj(M^{−1}, u)^{2}} du.

Sei D_{m} = (\begin{matrix}m & 0 \\ 0 & m \end{matrix}). Wir setzen M = g^{−1}rh (h ∈ SL_{2}(ℤ)) in jedem Integral und

bekommen

∑_{M} u_{M}[P, (u, v)] · M(f) = ∑_{r∈R_{g}} ∑_{M∈rSL_{2}(ℤ)}u_{M} ∫_{M(0)}^{M(∞)} P (u, 1)f|_{ϕ_{N} (rh)}(M^{−1}D_{m}gu)

\frac{1}{mj(M^{−1}, u)^{k}} du

= ∑_{r∈R_{g}} ∑_{M∈rSL_{2}(ℤ)}u_{M} ∫_{M(0)}^{M(∞)} P (u, 1)f|_{ϕ_{N} (rh)D_{m}h^{−1}r^{−1}g}(u)m^{\frac{k}{2}}

j(M^{−1}, u)^{k} \frac{1}{mj(M^{−1}, u)^{k}} du

= ∑_{r∈R_{g}} ∑_{M∈rSL_{2}(ℤ)}u_{M} ∫_{M(0)}^{M(∞)} P (u, 1)f|_{ϕ_{N} (r)D_{m}r^{−1}g}(u)m^{\frac{k}{2} −1}du.

Da ∑_{M} u_{M}M die Bedingung C_{m} erfüllt, gilt für alle r ∈ R

∑_{M∈rSL_{2}(ℤ)}u_{M} ∫_{M(0)}^{M(∞)} P (u, 1)f|_{ϕ_{N} (r)D_{m}r^{−1}g}(u)m^{\frac{k}{2} −1}du

= ∫_{0}^{∞} P (u, 1)f|_{ϕ_{N} (r)r^{−1}D_{m}g}(u)m^{\frac{k}{2} −1}du.

Damit haben wir

∑_{M} u_{M}[P, (u, v)] · M(f) = ∑_{r∈R_{g}} ∫_{0}^{∞} P (u, 1)f|_{ϕ_{N} (r)r^{−1}D_{m}g}(u)m^{\frac{k}{2} −1}du

= ∫_{0}^{∞} P (u, 1)(m^{\frac{k}{2} −1} ∑_{r∈R_{g}} f|_{ϕ_{N} (r)r^{−1}D_{m}})|_{g}(u)du.

Es bleibt zu zeigen, daß ϕ_{N}(r)r^{−1}D_{m} = ϕ_{N}(r)r̃ ein Vertretersystem von Γ_{0}(N)\A_{m,N} durchläuft, wenn r das System R durchläuft. Wegen Eigenschaft c) aus Lemma 3 ist ϕ_{N}(r)r̃ aus A_{m,N}. Wenn r und r′ verschiedene Elemente aus R sind, so ist

SL_{2}(ℤ)ϕ_{N}(r)r̃ ≠ SL_{2}(ℤ)ϕ_{N}(r′)r̃′.

Damit ist aber

Γ_{0}(N)ϕ_{N}(r)r̃ ≠ Γ_{0}(N)ϕ_{N}(r′)r̃′.

Da |Γ_{0}(N)\A_{m,N}| = |R| ist, folgt die Behauptung.

■

Das Resultat aus Satz 9 kann wie folgt angewendet werden: Wir betrachten den Vektorraum H^{+} aus Abschnitt 2.3 mit Basis {b_{1}, …, b_{n_{k}}} und Dualbasis {f_{1}, …, f_{n_{k}}} in S_{k}(Γ_{0}(N)). Weiter sei x ∈ H^{+} mit x = ∑_{i=1}^{n_{k}} λ_{i}b_{i} (λ_{i} ∈ ℤ). Dann gilt

T_{m}(x)(f_{i}) =^{Def.} x(T_{m}(f_{i})) = ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{j}b_{j}(T_{m}(f_{i})) =^{Satz9} ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{j} (∑_{l=1}^{n_{k}} μ_{l}^{j}b_{l}(f_{i}))

= ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{j}μ_{i}^{j} =: λ_{i,m} mit μ_{i}^{j} ∈ ℤ.

Nach Lemma 1 ist dann aber

∑_{m=1}^{∞} λ_{i,m}q^{m} ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)).

Wir können also Koeffizienten von Spitzenformen in Fourier-Darstellung berechnen, wenn wir eine Menge von Matrizen kennen, die der Bedingung aus Definition 6 genügen. Zu jedem festen x ∈ H^{+} können n_{k} Fourier-Darstellungen bestimmt werden. Unter diesen n_{k} Fourier-Entwicklungen bestimmt man alle linear unabhängigen Funktionen. Hat man nach diesem Schritt noch keine Basis des Raums der Spitzenformen gefunden, so führt man die obigen Schritte für ein neues x ∈ H^{+} durch und ergänzt den bereits bestimmten Unterraum mit den neu berechneten Funktionen.

7 Bemerkung: Die hier gemachten Aussagen über Spitzenformen ohne Nebentyp können auf solche mit Nebentyp übertragen werden. Sei χ ein Dirichlet-Charakter. Wir definieren

M_{k}(Γ_{0}(N), χ) := E_{k}(Γ_{0}(N))⧸_{∼}

und es gilt in E_{k}(Γ_{0}(N))

[P, (λu, λv)] ∼ χ(λ)[P, (u, v)] mit λ ∈ ℤ/Nℤ\{0}, (u, v) ∈ (ℤ/Nℤ)^{2}\{(0, 0)} und P ∈ ℂ_{k−2}[X, Y].

Man erhält insbesondere für χ = 1 die alten Manin-Symbole. Weiter sei

H_{χ} := m_{k}(Ker(b)) ⊆ M_{k}(Γ_{0}(N), χ),

wobei die Abbildung b auf Seite 13 definiert ist, dann gilt

10 Satz Die Paarung

(S_{k}(Γ_{0}(N), χ) ⊕ \overline{S_{k}(Γ_{0}(N), χ)}) × H_{χ}⟶ℂ

ist nicht ausgeartet.

Beweis:

siehe [Me4] Seite 80.

■

20  2.5 Die Mengen S_{m} und S′_{m}

2.5 Die Mengen S_{m} und S′_{m}

Kennen wir eine Menge X_{m} (mit m ∈ ℕ), welche der Bedingung C_{m} von Satz 9 genügt, so sind wir in der Lage, Hecke-Operatoren T_{m} einfach zu berechnen, indem wir die Operation aller Elemente dieser Menge auf dem betrachteten Symbol durchführen. Um diese Rechnung in angemessener Zeit durchführen zu können, ist man an solchen Mengen interessiert, die einerseits einfach zu konstruieren sind und andererseits eine nicht zu große Mächtigkeit haben. Merel gibt in [Me3] und [Me4] verschiedene Mengen an, die der Bedingung aus Definition 6 genügen. Für die konkrete Rechnung haben sich folgende Mengen am günstigsten erwiesen.

7 Definition Mit S und S′ bezeichnen wir die Mengen der Matrizen aus M_{2}(ℤ)

S := \{(\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix})| xx′ + yy′ > 0 und eine der folgenden Bedingungen sei erfüllt

• x > |y|, x′ > |y′|, yy′ > 0

• y = 0, |y′| < \frac{x′}{2}

• y′ = 0, |y| < \frac{x}{2}\} ,

S′ := \{(\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix})| xx′ + yy′ > 0 und eine der folgenden Bedingungen sei erfüllt

• y = 0, |y′| = \frac{x′}{2}

• y′ = 0, |y| = \frac{x}{2}\} .

Sei m ∈ ℕ, dann sei S_{m} (bzw. S′_{m}) die Menge aller Matrizen aus S (bzw. S′) mit Determinante gleich m.

11 Satz Das Element

∑_{M∈S_{m}} M + \frac{1}{2} ∑_{M∈S′_{m}} M ∈ ℂ[M_{2}(ℤ)_{m}]

erfüllt die Bedingung C_{m}.

8 Bemerkung: Für ungerades m ist S′_{m} leer, so daß man in diesem Fall nur Elemente aus S_{m} betrachtet. Man durchläuft also die gleiche Menge von Matrizen wie bei der Manin-Heilbronn Liftung von T_{m} (vgl. [Me2])

Dem Beweis des Satzes seien einige Lemmata vorangestellt.

4 Lemma Die Matrizen (\begin{matrix}d & b \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℤ)(bzw. (\begin{matrix}\frac{m}{d} & 0 \\ b & d \end{matrix})) mit d > 0 und -\frac{d}{2} < b ⩽ \frac{d}{2} sind ein vollständiges Vertretersystem von M_{2}(ℤ)_{m}/SL_{2}(ℤ) . Die gleiche Aussage gilt, wenn man die Bedingung - \frac{d}{2} < b ⩽ \frac{d}{2} durch -\frac{d}{2} ⩽ b < \frac{d}{2} ersetzt. Diese Matrizen sind die einzigen Elemente (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S_{m} ∪ S′_{m} mit y′=0 (bzw. y = 0). Beweis:

Wir beweisen die obige Aussage für die Menge der Matrizen (\begin{matrix}d & b \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℤ) mit d > 0 und −\frac{d}{2} < b ⩽ \frac{d}{2}. Die anderen Fälle können ähnlich behandelt werden. Sei g ∈ M_{2}(ℤ)_{m}. Da SL_{2}(ℤ) transitiv auf ℙ^{1}(ℚ)operiert, gibt es ein Element γ ∈ SL_{2}(ℤ) mit gγ(∞) = ∞.

⇒∃ g′ = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ gSL_{2}(ℤ), mit g′(∞) = ∞.

⇒c = 0. Multiplizieren wir g′ mit (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ℤ), so können wir voraussetzen, daß a > 0

ist. Zwei Matrizen aus M_{2}(ℤ)der Gestalt (\begin{matrix}d & b \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix}) und (\begin{matrix}d′ & b′ \\ 0 & \frac{m}{d′} \end{matrix}) mit d, d′ > 0 sind genau dann äquivalent modulo SL_{2}(ℤ), wenn d = d′ und b ≡ b′ (mod d) ist, denn:

” ⇒ ” Sei (\begin{matrix}u & v \\ w & x \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ℤ) mit

(\begin{matrix}d & b \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix})(\begin{matrix}u & v \\ w & x \end{matrix}) = (du + bw dv + bx_{\frac{mw}{d} \frac{mx}{d}}) = (\begin{matrix}d′ & b′ \\ 0 & \frac{m}{d′} \end{matrix}).

⇒w = 0. Da d und d′ > 0 sind, muß u = x = 1 sein und damit d = d′ und b ≡ b′ (mod d). ” ⇐ ” Ist umgekehrt b′ = b + kd mit k ∈ ℤ, dann gilt

(\begin{matrix}d & b \\ 0 & \frac{n}{d} \end{matrix})(\begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}d & b + dk \\ 0 & \frac{n}{d} \end{matrix}) = (\begin{matrix}d′ & b′ \\ 0 & \frac{n}{d′} \end{matrix} ).

Damit folgt, daß die Matrizen (\begin{matrix}d & b \\ 0 & \frac{n}{d} \end{matrix}) mit d > 0 und −\frac{d}{2} < b ⩽ \frac{d}{2} ein Vertretersystem von M_{2}(ℤ)_{m}/SL_{2}(ℤ) bilden. Die zweite Ausssage folgt direkt aus den Definition von S_{m} und S′_{m}.

■

5 Lemma Sei g = (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S_{m} mit y′ ≠ 0 (bzw. y ≠ 0). Dann gibt es genau ein Element g_{0} =

(\begin{matrix}x_{0} & −y_{0} \\ y′_{0} & x′_{0} \end{matrix}) ∈ S_{m} ∩ gSL_{2}(ℤ), so daß ε(y′)(\begin{matrix}x \\ y′ \end{matrix}) = (\begin{matrix}−y_{0} \\ x′_{0} \end{matrix})(bzw. (\begin{matrix}−y \\ x′ \end{matrix}) = ε(y′_{0})(\begin{matrix}x_{0} \\ y′_{0} \end{matrix})) ist.

Dabei bezeichne ε(y′) (bzw. ε(y′_{0})) das Vorzeichen von y′ (bzw. y′_{0}). Weiter gilt g(∞) = g_{0}(0) (bzw. g(0) = g_{0}(∞)).

Beweis:

Wir beweisen die Aussage für den ersten Fall, der zweite Fall wird auf die gleiche Weise behandelt. Wir zeigen zuerst die Existenz einer Matrix mit den geforderten Eigenschaften. Wir müssen eine Fallunterscheidung machen. Sei zunächst \frac{x′}{y′} ∉ ℤ. Sei q ∈ ℤ die eindeutig

bestimmte ganze Zahl mit |q + \frac{x′}{y′} | < 1 und qy′ + x′ > 0. Da |y′| < x′ ist, ist ε(y′)q < 0.

Für die Matrix (\begin{matrix}−qε(y′) & ε(y′) \\ −ε(y′) & 0 \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ℤ) haben wir

g_{0} = g(\begin{matrix}−qε(y′) & ε(y′) \\ −ε(y′) & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−(qx − y)ε(y′) & ε(y′)x \\ −(qy′ + x′)ε(y′) & ε(y′)y′ \end{matrix}).

Die Nebendiagonalelemente von g_{0} sind verschieden von 0, und es gelten die Ungleichungen

−(qx − y)ε(y′) > | − ε(y′)x| = x
ε(y′)y′ > |(qy′ + x′)ε(y′)|
(qy′ + x′)ε(y′)ε(y′)x = (qy′ + x′)x > 0.

⇒g_{0} ∈ S_{m} ∩ gSL_{2}(ℤ) und g_{0}(0) = \frac{ε(y′)x}{ε(y′)y′} = \frac{x}{y′} = g(∞).

Eindeutigkeit: Sei g_{0} ∈ M_{2}(ℤ), und g_{0} erfülle die Bedingungen des Lemmas. Sei γ ∈ SL_{2}(ℤ) mit gγ = g_{0}. Dann gilt

gγ(0) = g_{0}(0) = g(∞)⇒γ(0) = ∞

und γ hat die Gestalt

γ = (\begin{matrix}−qε & ε \\ −ε & 0 \end{matrix}) mit q ∈ ℤ und ε ∈ \{±1\}.

Damit haben wir

g_{0} = g(\begin{matrix}−qε & ε \\ −ε & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−(qx − y)ε & εx \\ −(qy′ + x′)ε & εy′ \end{matrix}).

Da \frac{x′}{y′} ∉ ℤ⇒qy′+x′ ≠ 0. Es ist εy′ > 0 und ε = ε(y′). Da g_{0} ∈ S_{m}, ist |(qy′+x′)ε| < ε(y′)y′

und damit |q + \frac{x′}{y′} | < 1. Die Ungleichung εx(qy′ + x′)ε > 0 impliziert qy′ + x′ > 0. Da

q für \frac{x′}{y′} durch diese beiden Ungleichungen eindeutig bestimmt ist, ist die Eindeutigkeit von g_{0} gezeigt. Wir betrachten jetzt den Fall \frac{x′}{y′} ∈ ℤ und beweisen die Existenz der geforderten Matrix.

Sei q = −\frac{x′}{y′} und ε = ε(y′). Dann ist

g_{0} = g(\begin{matrix}−qε & ε \\ −ε & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}\frac{mε}{y′} & εx \\ 0 & εy′ \end{matrix}).

Wir müssen zeigen, daß \frac{mε}{2y′} > |εx| = |x| ist. Da y′|x′ und |y′| < x′⇒ |\frac{x′}{y′} | ⩾ 2. Da xx′ + yy′ = m, ist 0 < xx′ < m, falls y ≠ 0 ist und wir erhalten

|xy′| ⩽ \frac{1}{2}|xx′| < \frac{m}{2}.

Falls y = 0 ist, ist xx′ = m und |y′| < \frac{x′}{2} , da g ∈ S_{m} ist und wir erhalten die Ungleichung

|xy′| < \frac{1}{2}|xx′| ⩽ \frac{m}{2}.

Damit ist die Existenz von g_{0} gezeigt und es gilt g_{0}(0) = g(∞). Wir müssen noch die Eindeutigkeit von g_{0} zeigen. g_{0} erfülle die obige Behauptung, und es sei γ ∈ SL_{2}(ℤ) mit

gγ = g_{0}. Dann hat γ die Gestalt (\begin{matrix}−q̃ε & ε \\ −ε & 0 \end{matrix}), und es ist

gγ = (\begin{matrix}−(q̃x − y)ε & εx \\ −(q̃y′ + x′)ε & εy′ \end{matrix}) mit q̃ ∈ ℤ.

Da g_{0} ∈ S_{m} ist, folgt

εy′ > | − ε(q̃y′ + x′)| = |q̃y′ + qy′| = |q̃ + q||y′| mit \frac{x′}{y′} = q.

Damit ist aber q̃ = −q. Aus xx′ + yy′ = m und x′ = qy′ folgt y′(xq + y) = m. Dann ist aber

(\begin{matrix}−ε(−qx − y) & εx \\ 0 & εy′ \end{matrix}) = (\begin{matrix}ε\frac{m}{y′} & εx \\ 0 & εy′ \end{matrix}).

■

6 Lemma Sei d ein positiver gerader Teiler von m. Die Elemente der Menge

\{(\begin{matrix}d & \frac{d}{2} \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix}), (\begin{matrix}d & −\frac{d}{2} \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix}), ( \frac{d}{2} 0_{\frac{m}{d} \frac{2m}{d}}), (\begin{matrix}\frac{d}{2} & 0 \\ −\frac{m}{d} & \frac{2m}{d} \end{matrix})\}

gehören zur gleichen Klasse modulo SL_{2}(ℤ). Darüber hinaus bilden diese Mengen eine Partition von S′_{m}, welche die Klassen modulo SL_{2}(ℤ) respektiert. Dabei durchläuft d alle positiven geraden Teiler von m.

Beweis:

Die zweite Aussage folgt aus der Definition von S′_{m} und Lemma 4.

Da (\begin{matrix}d & \frac{d}{2} \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix})(\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}d & −\frac{d}{2} \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix}), ( \frac{d}{2} 0_{\frac{m}{d} \frac{2m}{d}})(\begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}\frac{d}{2} & 0 \\ −\frac{m}{d} & \frac{2m}{d} \end{matrix}) und

(\begin{matrix}d & \frac{d}{2} \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix})(\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}\frac{d}{2} & 0 \\ −\frac{m}{d} & \frac{2m}{d} \end{matrix}) ist, folgt die erste Behauptung des Lemmas.

■

7 Lemma Es gilt

S_{m}SL_{2}(ℤ) ∩ S′_{m}SL_{2}(ℤ) = ∅.

Beweis:

Wir nehmen an, daß es ein Element g_{0} = (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S_{m} ∩ S′_{m}SL_{2}(ℤ) gibt. Wegen Lemma 4 ist y′ ≠ 0. Da g ∈ S_{m} und y′ ≠ 0 ist, benutzen wir Lemma 5, um die

Existenz einer Matrix g_{0} = (\begin{matrix}x_{0} & −y_{0} \\ y′_{0} & x′_{0} \end{matrix}) ∈ S_{m} ∩ gSL_{2}(ℤ) = S_{m} ∩ S′_{m}SL_{2}(ℤ) mit |y′_{0}| < y′

zu zeigen. Durch wiederholte Anwendung von Lemma 5 erhalten wir eine Folge von Matrizen g_{n} = (\begin{matrix}x_{n} & y_{n} \\ y′_{n} & x′_{n} \end{matrix}) ∈ S_{m} ∩ S′_{m}SL_{2}(ℤ) mit immer kleiner werdendem |y_{n}|. Für ein n ∈ ℕ erhalten wir schließlich y′_{n} = 0, was ein Widerspruch ist.

■

Wir können nun Satz 11 beweisen. Beweis:

Da die Gleichung det((\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix})) = xx′ +yy′ = m nur endlich viele ganzzahlige Lösungen mit xx′ ⩾ 0 und yy′ ⩾ 0 hat, ist die Menge S_{m} endlich. Sei K ∈ M_{2}(ℤ)_{m}/SL_{2}(ℤ) eine Bahn unter SL_{2}(ℤ). Falls K ⊂ S′_{m}SL_{2}(ℤ) ist, dann gibt es nach Lemma 6 einen eindeutigen, postiven Teiler d von m, so daß

K ∩ S′_{m} = \{(\begin{matrix}d & \frac{d}{2} \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix}), (\begin{matrix}d & −\frac{d}{2} \\ 0 & \frac{m}{d} \end{matrix}), ( \frac{d}{2} 0_{\frac{m}{d} \frac{2m}{d}}), (\begin{matrix}\frac{d}{2} & 0 \\ −\frac{m}{d} & \frac{2m}{d} \end{matrix})\}

ist. Es gilt nun

∑_{M∈K∩S′_{m}}((M(∞)) − (M(0))) = (∞) − (\frac{d^{2}}{2m}) + (∞) − (−\frac{d^{2}}{2m})

+ (\frac{d^{2}}{2m}) − (0) + (−\frac{d^{2}}{2m}) − (0)

= 2((∞) − (0)).

Falls K ⊂ S_{m}SL_{2}(ℤ) ist, so erhalten wir, wenn wir über die Matrizen M = (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) aus K ∩ S_{m} summieren,

∑_{M∈K∩S_{m}}((M(∞)) − (M(0))) = ∑_{M∈K∩S_{m}}(\frac{x_{M}}{y′_{M}}) − ∑_{M∈K∩S_{m}}(−\frac{y_{M}}{x′_{M}}).

Nach Lemma 5 verschwinden alle Terme außer denjenigen, die zu y_{M} = 0 oder y′_{M} = 0 gehören und wir erhalten

∑_{M∈K∩S_{m}}((M(∞)) − (M(0))) = ∑_{M∈K∩S_{m},y′_{M} =0}(\frac{x_{M}}{y′_{M}}) − ∑_{M∈K∩S_{m},y_{M} =0}(−\frac{y_{M}}{x′_{M}}).

Mit Lemma 4 ist aber die letzte Zeile gleich (∞) − (0).

■

Mit

∑_{M∈S_{m}} M + \frac{1}{2} ∑_{M∈S′_{m}} M ∈ ℂ[M_{2}(ℤ)_{m}]

ist nun ein geeignetes Element gefunden, das eine einfache Berechnung des Hecke-Operators T_{m} erlaubt. Um abzuschätzen, wie hoch der Aufwand zur Berechnung größerer Hecke-Operatoren ist, müssen wir wissen, wie sich die Ordnung der Menge S_{m} asymptotisch verhält, es gilt

12 Satz Sei σ(m) = ∑_{0<δ|m} δ, und log sei der natürliche Logarithmus, dann gilt:

|S_{m}|@ >> m → ∞ > \frac{12 log 2}{π^{2}}σ(m) log m.

Beweis:

siehe [Me2].

■

9 Bemerkung: Für die Herleitung der asymptotischen Abschätzung der Ordnung von S_{m}, wird ein Resultat Heilbronns (vgl. [He]) über die Länge von Kettenbrüchen verwendet.

Man beachte, daß die Herleitung der Aussage von Satz 11 die systematische Konstruktion vom S_{m} und S′_{m} liefert. Detailliert gehen wir hierauf in Kapitel 3 ein.

Neben den von Merel in [Me4] angegeben Elementen, welche die Bedingung C_{m} erfüllen, kann man noch ein weiteres Element mit dieser Eigenschaft angeben. Dazu betrachte man die folgenden Mengen, die man erhält, wenn man die Einträge der Nebendiagonale mit den Einträgen der Diagonalen der Matrizen aus S_{m} bzw. S′_{m} vertauscht (vgl. Definition 7).

8 Definition Mit S̃_{m} und S̃′_{m} bezeichnen wir die Mengen

S̃_{m} := \{(\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℤ)_{m}| und eine der folgenden Bedingungen sei erfüllt

• |y| > x, |y′| > x′, yy′ > 0

• x = 0, \frac{y′}{2} > x′ > 0

• x′ = 0, \frac{y}{2} > x > 0\}

und S̃′_{m} := \{(\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℤ)_{m}| x = x′ = 0, yy′ = m\} .

13 Satz Das Element

\frac{1}{2} ∑_{M∈S̃′_{m}} M − ∑_{M∈S̃_{m}} M

erfüllt die Bedingung C_{m}.

10 Bemerkung: Dieses neue Element vereinfacht die Berechnung des Hecke-Operators T_{m} nicht, da die Mächtigkeit der Mengen S_{m} ∪ S′_{m} und S̃′_{m} ∪ S̃′_{m} gleich ist.

Der Beweis von Satz 13 erfolgt auf die gleiche Weise wie der Beweis zu Satz 11, weshalb wir an dieser Stelle auf die Angabe des Beweises verzichten.

Ein Algorithmus zur Berechnung des Hecke-Operators

In Kapitel 2 haben wir dargestellt, wie eine Basis des Vektorraums S_{k}(Γ_{0}(N), χ) bestimmt werden kann. Der Aufwand der Berechnung hängt einerseits von der Stufe N und andererseits von der Anzahl der auszuwählenden Elemente ab, für die T_{m} berechnet werden muß. (vgl. Seite 19). Je größer die betrachtete Stufe ist, um so mehr Hecke-Operatoren müssen berechnet werden, bis man genügend viele Fourier-Koeffizienten bestimmt hat, um die Spitzenformen eindeutig zu identifizieren. Reicht ein Element nicht aus, um den gesamten Raum S_{k}(Γ_{0}(N), χ) zu erzeugen, ist eine erneute Anwendung der Hecke-Operatoren auf ein neues Element notwendig.

In diesem Kapitel werden wir zuerst beschreiben, wie man die Mengen S_{m} und S′_{m} zur Bestimmung von T_{m} konstruiert. Der Algorithmus hierzu wird durch Lemmata 4 und 5 des vorangegangenen Kapitels geliefert. Die Übertragung dieses Verfahrens auf den Rechner zeigt jedoch, daß der Zeitaufwand zur Berechnung größerer Hecke-Operatoren unakzeptabel wird, so daß eine neue Beschreibung der Mengen S_{m} und S′_{m} nötig ist, um deren Erzeugung effizienter zu machen, um damit die Berechnung von T_{m} zu beschleunigen. Diese Konstruktion wird im zweiten Teil dieses Kapitels beschrieben. Abschließend werden wir für den Fall Gewicht 2 erläutern, wie eine geschickte Wahl eines Elements (u, v) aus ℙ^{1}(ℤ/Nℤ), falls möglich, den Rechenaufwand weiter reduzieren kann.

3.1 Konstruktion von S_{m} und S′_{m}

Wir erinnern an dieser Stelle an die Definition der Mengen S_{m} und S′_{m} (m ∈ ℕ) (siehe Seite 20) und an die Lemmata 4 und 5 aus Kapitel 2, die es erlauben, einen Algorithmus zur Konstruktion der obigen Mengen zu formulieren. Das erste Lemma gibt an, wie Vertreter der verschiedenen Nebenklassen von M_{2}(ℤ)_{m} / SL_{2}(ℤ) aussehen. Für jeden Vertreter

g = (\begin{matrix}\frac{m}{d} & 0 \\ b & d \end{matrix}) mit d |m, d > 0 und − \frac{d}{2} < b < \frac{d}{2}

konstruiert man mit dem zweiten Lemma ein eindeutiges Element g_{0} ∈ S_{m} ∩ gSL_{2}(ℤ) mit gewissen Zusatzeigenschaften. Auf das neue Element wendet man jetzt erneut Lemma 5 an. Der vollständige Algorithmus zur Konstruktion von S_{m} gliedert sich dann in folgende Schritte

28  3.1 Konstruktion von S_{m} und S′_{m}

Algorithmus 1

Eingabe : m ∈ ℕ

Ausgabe : die Menge S_{m}

1. Schleife über alle d > 0 mit d teilt m.

2. Schleife über alle b mit −\frac{d}{2} < b < \frac{d}{2}.

2.1 Sei M = (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) mit x = \frac{m}{d}, y = 0, y′ = b und x′ = d.

2.2 Man füge die Matrix M zu S_{m} hinzu.

2.3 Falls y′ = 0 ist, so gehe man zurück zu 2.

2.4 Sonst setze man ε := sgn(y′) und

r̃:= \begin{cases}r & mit x′ = r|y′| + s 0 ⩽ s < |y′|, falls \frac{x′}{y′} < 0 \\ −r & mit x′ = r y′ + s 0 ⩽ s < y′ , falls \frac{x′}{y′} > 0. \end{cases}

2.5 Man setze M = (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix})(\begin{matrix}−r̃ε & ε \\ −ε & 0 \end{matrix}) ∈ S_{m} und gehe zurück zu 2.2.

11 Bemerkung: Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab, da nach Wahl von r̃

| − ε(r̃y′ + x′)| < εy′

ist. Also wird in Schritt 2.5 von Algorithmus 1 der erste Eintrag der zweiten Zeile von M bei jedem Durchlauf betragsmäßig kleiner.

Es sei nochmals daran erinnert, daß die Beschreibung des Hecke-Operators unabhängig von der betrachteten Stufe und dem Gewicht ist, also bei unterschiedlicher Stufe die gleiche Konstruktion durchgeführt wird.

Die Elemente der Mengen S′_{m} kann man direkt nach Definition 7 angeben. Im folgenden werden wir für den Fall Gewicht 2 die Operation von S′_{m} auf den Symbolen (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) genauer untersuchen und sehen, daß uns Algorithmus 1 genau die richtige Menge von Matrizen der Determinante m für gerades m zur Berechnung von Hecke-Operatoren liefert, wenn wir in Schritt 2 von Algorithmus 1 die Bedingung b < \frac{d}{2} durch b ⩽ \frac{d}{2} ersetzen. Um dies einzusehen, benötigen wir das folgende Lemma.

8 Lemma Sei m ∈ ℕ und gerade, dann gilt

\frac{1}{2} ∑_{M∈S′_{m}}(u, v)M = ∑_{\begin{matrix}x,x′>0 \\ y =0,xx′=m,y′= \frac{x′}{2} \\ y′=0,xx′=m,y = \frac{x}{2} \end{matrix}} (u, v) (\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) mit (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ).

12 Bemerkung: Das Lemma besagt, daß man nur über die Hälfte aller Elemente aus S′_{m} zu summieren hat.

Beweis:

Sei m = 2^{k}l mit k, l ∈ ℕ und l ungerade. Die Matrizen

(\begin{matrix}2^{i}l_{1} & 0 \\ ±2^{k−i−1}l_{2} & 2^{k−i}l_{2} \end{matrix}) , (\begin{matrix}2^{k−i}l_{2} & ±2^{k−i−1}l_{2} \\ 0 & 2^{i}l_{1} \end{matrix}) , (\begin{matrix}2^{k−i−1}l_{2} & 0 \\ ±2^{i}l_{1} & 2^{i+1}l_{1} \end{matrix})

und (\begin{matrix}2^{i+1}l_{1} & ±2^{i}l_{1} \\ 0 & 2^{k−i−1}l_{2} \end{matrix}) mit 0 ≤ i < k und l_{1}l_{2} = l, l_{1}, l_{2} ∈ ℕ

sind Elemente aus S′_{m}.

Wir betrachten die Wirkung dieser Matrizen auf einem Element (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ).

(u, v) (\begin{matrix}2^{i}l_{1} & 0 \\ ±2^{k−i−1}l_{2} & 2^{k−i}l_{2} \end{matrix}) = (2^{i}l_{1}u ± 2^{k−i−1}l_{2}v, 2^{k−i}l_{2}v)

Wir nutzen nun die Relationen

(u, v) + (u, v)R + (u, v)R^{2} = 0 mit R = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})
(u, v) + (u, v)S = 0 mit S = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

für (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) aus.

Die erste Relation ergibt die Identität

(2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v, 2^{k−i}l_{2}v) + (2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v)
+ (2^{k−i}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v) = 0.

Wenden wir die zweite Relation auf das dritte Element in der obigen Gleichung an, so ergibt sich

(2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v, 2^{k−i}l_{2}v) + (2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v)
− (2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, 2^{k−i}l_{2}v) = 0.

⇔ (2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v, 2^{k−i}l_{2}v) = (2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, 2^{k−i}l_{2}v)

− (2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v) = 0.

Wir haben also

\underbrace{(u, v) (\begin{matrix}2^{i}l_{1} & 0 \\ −2^{k−i−1} & 2^{k−i}l_{2} \end{matrix})}_{=:A_{1}^{−}} = \underbrace{(u, v) (\begin{matrix}2^{i}l_{1} & 0 \\ 2^{k−i−1} & 2^{k−i}l_{2} \end{matrix})}_{=:A_{1}^{+}}

− (2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v). (3.1)

Für die beiden nächsten Matrizen erhalten wir

(u, v) (\begin{matrix}2^{k−i}l_{2} & ±2^{k−i−1}l_{2} \\ 0 & 2^{i}l_{1} \end{matrix}) = (2^{k−i}l_{2}u, ±2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v).

Die erste Relation ergibt

(2^{k−i}l_{2}u, −2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v) + (2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i}l_{2}u)

+ (−2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u − 2^{i}l_{1}v) = 0

⇔ (2^{k−i}l_{2}u, −2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v) − (2^{k−i}l_{2}u, 2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v)

+ (−2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u − 2^{i}l_{1}v) = 0

⇔ (2^{k−i}l_{2}u, −2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v) = (2^{k−i}l_{2}u, 2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v)

− (−2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u − 2^{i}l_{1}v).

\underbrace{(u, v) (\begin{matrix}2^{k−i}l_{2} & −2^{k−i−1}l_{2} \\ 0 & 2^{i}l_{1} \end{matrix})}_{=:A_{2}^{−}} = \underbrace{(u, v) (\begin{matrix}2^{k−i}l_{2} & 2^{k−i−1}l_{2} \\ 0 & 2^{i}l_{1} \end{matrix})}_{=:A_{2}^{+}}

− (−2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u − 2^{i}l_{1}v) (3.2)

Für die fünfte und sechste Matrix erhalten wir

(u, v) (\begin{matrix}2^{k−i−1}l_{2} & 0 \\ ±2^{i}l_{1} & 2^{i+1}l_{1} \end{matrix}) = (2^{k−i−1}l_{2}u ± 2^{i}l_{1}v, 2^{i+1}l_{1}v).

Mit der ersten Relation gewinnen wir die Gleichung

(2^{k−i−1}l_{2}u − 2^{i}l_{1}v, 2^{i+1}l_{1}v) + (2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v)

+ (2^{i+1}l_{1}v, −2^{i}l_{1}v − 2^{k−i−1}l_{2}u) = 0 ⇔ (2^{k−i−1}l_{2}u − 2^{i}l_{1}v, 2^{i+1}l_{1}v) + (2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v)

− (2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, 2^{i+1}l_{1}v) = 0

⇔ (2^{k−i−1}l_{2}u − 2^{i}l_{1}v, 2^{i+1}l_{1}v) = (2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, 2^{i+1}l_{1}v)

− (2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v).

\underbrace{(u, v) (\begin{matrix}2^{k−i−1}l_{2} & 0 \\ −2^{i}l_{1} & 2^{i+1}l_{1} \end{matrix})}_{=:A_{3}^{−}} = \underbrace{(u, v) (\begin{matrix}2^{k−i−1}l_{2} & 0 \\ 2^{i}l_{1} & 2^{i+1}l_{1} \end{matrix})}_{=:A_{3}^{+}}

− (2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v). (3.3)

Für die beiden letzten Matrizen erhalten wir

(u, v) (\begin{matrix}2^{i+1}l_{1} & ±2^{i}l_{1} \\ 0 & 2^{k−i−1}l_{2} \end{matrix}) = (2^{i+1}l_{1}u, ±2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v).

(2^{i+1}l_{1}u, −2^{i}l_{1}u + 2^{k−i+1}l_{2}v) + (2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i+1}l_{1}u)

+ (−2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v) = 0

⇔ (2^{i+1}l_{1}u, −2^{i}l_{1}u + 2^{k−i+1}l_{2}v) − (2^{i+1}l_{1}u, 2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v)

+ (−2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v) = 0

⇔ (2^{i+1}l_{1}u, −2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v) = (2^{i+1}l_{1}u, 2^{i}l_{1}u + 2^{k−i+1}l_{2}v)

− (−2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v).

\underbrace{(u, v) (\begin{matrix}2^{i+1}l_{1} & −2^{i}l_{1} \\ 0 & 2^{k−i−1}l_{2} \end{matrix})}_{=:A_{4}^{−}} = \underbrace{(u, v) (\begin{matrix}2^{i+1}l_{1} & 2^{i}l_{1} \\ 0 & 2^{k−i−1}l_{2} \end{matrix})}_{=:A_{4}^{+}}

− (−2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v) (3.4)

Fassen wir die Gleichungen 3.1 und 3.4 bzw. 3.2 und 3.3 zusammen, so erhalten wir

A_{1}^{−} + A_{4}^{−} = A_{1}^{+} + A_{4}^{+} − (2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v)

− (−2^{i}l_{1}u + 2^{k−i−1}l_{2}v, −2^{i}l_{1}u − 2^{k−i−1}l_{2}v)

und

A_{2}^{−} + A_{3}^{−} = A_{2}^{+} + A_{3}^{+} − (−2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u − 2^{i}l_{1}v)

− (2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v, −2^{k−i−1}l_{2}u + 2^{i}l_{1}v).

Wegen der zweiten Relation verschwinden die beiden letzten Elemente in beiden Gleichungen, und wir können zusammenfassen zu

A_{1}^{−} + A_{2}^{−} + A_{3}^{−} + A_{4}^{−} = A_{1}^{+} + A_{2}^{+} + A_{3}^{+} + A_{4}^{+}.

■

13 Bemerkung: Falls k ≡ 1 (mod 2) ist, hat man im Beweis für i = \frac{k−1}{2} und l_{1} = l_{2} nur vier verschiedene Matrizen zu betrachten.

Mit dem Ergebnis von Lemma 8 genügt es, statt der Menge S′_{m} die Menge

S′′_{m} := \{(\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix})| xx′ + yy′ = m und es sei eine der folgenden Bedingungen erfüllt

• y = 0, 0 < y′ = \frac{x′}{2}

• y′ = 0, 0 < y = \frac{x}{2}\}

zu verwenden. Wie bereits zuvor gesagt, können wir Algorithmus 1 umformulieren, so daß wir als neue Ausgabe die Menge S_{m} ∪ S′′_{m} erhalten.

Algorithmus 2

Eingabe : m ∈ ℕ

Ausgabe : die Menge S_{m} ∪ S′′_{m}

1. Schleife über alle d > 0 mit d teilt m.

2. Schleife über alle b mit −\frac{d}{2} < b ⩽ \frac{d}{2}.

2.1 Sei M = (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) mit x = \frac{m}{d}, y = 0, y′ = b und x′ = d.

2.2 Man füge die Matrix M zu S_{m} ∪ S′′_{m} hinzu. 2.3 Falls y′ = 0 ist, so gehe man zurück zu 2. 2.4 Sonst setze man ε := sgn(y′) und

r̃:= \begin{cases}r & mit x′ = r|y′| + s 0 ⩽ s < |y′|, falls \frac{x′}{y′} < 0 \\ −r & mit x′ = r y′ + s 0 ⩽ s < y′ , falls \frac{x′}{y′} > 0. \end{cases}

2.5 Man setze M = (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix})(\begin{matrix}−r̃ε & ε \\ −ε & 0 \end{matrix}) ∈ S_{m} ∪ S′′_{m} und gehe zurück zu 2.2.

3.2 Berechnung des Hecke-Operators T_{p} mittels der Menge S̄_{p}  33

Für m = 4 und 5 berechnen sich die Mengen S_{m} und S′′_{m} zu

1 Beispiel

S_{4} = \{(\begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}4 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 4 \end{matrix}), (\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix}4 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 4 \end{matrix}), (\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix})\}

S′′_{4} = \{(\begin{matrix}4 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 4 \end{matrix}), (\begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix})\}

S_{5} = \{(\begin{matrix}5 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}5 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}5 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}5 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}5 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 0 \\ −2 & 5 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 5 \end{matrix}),

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 5 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 5 \end{matrix}), (\begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 2 \end{matrix})\}

3.2 Berechnung des Hecke-Operators T_{p} mittels der Menge S̄_{p}

Bei der Berechnung einer Basis des Raums der Spitzenformen zur Stufe N ist nach Kapitel 2 die Berechnung der Hecke-Operatoren T_{m} entscheidend. Wie wir gesehen haben, wird der Hecke-Operator im Fall von Gewicht 2 durch Operation gewisser Matrizen der Determinante m auf (u, v) über ℤ/Nℤ berechnet. Innerhalb des gesamten Algorithmus ist die Erzeugung der Matrizen und ihre Operation auf den Elementen aus ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) die am häufigsten auszuführende Rechnung. Den Ansatz, die auftretenden Matrizen der Determinante m einmalig vorab zu berechnen, kann man noch für kleine m vertreten. Für Primzahlen p der Größenordnung 10^{9} ist die Mächtigkeit der Menge S_{p} ungefähr (p + 1) log p (siehe Satz 12), so daß in diesem Fall ein Speicherplatzbedarf von 248 Giga-Byte notwendig wäre. Um einen effizienten Algorithmus zu erhalten, ist es von Wichtigkeit, diese beiden Teile zu beschleunigen. Da die Elemente aus ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) nur modulo der Stufe N gegeben sind, genügt es, die Matrizen, die zur Berechnung des m-ten Hecke-Operators nötig sind, auch nur modulo N zu kennen. Umgekehrt kann man fragen, wie die Konstruktion der Matrizen aus S_{m} ∪ S′′_{m} zu organisieren ist, so daß Matrizen, die modulo N zusammenfallen, direkt als solche erkannt werden? Bevor wir auf eine Antwort dieser Frage eingehen, geben wir zuvor noch eine Definition.

9 Definition Sei p eine ungerade Primzahl. Die Menge S̄_{p} besteht aus den folgenden Matrizen aus M_{2}(ℤ)

1. Betrachte alle Matrizen der Form (\begin{matrix}p & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) mit |y| < \frac{p}{2}.

2. Betrachte alle Matrizen der Form (\begin{matrix}1 & 0 \\ y & p \end{matrix}) mit |y| < \frac{p}{2}.

3. Sei s := ⌊\sqrt{p}⌋.

Für alle 2≤x≤s und für alle 0<y<x mit ggT(x,y) = 1 betrachte man die Matrizen

(\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) mit y′ := −py^{−1} (mod x) und x′ := \frac{p+yy′}{x} (y′ sei als größte negative Zahl,

welche die Kongruenz erfüllt, gewählt). Ist |y′| < x′, so gehören alle Matrizen der Gestalt

(\begin{matrix}x & y \\ y′ − kx & x′ − ky \end{matrix}), (\begin{matrix}x & −y \\ −y′ + kx & x′ − ky \end{matrix}), (\begin{matrix}x′ − ky & y′ − kx \\ y & x \end{matrix}), (\begin{matrix}x′ − ky & −y′ + kx \\ −y & x \end{matrix})

mit 0 ≤ k ≤ r und r = \begin{cases}⌊\frac{x′ + y′}{x + y} ⌋ & falls \frac{x′ + y′}{x + y} ∉ ℕ \\ \frac{x′ + y′}{x + y} − 1 & sonst \end{cases}

zu S̄_{p}. Für q ∈ ℝ bezeichne ⌊q⌋ die größte ganze Zahl n ⩽ q.

9 Lemma Sei p eine ungerade Primzahl, und bezeichne S_{p} die Menge der Matrizen der Determinante p, die den Bedingungen aus Definition 7 genügen, dann gilt

S̄_{p} = S_{p}.

Beweis:

” ⊆ ” nach Definition von S̄_{p}

” ⊇ ” Sei M = (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S_{p}. Falls M Bedingung 2 oder 3 aus Definiton 7 (siehe Seite

20) erfüllt, gehört M offensichtlich zu S̄_{p}. Erfülle M jetzt Bedingung 1 aus Definition 7, und sei −y > 0 und x ⩽ x′. Da xx′ > 0 und yy′ > 0 ⇒ x < \sqrt{p} und ggT (x, −y) = 1 ⇒ y′ ≡ py^{−1} (mod x) ⇒ M ∈ S̄_{p}.

Ist −y > 0 und x > x′, so ist ( \begin{matrix}x′ & y′ \\ −y & x \end{matrix}) ∈ S̄_{p} und damit (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S̄_{p}. Falls −y < 0

ist, so gehört aber (\begin{matrix}x & y \\ −y′ & x′ \end{matrix}) zu S̄_{p} ⇒ (\begin{matrix}x & −y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S̄_{p}.

■

Mit Definition 9 haben wir eine äquivalente Beschreibung der Menge S_{p}, die eine neue Methode zur Konstruktion aller Matrizen aus S_{p} erlaubt. Der Vorteil gegenüber Algorithmus 1 besteht im leichteren Erkennen von Matrizen, die modulo der betrachteten Stufe N zusammenfallen. Dadurch ist es jetzt möglich, die Anzahl der notwendigen Operationen von Matrizen auf Elementen (u, v) zu reduzieren. Wir beschreiben zuerst, wie man den Fall der Berechnung des Hecke-Operators T_{p} für eine Primzahl p behandelt. Aus dieser Beschreibung werden wir dann ableiten, wie man Serien von Operatoren T_{p_{1}}, T_{p_{2}}, …, T_{p_{k}} für Primzahlen p_{1} ≡ p_{2} ≡ … ≡ p_{k} (mod N) berechnen kann.

3.3 Der Algorithmus

Bevor wir den Algorithmus in seiner allgemeinen Form angeben werden, veranschaulichen wir unsere Methode an den ersten Matrizen, die nach Definition 9 auftreten.

Sei p ⩾ 11 eine Primzahl (wir fordern dies nur, damit alle unten aufgeführten Matrizen auch auftreten), N ∈ ℕ die betrachtete Stufe und (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) . Für q ∈ ℚ bezeichnen wir mit ⌊q⌋ die größte ganze Zahl n ⩽ q.

Betrachten wir zuerst die Matrizen, die unter Punkt 1 und 2 von Definition 9 aufgeführt sind. Diese Matrizen haben die Gestalt

(\begin{matrix}p & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) bzw. (\begin{matrix}1 & 0 \\ y & p \end{matrix}) mit |y| < \frac{p}{2}.

Es treten also genau p Matrizen von jedem Typ auf. Nach dem Durchlaufen der ersten N Matrizen (wir beginnen bei y = −\frac{p−1}{2}) erhält man aber modulo N wieder die gleichen Matrizen. Die Operation der obigen Matrizen auf ein Symbol (u, v) wird damit folgendermaßen berechnet: Man berechne für die beiden Folgen von Matrizen

(\begin{matrix}p & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) bzw. (\begin{matrix}1 & 0 \\ y & p \end{matrix}) mit 0 ⩽ y < N,

die wir mit M_{1} und M_{2} bezeichnen, die Operation auf (u, v). Man berechne p = qN +r mit 0 ⩽ r < N. Die Folgen M_{1} und M_{2} werden genau q-mal durchlaufen. Dann ist

∑_{y=− \frac{p−1}{2}}^{\frac{p−1}{2}}(u, v)(\begin{matrix}p & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) + (u, v)(\begin{matrix}1 & 0 \\ y & p \end{matrix}) = q( ∑_{M∈M_{1}∪M_{2}}(u, v)M)

+ ∑_{y=− \frac{p−1}{2} +qN}^{\frac{p−1}{2}}(u, v)(\begin{matrix}p & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) + (u, v)(\begin{matrix}1 & 0 \\ y & p \end{matrix}).

Die gleiche Vorgehensweise werden wir jetzt auf die Matrizen anwenden, die unter Punkt 3 von Definition 9 auftreten. Der Notation von Definition 9 folgend betrachten wir zuerst den Fall

x = 2, dann ist y = 1, y′ = −p (mod x) und x′ = \frac{p−1}{2}. Neben (\begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & \frac{p−1}{2} \end{matrix}) hat man aber noch

(\begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & \frac{p−1}{2} \end{matrix}), (\begin{matrix}\frac{p−1}{2} & −1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) und ( \begin{matrix}\frac{p−1}{2} & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix})

zu betrachten und man muß für vier verschiedene Folgen von Matrizen der Länge N die Operation auf einem Symbol (u, v) berechnen. Die Anzahl aller auftretenden Matrizen je Matrixtyp ist ⌊\frac{p−3}{6}⌋ + 1 (die Bezeichnung Matrixtyp bezieht sich auf einen der jeweiligen vier Fälle). Um zu ermitteln, wie oft jede der vier Folgen auftritt, berechnet man wieder ⌊\frac{p−3}{6}⌋ + 1 = qN + r mit 0 ⩽ r < N. Für die verbleibenden 4r Matrizen muß dann noch die Operation auf (u, v) berechnet werden.

Wenden wir uns jetzt dem Fall x = 3 zu. Jetzt werden die Matrizen vom Typ

(\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & \frac{p−1}{3} \end{matrix}) und (\begin{matrix}3 & 2 \\ −2 & \frac{p−4}{3} \end{matrix}) bzw. (\begin{matrix}3 & 1 \\ −2 & \frac{p−2}{3} \end{matrix}) und (\begin{matrix}3 & 2 \\ −1 & \frac{p−2}{3} \end{matrix})

betrachtet. Die ersten beiden Matrizentypen treten auf, falls p ≡ 1 (mod 3) ist, die beiden anderen, falls p ≡ 2 (mod 3) ist. Wie im vorangegangenen Fall besteht wieder die Aufgabe, die Anzahl der auftretenden Matrizen zu bestimmen. Die Anzahl kann wieder mit Definition 9 angegeben werden. Danach muß man wieder bestimmen, wie oft eine vollständige Matrixfolge auftritt. Im Unterschied zum Fall x = 2, hat man jetzt acht statt vier verschiedene Matrixfolgen zu berechnen.

Schon an diesen ersten Schritten innerhalb des Algorithmus wird deutlich, daß mit größer werdendem x und damit verbundenem Ansteigen der verschiedenen Matrixfolgen, der zu leistende Rechenaufwand anwächst. Offensichtlich nimmt die Anzahl der auftretenden Matrizen bei festem x und größer werdendem y rasch ab, so daß man in der Situation ist, daß die Anzahl der Matrizen kleiner als N ist. Die Berechnung der vollständigen Matrixfolgen scheint dann für ein festes Paar (x, y) ∈ ℤ^{2} nutzlos zu sein. Dies stimmt aber nicht, wenn man beachtet, daß für ein Paar (x̃, ỹ) ∈ ℤ^{2} mit ggT (x̃, ỹ) = 1, x ≡ x̃ (mod N) und y ≡ ỹ (mod N) die gleichen Matrixfolgen in anderer Reihenfolge durchlaufen werden. Dies bedeutet, daß man nach dem Durchlaufen aller Paare (x̃, ỹ) ∈ ℤ^{2} , die den Bedingungen aus Definition 9 genügen, wieder vollständige Matrixfolgen aufgetreten sind, wenn man die entsprechenden Teilfolgen aufsummiert.

Der vollständige Algorithmus zur Berechnung des Hecke-Operators T_{p} im Fall von Gewicht 2, p Primzahl, läßt sich dann in folgender Form angeben

Algorithmus 3

Eingabe : Stufe N, Primzahl p > 2 , (u, v) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ)

Ausgabe : ∑_{M∈S_{p}}(u, v)M

1. Betrachte zuerst die Matrizen der Form

(\begin{matrix}p & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) und (\begin{matrix}1 & 0 \\ y & p \end{matrix}) mit |y| < \frac{p}{2}.

Berechne p = qN + r mit 0 ⩽ r < N und

(u, v)(\begin{matrix}p & \frac{p−1}{2} − k \\ 0 & 1 \end{matrix}) und (u, v)(\begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{p−1}{2} − k & p \end{matrix}) mit 0 ⩽ k < N.

Speichere das Resultat ab und berücksichtige die verbleibenden r Matrizen.

2. Betrachte die Matrizen

(\begin{matrix}2 & 1 \\ −1 − 2k & \frac{p−1}{2} − k \end{matrix}), (\begin{matrix}2 & −1 \\ 1 + 2k & \frac{p−1}{2} − k \end{matrix}),

(\begin{matrix}\frac{p−1}{2} − k & −1 − 2k \\ 1 & 2 \end{matrix}) und (\begin{matrix}\frac{p−1}{2} − k & 1 + 2k \\ −1 & 2 \end{matrix}) für 0 ⩽ k < N

und berechne ihre Operation auf dem Symbol (u, v). Berechne die Anzahl der Matrizen über ℤ mit Defintion 9 und damit die Anzahl der vollständigen Matrixfolgen und Restmatrizen.

3. Gleiches Vorgehen wie unter Punkt 2 für x = 3 und y = 1 bzw. x = 3 und y = 2.

4. Durchlaufe ein geeignetes Vertretersystems von (ℤ/Nℤ)^{2}.

Für alle x̃ mit : 4 ⩽ x̃ < N + 4 Für alle ỹ mit : 1 ⩽ ỹ ⩽ N

5. Durchlaufe alle x mit : x̃ ⩽ x ⩽ ⌊\sqrt{p}⌋ und x ≡ x̃ (mod N)

Durchlaufe alle y mit : 1 ⩽ y < x und y ≡ ỹ (mod N) Ist (x, y) das erste Paar mit ggT (x, y) = 1, so setze man x̂ := x und ŷ:= y und berechne zu (x̂, ŷ) die Matrix S(x̂, ŷ) ∈ S_{p} :

S(x̂, ŷ) = (\begin{matrix}x̂ & ŷ \\ ŷ′ & x̂′ \end{matrix}) mit ŷ′ ≡ −pŷ^{−1} (mod N) und x̂′ = \frac{p + ŷŷ′}{x̂}

Dabei ist ŷ′ als größte negative Zahl gewählt, welche die obige Kongruenz erfüllt.

6. Ist ggT (x, y) = 1, aber (x, y) nicht das erste, gefundene Paar, so berechne zu (x, y) wie unter 5 die Matrix M(x, y) ∈ S_{p}. Bestimme k mit 0 ⩽ k < N so, daß

M(x, y) ≡ (\begin{matrix}x̂ & ŷ \\ ŷ′ − kx̂ & x̂′ − kŷ \end{matrix}) (mod N) gilt.

Bestimme die Anzahl aller Matrizen, die nach M(x, y) gemäß Definition 9 noch folgen. Man beachte, daß man noch drei weitere Matrixfolgen zu berücksichtigen hat. Die Anzahl der auftretenden Matrizen relativ zu S(x, y) wird in Vektoren V_{1} bis V_{4} (je ein Vektor pro Matrixfolge) der Länge N abgespeichert. Das heißt: im Vektor V_{i} steht an der Stelle j, wie oft bis jetzt die j-te Matrix der i-ten Matrixfolge aufgetreten ist.

7. Sind für festes x̃ und ỹ die Schleifen für x und y durchlaufen, so berechne man für die Matrixfolge bzgl. S(x̂, ŷ) und die drei anderen zugehörigen Matrixfolgen die Anzahl der Matrizen, die auftreten und addiere diese Werte zu V_{1} bis V_{4}.

8. Berechne für die 4N Matrizen

(\begin{matrix}x̂ & ŷ \\ ŷ′ − kx̂ & x̂′ − kŷ \end{matrix}), (\begin{matrix}x̂ & −ŷ \\ −ŷ′ + kx̂ & x̂′ − kŷ \end{matrix}),
(\begin{matrix}x̂′ − kŷ & ŷ′ − kx̂ \\ ŷ & x̂ \end{matrix}), (\begin{matrix}x̂′ − kŷ & −ŷ′ + kx̂ \\ −ŷ & x̂ \end{matrix}) für 0 ⩽ k < N

die Operation auf dem Element (u, v). Ist das Bild unter der Operation definiert, so kann man mittels der Vektoren V_{i}(1 ⩽ i ⩽ 4) ablesen, wie oft das Bild unter den bis jetzt berechneten Matrizen aus S_{p} auftritt.

9. Gehe zurück zu 4.

Das obige Verfahren zur Berechnung eines Hecke-Operators T_{p} für eine Primzahl p kann offensichtlich auf die Berechnung mehrerer Hecke-Operatoren T_{p_{1}}, T_{p_{2}}, …, T_{p_{k}} mit p_{1} ≡ p_{2} ≡ … ≡ p_{k} (mod N) übertragen werden.

Wie oben beschrieben, berechnet man zuerst für die Matrizen, die unter Punkt 1 und 2 der Definition 9 auftreten, die beiden Matrixfolgen. Danach bestimmt man p_{i} = q_{i}N + r mit 0 ⩽ r < N für 1 ⩽ i ⩽ k. Man weiß jetzt wieder, wieviele vollständige Matrixfolgen für jede Primzahl p_{i} auftreten und muß lediglich den jeweils verbleibenden r Matrizen die richtigen Matrizen modulo N zuordnen. Statt der ursprünglich notwendigen 2p_{i} Operationen auf einem Element (u, v) für jede Primzahl p_{i}, muß man jetzt nur noch einmal vorab 2N Operationen auf dem Symbol (u, v) durchführen. Zusätzlich muß dabei nur noch für jede Primzahl p_{i} die Anzahl der vollständigen Matrizenfolgen und die Länge der Restfolge berechnet werden.

Leider läßt sich für die Matrizen, die unter Punkt 3 der Definition 9 auftreten, das Verfahren nicht mehr so einfach fassen, da jetzt neben der Reduktion modulo N auch noch die Reduktion modulo x auftritt. Sei p_{1} < p_{2} < … < p_{k}, dann wird die Länge der Schleife, die unter Punkt 3 der Definition 9 durchlaufen werden muß, durch p_{k} bestimmt. Beginnen wir wieder mit x = 2. Wir haben bereits gesehen, welche Matrizentypen dann auftreten. Da \frac{p_{i}−1}{2} ≡ \frac{p_{j}−1}{2} (mod N) ⟺ \frac{p_{i}−p_{j}}{N} ≡ 0 (mod 2), müssen wir, falls die Stufe N gerade ist, 8 statt 4 Matrixfolgen konstruieren. In diesem Fall hat man neben der Bestimmung der Häufigkeit einer Matrixfolge noch zusätzlich zu entscheiden, welcher Rest modulo N für \frac{p−1}{2} auftritt. Um den Fall x = 3 zu behandeln, unterscheiden wir 3 |̸N bzw. 3|N. Im ersten Fall haben wir die wie oben beschriebenen Matrixtypen abzuarbeiten. Wird jedoch N von 3 geteilt, so gibt es 12 verschiedene Matrizen, die zu Beginn der Matrixfolge auftreten können. Sei p ∈ {p_{1}, …, p_{k}} und p ≡ 1 (mod N). Bezeichnen wir mit p̄ den kleinsten positiven Rest modulo N von \frac{p−1}{3} und mit \overline{\overline{p}} den kleinsten postiven Rest von \frac{p−4}{3}(1 ⩽ i ⩽ k), so gibt es in diesem Fall die folgenden sechs möglichen Startmatrizen für p

(\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & p̄ \end{matrix}), (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & p̄ + \frac{N}{3} \end{matrix} ), (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & p̄ + 2\frac{N}{3} \end{matrix} ) bzw. (\begin{matrix}3 & 2 \\ −2 & \overline{\overline{p}} \end{matrix}), (\begin{matrix}3 & 2 \\ −2 & \overline{\overline{p}} + \frac{N}{3} \end{matrix} ), (\begin{matrix}3 & 2 \\ −2 & \overline{\overline{p}} + 2\frac{N}{3} \end{matrix} ).

Man bestimmt jetzt für die Primzahl p_{k} und die Werte x = 3 und y = 1 bzw. x = 3 und y = 2 die zugehörige Startmatrix und berechnet für eine komplette Matrixfolge die Operation auf dem Symbol (u, v). Für alle weiteren Primzahlen bestimmt man die jeweilige Startmatrix (wie oben angegeben) und damit ihre Position innerhalb der Matrixfolge von p_{k}. Hat man die Anzahl der auftretenden Matrizen bestimmt, so kann man die für p_{k} berechneten Resultate verwenden. In Algorithmus 3 muß in Schritt 4 noch eine Schleife, die über alle betrachteten Primzahlen p_{i}(1 ⩽ i ⩽ k) läuft, hinzugefügt werden. Man hat also weiterhin wie im Fall einer Primzahl eine Matrix S (vgl. Punkt 5 in Algorithmus 3), aber für jede Primzahl p_{i} je vier Vektoren V_{j,p_{i}}(1 ⩽ j ⩽ 4).

Um die Vorgehensweise zu veranschaulichen, geben wir ein Beispiel

2 Beispiel (i) Es sei N = 150, und wir betrachten die Primzahlen p_{1} = 157, p_{2} = 307, p_{3} = 457 und p_{4} = 607. Dann ist p_{1} ≡ p_{2} ≡ p_{3} ≡ p_{4} ≡ 7 (mod N). Wir wollen für diese vier Primzahlen die auftretenden Matrizen für x = 3 und y = 1 bestimmen. Die Startmatrix für p_{4} ist

S_{4} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 202 \end{matrix}) ≡ (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 52 \end{matrix}) (mod N).

Weitere Startmatrizen, die möglicherweise auftreten können, sind

(\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix}) und (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 102 \end{matrix}).

Für p_{4} berechnet man die Operation der Matrizen

(\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 − 3k & 202 − k \end{matrix}) 0 ⩽ k < N (∗)

auf dem vorgegebenen Symbol (u, v). Die jeweiligen Startmatrizen zu p_{1}, p_{2} und p_{3} sind

S_{1} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 52 \end{matrix}) , S_{2} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 102 \end{matrix}) , S_{3} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 152 \end{matrix}).

Somit tritt S_{2} in der Folge zu p_{4} an Position 100 auf, S_{3} an Position 50 und S_{1} am Anfang der Matrixfolge. Berechnet man die Anzahl der auftretenden Matrizen für p_{1}, p_{2}, p_{3} und p_{4}, so kennt man unter Verwendung von (∗) die Wirkung dieser Matrizen bzgl. jeder Primzahl p_{i} (1 ⩽ i ⩽ 4) auf dem Symbol (u, v).

(ii) Es sei N = 176, und wir betrachten die Primzahlen p_{1} = 181, p_{2} = 709, p_{3} = 1061 und p_{4} = 1237. Die Startmatrix für p_{4} und x = 3 und y = 1 ist

S_{4} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 412 \end{matrix}) ≡ (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 60 \end{matrix}) (mod N).

Die Startmatrizen von p_{1}, p_{2} und p_{3} sind

S_{1} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 60 \end{matrix}) , S_{2} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 236 \end{matrix}) , S_{3} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ −2 & 353 \end{matrix}).

Damit haben p_{1} und p_{2} modulo N die gleiche Startmatrix wie S_{4} und die Matrix S_{3} tritt in der Matrixfolge bzgl. p_{4} an Position 60 auf. Es sei daran erinnert, daß man in Beispiel

(i) und (ii) neben der Matrix (\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) auch noch die Matrizen (\begin{matrix}x & −y \\ −y′ & x′ \end{matrix}), (\begin{matrix}x′ & y′ \\ y & x \end{matrix})

und ( \begin{matrix}x′ & −y′ \\ −y & x \end{matrix}) zu berücksichtigen hat.

3.4 Laufzeitverhalten der Algorithmen

Wir wollen an dieser Stelle das Laufzeitverhalten unserer Methode zur Berechnung von Hecke-Operatoren analysieren und mit dem der direkten Berechnung vergleichen.

Betrachten wir eine feste Stufe N und eine Primzahl p . In Abschnitt 3.3 haben wir gesehen, daß man zur Bestimmung von T_{p} in einer äußeren Schleife ein spezielles Restsystem R_{N} von (ℤ/Nℤ)^{2} durchlaufen muß. Für ein festes Paar (x, y) ∈ R_{N} bestimmt man alle Paare

(x̃, ỹ) ≡ (x, y) (mod N) {mit x ⩽ x̃ ⩽ ⌊\sqrt{p}⌋, y ⩽ ỹ ⩽ x̃ \atop und ggT (x̃, ỹ) = 1.}

Die Anzahl der ggT - Berechnungen, die für einen Vertreter aus R_{N} ausgeführt werden müssen, kann man dann nach oben abschätzen durch

∑_{k=1}^{⌊ \frac{⌊\sqrt{p}⌋−x}{N} ⌋+1} k = \frac{1}{2} (⌊\frac{⌊\sqrt{p}⌋ − x}{N}⌋ + 1) (⌊\frac{⌊\sqrt{p}⌋ − x}{N}⌋ + 2) .

Die Anzahl der Paare (x, y) ∈ R_{N}, die durchlaufen werden müssen, ist

N^{2} − |{(x, y) ∈ R_{N}| ggT (ggT (N, x), ggT (N, y)) ≠ 1}| ⩽ N^{2} − 1.

Die Gesamtanzahl aller ggT - Berechnungen, die ausgeführt werden müssen, kann dann nach oben abgeschätzt werden durch

\frac{1}{2}(N^{2} − 1) (⌊\frac{⌊\sqrt{p}⌋}{N}⌋ + 1) (⌊\frac{⌊\sqrt{p}⌋}{N}⌋ + 2) .

Nach dem Abarbeiten der beiden inneren Schleifen in Algorithmus 3 muß man jetzt für vier Matrixfolgen der Länge N die Operation auf dem vorgegebenen Symbol (u, v) berechnen. Wie wir oben angegeben haben, passiert dies höchstens (N^{2} − 1) - mal. Die Gesamtzahl aller Operationen von Matrizen auf einem Symbol (u, v) wird dann beschränkt durch

4N(N^{2} − 1).

Wie oft muß Punkt 6 von Algorithmus 3 durchlaufen werden? Die Wahrscheinlichkeit, daß zwei zufällig gewählte, natürliche Zahlen n und m zueinander relativ prim sind, ist ungefähr 0.6079. Bezeichnen wir mit ggT_{anz} die vorangehend abgeschätzte Anzahl aller ggT - Berechnungen, so muß Punkt 6 ⌊ggT_{anz} · 0.6079⌋ - mal ausgeführt werden.

Verstehen wir unter einer Operation

• die Anwendung einer Matrix der Determinante p auf ein Element (u, v)

• die Berechnung des ggT zweier natürlicher Zahlen

• die Berechnung unter Punkt 6 in Algorithmus 3,

so ist die Gesamtzahl Op_{anz} aller notwendigen Operationen zur Bestimmung von T_{p} abschätzbar durch

Op_{anz} ⩽ c(N^{3} + p) mit einer Konstanten c > 0.

Vergleichen wir jetzt mit dem ursprünglichen Verfahren zur Berechnung von T_{p}. Nach Merel (vgl. Kapitel 2) kann man die Ordnung der Menge S_{p} abschätzen durch

\frac{12 log 2}{π^{2}}σ(p) log p < (p + 1) log p.

Berechnet man den Hecke-Operator T_{p} mittels Algorithmus 1, so wären somit (p + 1) log p Operationen von Matrizen der Determinante p auf Elementen aus ℙ^{1}(ℤ/Nℤ) notwendig. Zählen wir die Anzahl der elementaren Operationen, die nötig sind, um in Algorithmus 1 ein neues Element aus S_{p} zu konstruieren, als eine Operation, so können wir die Anzahl der nötigen Operationen zur Konstruktion von S_{p} durch zweimal die Ordnung von S_{p} abschätzen.

Ist p hinreichend groß gegenüber N, so können wir zusammenfassend sagen, daß wir durch Algorithmus 3 die Anzahl der nötigen Operationen von Matrizen der Determinante p auf Elementen (u, v) von (p + 1) log p auf 4N(N^{2} − 1) Operationen reduzieren konnten. Darüber hinaus ist zu beachten, daß die Operation auf den Elementen (u, v) mit Algorithmus 3 mit weniger elementaren Operationen ausgeführt werden kann als mit Algorithmus 1.

Der große Vorzug von Algorithmus 3 gegenüber Algorithmus 1 liegt in der effizienten Berechnung von Serien von Hecke-Operatoren T_{p_{1}}, …, T_{p_{k}} zur Stufe N für Primzahlen p_{1}, p_{2}, …, p_{k} mit

p_{1} ≡ p_{2} ≡ … ≡ p_{k} (mod N) und p_{1} < p_{2} < … < p_{k}.

Für Primzahlen p_{i} und p_{j} wissen wir, daß die Matrizen aus S_{p_{i}} bzw. S_{p_{j}} modulo der Stufe N kongruent sind. Bei Konstruktion nach Merel können wir aber die Reduktion der Matrizen modulo der Stufe erst vornehmen, wenn wir alle Matrizen aus S_{p_{i}} bzw. S_{p_{j}} konstruiert haben. Damit beträgt der Aufwand für die Berechnung von k Hecke-Operatoren mit Algorithmus 1 2 · k · p_{k}. Mit unserem vorgeschlagenen Verfahren haben wir bereits bei der Berechnung eines Hecke-Operators T_{p} gesehen, daß wir allein durch die Kenntnis spezieller Elemente aus S_{p} das Reduktionsverhalten der gesamten Menge S_{p} bestimmen können. Berechnen wir jetzt mehrere Hecke-Operatoren simultan, so bleibt das zu betrachtende Restsystem R_{N} unverändert. Die Anzahl der nötigen ggT -Berechnungen wird jetzt durch die größte Primzahl p_{k} bestimmt. Darüber hinaus muß nur für p_{k} die Operation auf dem Element (u, v) berechnet werden. Der Rechenaufwand bis zu diesem Punkt ist also der gleiche wie für die Berechnung eines Hecke-Operators. Die einzige Stelle in unserem Algorithmus, an der nun mehr getan werden muß, ist Punkt 6 in Algorithmus 3. Hier sind nun, entsprechend der Anzahl der betrachteten Hecke-Operatoren, k-mal soviele Rechenoperationen auszuführen.

Die obigen Beobachtungen wollen wir an folgenden Tabellen mit Laufzeiten zur Berechnung der Matrix des Hecke-Operators T_{p} mit den verschiedenen Algorithmen illustrieren.

p

g  10^{6}  10^{7}  10^{8}  10^{9}

00:01:15  00:14:30  02:46:30  1 Tag 07:11:12

3  00:00:03  00:00:26  00:04:24  00:47:08

00:02:36  00:30:39  05:43:16 2 Tage 17:06:53

5  00:00:13  00:00:34  00:04:16  00:43:27

00:03:21  00:38:51  07:22:04 3 Tage 12:08:56

9  00:00:55  00:01:18  00:05:21  00:46:58

00:04:34  00:52:51  09:59:34 4 Tage 16:45:43

12  00:04:46  00:05:08  00:09:12  00:52:05

00:06:32  01:15:36  14:21:49 6 Tage 17:19:25

17  00:05:12  00:05:35  00:09:39  00:52:30

00:10:06  01:57:53  21:52:35 10 Tage 09:23:27

25  00:10:38  00:10:59  00:14:41  00:53:36

00:14:07  02:43:33  31:04:07 14 Tage 12:34:27

34  01:16:12  01:16:53  01:20:49  02:03:53

Laufzeiten für einen Hecke-Operator T_{p}

p

g  10^{6}  10^{7}  10^{8}  10^{9}
01:15:00  24:10:00 11 Tage 13:30:00  129 Tage 22:40:00
3  00:02:52  00:16:18  02:30:55  24:56:53
00:00:02  00:00:09  00:01:30  00:14:58
04:12:00 2 Tage 03:05:00 23 Tage 20:06:40  271 Tage 18:03:20
5  00:17:44  00:31:54  02:50:31  25:55:35
00:00:10  00:00:19  00:01:42  00:15:33
05:35:00 2 Tage 16:45:00 30 Tage 16:46:40  350 Tage 14:53:20
9  01:18:36  01:33:56  03:52:23  1 Tag 3:09:42
00:00:46  00:00:56  00:02:19  00:16:17
07:36:40 3 Tage 16:05:00 41 Tage 15:16:40 1 Jahr 104 Tage 20:11:40
12  06:05:32  06:16:51  08:39:20  1 Tag 08:32:28
00:03:39  00:03:46  00:05:11  00:19:31
10:53:20 5 Tage 06:00:00 59 Tage 20:21:40  1 Jahr 307 Tage 4:21:40
17  09:24:10  09:00:26  11:22:22  1 Tag 11:48:23
00:05:38  00:05:24  00:06:49  00:21:29
16:50:00 8 Tage 04:28:20 91 Tage 03:38:20 2 Jahre 309 Tage 03:05:00
25 1 Tag 02:02:18  1 Tag 02:19:56  1 Tag 05:11:24  2 Tage 04:37:15
00:15:47  00:15:47  00:17:30  00:31:34
23:31:40 11 Tage 08:35:00 129 Tage 10:51:40 3 Jahre 357 Tage 09:25:00
34  7 Tage 7:09:28 8 Tage 03:02:00  7 Tage 14:43:20  9 Tage 02:11:15
01:45:05  01:57:01  01:49:38  02:10:54

Laufzeiten für 100 Hecke-Operatoren T_{p}

Die Tabellen sind wie folgt zu lesen: Die Zeitangaben sind in der Form Stunden:Minuten: Sekunden gegeben. Die erste Tabelle gibt an, wie lange die Berechnung der Matrix des Hecke-Operators T_{p} für die kleinste Primzahl größer als 10^{i} (6 ⩽ i ⩽ 9) jeweils dauert. Die zweite Tabelle gibt an, wie lange die Bestimmung der Matrix für Hecke-Operatoren T_{p_{1}}, … T_{p_{100}}

44  3.5 Zur Auswahl eines Elements (u, v) für S_{k}(Γ_{0}(N))

benötigt, wenn die Primzahlen p_{1}, … p_{100} in der gleichen Kongruenzklasse modulo der betrachteten Stufe liegen und p_{1} die kleinste Primzahl innerhalb dieser Progression ist, die größer als 10^{i} ist. Als Beispiele wurden die modularen Kurven X_{0}(41)(g = 3), X_{0}(63)(g = 5), X_{0}(95)(g = 9), X_{0}(149)(g = 12), X_{0}(148)(g = 17), X_{0}(168)(g = 25) und X_{0}(284)(g = 34) gewählt. Dabei bezeichnet g jeweils das Geschlecht der modularen Kurve. Jede Zeile der Tabellen gibt an, wie lange die Laufzeit bei festem Geschlecht für die jeweils betrachteten Primzahlen beträgt. Die erste Zeile gibt jeweils die Zeiten für Algorithmus 1 an, die zweite Zeile bzw. die zweite und dritte Zeile jeweils die Zeiten für Algorithmus 3. Die angegebenen Laufzeiten in der zweiten Tabelle für Algorithmus 1 wurden nicht durch die Anwendung des entsprechenden Programms bestimmt, sondern aus den Ergebnissen für die Bestimmung der Matrix eines Hecke-Operators hochgerechnet. Zusätzlich wird in der zweiten Tabelle für Algorithmus 3 neben der Gesamtlaufzeit noch die durchschnittliche Laufzeit für die Berechnung einen Hecke-Operator angegeben.

Die Tabellen belegen die voran gemachten theoretischen Überlegungen. Je größer der Unterschied zwischen der betrachteten Stufe N und der Primzahl p ist, um so schneller ist unser Algorithmus gegenüber dem ursprünglichen Verfahren. Die Beschleunigung nimmt zu, wenn man Serien von Hecke-Operatoren gleichzeitig berechnet. Unsere Methode verliert aber an Geschwindigkeit, sobald die Primzahl p klein ist im Verhältnis zu N (siehe die beiden letzten Zeilen in der ersten Tabelle). Dies zeigt aber auch auf, wo wir unseren Algorithmus sinnvoll einsetzen können. Bei der Bestimmung einer Basis des Raum der Spitzenformen S_{2}(Γ_{0}(N)) ist die Berechnung von Hecke-Operatoren für Primzahlen p notwendig, die relativ klein sind gegenüber der Stufe N, so daß man in dieser Situation auf den ursprünglichen Algorithmus zurückgreifen sollte. Kennt man jedoch eine Basis des Raums der Spitzenformen und ist dann an vielen Fourier-Koeffizienten einer speziellen Form dieses Raumes oder aller Formen interessiert, so ist in diesem Fall der Einsatz unseres Verfahrens angebracht.

Die Beschränkung auf Primzahlen der Größe 10^{9} ergibt sich durch die Wortlänge von 32 Bit, die der Rechner zur Verfügung stellt. Unter Verwendung von Langzahl-Arithmetik ist es ohne weiteres möglich, den Algorithmus für größere Primzahlen anzuwenden.

Darüber hinaus ist anzumerken, daß sich der vorgestellte Algorithmus leicht auf ein verteiltes System von Rechnern übertragen läßt. So ist es naheliegend, die unter Punkt 4 in Algorithmus 3 zu behandelnden Paare aus (ℤ/Nℤ)^{2} auf einzelne Prozessoren zu verteilen. Auf diese Weise führt jeder Prozessor für einen Teil des Vertretersystems von (ℤ/Nℤ)^{2} jeweils die anfallenden Rechnungen aus. Da für jedes Paar aus (ℤ/Nℤ)^{2} die Anzahl der auftretenden Matrizen etwa gleich ist, sind die an der Rechnung beteiligten Prozessoren auch gleich ausgelastet.

3.5 Zur Auswahl eines Elements (u, v) für S_{k}(Γ_{0}(N))

Bezeichnen wir mit B eine Basis des Raums S_{2}(Γ_{0}(N)). In Kapitel 2 haben wir gesehen, daß die Auswahl nur eines Elements (u, v) zur vollständigen Bestimmung von B nicht ausreichen muß. Je mehr Elemente (u, v) benötigt werden, um so größer ist der Rechenaufwand. Ist man nur an der Bestimmung einer Basis interessiert, so reicht es aus, alle möglichen Kandidaten durchzuprobieren, bis man genügend viele, linear unabhängige Spitzenformen gefunden hat. Ist man jedoch an den einzelnen q-Entwicklungen bis zu einem großen Index I interessiert, so ist es ratsam, in einem Vorlauf die Elemente zu bestimmen, die bereits große Unterräume von S_{2}(Γ_{0}(N)) liefern. Bei diesen Vorläufen müssen jedoch nicht alle in Frage kommenden

3.5 Zur Auswahl eines Elements (u, v) für S_{k}(Γ_{0}(N))  45

Elemente untersucht werden, wenn man folgendes beachtet • Betrachten wir (1, u), dann gilt für (1, −u) : Sei (\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S_{m}, dann gilt

(1, u)(\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) = (x + uy′, y + ux′) und (1, −u)(\begin{matrix}x & −y \\ −y′ & x′ \end{matrix}) = (x + uy′, −y − ux′).

Da aber

(a, b) + (a, b)(\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (a, b) + (b, −a) = 0 für (a, b) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ)

und

(a, b) + (a, b)(\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (a, b) + (−a, b) = 0 für (a, b) ∈ ℙ^{1}(ℤ/Nℤ)

ist, liefern (1, u) und (1, −u) die gleichen Fourier-Reihen.

• Für (1, u^{k}) und k ∈ ℕ sei die Ordnung von u modulo N gleich n. Sei (\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S_{m},

dann gilt

(1, u^{k})(\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) = (x + u^{k}y′, y + u^{k}x′) ∼ (u^{n−k}x + y′, u^{n−k}y + x′)

und

(1, u^{n−k})(\begin{matrix}x′ & y′ \\ y & x \end{matrix}) = (x′ + u^{n−k}y, y′ + u^{n−k}x)

⇒(1, u^{k}) und (1, u^{n−k}) liefern die gleichen Fourier-Reihen.

• Für (1, u) mit u^{2} ≡ 1 (mod N) gilt für (\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) ∈ S_{m}

(1, u)(\begin{matrix}x & y \\ y′ & x′ \end{matrix}) = (x + uy′, y + ux′) ∼ (ux + y′, uy + x′)

∼ (uy + x′, ux + y′) = (1, u)(\begin{matrix}x′ & y′ \\ y & x \end{matrix}).

Dies bedeutet aber, daß man zur Berechnung des Hecke-Operators T_{m} nur die Hälfte der Matrizen aus S_{m} betrachten muß.

46  3.5 Zur Auswahl eines Elements (u, v) für S_{k}(Γ_{0}(N))

Anwendungen

Mit den in Kapitel 2 und 3 gewonnenen Methoden haben wir einen Algorithmus zur Konstruktion einer Basis für den Raum der Spitzenformen gefunden. Die im vorangegangenen Kapitel gemachten Modifikationen bezüglich der Berechnung des Hecke-Operators T_{p} erlauben dessen Bestimmung für Primzahlen der Größenordnung 10^{9}. Damit sind wir in der Lage, auch noch in diesem Fall das zugehörige charakteristische Polynom von T_{p} auszurechnen. Diese Tatsache haben wir erfolgreich zur Bestimmung der Klassenzahl von Faktoren der Jacobischen J_{0}(N) angewendet, die wir im ersten Teil besprechen wollen.

Im zweiten Abschnitt wollen wir diskutieren, wie man bei Kenntnis einer Basis des Raums der Spitzenformen vom Gewicht 2 und Stufe 16N eine Basis des Raums der Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} und Stufe 16N bestimmen kann. Eingehen werden wir auch auf die Konstruktion von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} mit Hilfe von ternären quadratischen Formen und die Konstruktion von Spitzenformen mittels zweidimensionaler Galoisdarstellungen vom Typ S_{4}. Alle drei Verfahren werden wir miteinander vergleichen.

4.1 Bestimmung der L-Reihe von Faktoren der Jacobischen J_{0}(N)

Aus Sicht der Kryptographie ist man an Gruppen interessiert, in denen die Potenzierung von Elementen sehr einfach und schnell ausgeführt werden kann, aber die Umkehrfunktion, das Bilden des diskreten Logarithmus, um Klassen aufwendiger ist. Jacobische Variatäten J_{C} von Kurven C bieten einen möglichen Zugang zu solchen Gruppen.

Sei 𝔽_{p} ein endlicher Körper, dann ist die Divisorklassengruppe P ic^{0}(C) der Divisorenklassen vom Grad 0 einer Kurve C isomorph zur Gruppe der 𝔽_{p} -rationalen Punkte der Jacobischen J_{C} von C. Ein erster Test, um zu entscheiden, ob P ic^{0}(C) kryptographisch geeignet ist, ist die Berechnung der Ordnung der Divisorklassengruppe. Hat die betrachtete Kurve C das Geschlecht g, so müßte man hierzu die Anzahl der Punkte von C über den endlichen Körpern 𝔽_{p},𝔽_{p^{2}} bis 𝔽_{p^{g}} bestimmen, was für hinreichend große Ordnung des Körpers 𝔽_{p} bzw. großes Geschlecht g nicht mehr in sinnvoller Zeit berechnet werden kann. Kennt man jedoch die L-Reihe L_{C}(t) von C, so kann man durch Auswertung von L_{C}(t) an der Stelle 1 die Ordnung von P ic^{0}(C) bestimmen.

48  4.1 Bestimmung der L-Reihe von Faktoren der Jacobischen J_{0}(N)

Zur Kongruenzuntergruppe Γ_{0}(N) betrachten wir die modulare Kurve X_{0}(N) vom Geschlecht g. Für eine Primzahl p sei χ_{T_{p}}(t) das charakteristische Polynom zum Hecke-Operator T_{p}. Seien e_{1}, …, e_{g} die Eigenwerte von χ_{T_{p}}(t), dann ist das charakteristische Polynom χ_{π_{p}}(t) des Frobenius-Endomorphismus π_{p} definiert durch

χ_{π_{p}}(t) = ∏_{i=1}^{g}(1 − e_{i} t + p t^{2}),

und es ist 1 − e_{i} t + p t^{2} = (1 − α_{i} t)(1 − α′_{i} t) mit \overline{α_{i}} = α′_{i} für 1 ⩽ i ⩽ g. Es gilt

14 Satz Sei χ_{π_{p}}(t) = 1 + a_{1} t + a_{2} t^{2} + … a_{2g} t^{2g} mit den Nullstellen \{α_{1}, …, α_{g}, \overline{α_{1}}, …, \overline{α_{g}}\}, und sei g das Geschlecht von X_{0}(N), dann gilt

(a)

|P ic^{0}(X_{0}(N))| = χ_{π_{p}}(1)

(b)

|X_{0}(N)(𝔽_{p^{m}})| = p^{m} + 1 − ∑_{i=1}^{g}(α_{i}^{−m} + α′_{i}^{−m})

(c) Sei S_{m} = |X_{0}(N)(𝔽_{p^{m}})| − (p^{m} + 1), dann ist

ia_{i} = S_{i}a_{0} + S_{i−1}a_{1} + … S_{1}a_{i−1} für 1 ⩽ i ⩽ g.

Beweis:

siehe [St].

■

14 Bemerkung: Satz 14 gestattet unter Berechnung von |X_{0}(N)(𝔽_{p^{m}})| für 1 ⩽ m ⩽ g die Bestimmung der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms des Frobenius-Endomorphismus. Dieser naive Ansatz des Punktezählens über endlichen Körpern ist aber nur für kleine Primzahlen p und kleines Geschlecht g akzeptabel. Man beachte, daß offensichtlich gilt

χ_{π_{p}}(1) = χ_{T_{p}}(p + 1).

Damit ist die Berechnung des Werts des charakteristischen Polynoms von π_{p} an der Stelle 1, ohne die Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms des Hecke-Operators T_{p} möglich.

Mit unserem Algorithmus zur Berechnung von Hecke-Operatoren T_{p} können wir aber die Matrix zu T_{p} und damit das charakteristische Polynom χ_{T_{p}}(t) berechnen. Wir können also für Faktoren A der Jacobischen J_{0}(N) den entsprechenden Faktor der L-Reihe und damit die Ordnung von P ic^{0}(A) bestimmen.

4.2 Konstruktion von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2}  49

3 Beispiel Wir betrachten die modulare Kurve X_{0}(41) vom Geschlecht 3. Die Matrix des Hecke-Operators T_{p} zur Primzahl p = 10^{9} + 7 ist

A_{T_{p}} = ( \begin{matrix}−15916 & −19368 & −2773 \\ −52558 & 22820 & 35963 \\ 30417 & −2773 & −35284 \end{matrix} )

und das charakteristische Polynom zu T_{p} berechnet sich zu

χ_{T_{p}}(t) = t^{3} + 28380 t^{2} − 1440675460 t − 27479384514602.

Die Nullstellen von χ_{T_{p}}(t) sind näherungsweise

e_{1} = −46637.0999, e_{2} = −16804.9745 und e_{3} = 35062.0744.

Dann ist das charakteristische Polynom des Frobenius-Endomorphismus

χ_{π_{p}}(t) = ∏_{i=1}^{3}(1 − e_{i}t + pt^{2})
=1000000021000000147000000343 t^{6} + 28380000397320001390620 t^{5}
+ 1559324571915271927 t^{4} + 29280615882718 t^{3} + 1559324561 t^{2}
+ 28380 t + 1,

und die Ordnung der Divisorklassengruppe P ic^{0}(X_{0}(41)) ist

|P ic^{0}(X_{0}(41))| = χ_{π_{p}}(1) =1000028402559751321091898550
=2 · 5^{2} · 13 · 107 · 14378553595395417988381.

Weitere Beispiele zur Berechnung des charakteristichen Polynom χ_{T_{p}}(t) zu den Beispielen aus Kapitel 3 finden sich im Anhang.

4.2 Konstruktion von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2}

Zu einer gegebenen elliptischen Kurve E erlaubt ein Ergebnis von Waldspurger (vgl. [Wal]), bei Kenntnis einer geeigneten Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}, die Berechnung des Werts der L-Reihe von Twists E_{−d} von E an der Stelle 1 (d ∈ ℕ). Das Ziel, solche Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} zu konstruieren, kann auf unterschiedlichen Wegen erreicht werden.

Wir werden in diesem Abschnitt drei Methoden beschreiben, mit denen man versuchen kann, passende Spitzenformen zu finden

• Konstruktion einer Basis des Raums der Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} (vgl. [Wa3]),

• Konstruktion einer geeigneten Spitzenform mit Hilfe ternärer quadratischer Formen,

• Konstruktion einer Spitzenform mittels Neuformen vom Gewicht 1 zu Galoisdarstellungen vom Typ S_{4}.

Die zweite der genannten Möglichkeiten ist ein schnelles und einfach zu realisierendes Verfahren, um geeignete Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} zu finden. Leider versagt dieser Ansatz in speziellen Situationen (siehe [Bu] und Abschnitt 4.2.5). Auch die Konstruktion mittels zweidimensionaler Galoisdarstellungen unterliegt gewissen Obstruktionen und ist daher nicht immer möglich. Der zuerst genannte Ansatz ist eine direkte Anwendung des Algorithmus zur Bestimmung einer Basis für den Raum der Spitzenformen von Gewicht 2 und hat den Vorteil, daß hier die Suche nach geeigneten Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} vollständig durchgeführt werden kann. Systematisch haben wir die hier aufgeführten Verfahren auf alle elliptischen Kurven mit Führer kleiner gleich 200 angewendet, die in Tabelle 1 in [BiKu] aufgelistet sind. Die gewonnenen numerischen Ergebnisse finden sich im Anhang.

4.2.1 Ein Algorithmus zum Auffinden von Eigenformen

Bevor wir auf die oben angesprochenen Methoden zum Auffinden von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} genauer eingehen, wollen wir zuvor ein Verfahren angeben, das es bei Kenntnis einer Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2} zur Stufe N erlaubt, eine Eigenform unter allen Hecke-Operatoren T_{p} (p Primzahl, p prim zu N) zu konstruieren.

Wir suchen Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} zu vorgegebenen Eigenwerten. Um eine geeignete Eigenform zu bestimmen, genügt es bereits, die Spitzenform als Eigenform unter endlich vielen Hecke-Operatoren T_{p_{1}}_{2}, T_{p_{2}}_{2}, …, T_{p_{n}}_{2} zu Primzahlen p_{1}, …, p_{n} zu erkennen.

15 Satz Sei f eine Spitzenform vom halbzahligen Gewicht \frac{k}{2}, der Stufe N und mit Charakter χ. Für k = 3 sei f orthogonal zu den Formen Θ_{ψ,t}(τ) = ∑_{m=1}^{∞} ψ(m) · m · q^{tm^{2}} mit einem quadratischen Charakter ψ und t ∈ ℕ. Dann exisitieren Primzahlen p_{1}, …, p_{n}, welche die Stufe N nicht teilen, so daß gilt: Falls f Eigenform für die Operatoren T_{p_{1}}_{2}, T_{p_{2}}_{2}, …, T_{p_{n}}_{2} ist, dann ist f Eigenform unter allen Hecke-Operatoren T_{p^{2}} für p |̸N.

Beweis:

[AnBuFr] S.18.

■

Mit Satz 15 läßt sich jetzt ein Verfahren angeben, das ausgehend von einer Spitzenform f_{0} ∈ S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ) eine Eigenform unter allen T_{p^{2}} für p |̸N liefert. Man betrachte dazu den komplexen Vektorraum

V_{i} = ⟨f_{0}, f_{0}|T_{p_{1}}_{2}, f_{0}|(T_{p_{1}}_{2})^{2}, …, f_{0}|(T_{p_{1}}_{2})^{i}⟩.

Da S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ) endliche Dimension hat, existiert ein kleinstes i_{0}, so daß V_{i_{0}} invariant unter T_{p_{1}}_{2} ist. Durch Koeffizientenvergleich läßt sich die Operation von T_{p_{1}}_{2} auf V_{i_{0}} beschreiben, so daß das charakteristische Polynom von T_{p_{1}}|V_{i_{0}} berechenbar ist. Schließlich kann man eine Eigenform f_{1} unter T_{p_{1}}_{2} zum Eigenwert λ_{p_{1}} bestimmen. Ersetzt man jetzt f_{0} durch f_{1} und p_{1} durch p_{2}, so bestimme man i_{1}, so daß V_{i_{1}} invariant unter T_{p_{2}}_{2} ist. Man suche nun eine Eigenform f_{2} zum Eigenwert λ_{p_{2}} in V_{i_{1}}. Da die Hecke-Operatoren kommutieren, ist f_{2} auch Eigenform unter T_{p_{1}}_{2} zum Eigenwert λ_{p_{1}}. Diese Vorgehensweise wende man für alle weiteren Primzahlen p_{i} an. Schließlich erhält man eine Eigenform f_{n} unter T_{p_{1}}_{2}, …, T_{p_{n}}_{2}. Satz 15 besagt, daß f_{n} Eigenform unter T_{p^{2}} für alle p |̸N ist.

4.2.2 Ein Satz von Waldspurger

Wir wollen an dieser Stelle ein Resultat von Waldspurger (vgl. [Wal]) zitieren, das wir bereits zu Beginn des Abschnitts kurz angesprochen haben (siehe S.49).

Sei N eine natürliche Zahl, die durch 4 teilbar ist, χ ein Dirichlet-Charakter modulo N. Weiter sei k ⩾ 3 und ungerade und S_{k−1}(Γ_{0}(N), χ) der ℂ-Vektorraum der Spitzenformen vom Gewicht k − 1, Charakter χ zur Stufe N. Für k=3 bestehe S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ) aus den Elementen aus S0_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ)^{⊥} (vgl. Kapitel 1). Sei S_{k−1}^{neu}(Γ_{0}(N), χ) die Menge der Neuformen in S_{k−1}(Γ_{0}(N), χ) (vgl. Kapitel1). Wir setzen

S_{k−1}^{neu}(χ) := ⋃_{N>0} S_{k−1}^{neu}(Γ_{0}(N), χ).

Für f ∈ S_{k−1}^{neu}(χ^{2}) setzen wir

S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ, f) := \{g ∈ S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ)| g|T_{p^{2}} = λ_{p}^{f}g für fast alle p mit p |̸N\} .

Dabei sei λ_{p}^{f} der Eigenwert von f unter T_{p}. Mit ℕ^{qf} bezeichnen wir die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen. Es sei L_{g}(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n^{s}} die Dirichlet-Reihe zu g(τ) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}q^{n} ∈ S_{k−1}^{neu}(χ) mit q := e^{2πiτ}, und für einen Dirichlet-Charakter ψ ∈ (ℤ/N′ℤ)^{∗} mit N′ ∈ ℕ sei L_{gψ}(s) = ∑_{n=1}^{∞} ψ(n)\frac{a_{n}}{n^{s}}. Mit diesen Bezeichnungen gilt

16 Satz Sei f ∈ S_{k−1}^{neu}(χ^{2}). Sei N eine natürliche Zahl, die vom Führer von χ und 4 geteilt wird, so daß S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ, f) ≠ \{0\} ist. Sei F ∈ S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ, f). Für n_{1}, n_{2} ∈ ℕ^{qf} mit \frac{n_{1}}{n_{2}} ∈ ℚ_{p}^{∗^{2}}und ∀p |̸N gilt dann

a_{n_{1}}(F)^{2}L_{f}(χ̃^{−1}χ_{n_{2}}, \frac{k − 1}{2})n_{2}^{\frac{k}{2} −1} = a_{n_{2}}(F)^{2}L_{f}(χ̃^{−1}χ_{n_{1}}, \frac{k − 1}{2})n_{1}^{\frac{k}{2} −1} mit χ̃ := χχ−1^{\frac{k−1}{2}} .

Beweis:

siehe [Wal] Beweis zu Korollar 2 S.283.

■

Insbesondere erhalten wir hierzu das Korollar

1 Korollar Sei E eine elliptische Kurve mit Führer N und f_{E} die zugehörige Spitzenform vom Gewicht 2. Sei

F (τ) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}q^{n} ∈ S(M, \frac{3}{2}, χ_{0}, f_{E}) mit M ∈ ℕ und 4|M.

Dann gilt für n, d ∈ ℕ^{qf} mit \frac{d}{n} ∈ ℚ_{p}^{∗^{2}}und ∀p mit p|M und ggT (d · n, M) = 1

a_{d}^{2} · L_{E_{−n}}(1) · \sqrt{n} = a_{n}^{2} · L_{E_{−d}}(1) · \sqrt{d}.

Dabei ist L_{E_{−d}}(s) = L_{fχ_{−d}}(s). Insbesondere gilt, falls L_{E_{−n}}(1) · a_{n} ≠ 0

L_{E_{−d}}(1) = 0 ⟺ a_{d} = 0.

Wollen wir dieses Korollar zur Bestimmung des Werts der L-Reihe an der Stelle 1 von Twists E_{−d} einer elliptischen Kurve E anwenden, so müssen wir eine geeignete Eigenform im Raum der Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} finden, die unter der Shimura-Abbildung auf die zu E gehörende Neuform vom Gewicht 2 abgebildet wird. Kennen wir eine solche Form vom Gewicht \frac{3}{2}, so können wir mittels ihrer Fourier-Koeffizienten und dem Wert der L-Reihe an der Stelle 1 eines einzigen Twists E_{−n} von E für alle weiteren Twists E_{−d}, wobei d und n die Bedingungen aus Korollar 1 erfüllen, den Wert der L-Reihe von E_{−d} angeben. In den folgenden Abschnitten werden wir sehen, wie man solche Eigenformen auffinden kann.

4.2.3 Konstruktion einer Basis des Raum der Spitzenformen vom Gewicht

\frac{3}{2}

In Kapitel 2 und 3 haben wir gesehen, wie man zu gegebener Stufe N und Charakter χ eine Basis des Raums der Spitzenformen S_{k}(Γ_{0}(N), χ) bestimmen kann. In diesem Abschnitt werden wir einen Algorithmus vorstellen, der die Berechnung einer Basis von S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0}) für N ∈ 16ℕ erlaubt. Für die über Theta-Reihen gemachten Aussagen verweisen wir auf [Pe].

Theta-Reihen vom Gewicht \frac{1}{2}

Wir betrachten die Theta-Nullwerte

ϑ_{3}(τ) = ∑_{m=−∞}^{∞} e^{πim^{2}τ} und ϑ_{2}(τ) = ∑_{\begin{matrix}m=−∞ \\ m≡ 1(mod 2) \end{matrix}}^{∞} e^{πim^{2} \frac{τ}{4}} mit τ ∈ ℍ.

Für die Definition von (\frac{c}{d})_{∗} verweisen wir auf Kapitel 1.Es gilt nun

17 Satz ϑ_{2} ist eine Modulform vom Gewicht \frac{1}{2} zur Gruppe Γ_{0}(2) mit Multiplikatorsystem

v_{2} ((\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})) = (\frac{c}{d})_{∗}e^{\frac{πi(d−1+bd)}{4}} für (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(2).

Also: ϑ_{2} ((\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})τ) = v_{2} ((\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})) (cτ + d)^{\frac{1}{2}} ϑ_{2}(τ).

Beweis:

siehe [Pe] S.22 und S.269.

■

Es sei

Θ_{2}(τ) := \frac{1}{2}ϑ_{2}(8τ) = \frac{1}{2} ∑_{\begin{matrix}m=−∞ \\ m≡ 1(mod 2) \end{matrix}}^{∞} e^{2πim^{2}τ} = ∑_{\begin{matrix}m=1 \\ m≡ 1(mod 2) \end{matrix}}^{∞} q^{m^{2}} mit q := e^{2πiτ} .

Wir wollen nun das Multiplikatorsystem v_{Θ_{2}} von Θ_{2} bestimmen. Es ist

Θ_{2}(τ) = \frac{1}{2}ϑ_{2}|(\begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})(τ).

Dann ist für α = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(16)

Θ_{2}|α(τ) = \frac{1}{2}ϑ_{2}|(\begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})α(τ) = \frac{1}{2}ϑ_{2}|(\begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})α(\begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{−1}(\begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})(τ)

= \frac{1}{2}ϑ_{2}| \underbrace{(\begin{matrix}a & 8b \\ \frac{c}{8} & d \end{matrix})}_{∈Γ_{0}(2)} (\begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})(τ) = \frac{1}{2}v_{2} ((\begin{matrix}a & 8b \\ \frac{c}{8} & d \end{matrix})) ϑ_{2}|(\begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})(τ)

= v_{2} ((\begin{matrix}a & 8b \\ \frac{c}{8} & d \end{matrix})) Θ_{2}(τ),

und

v_{Θ_{2}}(α) = v_{2} ((\begin{matrix}a & 8b \\ \frac{c}{8} & d \end{matrix})) = ( \frac{\frac{c}{8}}{d})_{∗}e^{\frac{πi(d−1+8bd)}{4}} = ( \frac{\frac{c}{8}}{d})_{∗}e^{\frac{πi(d−1)}{4}} e^{2πibd}

= (\frac{c}{d})_{∗}(\frac{8}{|d|})e^{\frac{πi(d−1)}{4}} = (\frac{c}{d})_{∗}ε_{d}^{−1} mit ε_{d} := \begin{cases}1 & falls d ≡ 1 (mod 4) \\ i & falls d ≡ 3 (mod 4). \end{cases}

Θ_{2} ist also eine Modulform vom Gewicht \frac{1}{2} bzgl. Γ_{0}(16) mit trivialem Nebentyp χ_{0}. Da ϑ_{2} nur in der Spitze ∞ verschwindet, verschwindet Θ_{2} nur in ∞.

Für f ∈ S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ) (k ungerade) und (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(N) haben wir somit

(fΘ_{2}) (\frac{aτ + b}{cτ + d}) = χ(d)(\frac{c}{d})_{∗}^{k+1}ε_{d}^{−k−1}((cτ + d)^{\frac{1}{2}} )^{k+1}(fΘ_{2})(τ)

= χ(d)ε_{d}^{−k−1}(cτ + d)^{\frac{k+1}{2}} (fΘ_{2})(τ)

= χ(d)χ−1^{\frac{k+1}{2}} (d)(cτ + d)^{\frac{k+1}{2}} (fΘ_{2})(τ)

mit χ_{−1}(d) = \begin{cases}0 & falls d ≡ 0 (mod 2) \\ (−1)^{\frac{d−1}{2}} & falls d ≡ 1 (mod 2). \end{cases}

Damit ist fΘ_{2} ∈ S_{\frac{k+1}{2}} (Γ_{0}(N), χχ−1^{\frac{k+1}{2}} ).

Für j, n ∈ ℤ, n ≡ 1 (mod 2) setzen wir:

(\frac{j}{n})^{∗} := (\frac{j}{|n|}).

Die Thetagruppe Γ_{ϑ} ist definiert durch

Γ_{ϑ} = \{M ∈ SL_{2}(ℤ) | M ≡ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (mod 2) oder M ≡ (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (mod 2)\} .

Für ϑ_{3} gilt

18 Satz ϑ_{3} ist eine Modulform vom Gewicht \frac{1}{2} bzgl. der Gruppe Γ_{ϑ} mit Multiplikatorsystem

v_{3} ((\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})) = \begin{cases}(\frac{c}{d})_{∗}e^{\frac{πi(d−1)}{4}} & falls (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ≡ I (mod 2) \\ (\frac{c}{d})^{∗}e^{− \frac{πic}{4}} & falls (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ≡ S (mod 2). \end{cases}

Beweis:

siehe [Pe] S.22 und S.269.

■

Betrachten wir die Theta-Reihe

Θ_{3}(τ) := ϑ_{3}(2τ) = ∑_{m=−∞}^{∞} q^{m^{2}} = 1 + 2 ∑_{m=1}^{∞} q^{m^{2}}.

Da für M ∈ Γ_{0}(4) und A := (\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) gilt

Θ_{3}|_{M}(τ) = ϑ_{3}|_{AM}(τ) = ϑ_{3}|_{AMA^{−1}A}(τ) = ϑ_{3}|\underbrace{AMA^{−1}}_{∈Γ_{ϑ}}|_{A}(τ)

= v_{3}(AMA^{−1})ϑ_{3}|_{A}(τ) = v_{3}(AMA^{−1})Θ_{3}(τ),

ist Θ_{3} eine Modulform vom Gewicht \frac{1}{2} auf Γ_{0}(4), die nur in der Spitze \frac{1}{2} verschwindet, mit Multiplikatorsystem

v_{Θ_{3}} ((\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})) = (\frac{c}{d})_{∗}e^{\frac{πi(d−1)^{2}}{8}} = (\frac{2c}{d})_{∗}e^{\frac{πi(d−1)}{4}} für (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(4)

(siehe [Pe] S.270). Für f ∈ S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ) zeigt man wie oben, daß fΘ_{3} ∈ S_{\frac{k+1}{2}} (Γ_{0}(N), χχ−1^{\frac{k+1}{2}} ).

Betrachten wir die Abbildung

φ : S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ)⟶S_{\frac{k+1}{2}} (Γ_{0}(N), χχ−1^{\frac{k+1}{2}} ) × S_{\frac{k+1}{2}} (Γ_{0}(N), χχ−1^{\frac{k+1}{2}} )
f ⟼ (fΘ_{2}, fΘ_{3}).

Da Θ_{2} nur in der Spitze ∞ und Θ_{3} nur in der Spitze \frac{1}{2} verschwindet, wird S_{\frac{k}{2}} (Γ_{0}(N), χ) unter φ isomorph auf den Unterraum

U ⊂ S_{\frac{k+1}{2}} (Γ_{0}(N), χχ−1^{\frac{k+1}{2}} ) × S_{\frac{k+1}{2}} (Γ_{0}(N), χχ−1^{\frac{k+1}{2}} )

abgebildet, der aus den Paaren (f_{2}, f_{3}) mit

f_{2}Θ_{3} = f_{3}Θ_{2}  (4.1)

besteht. Die inverse Abbildung zu φ auf U ist gegeben durch

(f_{2}, f_{3}) ⟼ \frac{f_{2}}{Θ_{2}} = (\frac{f_{3}}{Θ_{3}}) .

Für k = 3 und χ = χ_{0} erhalten wir damit eine Abbildung

φ : S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0})⟶S_{2}(Γ_{0}(N), χ_{0}) × S_{2}(Γ_{0}(N), χ_{0}).

Der Algorithmus

Die Gleichung 4.1 kann in ein lineares Gleichungssystem übersetzt werden, und wir können einen Algorithmus zur Konstruktion einer Basis von S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0}) in folgender Weise angeben

Algorithmus 4

1. Sei N ∈ 16ℕ und d = dim(S_{2}(Γ_{0}(N), χ_{0}). Berechne mit den Algorithmen aus Kapitel 2 und 3 eine Basis B = {f_{1}, …, f_{d}} von S_{2}(Γ_{0}(N), χ_{0}). Jedes Basiselement f_{i} besitzt eine Fourierentwicklung der Form f_{i} = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{(i)}q^{n} (1 ⩽ i ⩽ d). Wir erhalten damit eine Matrix

G := (\begin{matrix}a_{1}^{(1)} & a_{2}^{(1)} & … & a_{i}^{(1)} & … \\ a_{1}^{(2)} & a_{2}^{(2)} & … & a_{i}^{(2)} & … \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{1}^{(d)} & a_{2}^{(d)} & … & a_{i}^{(d)} & … \end{matrix}) .

2. Man bestimme die Matrizen

A_{2} := (f_{1}Θ_{2} ; ⋮ ; f_{d}Θ_{2}) und A_{3} := (f_{1}Θ_{3} ; ⋮ ; f_{d}Θ_{3})

3. Man löse das lineare Gleichungssystem

(X_{2}, X_{3}) (\begin{matrix}A_{2} \\ A_{3} \end{matrix}) = (\underline{0}).

Dann erzeugt (f_{2}, f_{3}) = (−X_{3}G, −X_{2}G) den Raum U.

4. Man bestimme die Reihe Θ_{1} mit Θ_{1} · Θ_{3} = q, dann liefert

\frac{f_{3}}{Θ_{3}} = (X_{2}G)Θ_{1}

eine Basis B̃ von S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0}).

15 Bemerkung: Die mit dem obigen Algorithmus berechnete Dimension des Raums S_{\frac{3}{2}} ( Γ_{0}(N), χ_{0}) kann mit einer Formel von Cohen und Oesterlé (vgl. [CoOe]) auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Um die zu Beginn dieses Kapitels angesprochenen Berechnungen bezüglich des Werts der L-Reihe an der Stelle 1 von Twists E_{d} einer elliptischen Kurve E ausführen zu können, benötigt man eine Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2}, die unter den Hecke-Operatoren T_{p^{2}} die gleichen Eigenwerte besitzt wie die zur elliptischen Kurve gehörende Neuform vom Gewicht 2. Je mehr Fourier-Koeffizienten man von der Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} kennt, um so mehr L-Reihen von Twists E_{d} können ausgewertet werden. Bei Kenntnis einer Basis des Raums der Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} kann man nun entscheiden, ob eine Eigenform zu vorgegebenen Eigenwerten existiert. Um die Basiselemente eindeutig zu identifizieren, und um Hecke-Operatoren auf diese Basiselemente anwenden zu können, benötigt man die Fourier-Koeffizienten der einzelnen Basiselemente bis zu einer gewissen, leicht auszurechnenden Schranke S. Will man nun viele L-Reihen auswerten, so ist man daran interessiert, die Fourier-Entwicklung der Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} über diese Schranke S hinaus bis zu eine Schranke S′ zu kennen. Würde man dem obigen Algorithmus folgend die Fourier-Koeffizienten der Basis B̃ bis zu der gewünschten Schranke S′ ausrechnen, so wären (2d + dim(S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0}))) Multiplikationen von Fourier-Entwicklungen der Länge S′ nötig, was zu einem nicht mehr akzeptablen Rechenaufwand führen würde. Deshalb führt man den Teil der Rechnung, der es einem erlaubt, die Fourier-Koeffizienten der Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} bis zur Schranke S′ zu berechnen, im Raum der Spitzenformen vom Gewicht 2 aus, was zu folgendem Algorithmus führt

Algorithmus 5

1. Sei N ∈ 16ℕ und d = dim(S_{2}(Γ_{0}(N), χ_{0}). Berechne mit den Algorithmen aus Kapitel 2 und 3 eine Basis B = {f_{1}, …, f_{d}} von S_{2}(Γ_{0}(N), χ_{0}).

2. Berechne mit Algorithmus 1 eine Basis B̃ = \{g_{1}, …, g_{l}\} von S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0}), l = dim(S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0})). Bestimme die Fourier-Entwicklungen bis zu einer Schranke S, so daß die Basiselemente g_{i} (1 ⩽ i ⩽ l) eindeutig bestimmt sind und alle gewünschten Operationen von Hecke-Operatoren T_{p^{2}} ausgeführt werden können.

3. Berechne Eigenform f zu vorgegeben Eigenwerten in S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0}):

f = ∑_{i=1}^{l} v_{i}g_{i} mit v_{i} ∈ ℤ.

4. Multipliziere f mit Θ_{2}, dann ist

f · Θ_{2} ∈ S_{2}(Γ_{0}(N), χ_{0}) und f · Θ_{2} = ∑_{i=1}^{d} u_{i}f_{i} mit u_{i} ∈ ℤ.

5. Berechne die Fourier-Koeffizienten der Basiselemente f_{i} (1 ⩽ i ⩽ d) bis zur gewünschten Schranke S′. Jetzt kennt man die Fourier-Koeffizienten von f · Θ_{2} bis zur Schranke S′.

6. Multipliziere mit Θ_{2}^{−1}:

f̃:= (f · Θ_{2}) · Θ_{2}^{−1} ∈ S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0}).

Jetzt hat man eine Eigenform f̃ ∈ S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(N), χ_{0}) zu vorgegebenen Eigenwerten, deren Fourier-Koeffizienten man bis zur Schranke S′ kennt.

16 Bemerkung: Die in Algorithmus 5 aufgeführten Multiplikationen von Spitzenformen mit Theta-Reihen werden jetzt nur noch bis zu einer Schranke S ausgeführt, die vom gewählten Beispiel abhängt, also der betrachteten Stufe N und der Größe der zu berechnenden Hecke-Operatoren T_{p^{2}}. Eine rechenintensive Multiplikation der Länge S′ wird nur noch einmal ausgeführt. Θ_{2}^{−1} wird vorab berechnet und danach abgespeichert, so daß man die errechneten Koeffizienten von Θ_{2}^{−1} zur Berechnung neuer Beispiele direkt verwenden kann und nicht neu berechnen muß.

Nachteilig an dieser Methode zur Konstruktion von Eigenformen vom Gewicht \frac{3}{2} ist, daß man bei vorgebener Stufe N immer Räume von Spitzenformen vom Gewicht 2 bzw. \frac{3}{2} der Stufe 16N betrachten muß, so daß man bereits für kleine Stufen N Vektorräume recht hoher Dimension erhält. Dies führt leider dazu, daß der Index, bis zu dem man die Fourier-Koeffizienten der Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} berechnen kann, im Verhältnis zu dem anschließend vorgestellten Verfahren recht klein ist.

4.2.4 Konstruktion von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} mittels ternärer quadratischer Formen

Ganze, positiv-definite, ternäre quadratische Formen erlauben eine rechnerisch leicht zugängliche Konstruktion von Modulformen vom Gewicht \frac{3}{2}, die es zudem ermöglicht, auch noch für große Stufen viele Fourier-Koeffizienten zu bestimmen. Im ersten Teil dieses Abschnitts werden wir die nötigen Definitionen und Sätze aus der Theorie der quadratischen Formen zusammenstellen, im zweiten Teil auf die Berechnung aller reduzierten ternären Formen zu gegebener Diskriminante eingehen und Bungerts Ergebnis bezüglich der Beschreibung der Operation von Hecke-Operatoren T_{p^{2}} auf Theta-Reihen zu ganzen, primitiven, positiv-definiten, ternären quadratischen Formen angeben. Für eine ausführliche Darstellung verweisen wir auf [BI],[Bu] und [Ca].

Quadratische Formen und Theta-Reihen

10 Definition Unter einer ganzen, ternären quadratischen Form verstehen wir eine Funktion der Form

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a_{1}x_{1}^{2} + a_{2}x_{2}^{2} + a_{3}x_{3}^{2} + a_{4}x_{1}x_{3} + a_{5}x_{2}x_{3} + a_{6}x_{1}x_{2} mit a_{i} ∈ ℤ(1 ⩽ i ⩽ 6).

Die Koeffizientenmatrix A_{f} und die Determinante D_{f} zu f sind gegeben durch

A_{f} := (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}x_{j}} )_{i,j} und D_{f} := det A_{f}.

Unter der Stufe N_{f} von f verstehen wir die kleinste natürliche Zahl, so daß N_{f} ·A_{f}^{−1} ganzzahlige Einträge und gerade Einträge auf der Diagonalen hat. Zwei Formen f und g mit Determinanten D_{f} und D_{g} verschieden von 0 heißen ℤ-äquivalent, falls es eine Matrix B ∈ GL_{3}(ℤ) gibt, so daß

A_{g} = B^{t}A_{f}B.

Die ternäre Form f heißt primitiv, falls der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten von f gleich 1 ist.

11 Definition Sei f eine ganze, positiv-definite, ternäre quadratische Form der Determinante D_{f}. Die Theta-Reihe Θ_{f} zu f ist definiert durch

Θ_{f}(τ) = ∑_{(x_{1},x_{2},x_{3})∈ℤ^{3}} q^{f(x_{1},x_{2},x_{3})} mit q := e^{2πiτ} und τ ∈ ℍ.

Da äquivalente, ganze quadratische Formen die gleichen Zahlen darstellen, haben beide die gleichen Theta-Reihen, so daß man sich bei der Untersuchung von Theta-Reihen auf Theta-Reihen zu nicht äquivalenten quadratischen Formen beschränken kann.

Der Zusammenhang zwischen Theta-Reihen zu ternären Formen und Modulformen liefert der folgende Satz.

19 Satz Sei f eine positiv-definite, ganze, ternäre quadratische Formen der Determinante D_{f} und Stufe N_{f}, dann ist die zugehörige Theta-Reihe Θ_{f} eine Modulform vom Gewicht \frac{3}{2} und Stufe N_{f} und Nebentyp χ_{2D_{f}} (unter χ_{m} , m ∈ ℤ, verstehen wir den Charakter der quadratischen Erweiterung ℚ(\sqrt{m})/ℚ).

Um von Modulformen zu Spitzenformen zu kommen, benötigen wir noch eine Definition.

12 Definition Zwei ganze, ternäre quadratische Formen f und g liegen im gleichen Geschlecht, wenn sie über den reellen Zahlen ℝ und für alle Primzahlen p über den ganzen p-adischen Zahlen ℤ_{p} äquivalent sind.

Es gilt jetzt

20 Satz Seien f und g ganze, positiv-definite, ternäre quadratische Formen, die im gleichen Geschlecht liegen. Dann ist die Differenz der zu f und g gehörenden Theta-Reihen Θ_{f} −Θ_{g} eine Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}.

17 Bemerkung: Da f und g über ℤ_{p} äquivalent sind, haben f und g die gleiche Determinante (vgl. Definition 10) und damit ist der Charakter eindeutig bestimmt.

Die Beweise der Sätze 19 und 20 finden sich in [Si].

Reduktionstheorie ternärer quadratischer Formen und Berechnung von Hecke-Operatoren auf dem von Theta-Reihen zu ternären Formen aufgespannten Raum

Wie für binäre quadratische Formen läßt sich auch für ternäre quadratische Formen eine Reduktionstheorie entwickeln. Es zeigt sich, daß in jeder Äquivalenzklasse ganzer, positiv-definiter, ternärer quadratischer Formen eine reduzierte Form liegt, jedoch kann es im Gegensatz zu binären Formen sein, daß in einer Äquivalenzklasse mehr als eine reduzierte Form liegt.

13 Definition Es sei

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ∑_{i=1}^{3} a_{i}x_{i}^{2} + a_{4}x_{2}x_{3} + a_{5}x_{1}x_{3} + a_{6}x_{1}x_{2}, mit a_{i} ∈ ℤ (1 ⩽ i ⩽ 6)

eine ganze, positiv-definite, ternäre quadratische Form der Diskriminante d_{f} := −\frac{D_{f}}{2} . Die Form f ist reduziert, falls folgende Bedingungen erfüllt sind

(i) 0 < a_{1} ⩽ a_{2} ⩽ a_{3}

(ii) |a_{4}| ⩽ a_{2}, |a_{5}| ⩽ a_{1}, |a_{6}| ⩽ a_{1}

(iii) falls a_{4}a_{5}a_{6} < 0 ist, folgt |a_{4}| + |a_{5}| + |a_{6}| ⩽ a_{1} + a_{2}.

21 Satz Für eine reduzierte ternäre Form f der Diskrimante d_{f} gilt a_{1} · a_{2} · a_{3} ⩽ \frac{|d(f)|}{2}.

Beweis:

siehe [BI]

■

Um nun alle reduzierten, ternären Formen der Stufe N zu bestimmen, lassen sich die auftretenden Diskriminanten d wie folgt beschränken: Sei v_{p} die normierte, additive Bewertung zur Primzahl p, dann gilt

v_{p}(N) ⩽ v_{p}(d) ⩽ 3v_{p}(N).

Mit Satz 21 und Definition 13 können dann alle möglichen Koeffizienten durchlaufen werden. Für jedes Tupel (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}) berechnet man die jeweilige Stufe und testet, ob diese mit der gesuchten Stufe N übereinstimmt. Mit wachsender Stufe N, wächst d und damit der Rechenaufwand, um alle ternären Formen zu vorgegebener Stufe zu bestimmen. Dabei ist zu beachten, daß wir nicht am gesamten Raum der Modulformen interessiert sind, der von Theta-Reihen ternärer Formen aufgespannt wird, sondern nur an einer Linearkombination dieser Reihen, die eine gesuchte Spitzenform liefert. Will man jedoch sicher sein, daß es keine geeignete Spitzenform gibt, die man mittels ternärer Formen erhält, ist es natürlich unverzichtbar, den gesamten Raum, der durch Theta-Reihen aufgespannt wird, zu bestimmen.

In unserer Situation ist man daran interessiert, für möglichst viele elliptische Kurven unterschiedlicher Stufe geeignete Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} zu konstruieren. Dies legt es in natürliche Weise nahe, die durch Definition 13 und Satz 21 beschriebenen Schleifendurchläufe für die größte betrachtete Stufe durchzuführen. Dabei durchläuft man natürlich auch alle relevanten Koeffizienten, die ternäre Formen kleinerer Stufe liefern, so daß man diese Rechnungen nur einmal ausführen muß. Für nähere Einzelheiten bezüglich des Reduktionsalgorithmus für ternärer Formen verweisen wir auf [BI] und [Bu].

Wir suchen Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} zu vorgegebenen Eigenwerten. Also müssen wir die Operation der Hecke-Operatoren T_{p^{2}} auf diesen Formen studieren. Eine Möglichkeit besteht in der Bestimmung von Darstellungsanzahlen der betrachteten ternären Form und damit der Bestimmung der Koeffizienten der zugehörigen Theta-Reihe. Ein Ergebnis von Bungert gestattet es, die Wirkung des Hecke-Operators T_{p^{2}} anstatt auf den Theta-Reihen auf den ternären Formen zu studieren.

22 Satz Sei

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ∑_{i=1}^{3} a_{i}x_{i}^{2} + a_{4}x_{1}x_{3} + a_{5}x_{2}x_{3} + a_{6}x_{1}x_{2}, mit a_{i} ∈ ℤ (1 ⩽ i ⩽ 6)

eine ganze, primitive, ternäre quadratische Form und Koeffizientenmatrix A_{f}. Sei p eine Primzahl, welche die Stufe der Theta-Reihe Θ_{f} zu f nicht teilt. Dann gilt

Θ_{f}|T_{p^{2}}(τ) = ∑_{S∈M/GL_{3}(ℤ)}Θ_{\frac{S^{t}A_{f} S}{p^{2}}} (τ) , wobei

M := \{S ∈ M_{3}(ℤ)| S hat Elementarteiler 1, p, p^{2} und S^{t}A_{f}S ≡ 0 (mod p^{2})\}. (Θ_{\frac{S^{t}A(f)S}{p^{2}}} be-

zeichnet die Theta-Reihe der zu \frac{S^{t}A_{f} S}{p^{2}} gehörenden quadratischen Form, und M_{3}(ℤ) bezeichnet die (3 × 3)- Matrizen über ℤ).

Beweis:

siehe [Bu] S.35.

■

18 Bemerkung: Ausgehend von einer ternären Form und einer Primzahl p, läßt sich mit Satz 22 der kleinste, unter dem Hecke-Operator T_{p^{2}} invariante, von Theta-Reihen frei erzeugte Raum U bestimmen. In [Bu] (Lemma 2.3.7) gibt Bungert ein Repräsentantensystem von M/GL_{3}( ℤ) an. Die Anzahl der auftretenden Matrizen S hängt nur von p ab und ist unabhängig von der Stufe N. Zusammen mit Satz 22 gestattet dies die Berechnung des Hecke-Operators T_{p^{2}} auf Theta-Reihen zu ternären quadratischen Formen. Sind die Einträge der Matrix S^{t}A_{f}S durch p^{2} teilbar, so muß man die zu Θ_{\frac{S^{t}A(f)S}{p^{2}}} gehörende ternäre Form reduzieren und man erhält am

Ende der Rechnung die Darstellung von Θ_{f}|T_{p^{2}}(τ) als Linearkombination von Theta-Reihen reduzierter, ternärer Formen. Hierbei ist es wichtig, daß diese Formen im gleichen Geschlecht liegen wie f (vergleiche Satz 20).

Die zahlreichen Beispiele haben gezeigt, daß dies die schnellste Methode ist, um geeignete Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} zu berechnen, deren Fourier-Koeffizienten gleichzeitig sehr schnell bis zu einer großen Schranke bestimmt werden können. So ist es uns gelungen, für die elliptische Kurve

E : Y^{2} + XY + Y = X^{3} + X^{2} − 59X − 254

mit Führer 3089 eine Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}, Stufe 2^{2} · 3089 und Nebentyp χ(n) = (\frac{3089}{n}) zu konstruieren, welche die gleichen Eigenwerte hat wie die zur Kurve E gehörende Neuform vom Gewicht 2.

Natürlich wird mit größerer Stufe der Aufwand zur Bestimmung der ternären Formen immer aufwendiger. Da wir aber, wie schon zuvor gesagt, nicht an allen ternären Formen zu fester Stufe interessiert sind, ist dies kein zu einschränkendes Hindernis. Die Darstellungsanzahlen einer ternären Form f lassen sich besonders schnell bestimmen, wenn f in der Form

ax_{1}^{2} + bx_{1}x_{2} + cx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} mit a, b, c, d ∈ ℤ

gegeben ist. Falls für das Tripel (x_{1}, x_{2}, x_{3}) gilt f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = n mit n ∈ ℕ, so kann man x_{1}, x_{2} und x_{3} betragsmäßig jeweils durch C\sqrt{n} abschätzen mit einer geeigneten Konstante C. Das folgende Beispiel soll verdeutlichen, wie schnell diese Methode ist.

4 Beispiel Sei

f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 11x_{2}^{2} + 11x_{3}^{2}
f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}^{2} + 11x_{3}^{2}.

Dann ist F (τ) = Θ_{f_{1}}(τ) − Θ_{f_{2}}(τ) eine Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} und Stufe 44 zum Charakter χ_{0}, die unter der Shimura-Abbildung auf die zur elliptischen Kurve 11B (siehe [BiKu]) gehörende Neuform vom Gewicht 2 abgebildet wird. Wir geben nun an, welche Laufzeiten sich bei der Bestimmung der ersten n Fourier-Koeffizienten von F (τ) ergaben. Die Zeitangaben sind wieder in Stunden:Minuten:Sekunden angegeben.

n Laufzeit
10^{4} 00:00:02
10^{5} 00:00:04
5 · 10^{5} 00:00:43
10^{6} 00:02:07
14 · 10^{6} 03:53:10

Aber auch in Fällen, in denen die ternäre Form nicht in dieser einfachen Gestalt gegeben ist, kann man immer noch viele Fourier-Koeffizienten bestimmen (siehe [Co]).

Leider führt diese Methode nicht immer zum Erfolg, so hat Bungert gezeigt (siehe [Bu] Satz 4.6), daß man für die Kurve 121D aus Tabelle 1 in [BiKu]

Y^{2} + Y = X^{3} − X^{2} − 7X + 10

im Raum, der von Theta-Reihen zu positiv-definiten, ternären Formen bis zur Stufe 2^{4} · 11^{2} aufgespannt wird, keine Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} existiert, welche die gleichen Eigenwerte besitzt wie die zur Kurve 121D gehörende Neuform. Bungert gelang es mit Hilfe von zweidimensionalen Galoisdarstellungen vom Typ S_{4}, die wir im nächsten Abschnitt behandeln, für dieses Beispiel eine geeignete Spitzenform zu konstruieren.

4.2.5 Spitzenformen vom Gewicht 1 zu zweidimensionalen Galoisdarstellungen von G_{ℚ} vom Typ S_{4}

Da man den Raum M_{\frac{1}{2}} (N_{1}, ψ_{1}) der Modulformen vom Gewicht \frac{1}{2}, Stufe N_{1} und Charakter ψ_{1} nach einem Ergebnis von Serre und Stark (siehe [SeSt]) explizit kennt, interessiert man sich für die spezielle Klasse von Spitzenformen

M_{\frac{1}{2}} (N_{1}, ψ_{1}) ⊗ S_{1}(N_{2}, ψ_{2}) ⊆ S_{\frac{3}{2}} (N, ψ_{1} · ψ_{2} · χ_{−1})

mit N = kgV (N_{1}, N_{2}). Neuformen vom Gewicht 1 kann man mit Hilfe von zweidimensionalen Galoisdarstellungen der absoluten Galoisgruppe G_{ℚ} konstruieren. Auf den Zusammenhang zwischen Neuformen vom Gewicht 1 und Galoisdarstellungen von G_{ℚ} werden wir hier nicht eingehen und verweisen auf die folgende Literatur : [DeSe] und [Se]. Für die zitierten Ergebnisse bezüglich Galoisdarstellungen vom Typ S_{4} verweisen wir auf [BaFr] und [Bu].

Sei

ρ : G_{ℚ}⟶GL_{2}(ℂ)

eine irreduzible, ungerade, stetige Darstellung, und

ρ̄: G_{ℚ}⟶P GL_{2}(ℂ)

die projektive Darstellung, die man durch Hintereinanderausführung von ρ mit der Projektion π : GL_{2}(ℂ) → P GL_{2}(ℂ) erhält. Weiter sei das Bild von ρ̄ isomorph zur Gruppe S_{4}. Da die S_{4} keine treue, irreduzible, zweidimensionale Darstellung hat, muß man Gruppenerweiterungen von S_{4} studieren. Das Einbettungsproblem

G_{ℚ}
↓
1⟶ℤ/2ℤ⟶S̃_{4}⟶S_{4}⟶1

wurde von Bayer und Frey in [BaFr] untersucht, wobei S̃_{4} die Gruppenerweiterung vom Grad 2 von S_{4} ist, in der Transpositionen zu Involutionen geliftet werden. S̃_{4} besitzt zwei irreduzible Darstellungen der Dimension 2, die zueinander konjugiert sind. Falls das Einbettungsproblem lösbar ist, was nach einem Kriterium von Serre leicht zu entscheiden ist, erhält man eine gesuchte Darstellung vom Typ S_{4}.

Ausgehend von einer elliptischen Kurve E sei L = ℚ(E_{2}(ℚ)) der Körper, der nach Adjunktion der 2-Teilungspunkte von E entsteht. Es gilt

23 Satz Es gibt eine 1-1 Beziehung zwischen Körpern K ⊃ L mit Galoisgruppe G(K/ℚ) = S_{4} und Elementen φ ∈ H^{1}(G_{ℚ}, E_{2}(ℚ))\{0}.

Beweis:

siehe [BaFr].

■

Die Konstruktion eines Polynoms f_{φ}, das einen Zerfällungskörper K_{1} ⊂ K von φ mit [K_{1} : ℚ] = 4 definiert, ist besonders einfach, wenn φ in der Selmer-Gruppe S(E, ℚ) von E liegt. Ein Ergebnis von Crespo (vgl. [Cr]) gestattet es im Falle der Lösbarkeit des Einbettungsproblems die explizite Bestimmung eines Elements γ ∈ K, so daß alle Lösungen des Einbettungsproblems durch K(\sqrt{cγ}) mit c ∈ ℚ^{∗}/ℚ^{∗}^{2} gegeben sind. Darüber hinaus kann γ im Ganzheitsring von K so gewählt werden, daß die Erweiterung K(\sqrt{γ})/K unverzweigt ist außerhalb von −2 · d · ∞ (dabei bezeichne d die Körperdiskriminante von K_{1}/ℚ). In [BaFr] (Prop. 2.3) wird gezeigt, wie man unter Ausnutzung der Kenntnis von γ und der Konjugationsklassen von S̃_{4} die Fourier-Koeffizienten a_{p} der zur Darstellung gehörenden Spitzenform vom Gewicht 1 für Primzahlen p, die nicht d teilen, bestimmt.

Für Primzahlen, die in K(\sqrt{γ})/K zahm verzweigen, kann man leicht den p-Anteil im Führer der Darstellung bestimmen. Komplizierter ist die Situation im wild verzweigten Fall. Ein Ergebnis von Kiming (siehe [Ki]) erlaubt unter gewissen Voraussetzungen die Berechnung des 2-Anteils.

Erfolgreich hat Bungert diese Konstruktion auf die elliptische Kurve 121D angewendet. Es gelang ihm, eine Spitzenform f vom Gewicht 1, der Stufe 2^{3} · 11^{2} mit Charakter χ_{−11} zu einer Darstellung vom Typ S_{4} zu konstruieren. Die Theta-Reihe Θ_{11}(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} q^{11n^{2}}(q := e^{2πiz}) ist eine Modulform vom Gewicht \frac{1}{2}, Stufe 44 und Charakter χ_{11}. Dann ist die Funktion

F (z) = \frac{1}{2}(f(z) − \overline{f(z)}) · Θ_{11}(z)

eine Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}, der Stufe 2^{3} · 11^{2} mit trivialem Charakter χ_{0} (¯ bezeichne die komplexe Konjugation). Unter Verwendung der auf Seite 50 beschriebenen Methode konnte er zeigen, daß folgender Satz (siehe [Bu] Satz 4.9) gilt

24 Satz Sei F(z) die oben definierte Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}, Stufe 2^{3} · 11^{2} mit trivialem Charakter χ_{0}. Mit T_{3^{2}} und T_{5^{2}} seien die Hecke-Operatoren zu p = 3, p = 5 auf S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(2^{3} · 11^{2}), χ_{0}) bezeichnet. Dann ist die Spitzenform

F_{1}(z) := 2 · F (z) − F |T_{3^{2}}(z) − F |T_{5^{2}}(z) ∈ S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(2^{3} · 11^{2}), χ_{0})

eine Eigenform unter den Hecke-Operatoren T_{p^{2}} für alle Primzahlen p ≠ 2 und F_{1}(z) besitzt die gleichen Eigenwerte λ_{p} wie die zur elliptischen Kurve 121D gehörende Neuform.

Beweis:

siehe [Bu] S.96-98.

■

Mit dem gleichen Ansatz kann man für die Kurve 361A

Y^{2} + Y = X^{3} − 38X + 90

aus der Tabelle 1 in [Cr] mit komplexer Multiplikation bezüglich ℚ(\sqrt{−19}) eine Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}, Stufe 2^{2} · 19^{2} und trivialem Charakter χ_{0} konstruieren. Sei g die Spitzenform vom Gewicht 1, Stufe 2^{2} · 19^{2} und Charakter χ_{−19}, die man aus der zugehörigen Darstellung vom Typ S_{4} gewinnt und Θ_{19}(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} q^{19n^{2}}(q := e^{2πiz}) die Theta-Reihe vom Gewicht \frac{1}{2} Stufe 76 und Charakter χ_{−19}, dann ist

G(z) = \frac{1}{2}(g(z) − \overline{g(z)}) · Θ_{19}(z)

eine Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}, der Stufe 2^{2} · 19^{2} mit trivialem Charakter χ_{0} (¯ bezeichne die komplexe Konjugation), und es gilt

25 Satz Sei G(z) die oben definierte Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}, Stufe 2^{2} · 19^{2} mit trivialem Charakter χ_{0}. Mit T_{3^{2}} sei der Hecke-Operator zu p = 3 auf S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(2^{2} · 19^{2}), χ_{0}) bezeichnet. Dann ist die Spitzenform

G_{1}(z) := 3 · G(z) + G|T_{3^{2}}(z) ∈ S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(2^{2} · 19^{2}), χ_{0})

eine Eigenform unter den Hecke-Operatoren T_{p^{2}} für alle Primzahlen p ≠ 2 und G_{1}(z) besitzt die gleichen Eigenwerte λ_{p} wie die zur elliptischen Kurve 361A gehörende Neuform.

Für das Beispiel aus Satz 25 wurden die ersten 2 · 10^{6} Koeffizienten der Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2} berechnet.

Bis zu welchem Index I man die Koeffizienten der gefundenen Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} aus Satz 24 und 25 bestimmen kann, hängt davon ab, wie schnell die Koeffizienten der Neuformen vom Gewicht 1 bestimmt werden können. In Bungerts Beispiel muß man die Hecke-Operatoren T_{3^{2}} und T_{5^{2}} auf die Neuform vom Gewicht 1 anwenden, im Beispiel aus Satz 25 den Hecke-Operator T_{3^{2}}. Dies bedeutet, daß man 25-mal bzw. 9-mal soviele Koeffizienten der jeweiligen Neuform berechnen muß, um alle Koeffizienten der Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2} bis zum Index I zu kennen. Der Aufwand zur Bestimmung eines Fourier-Koeffizienten a_{p} der Neuform hängt vom Zerlegungsverhalten der Primzahl p ab und läuft auf eine Betrachtung des Elements γ über 𝔽_{p} bzw. endlichen Erweiterungen von 𝔽_{p} hinaus. Diese Rechnungen werden für wachsendes p immer aufwendiger, da man im wesentlichen p-te bzw. p^{3}-te Potenzen des Elements γ über 𝔽_{p} betrachten muß (siehe [Ba]). Man beachte aber, daß alle diese Rechnungen unabhängig von der Stufe sind. Dennoch eignet sich diese Methode nicht zu einer systematischen Bestimmung von Eigenformen vom Gewicht \frac{3}{2}, da in vielen Fällen die entsprechenden Einbettungsprobleme nicht lösbar sind.

5 Beispiel Wir betrachten die Kurve 53A in [BiKu], die durch die Gleichung

E : Y^{2} + XY + Y = X^{3} − X^{2}

gegeben ist. Das Polynom f_{φ}(V) ist V^{4} − V^{2} − 2V + 1. Man sieht leicht, daß das Einbettungsproblem in diesem Fall nicht lösbar ist. Untersucht man den Raum der Modulformen vom Gewicht \frac{3}{2} der von Theta-Reihen aufgespannt wird bis zur Stufe 2^{4} · 53, so zeigt sich, daß man hier keine Linearkombination von Theta-Reihen findet, die Eigenform ist und die gleichen Eigenwerte besitzt wie die zur elliptischen Kurve E gehörende Neuform vom Gewicht 2. Betrachtet man aber den Raum S_{\frac{3}{2}} (Γ_{0}(2^{4} · 53), χ_{0}), so findet man hier die gesuchte Eigenform

F (τ) = q − 2q^{4} − 2q^{9} + q^{13} − q^{16} − q^{17} − 2q^{24} − q^{25} + q^{28} + q^{29} + 4q^{36} + 5q^{37} − 4q^{40} + 3q^{44}

− 3q^{49} − 2q^{52} − q^{53} − 3q^{57} − q^{60} + 5q^{64} + 2q^{68} + q^{69} − 2q^{77} + 3q^{81} − 2q^{93} − q^{96} + 3q^{97}

+ 2q^{100} − 2q^{105} + 6q^{112} − q^{113} − 2q^{116} − 2q^{117} + q^{121} + 2q^{144} − 10q^{148} + 3q^{149} − 2q^{152}

+ 4q^{153} − 2q^{160} + …

19 Bemerkung: Der Ansatz, geeignete Linearkombinationen von Theta-Reihen zu ternären quadratischen Formen zu finden, scheitert in den aufgeführten Beispielen aus den Sätzen 24 und 25 (vgl. [Bu]). Ein Ergebnis von Ponomarev legt nahe, daß dies am Vorzeichen der zur elliptischen Kurve gehörenden L-Reihe in der Funktionalgleichung liegt, das in diesem Fall negativ ist. Die von Ponomarev behandelten ternären quadratischen Formen (siehe [Po] S.125-127 und S.150 Prop.8) werden unter der Shimura-Abbildung auf Modulformen abgebildet, deren zugehörige L-Reihe positives Vorzeichen in der Funktionalgleichung hat. Wie bereits zuvor gesagt, haben wir systematisch alle elliptischen Kurven bis zum Führer 200 untersucht und in allen Fällen, in denen das Vorzeichen der L-Reihe negativ war, keine geeignete Linearkombination ternärer quadratischer Formen gefunden. Die gefundenen Beispiele von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2}, die als Linearkombinationen von Theta-Reihen zu ternären Formen erkannt wurden, sind im Anhang aufgelistet. Weiter findet sich dort eine Liste aller Eigenformen vom Gewicht \frac{3}{2}, die mit der Methode aus Abschnitt 4.2.3 gefunden wurden.

Bestimmung der Ordnung von Tate-Shafare-vic Gruppen zu Twists elliptischer Kurven und 2- und 3-Rangbestimmung der Selmer-Gruppe

Mit den in Kapitel 4 beschriebenen Methoden kann man versuchen, zu einer gegebenen elliptischen Kurve E eine Spitzenform F_{E} vom Gewicht \frac{3}{2} zu konstruieren, die unter der Shimura-Abbildung auf die zu E gehörende Neuform f_{E} vom Gewicht 2 abgebildet wird. Waldspurgers Resultat (vgl. Kapitel 4) erlaubt bei Kenntnis dieser Form F_{E} die Berechnung des Werts der L-Reihe an der Stelle 1 zu Twists E_{−d} von E für geeignete natürliche Zahlen d. Unter Verwendung der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer (siehe [BiSwD]) kann man dann für diese Twists die Ordnung der jeweiligen Tate-Shafarevic Gruppe bestimmen. Aus dem umfangreichen Datenmaterial, das wir gewonnen haben, haben wir verschiedene Beispiele ausgesucht, für die wir dieses Verfahren zur Bestimmung der Tate-Shafarevic Gruppe angewendet haben. Die Ergebnisse finden sich im Anhang. Darüber hinaus haben wir für Serien von Twists elliptischer Kurven die auftretenden 2- und 3-Ränge der Selmer-Gruppe untersucht.

5.1 Auswahl des Beispielmaterials

Am Anfang der hier gemachten numerischen Untersuchungen stand das Studium von Eigenformen vom Gewicht \frac{3}{2}, die man mittels Linearkombinationen von Theta-Reihen zu ternären quadratischen Formen konstruiert hatte. Die Bestimmung aller ternären quadratischen Formen zu gegebener Stufe N kann effizient durchgeführt werden, und die Wirkung von Hecke-Operatoren T_{p^{2}} ist ebenfalls leicht algorithmisch beschreibbar (siehe Satz 22 in Kapitel 4). Ist eine gesuchte Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} konstruiert, so können deren Koeffizienten in der Fourier-Entwicklung schnell bestimmt werden, indem man Darstellungsanzahlen der entsprechenden quadratischen Formen bestimmt. Diese Methode erlaubt die Berechnung der ersten 14 · 10^{6} Koeffizienten der Fourier-Entwicklung, so daß eine große Auswahl an statistischem Material zur Verfügung steht. Die Rechnungen zeigten jedoch, daß für elliptische Kurven, deren L-Reihe ein negatives Vorzeichen in der Funktionalgleichung hat, dieses Verfahren versagte (vgl. Kapitel 4 Bem. 19). Darüber hinaus stellte sich die Frage, ob die gewonnenen Daten unabhängig von der Auswahl des Verfahrens zur Konstruktion einer Eigenform vom Gewicht \frac{3}{2} waren. Um zu überprüfen, ob die gemachten Beobachtungen Eigenschaften von Theta-Reihen oder der elliptischen Kurve wiedergegeben, haben wir versucht, mit dem allgemeinen Verfahren Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2} in all den Fällen zu konstruieren, in denen die erste Methode ergebnislos blieb.

Für alle elliptischen Kurven bis zum Führer 200, die in Tabelle 3 in [BiKu] aufgelistet sind, haben wir die oben beschriebene Vorgehensweise angewendet. Für die elliptischen Kurven

99C, 117A, 120E, 126G, 135A, 147A, 150A, 150G, 153A, 156E, 162A, 171A, 175F, 192A, 196A, 198I, 198Q, 200C und 200E

haben wir keine Eigenform in den von uns untersuchten Räumen von Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} gefunden. In allen anderen Beispielen war mindestens einer der möglichen Ansätze zum Auffinden einer Eigenform erfolgreich.

Der rechnerische Aufwand des in Abschnitt 4.2.3 beschriebenen Verfahrens zur Bestimmung einer Basis des Raums der Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} ist so groß, so daß man bei dessen Anwendung die Anzahl der bestimmten Fourier-Koeffizienten im Vergleich zum ersten Ansatz mittels Theta-Reihen recht bescheiden ist. Für verschiedene Beispiele haben wir jeweils mit dieser Methode die ersten 5 · 10^{5} Koeffizienten bestimmt.

Die Konstruktion einer geeigneten Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2} mittels zweidimensionalen Galoisdarstellungen vom Typ S_{4} erlaubt es, mehr Fourier-Koeffizienten zu berechnen als mit dem allgemeinen Ansatz, ist jedoch in vielen Fällen nicht anwendbar, da die auftretenden Einbettungsprobleme nicht lösbar sind. Für die elliptische Kurve 121D und 361A1 haben wir jeweils die ersten 5 · 10^{5} bzw. 2 · 10^{6} Koeffizienten der Fourier-Entwicklung der Spitzenform bestimmt.

5.2 Numerische Untersuchungen

5.2.1 Häufigkeiten der absoluten Werte von Fourier-Koeffizienten

Sei F_{E}(τ) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}q^{n} eine Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2}, die unter der Shimura-Abbildung auf die Neuform f_{E} abgebildet wird, die zur elliptischen Kurve E gehört. Für ausgewählte Beispiele (siehe Anhang B) haben wir die voran beschriebenen Untersuchungen bzgl. der Ordnung der Tate-Shaferevic Gruppe für Serien von Twists E_{−d} (d ∈ ℕ) zu E durchgeführt. Speziell haben wir dabei untersucht, wie oft innerhalb der von uns betrachteten Koeffizientenanzahl der Betrag der Fourier-Koeffizienten der Eigenform F_{E} den Wert m (m ∈ ℕ) annimmt.

Hierzu wurden allen Koeffizienten a_{n} von F_{E} für n ∈ S ⊆ ℕ bestimmt. Weiter wurden die Mengen

S_{M} := {n ∈ S | n ⩽ M}

und

S̃ := {n ∈ S_{M} | n quadratfrei und n erfüllt gewisse Kongruenzbedingungen} eingeführt (die Kongruenzbedingungen können mit Hilfe der Funktionalgleichung der L-Reihe der elliptischen Kurve E bestimmt werden und sind für die berechneten Beispiele jeweils explizit angegeben (siehe Anhang D)).

Es wurden nun die Häufigkeiten

H_{m}(M) := \frac{|\{n ∈ S̃ | |a_{n}| = m\}|}{|S̃|},

sowie der Erwartungswert

K(M) := \frac{1}{|S̃|} · ∑_{n∈S̃} |a_{n}|

berechnet.

Die numerischen Resultate der einzelnen Beispiele führten zu folgender Beobachtung

H_{m}(M) ∼ \frac{c}{log^{2}(M)} und K(M) ∼ d\sqrt[4]{M}

mit geeigneten Konstanten c und d.

Die gemachte experimentelle Beobachtung bezüglich des Erwartungswerts K(M) ist ein bekanntes Ergebnis aus der Theorie der Spitzenformen.

Es ist uns nicht gelungen, das beobachtete asymptotische Verhalten der Häufigkeiten H_{m}(M) in einem Satz exakt zu formulieren. Die gemachten Rechnungen legen jedoch die Existenz eines universellen Gesetzes nahe, das die Häufigkeitsverteilung der absoluten Werte der Fourier-Koeffizienten auf diese Weise korrekt beschreibt.

Wie zu Beginn dieses Abschnitts angesprochen, zeigte sich, daß das Verhalten der Fourier-Koeffizienten unabhängig von der Existenz einer geeigneten Spitzenform im von Theta-Reihen zu ternären quadratischen Formen aufgespannten Raum ist (siehe Anhang D). In allen von uns betrachteten Beispielen, in denen man keine Spitzenform mittels ternärer Formen konstruieren konnte, zeigte sich das gleiche asymptotische Verhalten bei den Fourier-Koeffizienten. Dies läßt vermuten, daß die Konstante c nur vom betrachteten Wert m und globalen Daten wie dem Führer der elliptischen Kurve abhängt.

Die in den Beispielen gewonnenen Ergebnisse sind dem Anhang zu entnehmen, wo man anhand der verschiedenen Tabellen die gemachten Vermutungen verifizieren kann. Hierbei ist zu bemerken, daß in den Fällen, in denen wir Spitzenformen mit Theta-Reihen zu ternären quadratischen Formen konstruiert haben, das jeweilige asymptotische Verhalten besser ist als in den Beispielen, in denen diese Methode versagte. Dies ist aber auf das, wie im ersten Abschnitt erwähnte, weit umfangreicher Datenmaterial zurückzuführen, das uns in diesen Fällen zur Verfügung stand.

5.2.2 Bestimmung des 2-Rangs der Selmer-Gruppe elliptischer Kurven

Heath-Brown hat in [Hb1] und [Hb2] den 2-Rang s(D) der Selmer-Gruppe der elliptischen Kurven

E_{D} : Y^{2} = X^{3} − D^{2}X mit D ∈ ℕ

untersucht. Das Hauptergebnis dieser Arbeiten ist folgende Aussage über das asymptotische Verhalten des 2-Rangs s(D) der Selmer-Gruppe der Kurve E_{D}.

26 Satz Sei S(X, h) = {1 ⩽ D ⩽ X | D ≡ h (mod 8), D ≡ 1 (mod 2), D quadratfrei }, dann gilt

∑_{D∈S(X,h)} 2^{s(D)} ∼ 3|S(X, h)| für X → ∞.

Beweis:

siehe [Hb1].

■

Leider ist die Konvergenzrate bezüglich des richtigen Wertes im obigen Satz sehr langsam, so daß man erst für sehr große Twist D erwarten kann, den vorhergesagten Wert zu erreichen. Erst für Twists D, bei denen D 20 Primteiler hat, ist man dem wahren Wert sehr nahe (vgl. Tabelle 1 in [Hb2]). Numerische Berechnungen des 2-Rangs der Selmer-Gruppe zu Twists D für diese Familie von elliptischen Kurven bestätigen dies. Diese Resultate zeigen auch, daß ein 2-Rang größer als 2 nur noch sehr selten angenommen wird. Berechnet man für das obige Beispiel den 2-Rang s(D) für Twists 1 ⩽ D ⩽ X := 2 · 10^{6}, so erhält man die Werte

\begin{matrix}D ≡ h (mod 8) & ∑_{D∈S(X,h)} 2^{s(D)}/|S(X, h)| \\ 1 & 3.670 \\ 3 & 2.322 \\ 5 & 2.903 \\ 7 & 2.846 \end{matrix}

Summiert man über alle vier betrachteten Restklassen modulo 8, so erhält man den Wert

∑_{D∈S(X)} \frac{2^{s(D)}}{|S(X)|} = 2.935 … mit S(X) := ⋃_{h=1,3,5,7} S(X, h) und X := 2 · 10^{6}.

Die Häufigkeit der verschiedenen 2-Ränge innerhalb des betrachteten Bereichs ist

2-Rang Häufigkeit
0  0.275
1  0.423
2  0.212
3  0.070
4  0.012
5  0.00066
6  0.00003

Wir haben versucht, das obige Ergebnis auf andere elliptische Kurven zu übertragen. Auf die Ergebnisse von [Hb1] und [Hb2] stützend, sind wir dabei von der Vereinfachung ausgegangen, daß größere 2-Ränge bzw. 3-Ränge für das asymptotische Verhalten vernachlässigbar sind. Bei unseren Rechnungen haben wir auf die Einteilung der betrachteten Twists in Kongruenzklassen verzichtet und über alle ungeraden, quadratfreien Twists D kleiner als X := 5 · 10^{5} summiert. Wir erhielten folgende numerischen Resultate

Kurve ∑_{D} 2^{s(D)}/|S(X)|
19B  1.708
37A  1.832
53A  1.963
61A  1.989
89C  1.993
361A  1.839

2-Rang

Kurve ∑_{D} 3^{s(D)}/|S(X)|
19B  3.099
37A  2.631
53A  2.621
61A  2.730
89C  2.631
361A  3.561

3-Rang

72  5.2 Numerische Untersuchungen

Anhang A

Tabellen von Eigenformen vom Gewicht \frac{3}{2}

Mit den in Kapitel 4 beschriebenen Methoden wurde versucht, für die in Tabelle 1 in [BiKu] aufgeführten elliptischen Kurven bis zum Führer 200 eine Eigenform vom Gewicht \frac{3}{3} zu konstruieren, die unter der der Shimura-Abbildung auf die zur elliptischen Kurve gehörende Neuform vom Gewicht 2 abgebildet wird.

Die Konstruktion solch einer Spitzenform ist uns für fast alle Kurven in [BiKu] gelungen (vgl. Kapitel 5).

In der ersten Tabelle haben wir alle Fälle aufgelistet, in denen bereits im Raum, der von Theta-Reihen zu ternären quadratischen Formen aufgespannt wird, eine geeignete Eigenform gefunden werden konnte. Ternäre Formen haben wir dabei als 6-Tupel (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}) angegeben. Wir verstehen darunter die Form

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a_{1}x_{1}^{2} + a_{2}x_{2}^{2} + a_{3}x_{3}^{2} + a_{4}x_{2}x_{3} + a_{5}x_{1}x_{3} + a_{6}x_{1}x_{2}.

Die zu jeder Kurve aufgeführten ternären Formen geben eine Linaerkombination von Theta-Reihen, welche die gesuchte Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2} liefern. Zusätzlich haben wir noch die Determinate D und die Stufe der ternären Formen für jedes Beispiel angegeben. Man beachte, daß ein Nebentyp χ_{D} auftritt, falls 2D ∉ ℤ^{∗}^{2} ist.

In der zweiten Tabelle sind alle Beispiele aufgeführt, in denen wir mit der ersten Methode nicht erfolgreich waren, aber mit dem Verfahren aus Abschnitt 4.2.3 eine Eigenform gefunden werden konnte. Für die jeweils betrachtete Stufe N wurde hierzu eine Basis des Raums der Spitzenformen S_{\frac{3}{2}} (16 · N, χ_{0}) bestimmt und dann nach geigeneten Eigenformen unter Hecke-Operatoren in diesem Raum gesucht. Im Falle einer geraden Stufe wurden, um den Rechenaufwand zu reduzieren, zuerst die Räume S_{\frac{3}{2}} (8 · N, χ_{0}) bzw. S_{\frac{3}{2}} (4 · N, χ_{0}) untersucht. Neben den gefundenen Eigenformen haben wir noch die Dimension des betrachteten Raums der Spitzenformen vom Gewicht \frac{3}{2} angegeben.

In der dritten Tabelle haben wir für alle Beispiele aus Tabelle 2 eine Linearkombination der gefundenen Eigenformen angegeben die unter der Shimura-Abbildung auf die zur elliptischen Kurve gehörende Neuform vom Gewicht 2 abgebildet wird. Der in der Tabelle angebene Parameter t bezieht sich auf den Charakter χ_{t} in Satz 4 in Kapitel 1.

\underline{74}

Für die Beispiele

145A,175C und 189C

konnte keine geeignete Linearkombination gefunden werden.

\underline{75}

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1,11,11, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 4,11, 0, 0, 2)  2^{3} · 11^{2}  2^{2} · 11  11B
f_{1}  ( 1, 7, 7, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 4 ,7, 0, 0, 2)  2^{3} · 7^{2}  2^{2} · 7  14C
f_{1}  ( 2, 2,15, 0, 0, 1)
f_{2}  ( 3, 3, 5, 5, 0, 0)  2 · 3^{2} · 5^{2}  2^{2} · 3 · 5  15C
f_{1}  ( 6,12,17, 0, 0, 4)
f_{2}  ( 5, 7,34, 0, 0, 2)  2^{5} · 17^{2}  2^{4} · 17  17C
f_{1}  ( 5,16,19, 0, 0, 4)
f_{2}  ( 4, 5,76, 0, 0, 2)  2^{5} · 19^{2}  2^{4} · 19  19B
f_{1}  ( 1,10,10, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 4, 5, 6, 0, 4, 0)  2^{5} · 5^{2}  2^{3} · 5  20B
f_{1}  ( 3, 7, 7, 7, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 6, 7, 0, 0, 3)  2 · 3^{2} · 7^{2}  2^{2} · 3 · 7  21B
f_{1}  ( 2, 3,24, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 5, 5, 6, 0, 0, 2)  2^{7} · 3^{2}  2^{5} · 3  24B
f_{1}  ( 1,13,26, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 9,13, 0, 0, 2)  2^{4} · 13^{2}  2^{3} · 13  26B
f_{1}  ( 1,13,13, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 9, 9,-8, 2, 2)  2^{3} · 13^{2}  2^{2} · 13  26D
f_{1}  ( 1, 3,27, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 4, 7, 2, 0, 0)  2^{3} · 3^{4}  2^{2} · 3^{3}  27B
f_{1}  ( 6,10,15, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 1,30,30, 0, 0, 0)  2^{5} · 3^{2} · 5^{2}  2^{3} · 3 · 5  30A
f_{1}  ( 1, 2,32, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 4, 9, 4, 0, 0)  2^{9}  2^{6}  32B
f_{1}  ( 5,14,20,14, 2, 4)
f_{2}  ( 3,11,33, 0, 0, 0)  2^{3} · 3^{2} · 11^{2}  2^{3} · 3 · 11  33B

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1,17,17, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 9,17, 0, 0, 2)  2^{3} · 17^{2}  2^{2} · 17  34A
f_{1}  ( 4, 9,11, 9, 1, 2)
f_{2}  ( 1, 9,35, 0, 0, 1)  2 · 5^{2} · 7^{2}  2^{2} · 5 · 7  35B
f_{1}  ( 1, 1,36, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 4, 9, 0, 0, 0)  2^{5} · 3^{2}  2^{3} · 3^{2}  36A
f_{1}  ( 5, 6,13, 4, 1, 3)
f_{2}  ( 2,14,14,-9, 1, 1)  2 · 37^{2}  2^{2} · 37  37C
f_{1}  ( 2,10,19, 0, 0, 2)
f_{2}  ( 3,13,13,-12,2, 2)  2^{3} · 19^{2}  2^{2} · 19  38A
f_{1}  (11,23,28,-12, 4,10)
f_{2}  ( 4,19,76, 0, 0, 0)
f_{3}  (16,19,20, 0, 8, 0)  2^{7} · 19^{2}  2^{4} · 19  38D
f_{4}  ( 7,11,76, 0, 0, 2)
f_{1}  ( 5, 8,11, 1, 5, 2)
f_{2}  ( 2, 5,39, 0, 0, 1)  3^{2} · 13^{2}  2^{2} · 39  39B
f_{1}  ( 5, 8,10, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 5,40, 0, 0, 0)  2^{7} · 5^{2}  2^{5} · 5^{2}  40B
f_{1}  ( 3, 7, 7, 7, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 6, 7, 0, 0, 3)  2 · 3^{2} · 7^{2}  2^{2} · 3 · 7  42A
f_{1}  ( 6, 8,11, 0, 0, 4)
f_{1}  ( 2,11,22, 0, 0, 0)  2^{5} · 11^{2}  2^{3} · 11  44A
f_{1}  ( 6, 9,74, 8, 4 , 4)
f_{2}  ( 9, 9,46,-4, 4, 2)  2^{7} · 3^{2} · 5^{2}  2^{5} · 3^{2} · 5  45A
f_{1}  ( 4, 6,24, 1, 4, 2)
f_{2}  ( 1, 6,92, 0, 0, 1)
f_{3}  ( 2,12,26,-11, 1, 2)  2^{3} · 23^{2}  2^{4} · 23  46A
f_{4}  ( 4, 6,25,-5, 3, 2)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 4,12,13, 0, 4, 0)
f_{2}  ( 1,12,48, 0, 0, 0)  2^{9} · 3^{2}  2^{6} · 3  48B
f_{1}  ( 3, 3,10,-1, 1, 1)
f_{2}  ( 5, 5, 5, 4, 4, 3)  2 · 7^{3}  2^{2} · 7^{2}  49A
f_{1}  ( 1, 1,25, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 3, 5, 2, 2, 0)  2^{3} · 5^{2}  2^{2} · 5^{2}  50A
f_{1}  ( 2,20,100, 0, 0, 0)
f_{2}  (12,18,20, 0, 0, 8)  2^{8} · 5^{3}  2^{4} · 5^{2}  50E
f_{1}  ( 4,13,16,13, 1, 2)
f_{2}  ( 1,13,51, 0, 0, 1)  2 · 3^{2} · 17^{2}  2^{2} · 3 · 17  51A
f_{1}  ( 4,13,13, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 1,13,52, 0, 0, 0)  2^{5} · 13^{2}  2^{4} · 13  52B
f_{1}  ( 6, 7,10, 2, 0, 6)
f_{2}  ( 4, 6,15, 6 ,0, 0)  2^{5} · 3^{4}  2^{4} · 3^{3}  54E
f_{1}  ( 5, 6,11, 0, 2, 0)
f_{2}  ( 2, 6,27, 0, 0, 0)  2^{5} · 3^{4}  2^{3} · 3^{3}  54A
f_{1}  ( 7, 8,17,-7, 6, 2)
f_{2}  ( 2, 7,55, 0, 0, 1)  2 · 5^{2} · 11^{2}  2^{2} · 5 · 11  55B
f_{1}  ( 8, 9,14, 0, 0, 8)
f_{2}  ( 2, 7,56, 0, 0, 0)  2^{7} · 7^{2}  2^{5} · 7  56A
f_{1}  (10,10,10, 6, 6, 6)
f_{2}  ( 6, 6,24,-4, 4, 2)  2^{7} · 7^{2}  2^{6} · 7  56C
f_{1}  (10,13,31, 4,10, 8)
f_{2}  ( 3,19,57, 0, 0, 0)  2^{3} · 3^{2} · 19^{2}  2^{2} · 3 · 19  57B
f_{1}  (13,31,37,-16,10, 4)
f_{2}  (12,15,76, 0, 0, 6)
f_{3}  ( 3,57,76, 0, 0, 0)  2^{5} · 3^{2} · 19^{2}  2^{4} · 3 · 19  57F
f_{4}  (19,21,33, 6, 0, 0)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 5, 6,29, 0, 0, 2)
f_{2}  ( 1,29,29, 0, 0, 0)  2^{3} · 29^{2}  2^{2} · 29  58B
f_{1}  ( 6,11,17, 2, 6, 4)
f_{2}  ( 3,21,21,-20, 2, 2)  2^{3} · 31^{2}  2^{2} · 31  62A
f_{1}  ( 2, 4,63, 0, 0, 2)
f_{2}  ( 7, 7, 9, 0, 0, 0)  2^{3} · 3^{2} · 7^{2}  2^{2} · 3^{2} · 7  63A
f_{1}  ( 1, 1,64, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 2,17, 2, 2, 0)  2^{9}  2^{8}  64B
f_{1}  ( 2,17,33, 0, 0, 2)
f_{2}  ( 6,11,18, 0, 6, 0)  2^{3} · 3^{2} · 11^{2}  2^{2} · 3 · 11  66E
f_{1}  ( 6, 7,33, 0, 0, 6)
f_{2}  ( 7,10,19,10, 2, 4)  2^{3} · 3^{2} · 11^{2}  2^{2} · 3 · 11  66A
f_{1}  ( 1,33,33, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 3,22,22,22, 0, 0)  2^{3} · 3^{2} · 11^{2}  2^{2} · 3 · 11  66I
f_{1}  ( 4,21,55,-8, 3, 1)
f_{2}  ( 6,14,56,-11, 2, 1)
f_{3}  (10,22,23,-9, 7, 3)
f_{4}  ( 4,17,68, 1, 4, 2)  2^{3} · 67^{2}  2^{4} · 67  67A
f_{5}  (16,17,24,-15,14, 4)
f_{6}  ( 6,15,56,12, 2, 5)
f_{1}  ( 7,10,21,-9, 6, 2)
f_{2}  ( 7,10,19, 1, 7, 2)  2 · 3^{2} · 23^{2}  2^{2} · 3 · 23  69A
f_{1}  ( 6, 6,35, 0, 0, 2)
f_{2}  ( 5,14,21,14, 0, 0)  2^{3} · 5^{2} · 7^{2}  2^{2} · 5 · 7  70A
f_{1}  ( 3,13,18,12, 0, 2)
f_{2}  ( 5,11,12,-4, 4, 2)  2^{9} · 3^{2}  2^{7} · 3^{2}  72A
f_{1}  ( 5,11,26,-7, 3, 1)
f_{2}  (10,13,14,12, 7, 3)
f_{3}  ( 7,11,21,11, 2, 4)  2 · 73^{2}  2^{2} · 73  73B
f_{4}  ( 7,11,20, 2, 7, 4)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  (36,36,84,-24,24, 8)
f_{2}  ( 4,80,320,80, 0, 0)  2^{11} · 3 · 5^{3}  2^{4} · 3 · 5^{2}  75A
f_{1}  (64,76,96,-72,24,16)
f_{2}  ( 4,300,300, 0, 0, 0)
f_{3}  (16,76,300, 0, 0, 8)  2^{9} · 3^{2} · 5^{2}  2^{4} · 3 · 5  75C
f_{4}  (24,100,156, 0,24, 0)
f_{1}  ( 6, 7,22, 4, 0, 0)
f_{2}  ( 1,12,78,12, 0, 0)  2^{5} · 3^{2} · 5^{2}  2^{3} · 3 · 5  75E
f_{1}  ( 8,10,19, 0, 0, 4)
f_{2}  ( 2,19,38, 0, 0, 0)  2^{5} · 19^{2}  2^{3} · 19  76A
f_{3}  (12,103,311, 2,12, 4)
f_{4}  (47,55,159,-22,18,22)
f_{1}  (31,47,320,-32,16,30)  2^{9} · 7^{2} · 11^{2}  2^{4} · 7 · 11  77A
f_{2}  (48,103,108,-100,32, 8)
f_{1}  ( 7,11,21, 0, 7, 0)
f_{2}  ( 2,29,29,-19, 1, 1)
f_{3}  ( 7,11,22,11, 0, 0)  2^{2} · 7^{2} · 11^{2}  2^{2} · 7 · 11  77D
f_{4}  ( 8, 8,28, 7, 7, 5)
f_{1}  ( 3, 4, 4, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 2,20, 2, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 5, 8, 2, 0, 0)  2^{3} · 3 · 13  2^{2} · 3 · 13  78A
f_{4}  ( 1, 6, 8, 6, 0, 0)
f_{1}  ( 4, 6,21, 2, 4, 4)
f_{2}  ( 1, 5,80, 0, 0, 0)  2^{7} · 5^{2}  2^{6} · 5  80B
f_{1}  ( 3,20,27, 0, 2, 0)
f_{2}  ( 7,12,20, 0, 0, 4)  2^{9} · 5^{2}  2^{6} · 5  80F
f_{1}  ( 1,21,84, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 4,21,21, 0, 0, 0)  2^{5} · 3^{2} · 7^{2}  2^{4} · 3 · 7  84C
f_{1}  ( 5,17,21, 0, 0, 2)
f_{2}  ( 5, 5,84, 0, 0, 4)  2^{5} · 3^{2} · 7^{2}  2^{4} · 3 · 7  84A

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  (11,29,29,-27, 1, 1)
f_{2}  ( 5,31,51,17, 0, 5)  2^{3} · 5^{2} · 17^{2}  2^{4} · 5 · 17  85A
f_{1}  ( 3,52,52,15, 1, 1)
f_{2}  ( 6,27,56,-21, 3, 5)
f_{3}  (14,24,28,14, 12, 3)
f_{4}  ( 6,26,56,-22, 3, 1)
f_{5}  (12,13,54,-7,10, 1)  2^{3} · 89^{2}  2^{4} · 89  89A
f_{6}  (12,30,30,-29, 4, 4)
f_{7}  (12,14,52, 8, 2, 7)
f_{8}  (14,26,28,-8,12,11)
f_{1}  ( 1,10,25,10, 0, 0)
f_{2}  ( 5, 5, 9, 0, 0, 0)  2^{3} · 3^{2} · 5^{2}  2^{2} · 3^{2} · 5  90A
f_{1}  ( 3, 3,10, 0, 0 ,3)
f_{2}  ( 1, 1,90, 0, 0, 1)  2^{2} · 3^{3} · 5  2^{3} · 3^{2} · 5  90E
f_{1}  ( 7,10,13, 0, 2, 0)
f_{2}  ( 2, 5,90, 0, 0, 0)  2^{5} · 3^{2} · 5^{2}  2^{3} · 3^{2} · 5  90M
f_{1}  (11,14,19,12,10, 8)
f_{2}  ( 5,10,46, 0, 0, 4)  2^{5} · 23^{2}  2^{3} · 23  92A
f_{1}  ( 5,19,29,-18, 4, 2)
f_{2}  (10,11,26, 4,10, 8)  2^{3} · 47^{2}  2^{2} · 47  94A
f_{1}  ( 4, 6,25, 0, 4, 0)
f_{2}  ( 1, 6,96, 0, 0, 0)  2^{9} · 3^{2}  2^{7} · 3  96F
f_{1}  ( 2, 3,96, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2,12,27,12, 0, 0)  2^{9} · 3^{2}  2^{7} · 3  96B
f_{2}  ( 2, 4,49, 0, 0, 2)
f_{3}  ( 1, 7,49, 0, 0, 0)
f_{4}  ( 1,14,28,14, 0, 0)  2^{3} · 7^{3}  2^{2} · 7^{2}  98B
f_{1}  ( 8, 8, 9,-8, 6, 2)
f_{5}  ( 2, 7,25, 0, 2, 0)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 9,16,22,11, 0, 9)
f_{2}  ( 1,25,99,0,0,1)  2 · 3^{4} · 11^{2}  2^{2} · 3^{2} · 11  99F
f_{1}  ( 1, 6,13, 3, 1, 0)
f_{2}  ( 4, 4, 6,-3, 3, 1)  2 · 3^{3} · 11  2^{2} · 3^{2} · 11  99H
f_{1}  ( 1, 2,50, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 6, 9, 4, 0, 0)  2^{5} · 5^{2}  2^{3} · 5^{2}  100A
f_{1}  ( 2, 2, 7, 2, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 1,26, 1, 1, 0)  2^{2} · 3 · 17  2^{3} · 3 · 17  102A
f_{3}  ( 2, 2, 7, 1, 1, 1)
f_{1}  ( 3,34,34,34, 0, 0)
f_{2}  ( 6,10,51, 0, 0, 6)  2^{3} · 3^{2} · 17^{2}  2^{2} · 3 · 17  102G
f_{1}  ( 9,12,26, 0, 0, 4)
f_{2}  ( 3, 9,104, 0, 0, 2)  2^{7} · 13^{2}  2^{5} · 13  104A
f_{1}  ( 1, 2,15, 0, 0, 1)
f_{2}  ( 1, 4, 7, 0, 0, 1)  2 · 3 · 5 · 7  2^{2} · 3 · 5 · 7  105A
f_{1}  ( 1, 6, 9, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 5, 6, 2, 2, 0)  2^{3} · 53  2^{2} · 53  106B
f_{3}  ( 1, 1,53, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 2,27, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 3, 7, 2, 0, 2)  2^{3} · 53  2^{2} · 53  106D
f_{3}  ( 2, 3,11, 2, 0, 2)
f_{1}  ( 1, 6, 9, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 5, 6, 2, 2, 0)  2^{3} · 53  2^{2} · 53  106E
f_{3}  ( 1, 1,53, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 3, 8,14, 4, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 3,54, 0, 0, 0)  2^{5} · 3^{4}  2^{3} · 3^{3}  108A
f_{1}  ( 1, 5, 6, 0, 1, 1)
f_{2}  ( 2, 3, 5, 2, 1, 0)  2 · 109  2^{2} · 109  109A
f_{3}  ( 1, 3,10, 1, 0, 1)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 6,19,29, 2, 6, 4)
f_{2}  (10,11,30, 0,10, 0)  2^{3} · 5^{2} · 11^{2}  2^{5} · 5 · 11  110A
f_{1}  ( 3,37,37,-36, 2, 2)
f_{2}  ( 5,22,33,22, 0, 0)  2^{3} · 5^{2} · 11^{2}  2^{2} · 5 · 11  110C
f_{1}  ( 2, 5, 7, 4, 0, 2)
f_{2}  ( 1, 4,14, 2, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 1,55, 0, 0, 0)  2^{2} · 5 · 11  2 · 5 · 11  110E
f_{4}  ( 3, 4, 5, 0, 0, 2)
f_{5}  ( 1, 5,11, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 4, 7,29, 0, 4, 0)
f_{2}  ( 1,28,35,28, 0, 0)  2^{7} · 7^{2}  2^{6} · 7  112A
f_{1}  ( 2, 7,10, 6, 0, 2)
f_{2}  ( 2, 3,23, 0, 2, 2)  2^{7} · 7  2^{6} · 7  112E
f_{1}  ( 1, 6, 6, 5, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 1,38, 1, 0, 1)
f_{3}  ( 2, 3, 5, 1, 0, 1)
f_{4}  ( 1, 5, 6, 1, 0, 1)  2 · 113  ·2^{2} · 113  113B
f_{5}  ( 3, 3, 4, 3, 0, 1)
f_{6}  ( 1, 3,10, 2, 1, 0)
f_{7}  ( 2, 3, 6,-1, 1, 2)
f_{1}  ( 6,19,30, 0, 6, 0)
f_{2}  ( 1,57,57, 0, 0, 0)  2^{3} · 3^{2} · 19^{2}  2^{2} · 3 · 19  114A
f_{1}  ( 3, 4, 6,-2, 2, 2)
f_{2}  ( 1, 6,11, 6, 0, 0)  2^{3} · 3 · 19  2^{2} · 3 · 19  114E
f_{3}  ( 2, 3,12, 0, 2, 2)
f_{1}  ( 3, 5, 5, 4, 2, 2)
f_{2}  ( 2, 2,19, 0, 0, 2)  2^{3} · 3 · 19  2^{2} · 3 · 19  114G
f_{3}  ( 1, 2,29, 2, 0, 0)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1, 6,10, 2, 1, 0)
f_{2}  ( 3, 4, 6, 0, 1, 3)
f_{3}  ( 1, 1,58, 1, 1, 0)
f_{4}  ( 2, 4, 8, 3, 0, 1)  2^{2} · 5 · 23  2^{3} · 5 · 23  115A
f_{5}  ( 2, 2,15, 2, 1, 0)
f_{6}  ( 4, 4, 5, 3, 3, 3)
f_{1}  ( 1, 9,13, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 1,116, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 5,24, 4, 0, 0)  2^{5} · 29  2^{4} · 29  116A
f_{4}  ( 4, 5, 6, 2, 0, 0)
f_{5}  ( 1, 4, 29, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 9,13, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 1,116, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 5,24, 4, 0, 0)  2^{5} · 29  2^{4} · 29  116D
f_{4}  ( 4, 5, 6, 2, 0, 0)
f_{5}  ( 1, 4, 29, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 9,13, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 1,116, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 5,24, 4, 0, 0)  2^{5} · 29  2^{4} · 29  116E
f_{4}  ( 4, 5, 6, 2, 0, 0)
f_{5}  ( 1, 4, 29, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 2,15, 0, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 3,11, 0, 1, 1)  2^{2} · 59  2^{3} · 59  118D
f_{1}  ( 1, 7, 9, 4, 0, 0)
f_{2}  ( 4, 4, 5, 4, 0, 2)
f_{3}  ( 1, 5,12, 2, 0, 0)
f_{4}  ( 1, 1,59, 0, 0, 0)  2^{3} · 59  2^{2} · 59  118E
f_{5}  ( 2, 4, 9, 0, 2, 2)
f_{6}  ( 1, 4,15, 2, 0, 0)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 2, 3, 5, 1, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 2,15, 0, 1, 0)  2^{2} · 59  2^{3} · 59  118B
f_{3}  ( 1, 3,11, 0, 1, 1)
f_{1}  ( 5, 5,12, 0, 0, 5)
f_{2}  ( 3, 5,17, 5, 3, 0)  2^{3} · 3^{2} · 5^{2}  2^{4} · 3 · 5  120E
f_{1}  (10,15,24, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 6,25,25,10, 0, 0)  2^{7} · 3^{2} · 5^{2}  2^{5} · 3 · 5  120A
f_{1}  ( 2, 3,13, 3, 0, 2)
f_{2}  ( 2, 3,13,-1, 2, 2)  2^{2} · 11^{2}  2^{3} · 11^{2}  121A
f_{1}  ( 5, 9, 9, 7, 2, 2)
f_{2}  (1,11,33,11, 0, 0)
f_{3}  ( 4, 4,25,-2, 2, 3)  2 · 11^{3}  2^{2} · 11^{2}  121H
f_{4}  ( 1, 3,121, 0, 0, 1)
f_{1}  ( 5, 9, 9, 7, 2, 2)
f_{2}  (1,11,33,11, 0, 0)
f_{3}  ( 4, 4,25,-2, 2, 3)  2 · 11^{3}  2^{2} · 11^{2}  121F
f_{4}  ( 1, 3,121, 0, 0, 1)
f_{1}  ( 6,11,62, 0, 0, 4)
f_{2}  (11,17,24,12, 8, 2)  2^{5} · 31^{2}  2^{3} · 31  124A
f_{1}  ( 7, 8, 8, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 7,32, 0, 2, 0)  2^{3} · 3^{2} · 7^{2}  2^{2} · 3^{2} · 7  126A
f_{1}  ( 1, 8,128, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 4, 8,33, 0, 4, 0)  2^{13}  2^{9}  128G
f_{1}  ( 4, 9,10, 8, 0, 4)
f_{2}  ( 1,10,26, 4, 0, 0)  2^{11}  2^{9}  128F
f_{1}  ( 2,24,88,16, 0, 0)
f_{2}  ( 8,24,26,16, 8, 0)  2^{15}  2^{9}  128A

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1, 7,19, 3, 1, 0)
f_{2}  ( 1,11,12, 0, 0, 1)
f_{3}  ( 1, 5,28, 4, 0, 1)  2^{3} · 3 · 43  2^{2} · 3 · 43  129B
f_{4}  ( 3, 5,11, 0, 3, 3)
f_{5}  ( 1, 1,172, 0, 0, 1)
f_{1}  ( 5,13,65, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2,33,65, 0, 0, 2)  2^{3} · 5^{2} · 13^{2}  2^{2} · 5 · 13  130A
f_{1}  ( 1, 9,29, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 5, 6,10,-4, 2, 2)
f_{3}  ( 1, 1,260, 0, 0, 0)
f_{4}  ( 1, 4,65, 0, 0, 0)  2^{5} · 5 · 13  2^{4} · 5 · 13  130J
f_{5}  ( 5, 5,12, 4, 4, 0)
f_{6}  ( 4, 9, 9, 8, 0, 0)
f_{1}  ( 1,66,66, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 4,33,34, 0, 4, 0)  2^{5} · 3^{2} · 11^{2}  2^{3} · 3 · 11  132A
f_{1}  ( 6,29,29,-8, 6, 6)
f_{2}  ( 8,17,33, 0, 0, 4)
f_{3}  (17,17,18,-6, 6,10)  2^{5} · 3^{2} · 11^{2}  2^{4} · 3 · 11  132C
f_{4}  ( 2,17,132, 0, 0, 2)
f_{1}  ( 4, 6, 6,-3, 3, 3)
f_{2}  ( 1, 4,27, 0, 0, 1)  ·2 · 3^{4} · 5  2^{2} · 3^{3} · 5  135B
f_{1}  ( 8,19,34, 0, 0, 8)
f_{2}  ( 4,34,35, 0, 4, 0)  2^{7} · 17^{2}  2^{5} · 17  136C
f_{1}  (11,14,38,14, 4, 8)
f_{2}  ( 5,14,69, 0, 0, 2)  2^{3} · 3^{2} · 23^{2}  2^{2} · 3 · 23  138A

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 2, 2,10,-2, 1, 1)
f_{2}  ( 1, 2,20, 0, 1, 1)  2^{2} · 3 · 23  2^{3} · 3 · 23  138G
f_{3}  ( 2, 4, 5, 1, 0, 2)
f_{1}  ( 1, 2,20, 1, 0, 1)
f_{2}  ( 1, 3,13, 2, 0, 1)
f_{3}  ( 2, 3, 6, 1, 1, 0)  2 · 139  2^{2} · 139  139A
f_{4}  ( 1, 5, 7, 1, 0, 0)
f_{5}  ( 1, 5, 8, 4, 1, 0)
f_{1}  ( 8,18,35, 0, 0, 4)
f_{2}  ( 2,35,70, 0, 0, 0)  2^{5} · 5^{2} · 7^{2}  2^{3} · 5 · 7  140A
f_{1}  ( 2, 5, 7, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 5,14, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 2, 3,12, 2, 0, 0)  2^{4} · 5 · 7  2^{3} · 5 · 7  140C
f_{4}  ( 4, 5, 5,-4, 2, 2)
f_{1}  ( 3, 3, 6,-2, 1, 3)
f_{2}  ( 1, 1,47, 0, 0, 1)
f_{3}  ( 1, 3,12, 0, 1, 0)
f_{4}  ( 2, 3, 6, 0, 1, 0)  2 · 3 · 47  2^{2} · 3 · 47  141G
f_{5}  ( 3, 3, 4, 1, 0, 0)
f_{6}  ( 3, 3, 5, 3, 2, 0)
f_{1}  ( 2, 4, 5,-2, 1, 1)
f_{2}  ( 1, 4,10, 3, 0, 1)  2 · 3 · 47  2^{2} · 3 · 47  141A
f_{3}  ( 1, 5, 8,-2, 1, 1)
f_{1}  ( 2, 4, 5,-2, 1, 1)
f_{2}  ( 1, 4,10, 3, 0, 1)  2 · 3 · 47  2^{2} · 3 · 47  141H
f_{1}  ( 1, 8,10, 6, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 1,71, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 6,12, 2, 0, 0)  2^{3} · 71  2^{2} · 71  142A
f_{4}  ( 1, 4,18, 2, 0, 0)
f_{5}  ( 1, 2,36, 2, 0, 0)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1, 3,13, 1, 0, 1)
f_{2}  ( 3, 3, 5,-3, 1, 1)  2^{2} · 71  2^{3} · 71  142C
f_{1}  ( 1, 6,12, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 4,18, 2, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 8, 9, 2, 0, 0)
f_{4}  ( 4, 4, 5, 2, 0, 2)
f_{5}  ( 1, 8,10, 6, 0, 0)  2^{3} · 71  2^{2} · 71  142G
f_{6}  ( 1, 2,36, 2, 0, 0)
f_{7}  ( 1, 5,15, 4, 0, 0)
f_{8}  ( 1, 1,71, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 3,11,18, 0, 0, 2)
f_{2}  ( 2,16,19, 8, 0, 0)  2^{9} · 3^{2}  2^{7} · 3^{2}  144E
f_{1}  ( 4, 5, 9, 0, 0, 4)
f_{2}  ( 1, 4,37, 4, 0, 0)  2^{7} · 3^{2}  2^{6} · 3^{2}  144A
f_{1}  ( 2, 3, 7, 3, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 3,13, 3, 0, 0)
f_{3}  ( 2, 4, 5, 2, 0, 1)  2^{4} · 19  2^{5} · 19  147I
f_{4}  ( 1, 1,49, 0, 0, 1)
f_{5}  ( 1, 5, 8, 0, 1, 1)
f_{1}  ( 2,11,15,-10, 1, 2)
f_{2}  ( 4, 8, 9,-1, 2, 3)  2 · 3 · 7^{3}  2^{2} · 3 · 7^{2}  147C
f_{3}  ( 1, 9,30,-3, 1, 1)
f_{1}  ( 1, 2,19, 0, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 1,50, 0, 0, 1)  2^{2} · 3 · 5^{2}  2^{3} · 3 · 5^{2}  150I
f_{3}  ( 3, 3, 6, 2, 0, 3)
f_{1}  ( 6,26,45,-24, 4, 4)
f_{2}  ( 7,23,38, 0, 0, 6)  2^{7} · 19^{2}  2^{5} · 19  152B
f_{1}  ( 1, 2,22, 1, 0, 1)
f_{2}  ( 2, 4, 5, 1, 0, 1)  2 · 3^{2} · 17  2^{2} · 3^{2} · 17  153D

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1, 6,13, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 5, 9, 4, 2, 0)  2^{3} · 7 · 11  2^{2} · 7 · 11  154E
f_{1}  ( 3, 5, 7,-4, 2, 2)
f_{2}  ( 2, 3,16, 0, 2, 2)  2^{3} · 7 · 11  2^{2} · 7 · 11  154A
f_{1}  ( 4, 5, 9, 4, 0, 2)
f_{2}  ( 1, 5,31, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 2, 5,16, 0, 2, 0)  2^{3} · 5 · 31  2^{2} · 5 · 31  155A
f_{4}  ( 3, 5,12, 4, 2, 2)
f_{1}  ( 1, 6,13, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 4, 5, 5, 4, 2, 2)  2^{4} · 3 · 13  2^{3} · 3 · 13  156A
f_{1}  ( 1, 6, 7, 2, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 1,53, 1, 0, 1)  2^{2} · 79  2^{3} · 79  158F
f_{3}  ( 3, 3, 5,-2, 1, 1)
f_{1}  ( 1, 6, 7, 2, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 1,53, 1, 0, 1)  2^{2} · 79  2^{3} · 79  158H
f_{3}  ( 3, 3, 5,-2, 1, 1)
f_{1}  ( 1, 6, 8,-4, 1, 1)
f_{2}  ( 2, 3, 7, 0, 1, 1)
f_{3}  ( 1, 1,40, 1, 1, 0)
f_{4}  ( 1, 2,20, 0, 1, 0)
f_{5}  ( 2, 2,10, 1, 0, 0)  2^{2} · 79  2^{3} · 79  158B
f_{6}  ( 2, 4, 5, 1, 0, 0)
f_{7}  ( 2, 4, 6,-2, 2, 1)
f_{8}  ( 2, 4, 6, 3, 2, 0)
f_{9}  ( 2, 3, 8, 1, 0, 2)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 3, 4, 4, 1, 2, 2)
f_{2}  ( 1, 3,15, 2, 0, 1)
f_{3}  ( 1, 4,11, 2, 0, 1)
f_{4}  ( 1, 2,23, 0, 0, 1)  2 · 7 · 23  2^{2} · 7 · 23  161B
f_{5}  ( 1, 4,11, 0, 1, 1)
f_{6}  ( 1, 6, 7, 0, 0, 1)
f_{7}  ( 2, 3, 7, 0, 0, 1)
f_{1}  ( 2, 5, 5, 3, 2, 0)
f_{2}  ( 1, 1, 41, 1, 1, 0)  2^{2} · 3^{4}  2^{3} · 3^{4}  162G
f_{3}  ( 1, 5, 9, 3, 1, 0)
f_{1}  ( 2, 5, 5, 3, 2, 0)
f_{2}  ( 1, 1, 41, 1, 1, 0)  2^{2} · 3^{4}  2^{3} · 3^{4}  162E
f_{3}  ( 1, 5, 9, 3, 1, 0)
f_{1}  ( 2, 4,21, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 5,12, 0, 0, 2)
f_{3}  ( 3, 6,10, 4, 0, 0)  2^{6} · 3 · 7  ·2^{4} · 3 · 7  168B
f_{4}  ( 1, 2,84, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 3, 7,15,-3, 3, 3)
f_{2}  ( 7, 7, 7,-7, 1, 1)
f_{3}  ( 1, 1,336, 0, 0, 1)  2^{5} · 3^{2} · 7  2^{6} · 3 · 7  168E
f_{4}  ( 1, 3,85, 3, 1, 0)
f_{1}  ( 1, 1,10, 5, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 6, 8, 4, 1, 0)  2^{2} · 5 · 7  2^{3} · 5 · 17  170C
f_{3}  ( 3, 4, 5,-1, 2, 3)
f_{1}  ( 1, 2,43, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 7, 8,-4, 2, 2)
f_{3}  ( 3, 3,11, 2, 0, 2)  2^{3} · 5 · 17  2^{2} · 5 · 17  170D
f_{4}  ( 3, 5, 6, 0, 2, 0)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1, 5, 9, 1, 0, 1)
f_{2}  ( 3, 3, 5, 1, 1, 1)  2^{2} · 5 · 17  2^{3} · 5 · 17  170F
f_{3}  ( 1, 1,43, 1, 1, 0)
f_{1}  ( 1, 5,10, 5, 1, 0)
f_{2}  ( 2, 4, 6, 0, 2, 1)
f_{3}  ( 2, 5, 6, 5, 2, 0)  2^{2} · 5 · 17  2^{3} · 5 · 17  170H
f_{4}  ( 3, 4, 5,-1, 2, 3)
f_{5}  ( 1, 6, 8, 4, 1, 0)
f_{1}  ( 3, 7, 7, 2, 3, 0)
f_{2}  ( 3, 4,12, 3, 3, 0)
f_{3}  ( 3, 7, 7, 5, 0, 0)
f_{4}  ( 1, 1,171, 0, 0, 1)  2^{2} · 3^{3} · 19  2^{2} · 3^{2} · 19  171D
f_{5}  ( 1, 3,43, 0, 1, 0)
f_{6}  ( 3, 3,19, 0, 0, 3)
f_{1}  ( 2, 2,35,-2, 1, 1)
f_{2}  ( 3, 5,11, 4, 0, 3)  2^{2} · 3^{2} · 19  2^{3} · 3^{2} · 19  171H
f_{1}  ( 2, 2,35,-2, 1, 1)
f_{2}  ( 3, 5,11, 4, 0, 3)  2^{2} · 3^{2} · 19  2^{3} · 3^{2} · 19  171I
f_{1}  ( 5, 6, 8,-4, 2, 4)
f_{2}  ( 1,14,15,12, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 2,87, 0, 0, 0)  2^{4} · 3 · 29  2^{3} · 3 · 29  174E
f_{4}  ( 3, 6,10, 0, 2, 0)
f_{1}  ( 6, 7, 9, 6, 6, 0)
f_{2}  ( 1, 6,45, 6, 0, 0)  2^{3} · 3^{2} · 19  2^{2} · 3 · 19  174F
f_{1}  ( 1, 1,87, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 4,22, 2, 0, 0)  2^{3} · 3 · 29  2^{2} · 3 · 29  174A
f_{3}  ( 1, 6,16, 6, 0, 0)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 2, 4,13, 0, 2 ,2)
f_{2}  ( 1, 1,87, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 4,22, 2, 0, 0)  2^{3} · 3 · 29  2^{2} · 3 · 29  174I
f_{4}  ( 1, 7,13, 4, 0, 0)
f_{5}  ( 1, 6,16, 6, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 5,10, 4, 0, 1)
f_{2}  ( 1, 1,58, 0, 0, 1)  2^{2} · 3 · 29  2^{3} · 3 · 29  174G
f_{1}  ( 1, 7, 7,-2, 1, 1)
f_{2}  ( 1, 1,59, 1, 0, 1)
f_{3}  ( 1, 3,15, 1, 1, 0)  2^{5} · 11  2^{6} · 11  176C
f_{4}  ( 1, 3,16, 0, 0, 1)
f_{1}  (11,12,15, 4, 0, 0)
f_{2}  ( 3,26,26, 8, 2, 2)  2^{7} · 11^{2}  2^{6} · 11  176D
f_{1}  ( 1, 9,10, 2, 0 , 0)
f_{2}  ( 1, 1,89, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 5,18, 2, 0, 0)  2^{3} · 89  2^{2} · 89  178A
f_{4}  ( 2, 6, 9,-2, 2, 2)
f_{5}  ( 1, 2,45, 2, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 6,16,-2, 1, 1)
f_{2}  ( 4, 4, 6,-2, 1, 1)
f_{3}  ( 1, 4,24, 2, 0, 1)
f_{4}  ( 1, 2,51, 1, 0, 1)
f_{5}  ( 1, 4,24, 0, 1, 1)
f_{6}  ( 2, 4,12, 0, 2, 1)  2^{3} · 89  2^{4} · 89  178C
f_{7}  ( 4, 5, 6, 5, 0, 2)
f_{8}  ( 4, 4, 6, 1, 0, 2)
f_{9}  ( 4, 4, 7,-3, 2, 2)
f_{10}  ( 2, 4,13,-1, 1, 2)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  (14,19,39,-10, 6,13)
f_{2}  ( 1,45,179, 0, 0, 1)
f_{3}  ( 5,36,46, 1, 5, 2)
f_{4}  (13,15,48, 4,13, 8)  2 · 179^{2}  2^{2} · 179  179A
f_{5}  (12,17,49,17, 5,10)
f_{6}  ( 4,45,56,45, 1, 2)
f_{7}  (12,15,51,-14,11, 2)
f_{1}  ( 4, 5,46, 0, 4, 0)
f_{2}  ( 4, 6,45, 0, 0, 4)  2^{5} · 3^{2} · 5^{2}  2^{3} · 3^{2} · 5  180A
f_{1}  ( 2, 5,11, 4, 0, 2)
f_{2}  ( 1, 1,91, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 4, 5, 6, 0, 2, 4)  2^{3} · 7 · 13  2^{2} · 7 · 13  182I
f_{4}  ( 1, 4,23, 2, 0, 0)
f_{5}  ( 3, 5, 8,-4, 2, 2)
f_{1}  ( 1, 1,61, 1, 0, 1)
f_{2}  ( 1, 7, 7, 0, 1, 1)  2^{2} · 7 · 13  2^{3} · 7 · 13  182D
f_{3}  ( 3, 3, 6,-2, 2, 1)
f_{1}  ( 4, 5, 5, 2, 2, 0)
f_{2}  ( 1, 5,19, 4, 0, 0)
f_{3}  ( 1, 7,13, 0, 0, 0)
f_{4}  ( 2, 3,16, 2, 2, 0)  2^{3} · 7 · 13  2^{2} · 7 · 13  182J
f_{5}  ( 5, 5, 5,-4, 2, 2)
f_{6}  ( 2, 4,13, 0, 0, 2)
f_{1}  (2, 6, 9, 4, 0, 2)
f_{2}  ( 1, 2,46, 2, 0, 0)  2^{3} · 7 · 13  2^{2} · 7 · 13  182A

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1, 1,243, 1, 0, 1)
f_{2}  ( 1. 7,27, 1, 0, 1)
f_{3}  ( 5, 7, 7, 6, 3, 3)
f_{4}  ( 1, 3,61, 1, 1, 0)
f_{5}  ( 3, 7,11,-5, 1, 3)
f_{6}  ( 4, 7, 7, 1, 2, 2)  2^{4} · 7 · 13  2^{5} · 7 · 13  182E
f_{7}  ( 5, 7, 7, 7, 1, 0)
f_{8}  ( 5, 5, 8, 0, 0, 3)
f_{9}  ( 7, 7, 7,-7, 6, 1)
f_{10}  ( 3, 3,21,-1, 1, 1)
f_{1}  ( 1,18,24,16, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 2,184, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 4, 6, 17, 4, 4, 0)  2^{7} · 23  2^{5} · 23  184D
f_{4}  ( 3, 3,36, 0, 0, 2)
f_{1}  ( 1, 2,184, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 1,18,24,16, 0, 0)
f_{3}  ( 4, 6,17, 4, 4, 0)  2^{7} · 23  2^{5} · 23  184A
f_{4}  ( 3, 3,46, 0, 0, 2)
f_{1}  ( 3, 5, 7, 4, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 7, 8,-2, 2, 2)  2^{3} · 3 · 31  2^{2} · 3 · 31  186A
f_{3}  ( 2, 3,16, 0, 2, 0)
f_{1}  (10,19,49, 2,10, 4)
f_{2}  ( 1,93,93, 0, 0 ,0)  2^{3} · 3^{2} · 31^{2}  2^{2} · 3 · 31  186B
f_{1}  ( 2, 5,10, 2, 2, 0)
f_{2}  ( 1, 1,93, 0, 0, 0)  2^{3} · 3 · 31  2^{2} · 3 · 31  186D

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 2, 5, 6,-3, 1, 2)
f_{2}  ( 1, 4,12, 1, 1, 0)
f_{3}  ( 1, 1,47, 1, 0, 0)  2 · 11 · 17  2^{2} · 11 · 17  187A
f_{4}  ( 2, 2,13, 2, 0, 1)
f_{5}  ( 3, 4, 5, 4, 0, 1)
f_{1}  ( 2, 3, 8, 1, 1, 0)
f_{2}  ( 2, 5, 5, 2, 1, 0)
f_{3}  ( 1, 2,27, 0, 1, 1)
f_{4}  ( 2, 5, 5,-1, 1, 1)  2 · 11 · 17  2^{2} · 11 · 17  187C
f_{5}  ( 3, 4, 5, 1, 3, 2)
f_{6}  ( 1, 3,17, 0, 0, 1)
f_{1}  ( 2, 4, 7,-2, 2, 1)
f_{2}  ( 4, 4, 4, 3, 3, 1)
f_{3}  ( 1, 2,27, 0, 0, 1)  2 · 3^{3} · 7  2^{2} · 3^{3} · 7  189B
f_{4}  ( 1,5,10, 1, 0, 1)
f_{1}  ( 4, 6, 9, 4, 2, 2)
f_{2}  ( 1,11,18, 6, 0, 0)
f_{3}  ( 3, 6,11, 2, 2, 0)
f_{4}  ( 3, 3,24, 2, 0, 2)
f_{5}  ( 3, 5,15,-4, 2, 2)  2^{3} · 3^{3} · 7  2^{2} · 3^{3} · 7  189F
f_{6}  ( 1, 2,95, 2, 0, 0)
f_{7}  ( 3, 4,18,-2, 2, 2)
f_{8}  ( 2, 9,12, 6, 2, 0)
f_{9}  ( 3, 8,10,-6, 2, 2)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  (17,17,35,-10,10, 4)
f_{2}  ( 5,38,57,38, 0, 0)  2^{3} · 5^{2} · 19^{2}  2^{2} · 5 · 19  190A
f_{1}  ( 3,13,16, 8, 0, 0)
f_{2}  ( 7, 7,13, 4, 4, 2)  2^{9} · 3^{2}  2^{8} · 3  192A
f_{1}  ( 1, 1,192, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 2,49,2,2,0)  2^{9} · 3^{2}  2^{8} · 3  192E
f_{1}  ( 3, 3,64, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 6, 6,19, 6, 6, 0)  2^{9} · 3^{2}  2^{8} · 3  192K
f_{1}  ( 1, 1,97, 0, 0, 0)
f_{2}  ( 2, 3,17, 2, 2, 0)
f_{3}  ( 2, 6, 9, 2, 0, 2)  2^{3} · 97  2^{2} · 97  194A
f_{4}  ( 1, 2,49, 2, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 2,28, 1, 0, 1)
f_{2}  ( 1, 4,13, 0, 0, 1)  2 · 3 · 5 · 13  2^{2} · 3 · 5 · 13  195I
f_{1}  ( 1, 6, 9,-2, 1, 1)
f_{2}  ( 1, 1,65, 0, 0, 1)
f_{3}  ( 2, 3, 9, 0, 2, 1)  2 · 3 · 5 · 13  2^{2} · 3 · 5 · 13  195J
f_{4}  ( 3, 3, 8,-2, 1, 3)
f_{5}  ( 1, 3,17, 3, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 4,13, 3, 1, 0)
f_{2}  ( 2, 5, 5, 0, 1, 0)  2 · 3 · 5 · 13  2^{2} · 3 · 5 · 13  195K
f_{3}  ( 1, 1,49, 1, 0, 0)
f_{1}  ( 1, 7, 7, 1, 0, 0)
f_{2}  ( 1, 2,28, 1, 0, 1)  2 · 3 · 5 · 13  2^{2} · 3 · 5 · 13  195A
f_{3}  ( 1,4,13, 0, 0, 1)

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1, 9,11, 2, 0, 0)
f_{2}  ( 3, 4,10, 4, 0, 2)
f_{3}  ( 1, 1,98, 0, 0, 0)
f_{4}  ( 1, 2,49, 0, 0, 0)  2^{4} · 7^{2}  2^{5} · 7^{2}  196C
f_{5}  ( 2, 4,13, 2, 2, 0)
f_{6}  ( 2, 2,25, 2, 0, 0)
f_{1}  ( 2, 2,13, 2, 1, 0)
f_{2}  ( 1, 1,50, 1, 1, 0)
f_{3}  ( 2, 4, 7, 3, 1, 1)  2^{2} · 3^{2} · 11  2^{3} · 3^{2} · 11  198A
f_{4}  ( 1, 8, 8,-6, 1, 1)
f_{1}  ( 3, 3,23, 2, 1, 1)
f_{2}  ( 1, 3,72, 0, 0, 1)
f_{3}  ( 3, 3,25,-1, 1, 2)
f_{4}  ( 3, 9, 9,-5, 3, 1)
f_{5}  ( 3, 7,11,-6, 1, 1)
f_{6}  ( 5, 7, 7, 5, 3, 0)  2^{4} · 3^{2} · 11  2^{5} · 3^{2} · 11  198M
f_{7}  ( 1, 8,27, 8, 1, 0)
f_{8}  ( 3, 4,19, 4, 1, 2)
f_{9}  ( 1, 8,25, 0, 1, 0)
f_{10}  ( 1,11,21, 11, 1, 0)
f_{1}  ( 3, 3,22, 0, 0, 3)
f_{2}  ( 1, 1,198, 0, 0, 1)  2^{2} · 3^{3} · 11  2^{3} · 3^{2} · 11  198E
f_{1}  ( 6, 9,20, 0, 0, 4)
f_{2}  ( 4, 5,50, 0, 0, 0)
f_{3}  ( 5, 6,34, 4, 0, 0)  2^{6} · 5^{3}  2^{3} · 5^{2}  200B
f_{4}  ( 1,20,50, 0, 0, 0)
f_{1}  ( 5, 5,35, 5, 5, 0)
f_{2}  ( 5, 5,135, 5, 0, 5)  2^{5} · 5^{4}  2^{6} · 5^{2}  200G

Form  Koeffizienten  Determinante  Stufe  elliptische Kurve
f_{1}  ( 1, 7, 8, 4, 0, 1)
f_{2}  ( 1, 1,67, 1, 0, 1)
f_{3}  ( 1, 3,17, 1, 1, 0)  2^{4} · 5^{2}  2^{5} · 5^{2}  200A
f_{4}  ( 3, 3, 7, 3, 1, 2)

S_{\frac{3}{2}} (592, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (592, χ_{0})) = 34 37A

f_{1}(τ) = q^{7} + q^{47} − 2q^{63} − q^{71} − q^{111} + …

f_{2}(τ) = q^{12} + q^{16} − q^{28} + q^{44} − q^{48} − 2q^{64} − 3q^{108} + 3q^{112} + …

f_{3}(τ) = q^{3} + q^{11} − 3q^{27} + 6q^{67} − q^{75} − q^{83} − 4q^{99} + …

f_{4}(τ) = q −2q^{9} −q^{21} −3q^{25} +3q^{33} −3q^{37} −q^{41} +3q^{53} +2q^{65} +q^{73} +q^{77} +3q^{81} +4q^{85} −q^{101} +…

f_{5}(τ) = q^{10} − q^{30} + 2q^{34} − q^{38} + 3q^{58} − 3q^{70} − 2q^{78} − 2q^{90} + 2q^{102} − q^{110} − q^{114} + …

f_{6}(τ) = q^{4} + q^{12} + q^{28} − 2q^{36} + 2q^{40} + q^{44} − 2q^{48} − 2q^{64} − q^{84} − 3q^{100} − 3q^{108} + 2q^{112} + …

S_{\frac{3}{2}} (688, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (688, χ_{0})) = 40 43A

f_{1}(τ) = q^{7} − q^{39} + q^{55} − q^{63} − q^{119} + …

f_{2}(τ) = q^{8} + q^{12} + q^{20} + 3q^{28} − 2q^{32} − 3q^{72} + 2q^{76} − 2q^{80} − 3q^{88} − q^{104} − 2q^{108} − 4q^{112} + q^{116} + 2q^{128} − 3q^{132} + …

f_{3}(τ) = q^{3} + 2q^{19} − 2q^{27} + 2q^{43} + q^{51} − 3q^{75} − q^{91} − 3q^{115} − 5q^{123} + …

f_{4}(τ) = q^{2} − 3q^{18} − 3q^{22} − q^{26} + q^{34} + 2q^{42} + 3q^{46} − 3q^{50} + 3q^{62} + 2q^{70} + 3q^{82} + q^{86} − 2q^{94} + q^{98} − q^{106} + 2q^{114} − 6q^{118} + …

f_{5}(τ) = q^{12} + q^{28} − q^{32} − q^{48} + 2q^{76} − q^{80} − 2q^{108} − 3q^{112} + 2q^{128} + …

f_{6}(τ) = q^{5} + q^{29} − 3q^{33} + 4q^{37} − 3q^{45} − q^{61} + q^{65} − q^{69} + 7q^{73} + q^{77} − 5q^{85} − q^{89} + 3q^{93} − 4q^{105} − 4q^{125} − q^{129} + …

172A

f_{1}(τ) = q − q^{9} + q^{13} − q^{17} + 2q^{21} − q^{25} + q^{41} − 3q^{49} − 3q^{53} + 2q^{57} − q^{81} − q^{97} + q^{101} + 3q^{109} − q^{117} − 2q^{121} + …

f_{2}(τ) = q^{6} + q^{10} − q^{14} − 2q^{54} − 5q^{58} + q^{66} + 2q^{74} + 5q^{78} − 2q^{86} − q^{90} − q^{102} − 3q^{110} − q^{122} + 3q^{126} + 5q^{130} + …

S_{\frac{3}{2}} (848, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (848, χ_{0})) = 50 53A

f_{1}(τ) = q^{7} − q^{15} − 2q^{63} + q^{95} − q^{119} + 3q^{135} + q^{143} − q^{159} + … f_{2}(τ) = q^{16} + q^{28} − q^{44} − q^{60} − q^{64} + q^{96} − 2q^{112} − 2q^{144} + 2q^{160} + …

f_{3}(τ) = q^{4} + q^{16} + q^{24} − 2q^{36} + 2q^{40} − 2q^{44} + q^{52} − 3q^{64} − q^{68} + q^{96} − q^{100} − 4q^{112} + q^{116} − 2q^{144} + 5q^{148} + q^{152} + 2q^{160} + …

f_{4}(τ) = q^{11} − 3q^{43} + 3q^{91} − 4q^{99} + q^{107} + 3q^{115} − 2q^{123} − q^{131} + 2q^{155} + …

f_{5}(τ) = q − 2q^{9} + q^{13} − q^{17} − q^{25} + q^{29} + 5q^{37} − 3q^{49} − q^{53} − 3q^{57} + q^{69} − 2q^{77} + 3q^{81} − 2q^{93} + 3q^{97} − 2q^{105} − q^{113} − 2q^{117} + q^{121} + 3q^{149} + 4q^{153} + …

f_{6}(τ) = q^{6} + 2q^{10} + q^{38} − 5q^{46} − 3q^{54} + 2q^{66} + 2q^{70} − 3q^{78} + 2q^{82} − 4q^{90} + 5q^{102} − 4q^{106} − 2q^{122} + 8q^{130} − 3q^{142} − q^{150} + 3q^{158} + …

106A

f_{1}(τ) = q^{7} + q^{15} − 2q^{47} + q^{95} − q^{119} − q^{135} − q^{143} − q^{159} + …

f_{2}(τ) = q^{4}−q^{16}+q^{24}+2q^{28}−3q^{52}+2q^{60}+q^{64}+3q^{68}−q^{96}−5q^{100}−2q^{112}−q^{116}−q^{148}−5q^{152}+…

f_{3}(τ) = q − 3q^{13} + 3q^{17} − 5q^{25} − q^{29} − q^{37} + q^{49} − 3q^{53} + q^{57} + q^{69} + 2q^{77} − 3q^{81} + 8q^{93} + 5q^{97} + 2q^{105} + 5q^{113} − 3q^{121} − q^{149} − 6q^{153} + …

f_{4}(τ) = q^{6} − 5q^{38} + 6q^{42} + q^{46} − q^{54} − 2q^{62} + 4q^{66} − 2q^{70} + 5q^{78} + 6q^{82} − 7q^{102} + 2q^{106} − 4q^{110} − 4q^{122} − 6q^{130} + 2q^{134} − 7q^{142} − 2q^{146} − 5q^{150} + 7q^{158} + …

S_{\frac{3}{2}} (912, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (912, χ_{0})) = 70 57E

f_{1}(τ) = q^{2} + q^{14} − q^{18} + q^{38} − 2q^{50} + 3q^{78} + q^{86} − 4q^{98} + q^{110} − q^{114} − q^{122} − q^{126} − q^{146} + q^{162} + q^{170} − q^{174} − 2q^{186} + 2q^{222} + …

f_{2}(τ) = q^{21} − 4q^{29} − q^{33} − 2q^{41} + 6q^{53} − 3q^{57} − 2q^{65} + 2q^{89} − 3q^{105} + 8q^{113} + q^{129} + q^{141} + 7q^{165} − 4q^{173} + 2q^{185} − q^{189} − 2q^{209} − 6q^{221} + …

f_{3}(τ) = q^{3} − q^{27} + 3q^{51} − 2q^{59} − 2q^{75} + 8q^{107} − 6q^{147} − 6q^{155} − 4q^{179} + 5q^{219} − 2q^{227} + …

f_{4}(τ) = q^{12} + 2q^{32} − q^{48} − q^{60} − q^{108} − 4q^{128} + 3q^{204} + 2q^{224} − 2q^{236} + 3q^{240} + …

f_{5}(τ) = q^{15} + 2q^{71} − 2q^{95} − q^{135} − 2q^{143} − 3q^{183} + q^{231} + …

f_{6}(τ) = −2q^{8} − 2q^{12} − 2q^{32} + 3q^{48} − 2q^{56} + 2q^{72} − q^{84} + 2q^{108} + 4q^{116} + 8q^{128} + q^{132} − 2q^{152} + 2q^{164} − 2q^{192} + 4q^{200} − 6q^{204} − 6q^{212} − 2q^{224} + 3q^{228} + 4q^{236} − 5q^{240} + …

S_{\frac{3}{2}} (928, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (928, χ_{0})) = 54 58A

f_{1}(τ) = q^{7} −q^{23} −2q^{63} +q^{87} +2q^{103} +q^{151} −2q^{175} −q^{183} −3q^{199} +4q^{207} −2q^{223} −q^{231} +q^{239} +… f_{2}(τ) = q^{16} + 2q^{28} − q^{64} + q^{80} − 2q^{92} − q^{96} − 2q^{112} − 2q^{144} + 3q^{208} + …

f_{3}(τ) = q − 2q^{9} − 4q^{25} − q^{33} − q^{49} + 4q^{57} − q^{65} + 3q^{81} + 3q^{129} + q^{145} + 2q^{161} + 2q^{169} − 2q^{209} + 8q^{225} − 5q^{233} + …

f_{4}(τ) = q^{4} + q^{20} − q^{24} − 2q^{36} + 3q^{52} + 5q^{88} − 4q^{100} + q^{116} − 3q^{120} − q^{132} − 4q^{168} − 4q^{180} − q^{196} + q^{212} + 3q^{216} + 4q^{228} − 4q^{232} + …

f_{5}(τ) = q^{5} + 3q^{13} + q^{29} − 4q^{45} + q^{53} + 5q^{93} − q^{109} − 6q^{117} − 3q^{125} − 3q^{141} − q^{149} − q^{165} − 2q^{173} + 3q^{181} − q^{237} + …

f_{6}(τ) = q^{6} − 5q^{22} + 3q^{30} + 4q^{42} − 3q^{54} + 4q^{58} + 3q^{62} − 3q^{78} − 8q^{82} − q^{86} + q^{94} + q^{110} − 2q^{122} + 2q^{138} −2q^{146} −4q^{150} +4q^{154} −3q^{158} −2q^{170} −q^{174} +6q^{178} +8q^{190} +2q^{194} +10q^{198} −2q^{202} +

2q^{210} − 6q^{226} + 4q^{238} + …
S_{\frac{3}{2}} (976, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (976, χ_{0})) = 58 61A

f_{1}(τ) = q^{12} − q^{16} − q^{60} + q^{64} + q^{76} + q^{80} − 2q^{108} + q^{144} − q^{156} + …

f_{2}(τ) = q^{15} + q^{39} − 2q^{47} + q^{95} − 3q^{103} + q^{119} + 3q^{127} − 2q^{135} − q^{167} − q^{183} + …

f_{3}(τ) = q^{4} − q^{12} − q^{20} − q^{36} + 2q^{48} + 3q^{52} + q^{56} − q^{60} − 2q^{64} − q^{76} − q^{88} − 4q^{100} + 2q^{108} − q^{156} + q^{164} + 4q^{168} + 3q^{180} + q^{184} + …

f_{4}(τ) = q − q^{5} − q^{9} + 3q^{13} − 4q^{25} + q^{41} + 3q^{45} + 2q^{49} + q^{61} − q^{65} + 5q^{73} − 5q^{77} − q^{81} − 2q^{97} − q^{109} − q^{113} − 3q^{117} − 4q^{121} + 3q^{125} − 3q^{137} + 2q^{141} + q^{149} + q^{161} + …

f_{5}(τ) = q^{14} − q^{22} + 4q^{42} + q^{46} − 6q^{58} − 2q^{62} − 2q^{66} − 5q^{70} + 2q^{86} + 6q^{102} + q^{110} + 7q^{118} − 2q^{122} − 3q^{126} + q^{134} − 4q^{138} + 6q^{142} − q^{158} + 2q^{170} − 6q^{174} + 2q^{178} + q^{182} + 4q^{186} + …

f_{6}(τ) = q^{3} + q^{19} − 2q^{27} − 2q^{75} + 2q^{83} − 2q^{107} + 3q^{123} + q^{131} − 5q^{163} − q^{171} − 2q^{179} + …

S_{\frac{3}{2}} (1040, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1040, χ_{0})) = 74 65A

f_{1}(τ) = q^{4} − 2q^{16} − q^{36} + q^{40} − q^{100} − q^{104} + 2q^{116} + 2q^{120} + q^{140} + 2q^{144} + 3q^{156} − 2q^{160} + …

f_{2}(τ) = q^{35} − 2q^{51} − q^{91} + 2q^{131} + q^{155} + …

f_{3}(τ) = q^{39} − q^{55} + q^{95} + …

f_{4}(τ) = q^{16} − q^{64} − q^{140} − q^{144} − q^{156} + q^{160} + …

f_{5}(τ) = q − q^{9} − q^{25} + 2q^{29} − 3q^{49} + 2q^{61} − q^{65} − 2q^{69} − q^{81} + 3q^{121} + 2q^{129} + 2q^{165} + …

f_{6}(τ) = q^{10} − q^{26} + 2q^{30} − 2q^{66} − q^{90} + 4q^{94} − 2q^{114} − 2q^{130} − 4q^{134} + …

130E f_{1}(τ) = q^{8} + q^{20} − 2q^{28} − q^{32} + q^{52} − 2q^{60} − 3q^{72} − q^{80} + 2q^{112} + q^{128} − 2q^{132} + 8q^{148} + …

f_{2}(τ) = q^{7} + q^{15} − q^{47} − q^{63} − 2q^{135} − q^{143} − q^{167} + …

f_{3}(τ) = q^{5} + q^{13} − 2q^{33} + 8q^{37} − 3q^{45} − 2q^{57} + 2q^{65} − 2q^{73} + 2q^{85} − 2q^{93} − 8q^{97} − q^{117} + q^{125} − 4q^{137} − 2q^{145} + …

f_{4}(τ) = q^{2}−3q^{18}+q^{50}+8q^{58}−4q^{70}−4q^{78}−3q^{98}−8q^{102}+4q^{122}−5q^{130}+2q^{138}+8q^{158}+3q^{162}+…

S_{\frac{3}{2}} (1232, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1232, χ_{0})) = 86 77F

f_{1}(τ) = −2q^{19} + q^{35} + 2q^{83} − 4q^{139} + 4q^{171} + 4q^{187} − 2q^{227} + q^{259} − 4q^{283} + …

f_{2}(τ) = 4q^{13} + q^{21} − 2q^{33} − 2q^{41} + 2q^{61} − 6q^{73} + q^{77} + 2q^{101} + q^{105} − 8q^{117} + 2q^{129} + 6q^{145} − 3q^{161} + 2q^{173} − 3q^{189} + 2q^{209} − 3q^{217} + 4q^{237} + 2q^{285} + …

f_{3}(τ) = q^{28} − 2q^{76} − 2q^{96} − q^{112} + q^{140} + 2q^{160} + 4q^{208} + 2q^{220} − 2q^{252} + …

f_{4}(τ) = −2q^{24} − 2q^{28} + 2q^{40} + 4q^{52} + q^{84} + 2q^{96} − q^{112} − 2q^{132} − 2q^{160} − 2q^{164} − 4q^{208} + 6q^{216} − 4q^{220} + 2q^{244} − 2q^{248} + 4q^{252} − 2q^{264} + …

f_{5}(τ) = q^{7} + 2q^{55} − 2q^{63} − 2q^{87} − 2q^{167} + 2q^{215} + q^{231} + 4q^{255} − 4q^{271} + …

f_{6}(τ) = q^{6} − q^{10} − 3q^{54} + q^{62} + q^{66} + 2q^{90} + 2q^{94} + q^{110} − 3q^{118} + 3q^{138} − 2q^{150} + 2q^{154} − 3q^{178} − q^{182} − q^{194} + q^{222} − q^{230} − 3q^{238} + q^{250} + 2q^{286} + …

154C

f_{1}(τ) = q^{13} − 3q^{17} + q^{21} − 2q^{33} + q^{41} − q^{61} + 3q^{73} − 2q^{77} − q^{101} − 2q^{105} + q^{117} + 2q^{129} + 3q^{153} + 5q^{173} − q^{209} + 3q^{217} − 8q^{237} − 3q^{241} + 2q^{285} + …

f_{2}(τ) = q^{24} + q^{28} + 2q^{40} + q^{52} − 3q^{68} + q^{84} − q^{96} − q^{112} − 2q^{132} − 2q^{160} + q^{164} − q^{208} − q^{220} − q^{244} − 5q^{248} + q^{252} + q^{264} + 3q^{272} + …

f_{3}(τ) = q^{7} − q^{55} + q^{63} + 4q^{87} − 3q^{143} − 2q^{167} − 3q^{175} − 4q^{215} + q^{231} − 2q^{255} + 2q^{271} + …

f_{4}(τ) = q^{6} + 2q^{10} − 5q^{62} + q^{66} + 2q^{90} − q^{94} + q^{110} − 3q^{118} + 6q^{138} − 5q^{150} − q^{154} + 6q^{178} + 5q^{182} − 4q^{194} − 3q^{206} − 2q^{222} + 2q^{230} − 3q^{238} − 8q^{250} + 2q^{286} + …

S_{\frac{3}{2}} (1264, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1264, χ_{0})) = 76 79A

f_{1}(τ) = q^{12} +q^{28} −q^{60} −q^{108} −2q^{112} +q^{140} +q^{156} +2q^{172} −q^{188} −2q^{192} −2q^{224} −q^{236} +2q^{240} +…

f_{2}(τ) = q^{3} − q^{27} + q^{35} + 2q^{43} − q^{59} − 2q^{75} + q^{91} + 3q^{107} − q^{139} − 2q^{147} + q^{195} − 4q^{211} − 2q^{219} − 4q^{227} + 5q^{235} + … f_{3}(τ) = q^{17}−q^{29}+q^{33}+2q^{37}+q^{41}−q^{53}+q^{57}−2q^{69}+q^{77}+q^{85}+q^{93}−3q^{113}−3q^{133}−2q^{137}+q^{145}+

q^{149} −2q^{153} −q^{157} −3q^{165} +q^{173} +4q^{193} +2q^{201} +q^{205} −3q^{217} −q^{221} +q^{229} −q^{233} −q^{237} +…

f_{4}(τ) = q^{12} − q^{48} − q^{56} + q^{68} − q^{108} − 2q^{112} − q^{116} − q^{120} + q^{132} + q^{136} + q^{140} + 2q^{148} + q^{164} + 2q^{172} − q^{192} − q^{212} − q^{224} + q^{228} − q^{232} − q^{236} + 2q^{240} + …

f_{5}(τ) = q^{14} + q^{30} − q^{34} + q^{58} − q^{66} + 2q^{70} − 3q^{78} + 3q^{82} + q^{94} + q^{106} − q^{114} + 2q^{118} − 2q^{126} − 2q^{138} − 3q^{142} − q^{154} + q^{158} + q^{170} + q^{186} + q^{206} − 2q^{214} − 4q^{218} − q^{226} + …

f_{6}(τ) = q^{7} − q^{15} + q^{39} − q^{47} − q^{71} + q^{79} − q^{103} + q^{127} + q^{135} − 2q^{175} − q^{191} + q^{199} + …

158D

f_{1}(τ) = q^{24} − q^{28} − q^{60} − q^{68} − q^{96} + q^{112} − q^{116} + 2q^{120} + q^{132} + q^{136} − 2q^{148} + q^{156} − q^{164} − q^{188} − q^{212} − q^{216} + 3q^{228} + 3q^{232} + q^{240} + …

f_{2}(τ) = q^{17} + q^{29} − q^{33} + 2q^{37} + q^{41} + q^{53} − 3q^{57} − q^{77} + 3q^{85} − q^{93} + 2q^{109} − q^{113} + q^{133} + 2q^{137} + 3q^{145} − 3q^{149} − 2q^{153} − q^{157} − 2q^{161} + q^{165} + q^{173} − 2q^{193} − 4q^{197} − 2q^{201} − q^{205} + q^{217} +

q^{221} − 3q^{229} − q^{233} − q^{237} + …

f_{3}(τ) = q^{6} + 2q^{30} + q^{34} − q^{54} + 3q^{58} + q^{66} − q^{70} − 2q^{74} + q^{82} + 2q^{86} − 3q^{106} − q^{114} − q^{118} − 2q^{122} − 2q^{138} + 2q^{142} − 2q^{150} − q^{154} − 2q^{158} − q^{170} − 3q^{182} − q^{186} + 2q^{206} − q^{214} + 2q^{218} + 5q^{226} + …

f_{4}(τ) = q^{7} + q^{15} − q^{39} + q^{47} − q^{71} − q^{79} − q^{103} + q^{127} − q^{135} − q^{191} + q^{199} − 2q^{215} + …

158E

f_{1}(τ) = q^{19} + q^{51} − 3q^{67} − q^{83} − 2q^{115} + 2q^{123} + q^{155} + 4q^{163} − 2q^{171} + q^{179} − q^{203} + …

f_{2}(τ) = q^{4} − q^{8} + q^{16} − q^{20} − q^{32} − 2q^{36} + q^{40} + 3q^{52} + q^{64} + 4q^{72} + 2q^{76} − q^{80} − q^{84} − 4q^{88} − 4q^{100} +q^{104} −q^{128} −2q^{144} +q^{160} −3q^{168} +4q^{180} −2q^{184} −2q^{196} +2q^{200} +2q^{204} +3q^{208} +…

f_{3}(τ) = q − q^{5} − 2q^{9} + 3q^{13} − q^{21} − 4q^{25} + 4q^{45} − 2q^{49} − q^{65} + 4q^{73} + 3q^{81} + q^{89} + 5q^{97} − q^{101} − q^{105} −6q^{117} −q^{121} +3q^{125} −3q^{141} −6q^{169} −5q^{177} +2q^{181} +3q^{189} +q^{213} +8q^{225} +3q^{237} +…

f_{4}(τ) = q^{2} − q^{10} − 4q^{18} + 4q^{22} − q^{26} + 3q^{42} + 2q^{46} − 2q^{50} + 2q^{90} − 2q^{98} − 6q^{102} + 3q^{130} − 2q^{134} + 2q^{158} +9q^{162} −2q^{166} +4q^{174} +q^{178} −10q^{190} −q^{194} −8q^{198} −11q^{202} +3q^{210} +4q^{222} +2q^{230} +

4q^{234} + 4q^{238} + …
S_{\frac{3}{2}} (1312, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1312, χ_{0})) = 78 82A

f_{1}(τ) = q^{23} − q^{31} − q^{39} − q^{87} + 2q^{103} + 3q^{127} − q^{143} + q^{159} − 3q^{207} + …

f_{2}(τ) = q^{37} + 2q^{133} − q^{141} − 2q^{165} − q^{173} − q^{205} − q^{213} + q^{221} + q^{237} + …

f_{3}(τ) = q − q^{9} − 3q^{25} + 2q^{33} − q^{41} − 3q^{49} − 2q^{57} − q^{81} + 4q^{105} + 4q^{113} − q^{121} + 3q^{169} + 4q^{185} + 2q^{201} − 2q^{209} + 3q^{225} + 2q^{241} + … f_{4}(τ) = q^{16} + q^{32} − q^{64} + 2q^{92} − 2q^{124} − q^{128} − q^{144} − 2q^{156} + 2q^{160} + …

f_{5}(τ) = q^{4} +q^{8} −q^{36} +2q^{40} −3q^{72} −3q^{100} +2q^{132} +4q^{148} −q^{164} +2q^{184} −3q^{196} −q^{200} −2q^{228} +…

f_{6}(τ) = q^{2} + 2q^{10} − 3q^{18} + 2q^{46} − q^{50} − 2q^{62} − 2q^{66} + 2q^{74} + 6q^{78} − 3q^{82} − 2q^{86} − 2q^{90} − 3q^{98} + 4q^{102} −2q^{114} −2q^{118} +2q^{122} +4q^{154} +3q^{162} −2q^{166} −2q^{174} +4q^{210} −2q^{214} +4q^{226} +8q^{238} −

3q^{242} − 4q^{246} + …
S_{\frac{3}{2}} (1328, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1328, χ_{0})) = 80 83A

f_{1}(τ) = q^{32} − q^{60} − q^{76} + q^{96} − q^{128} + q^{140} − q^{156} − 2q^{172} + q^{188} + 2q^{208} + q^{220} − q^{224} + 2q^{240} + …

f_{2}(τ) = q^{15} + q^{39} − q^{47} − q^{55} + q^{79} − q^{135} + q^{143} − q^{223} − 2q^{239} + …

f_{3}(τ) = q^{8} + q^{24} + 2q^{52} − q^{56} + q^{60} − 2q^{72} − q^{76} + q^{88} − 2q^{128} + q^{136} + q^{140} + q^{156} − q^{168} − 2q^{172} − 2q^{184} − q^{188} − q^{200} − 2q^{212} − q^{216} − q^{220} + 4q^{228} − 3q^{232} + 2q^{240} + q^{248} + …

f_{4}(τ) = q^{2} + q^{6} − q^{14} − 2q^{18} + q^{22} + q^{34} − q^{42} − 2q^{46} − q^{50} − q^{54} − 3q^{58} + q^{62} − q^{66} + q^{74} − 2q^{98} + 3q^{102} + q^{118} + q^{122} + 2q^{126} + 2q^{130} + 2q^{138} − 3q^{150} + 3q^{154} − q^{162} − q^{166} − q^{174} + 3q^{186} +

2q^{190} + q^{218} − q^{222} − q^{226} − 3q^{238} + 2q^{242} − 2q^{246} + …

f_{5}(τ) = q^{19} − q^{35} + 2q^{43} − 2q^{67} + q^{83} + q^{91} + q^{139} − q^{155} − 3q^{163} − q^{179} − q^{211} − 3q^{219} + q^{251} + …

f_{6}(τ) = q^{13} − q^{53} + 2q^{57} − 2q^{85} − q^{89} + q^{97} + q^{105} + q^{133} − q^{137} + q^{141} − q^{145} − q^{149} + q^{157} − q^{185} − q^{201} − 2q^{205} + 2q^{213} − q^{221} + q^{233} − q^{237} − q^{249} + …

166A

f_{1}(τ) = q^{15} − q^{39} + q^{47} − q^{55} − q^{79} + 2q^{103} − q^{135} − q^{143} − 2q^{159} + 3q^{223} + …

f_{2}(τ) = q^{8} +2q^{20} −q^{24} −q^{32} +q^{56} −2q^{60} −2q^{72} −2q^{80} +3q^{88} +q^{96} +q^{128} −3q^{136} +2q^{156} +3q^{168} − 4q^{180} − 2q^{184} − 2q^{188} − q^{200} − 2q^{212} + q^{216} + 2q^{220} − q^{224} − 2q^{228} + 5q^{232} + 2q^{240} − q^{248} + …

f_{3}(τ) = q^{2} − q^{6} + q^{14} − 2q^{18} + 3q^{22} − 3q^{34} + 3q^{42} − 2q^{46} − q^{50} + q^{54} + 5q^{58} − q^{62} − q^{66} + q^{74} − 4q^{82} + 2q^{98} − 3q^{102} − q^{118} − 3q^{122} − 2q^{126} + 2q^{130} + 2q^{138} + 3q^{150} − q^{154} − q^{162} − 3q^{166} −

3q^{174} − q^{186} + 2q^{190} + 5q^{218} + 5q^{222} − q^{226} + 3q^{238} − 6q^{242} + 2q^{246} + …

f_{4}(τ) = q^{5} − 2q^{45} − q^{53} − q^{57} + 3q^{73} + q^{85} + q^{89} + q^{97} − 2q^{125} − 2q^{129} − 4q^{133} + q^{137} + 2q^{141} + 2q^{145} − q^{149} − 2q^{157} + q^{165} − q^{181} + 2q^{185} − 3q^{201} − q^{209} + 2q^{213} + 2q^{221} − 2q^{233} + 2q^{237} + …

S_{\frac{3}{2}} (704, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (704, χ_{0})) = 39 88A

f_{1}(τ) = q^{7} − q^{39} − q^{55} − 2q^{63} + 2q^{79} − q^{95} + 3q^{127} + q^{143} + …

f_{2}(τ) = q^{6} + 3q^{22} − q^{30} − 5q^{46} − 3q^{54} + q^{62} − 2q^{94} − q^{110} + 7q^{118} + q^{134} + 11q^{142} + … f_{3}(τ) = q^{2} + 3q^{10} − 4q^{18} − 2q^{50} + q^{66} + q^{74} − 6q^{90} − q^{98} + 4q^{106} + q^{138} + …

176A

f_{1}(τ) = q^{5} − 3q^{37} − 2q^{45} + 2q^{53} − q^{69} + 2q^{77} + 5q^{93} − 3q^{125} + 2q^{133} + …

f_{2}(τ) = q − 4q^{25} + 3q^{33} − q^{49} − 3q^{81} + 3q^{89} + 3q^{97} − 3q^{113} + q^{121} + 9q^{137} + …

S_{\frac{3}{2}} (1424, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1424, χ_{0})) = 86 89C

f_{1}(τ) = q^{4} + q^{8} − 2q^{16} + q^{20} − 2q^{32} − q^{40} + q^{44} + q^{68} − 2q^{72} − 2q^{80} + 2q^{88} − 2q^{100} − q^{136} + 3q^{156} + 2q^{160} + 4q^{168} + 2q^{176} − 2q^{180} + 3q^{188} − 3q^{196} + 3q^{212} − 3q^{220} + 3q^{228} + 4q^{256} − 3q^{268} + …

f_{2}(τ) = q^{39} + q^{47} − q^{55} − 2q^{79} − q^{87} + 2q^{111} + 3q^{183} + q^{199} + q^{223} − 2q^{231} − 3q^{247} + 2q^{263} + …

f_{3}(τ) = q^{16} + q^{32} − q^{44} − q^{64} + q^{80} − q^{128} − q^{156} − q^{160} − q^{188} + q^{220} − q^{256} + 3q^{268} + …

f_{4}(τ) = q + q^{5} + q^{17} − 2q^{25} − 2q^{45} − 3q^{49} + 3q^{53} + 3q^{57} − q^{69} − q^{73} − 3q^{81} + q^{85} − q^{89} − q^{93} − 3q^{97} − 2q^{105} + q^{109} − q^{121} − q^{125} + q^{129} + 4q^{133} − 2q^{153} + 4q^{157} + 2q^{161} + q^{169} + q^{173} + 4q^{233} −

5q^{245} + 2q^{249} − q^{257} + q^{265} − q^{269} + …

f_{5}(τ) = q^{2} − q^{10} − 2q^{18} + 2q^{22} − q^{34} + 4q^{42} + 2q^{94} − 3q^{98} + 3q^{106} − 3q^{114} − 2q^{134} − q^{138} + 6q^{142} − q^{146} − 2q^{158} − q^{162} + q^{170} + 2q^{174} − 3q^{178} − 4q^{182} − 3q^{186} − 3q^{194} + 2q^{210} − 2q^{214} + 3q^{218} −

4q^{222} − 3q^{242} + q^{250} + 3q^{258} + 4q^{262} + …

f_{6}(τ) = q^{11} − 3q^{67} − 2q^{99} + 2q^{107} − q^{123} + q^{131} + 2q^{179} + q^{187} − 3q^{195} + q^{227} + 5q^{235} − 3q^{251} − 2q^{259} + 3q^{267} + …

S_{\frac{3}{2}} (1456, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1456, χ_{0})) = 102 91A

f_{1}(τ) = q^{12} − q^{48} + q^{140} − q^{160} − q^{208} + q^{220} + q^{224} − q^{272} + …

f_{2}(τ) = q^{55} − q^{87} + 2q^{103} − q^{143} − q^{159} − q^{199} + …

f_{3}(τ) = q^{3} + q^{35} − 2q^{75} + q^{91} + q^{139} − q^{147} + q^{195} − 3q^{243} − 3q^{251} − q^{259} + …

f_{4}(τ) = q^{10} − q^{14} + q^{26} − 3q^{38} − 2q^{42} − q^{62} + 2q^{66} + q^{90} + q^{94} + 2q^{118} + q^{126} + q^{146} + q^{166} − q^{178} − q^{194} − 2q^{222} + q^{230} − q^{234} − 3q^{250} + …

f_{5}(τ) = q^{12} + q^{40} + q^{52} − q^{56} + q^{68} + q^{104} + q^{140} − 3q^{152} − 2q^{160} − 2q^{168} − 2q^{192} − 2q^{208} + 3q^{220} + 2q^{224} − q^{248} + 2q^{264} − 2q^{272} − 3q^{276} + …

f_{6}(τ) = q^{13} + q^{17} − 3q^{69} + q^{77} + q^{101} − q^{105} + q^{117} − 3q^{129} − 3q^{133} − q^{153} + 5q^{157} + q^{173} − 3q^{181} + 5q^{185} + q^{209} + 3q^{217} − q^{237} − 5q^{257} − 2q^{269} + 3q^{273} + …

91B f_{1}(τ) = q^{28} − q^{32} − q^{44} + q^{60} − q^{112} + q^{156} − q^{176} − q^{240} − q^{252} + 2q^{268} + …

f_{2}(τ) = q^{8} + q^{32} + 2q^{44} − 3q^{72} − q^{84} + 3q^{112} − 2q^{128} + 5q^{148} − q^{176} + q^{184} − 2q^{200} − 5q^{228} − 7q^{232} + 3q^{240} + q^{260} − 4q^{268} + …

f_{3}(τ) = q^{11} − 2q^{67} − q^{91} − 3q^{99} + 2q^{123} + 4q^{163} − q^{203} + q^{219} + 5q^{267} − 4q^{275} + …

f_{4}(τ) = q^{21} − 5q^{37} + 5q^{57} − q^{65} − 7q^{85} − q^{93} + 3q^{109} − 5q^{137} + q^{141} + q^{149} + q^{161} + 8q^{177} − 2q^{189} − 4q^{193} + 2q^{197} + q^{221} + 3q^{249} + 5q^{253} + 4q^{273} + …

f_{5}(τ) = q^{2} − 3q^{18} + q^{46} − 2q^{50} − 7q^{58} − q^{70} + 2q^{78} + q^{86} + q^{98} − 2q^{102} + 3q^{106} + 5q^{130} − 2q^{154} + 5q^{158} + 3q^{162} + 3q^{182} + q^{190} + 4q^{210} − 6q^{214} + 5q^{226} − q^{242} − 2q^{254} + q^{266} + …

f_{6}(τ) = q^{7} + q^{15} + q^{39} − q^{63} − q^{71} + q^{119} − 2q^{135} − q^{151} − 2q^{175} + 3q^{247} + …

S_{\frac{3}{2}} (736, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (736, χ_{0})) = 42 92C

f_{1}(τ) = q − 2q^{9} − 3q^{25} + q^{41} − 3q^{49} + 5q^{73} + 3q^{81} + 2q^{105} + 3q^{121} + …

f_{2}(τ) = q^{4} + q^{8} + q^{24} − 2q^{36} + 3q^{52} − 4q^{72} − 3q^{100} + q^{104} − q^{116} + …

f_{3}(τ) = q^{2} + q^{6} − 4q^{18} + q^{26} − 3q^{46} − q^{50} − 3q^{54} + 7q^{58} − q^{62} + 6q^{70} + 3q^{78} − q^{82} − 3q^{94} − 3q^{98} + 2q^{110} + 4q^{118} − 3q^{138} − 9q^{142} + …

184B

f_{1}(τ) = q^{7} − q^{15} + q^{23} − 2q^{79} + q^{103} − q^{111} + q^{135} − q^{143} + …

f_{2}(τ) = q^{10} − q^{14} − 3q^{22} − 3q^{30} + q^{34} + 2q^{38} + 3q^{42} − q^{46} + q^{66} − 3q^{74} + 2q^{86} − q^{102} + 2q^{106} + 4q^{114} + 2q^{122} + 2q^{126} − 5q^{130} − q^{134} + q^{138} + …

184C

f_{1}(τ) = q^{2} − q^{6} − 2q^{18} + q^{26} − q^{46} − 3q^{50} + q^{54} − 3q^{58} + 3q^{62} − 4q^{70} + 5q^{78} + 5q^{82} − 3q^{94} + 3q^{98} + 3q^{138} + q^{142} + …

f_{2}(τ) = q^{3} − q^{27} + 2q^{59} − 3q^{75} + 2q^{115} + q^{123} − q^{131} − q^{139} + …

S_{\frac{3}{2}} (1584, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1584, χ_{0})) = 124 99A

f_{1}(τ) = 2q^{32} − q^{44} − 2q^{128} − 2q^{140} + 4q^{272} + 4q^{332} − 2q^{380} + …

f_{2}(τ) = q^{8} − q^{32} + 2q^{68} − q^{128} + q^{176} − 3q^{200} − 2q^{248} + 2q^{260} − 2q^{272} + 2q^{296} − 2q^{308} + 2q^{380} − q^{392} − 2q^{404} + … f_{3}(τ) = q^{28} − q^{76} − 2q^{112} + 3q^{172} − 2q^{208} + q^{220} − q^{316} + 2q^{352} + …

f_{4}(τ) = q^{11} + 2q^{35} − 4q^{83} + 2q^{131} − 4q^{227} − 5q^{275} + 8q^{347} + 2q^{371} + 2q^{395} + …

f_{5}(τ) = q^{28}+q^{52}−q^{88}−q^{184}−q^{208}+q^{220}−q^{244}−2q^{292}−q^{304}−q^{316}+2q^{340}+q^{352}+q^{376}−2q^{424}+…

f_{6}(τ) = q^{19} − 3q^{43} − 2q^{67} + q^{91} + q^{115} + q^{139} + 3q^{163} − q^{211} + q^{235} + 2q^{259} − 3q^{283} + 3q^{307} − q^{331} − 3q^{355} − q^{379} + 6q^{403} + q^{427} + …

f_{7}(τ) = q^{2} − 3q^{50} − 2q^{62} + 2q^{74} − q^{98} + 2q^{134} + 2q^{182} − 2q^{206} + 2q^{230} − q^{242} + 2q^{314} − q^{338} + 6q^{362} − 4q^{398} + …

f_{8}(τ) = q^{17}+q^{65}−q^{77}−q^{101}−q^{149}−q^{161}+q^{197}+2q^{233}−q^{281}−q^{305}−q^{329}+2q^{365}−2q^{413}−3q^{425}+…

f_{9}(τ) = q^{22} + q^{46} − q^{94} + 2q^{106} − 3q^{142} − 3q^{178} + q^{226} − q^{274} + q^{286} − 2q^{310} + 4q^{358} − q^{382} + 2q^{406} − q^{418} + …

f_{10}(τ) = q^{13} − q^{61} − 2q^{73} + 2q^{85} + q^{109} + 2q^{145} + 2q^{205} − 2q^{217} − 3q^{253} − 3q^{277} − 3q^{325} − 4q^{337} − q^{349} + 3q^{373} + 2q^{385} + …

f_{11}(τ) = q^{7} + q^{55} − q^{79} + q^{127} − q^{151} − 3q^{175} + q^{271} − 2q^{343} + 2q^{415} + …

f_{12}(τ) = q^{19} − 3q^{43} + q^{139} + 2q^{187} − q^{211} + 2q^{259} − 3q^{283} + 3q^{307} + 6q^{403} + …

S_{\frac{3}{2}} (1616, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1616, χ_{0})) = 98 101A

f_{1}(τ) = q^{16} + q^{76} − q^{80} − q^{92} + q^{124} − q^{144} − 2q^{172} + q^{188} + q^{208} − 2q^{256} − q^{272} + q^{284} + q^{304} + …

f_{2}(τ) = q^{4} − q^{20} − q^{36} + q^{52} − 2q^{64} − q^{68} + q^{76} + 2q^{84} + 2q^{88} + q^{92} − 2q^{100} − q^{124} − 2q^{172} + 3q^{180} − q^{188} − q^{196} + 2q^{232} − q^{260} + 4q^{280} − q^{284} − 2q^{304} + …

f_{3}(τ) = q^{23}−q^{31}−q^{47}−q^{71}+q^{79}+2q^{87}+q^{95}+2q^{159}−2q^{183}−3q^{207}+q^{239}−3q^{247}+q^{279}−2q^{287}+…

f_{4}(τ) = q^{19} − 2q^{43} + q^{107} + q^{115} + 2q^{123} + q^{131} − q^{155} − q^{171} − 2q^{203} − q^{211} − q^{227} + 3q^{235} − q^{251} + 2q^{267} − 2q^{283} − q^{299} + …

f_{5}(τ) = q − q^{5} − q^{9} + q^{13} − q^{17} + 2q^{21} − 2q^{25} + 3q^{45} − q^{49} − q^{65} + 2q^{77} − q^{81} − 3q^{85} + 4q^{97} − q^{101} − 2q^{105} − q^{117} − q^{121} + q^{125} − q^{137} + 3q^{153} − q^{157} − 4q^{165} − 4q^{177} + 3q^{181} + 2q^{185} − 4q^{189} + 3q^{193} − q^{197} + 3q^{221} + 2q^{225} − 2q^{233} + 3q^{245} − 2q^{249} + 6q^{273} + q^{281} + 2q^{289} + …

f_{6}(τ) = q^{22} + q^{58} + 2q^{70} − 2q^{78} − q^{82} − 2q^{102} − q^{110} − q^{118} + 2q^{134} + 2q^{138} − q^{146} − q^{166} + q^{178} + 2q^{186} −q^{198} −q^{202} −q^{206} −q^{218} +3q^{226} −2q^{238} +q^{254} +2q^{258} −q^{286} −q^{290} −4q^{298} −q^{302} +…

S_{\frac{3}{2}} (816, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (816, χ_{0})) = 62 102E

f_{1}(τ) = q^{8}−q^{32}−q^{60}+q^{68}−q^{72}−q^{84}−q^{120}+q^{128}+2q^{132}+2q^{152}+q^{168}+2q^{188}−3q^{200}−2q^{212}+… f_{2}(τ) = q^{15} − 2q^{47} + q^{87} − q^{111} − q^{135} + 3q^{183} + 2q^{191} + …

f_{3}(τ) = q^{2} − q^{18} − q^{30} + 2q^{38} + q^{42} − 3q^{50} + 2q^{86} − q^{98} − 2q^{102} − 2q^{110} + 2q^{134} + 3q^{138} + q^{162} + 2q^{170} − q^{174} + q^{186} − 2q^{206} + …

f_{4}(τ) = q^{17} − q^{21} + 2q^{33} − 2q^{53} − q^{69} − 2q^{77} − 2q^{89} + 3q^{93} + 4q^{137} + 2q^{149} − q^{153} − 2q^{161} − 2q^{185} + q^{189} + q^{213} + …

S_{\frac{3}{2}} (448, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (448, χ_{0})) = 23 112K

f_{1}(τ) = q^{3} + q^{19} − 2q^{27} + q^{35} − q^{59} − 3q^{75} + q^{83} − q^{91} + …

f_{2}(τ) = q^{5} + 3q^{13} − q^{21} − 3q^{45} − q^{61} − 2q^{69} − 2q^{77} + …

f_{3}(τ) = q^{7} + 2q^{31} − 2q^{47} − 2q^{55} − q^{63} − 4q^{87} + …

S_{\frac{3}{2}} (944, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (944, χ_{0})) = 56 118A

f_{1}(τ) = q^{23} − q^{31} − q^{55} + q^{103} + q^{111} + …

f_{2}(τ) = q^{2} + q^{6} − q^{10} + q^{14} − 2q^{18} + q^{30} + q^{38} − 3q^{42} − 2q^{50} − q^{54} + 3q^{58} − q^{70} − q^{82} + 2q^{102} + 3q^{106} + 3q^{114} − q^{118} − 2q^{126} − 4q^{150} + q^{158} − q^{162} + 2q^{170} + q^{174} + …

f_{3}(τ) = q^{8} + q^{24} − q^{32} − q^{40} − 2q^{52} + q^{56} − 2q^{72} + 2q^{92} − q^{96} + q^{120} − 2q^{124} + q^{128} + 2q^{132} + 4q^{148} + q^{152} + q^{160} − 3q^{168} + …

f_{4}(τ) = q^{13} −q^{33} −2q^{37} +q^{61} +q^{65} +q^{89} +q^{93} −2q^{97} +q^{109} +q^{141} −q^{161} −2q^{165} −q^{173} +2q^{177} +…

S_{\frac{3}{2}} (1936, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1936, χ_{0})) = 106 121D

f_{1}(τ) = q^{28} − q^{32} + q^{96} − q^{112} − q^{140} − q^{160} − q^{172} − q^{204} + 2q^{208} − q^{272} + 2q^{288} + q^{316} + q^{332} + q^{336} + 2q^{348} − 2q^{380} + …

f_{2}(τ) = q^{15} + q^{23} − q^{31} + 2q^{47} − q^{71} − 2q^{103} − q^{111} + 2q^{119} − q^{135} + 2q^{159} + q^{191} − 2q^{207} − 3q^{223} + 2q^{247} + 2q^{287} + q^{295} − 2q^{311} − 3q^{335} + q^{367} − 3q^{375} + 3q^{383} + …

f_{3}(τ) = q^{4} + 2q^{12} + q^{16} + q^{20} − q^{48} − 2q^{64} + q^{80} − 4q^{100} − 2q^{104} − 2q^{108} + q^{148} + 2q^{152} − 2q^{180} − 4q^{192} + q^{196} + 4q^{212} + 4q^{232} + 2q^{236} + 3q^{240} − 2q^{256} + 2q^{268} + q^{276} + 4q^{280} − 4q^{300} + 6q^{312} −

2q^{320} − 3q^{324} − 2q^{328} − 2q^{344} − q^{356} + 3q^{368} − 3q^{372} − 5q^{388} + …

f_{4}(τ) = q^{8} − q^{24} + q^{28} + q^{40} − 2q^{52} + q^{68} − 2q^{72} − q^{84} + 2q^{112} − q^{120} − 2q^{128} + q^{140} + 2q^{164} + q^{172} − q^{184} − 2q^{200} + q^{204} + q^{216} + 2q^{228} − 2q^{244} + 3q^{248} − 2q^{292} − q^{296} + q^{316} − q^{332} − 3q^{340} +

2q^{348} + 2q^{376} − 2q^{380} + 2q^{384} + q^{392} + …

f_{5}(τ) = q^{7} + q^{79} + 2q^{87} − 2q^{95} − 2q^{127} − q^{151} − 2q^{175} + q^{215} + q^{239} − 3q^{255} − q^{263} + 2q^{271} + 3q^{303} + q^{327} + q^{391} + …

f_{6}(τ) = q^{35} + q^{43} + q^{51} − q^{83} − q^{107} − 2q^{123} − q^{131} − q^{139} + 2q^{195} + 2q^{211} + 2q^{219} − q^{227} + q^{259} − 2q^{299} − 4q^{307} − 2q^{315} + 2q^{347} − 2q^{371} − q^{395} + …

f_{7}(τ) = q^{4} + q^{12} + q^{20} − 2q^{48} + q^{60} − 2q^{64} + q^{92} − 4q^{100} − 2q^{104} − q^{108} − q^{124} + q^{148} + 2q^{152} − 2q^{180} + 2q^{188} − 2q^{192} + q^{196} + 4q^{212} + 4q^{232} + q^{236} + 2q^{240} + q^{268} + q^{276} + 4q^{280} − q^{284} − 2q^{300} + 6q^{312} − 2q^{320} − 3q^{324} − 2q^{328} − 2q^{344} − q^{356} + 2q^{368} − 3q^{372} − 5q^{388} + …

f_{8}(τ) = q+q^{5}−4q^{25}+q^{37}−2q^{45}+q^{49}+4q^{53}+q^{69}−3q^{81}−q^{89}−3q^{93}−5q^{97}+3q^{113}−3q^{125}−6q^{133}− q^{137} + 2q^{141} + q^{157} − q^{169} + 5q^{177} − q^{181} − 3q^{185} + q^{201} + 9q^{213} + 2q^{221} − q^{229} − q^{245} + 4q^{257} + 2q^{265}−2q^{269}+4q^{273}−q^{289}+4q^{309}+3q^{313}−q^{317}−5q^{345}−q^{353}+10q^{357}+q^{361}+6q^{377}−q^{389}+…

f_{9}(τ) = −2q^{13} + q^{17} − q^{21} + 2q^{41} + 2q^{57} − 2q^{61} − 2q^{73} − 3q^{85} − q^{101} + 3q^{105} − q^{109} − q^{129} + 2q^{145} + q^{149} −2q^{153} −q^{161} +3q^{173} +q^{189} +5q^{197} +4q^{205} −q^{217} −2q^{233} −5q^{237} +2q^{241} +3q^{249} +q^{277} + q^{281} − 4q^{285} + 2q^{305} − q^{321} + 4q^{325} + 3q^{337} + q^{349} − 2q^{365} − 4q^{369} + q^{373} − 4q^{381} − 3q^{393} + …

f_{10}(τ) = q^{2} −q^{6} +q^{10} −2q^{18} −q^{30} −q^{46} −2q^{50} +q^{54} +3q^{62} −q^{74} +2q^{94} +q^{98} +5q^{118} −q^{134} +q^{138} − 3q^{142} +4q^{150} −q^{162} +5q^{178} +2q^{182} −q^{186} −q^{194} −2q^{206} −5q^{222} −q^{226} +q^{230} −2q^{238} −3q^{250} + q^{270} −q^{274} −6q^{282} +q^{294} +q^{310} −q^{314} −2q^{318} +q^{338} +3q^{354} −q^{358} −q^{362} −q^{370} +3q^{382} +…

f_{11}(τ) = q^{26} − q^{38} − 2q^{58} − 2q^{70} − 3q^{78} + q^{82} + q^{86} + 2q^{102} − q^{114} + 2q^{122} − q^{130} + q^{146} − q^{158} − q^{166} − 3q^{190} + 4q^{202} + 2q^{210} + 3q^{218} − 2q^{234} − q^{246} + q^{254} + 3q^{258} − 4q^{262} + 2q^{278} + 2q^{290} + 2q^{298} − q^{302} + 4q^{322} + q^{334} + 2q^{342} − 3q^{346} + 2q^{366} + 2q^{386} + 3q^{390} − q^{394} + …

f_{12}(τ) = q^{3} − q^{27} + q^{59} + q^{67} − 2q^{75} + 3q^{115} − q^{147} + q^{155} + 4q^{163} − q^{179} − 2q^{203} − 2q^{243} − q^{251} − 3q^{267} + q^{291} − 2q^{323} − 3q^{331} − q^{339} + 3q^{355} − 3q^{379} + …

S_{\frac{3}{2}} (976, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (976, χ_{0})) = 58 122A

f_{1}(τ) = q^{15} − q^{39} − q^{95} + q^{103} + q^{119} + q^{127} − 2q^{135} + q^{167} − q^{183} + …

f_{2}(τ) = q^{4} − q^{16} + q^{20} − q^{36} − q^{52} + q^{56} + 2q^{60} + q^{64} − q^{80} − 3q^{88} + 2q^{136} + q^{144} − 2q^{156} + q^{164} − 2q^{168} − 3q^{180} + 3q^{184} + …

f_{3}(τ) = q + q^{5} − q^{9} − q^{13} + q^{41} − 3q^{45} − 4q^{49} + 4q^{57} − q^{61} + q^{65} − q^{73} − q^{77} − q^{81} − 2q^{97} + 7q^{109} + 3q^{113} + q^{117} − 2q^{121} + q^{125} + 3q^{137} + 2q^{141} + q^{149} − 3q^{161} − 4q^{169} + …

f_{4}(τ) = q^{14} − 3q^{22} + 2q^{34} − 2q^{42} + 3q^{46} + 4q^{58} + q^{70} − 2q^{74} − 4q^{86} + 2q^{102} + 4q^{106} + q^{110} − q^{118} − 3q^{126} − 3q^{134} − 2q^{138} − 4q^{142} − 3q^{158} + 4q^{170} + 2q^{174} − 2q^{178} + q^{182} − 4q^{186} + …

S_{\frac{3}{2}} (1968, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1968, χ_{0})) = 158 123A

f_{1}(τ) = q^{12} + q^{28} − q^{48} + q^{60} + q^{76} + q^{96} + q^{108} − 3q^{112} − 3q^{208} − q^{220} − 3q^{240} + q^{252} + 6q^{268} − 3q^{300} − q^{304} − 3q^{352} − 2q^{384} − q^{432} − q^{444} + 4q^{448} + 2q^{480} + 3q^{492} + … f_{2}(τ) = q^{6} − 3q^{22} + 2q^{30} − q^{34} + q^{54} + 7q^{58} + 4q^{70} − 3q^{82} + 3q^{94} − 4q^{106} + 4q^{130} + 4q^{138} − q^{142} −

5q^{150} − 2q^{178} + q^{186} − 6q^{190} − 3q^{198} − 9q^{202} + q^{222} − 2q^{246} − q^{258} + 2q^{270} − 3q^{274} − 3q^{294} + 6q^{298} − q^{306} − 2q^{322} + 2q^{334} − 2q^{354} + 11q^{358} + q^{366} − 2q^{382} + 9q^{438} − q^{454} − 6q^{462} + 8q^{466} −

12q^{478} + q^{486} − 6q^{498} + …

f_{2}(τ) = 3q^{13} + q^{69} + q^{85} − 7q^{93} + q^{97} − q^{109} + 3q^{117} − q^{129} − 3q^{145} + 4q^{157} + 8q^{177} − 9q^{193} + q^{205} + 7q^{217} + 5q^{229} − q^{249} + 11q^{253} − 8q^{265} − 4q^{273} − 3q^{301} − q^{309} − 3q^{313} − 9q^{325} − 4q^{345} −

9q^{357} + 9q^{393} − q^{397} + 4q^{417} − 3q^{429} − 8q^{445} − 8q^{457} − 3q^{465} − q^{481} + 5q^{489} + …

f_{4}(τ) = q^{3} + q^{19} + q^{27} + 6q^{67} − 3q^{75} + 3q^{123} − 3q^{147} + q^{171} − 2q^{211} − 3q^{219} − 3q^{235} + q^{243} − q^{259} − 7q^{331} + 3q^{339} − q^{355} − 2q^{363} − 3q^{403} − 13q^{427} + 3q^{451} − 5q^{475} + 8q^{499} + …

f_{5}(τ) = q^{7} + q^{15} − q^{55} + q^{63} − q^{111} + q^{135} + 2q^{151} − 3q^{175} − q^{183} − q^{199} + q^{231} − 2q^{343} − 4q^{375} − q^{391} − 2q^{399} + 7q^{463} − q^{495} + …

f_{6}(τ) = q^{12}+3q^{24}−5q^{28}−4q^{48}−9q^{52}−5q^{60}+q^{76}−9q^{88}−2q^{96}+q^{108}+6q^{120}−3q^{136}+6q^{192}+6q^{208}+ 3q^{216}+5q^{220}+21q^{232}−5q^{252}+6q^{268}−3q^{276}+12q^{280}−3q^{300}−4q^{304}−9q^{328}−3q^{340}+6q^{352}+ 21q^{372}+9q^{376}−2q^{384}−3q^{388}−12q^{424}−4q^{432}+3q^{436}+5q^{444}+10q^{448}−9q^{468}−4q^{480}+3q^{492}+…

123C

f_{1}(τ) = q^{32} + q^{80} − q^{92} − q^{156} − q^{204} − q^{288} − q^{332} + q^{336} + q^{348} + q^{368} + 2q^{428} − q^{476} − q^{492} + …

f_{2}(τ) = q^{23} + q^{39} − q^{87} + q^{119} + q^{143} − q^{207} − q^{215} − q^{255} − q^{287} − q^{303} + q^{327} − q^{351} − 3q^{359} + q^{431} − 2q^{447} + …

f_{3}(τ) = q^{2} − q^{18} − q^{50} − q^{62} − q^{66} − 3q^{74} − 2q^{78} + q^{86} − 3q^{98} − q^{102} + 2q^{114} + q^{122} + q^{146} + q^{162} + q^{174} + 4q^{182} + q^{206} − 2q^{210} + 4q^{242} − q^{246} + 2q^{254} + 2q^{266} + 3q^{282} − 2q^{318} − q^{326} + 4q^{330} −

3q^{338} + 3q^{374} − 2q^{390} + 2q^{410} − q^{426} − 2q^{446} + q^{450} + q^{482} − 4q^{494} + …

f_{4}(τ) = q^{5} + q^{21} + q^{33} + q^{41} − q^{45} + 3q^{57} − q^{77} − 2q^{105} + q^{113} − 2q^{125} − q^{141} + q^{165} + 3q^{173} − q^{185} − q^{189} + q^{197} − q^{209} + q^{213} − q^{221} + 2q^{237} − 5q^{245} − 2q^{285} − q^{297} + q^{305} − 3q^{329} − q^{365} −

q^{369} − q^{377} − 3q^{389} − 4q^{401} + q^{405} + 4q^{449} + 2q^{453} − q^{497} − 2q^{501} + …
S_{\frac{3}{2}} (496, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (496, χ_{0})) = 28 124B

f_{1}(τ) = q + q^{5} − q^{9} − 4q^{25} + 2q^{33} + q^{41} − 3q^{45} + 4q^{69} − q^{81} + 4q^{93} + …

f_{2}(τ) = q^{2} − q^{10} + q^{14} − 3q^{18} + 3q^{38} − 2q^{50} + q^{62} + 2q^{66} − 5q^{70} + 4q^{78} + 7q^{82} + q^{90} − 4q^{94} + …

S_{\frac{3}{2}} (512, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (512, χ_{0})) = 21 128C

f_{1}(τ) = q^{7} + q^{15} − q^{23} + q^{39} − q^{55} − q^{63} − q^{71} − 2q^{79} + q^{87} − q^{95} + …

S_{\frac{3}{2}} (2064, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2064, χ_{0})) = 166 129E

f_{1}(τ) = q^{12} + 2q^{32} + q^{48} − 2q^{80} − q^{108} + q^{156} − 2q^{192} + q^{204} − 4q^{284} − 2q^{288} − q^{300} + 2q^{416} − q^{432} + 2q^{464} + 2q^{476} + 2q^{480} + q^{492} − 4q^{512} + q^{528} + …

f_{2}(τ) = q^{2}−q^{18}+q^{26}+q^{30}+2q^{42}−q^{50}+q^{62}−q^{86}−q^{98}−3q^{114}−q^{134}+6q^{158}+q^{162}+2q^{174}−q^{194}− q^{206} −7q^{218} +3q^{222} −q^{234} −6q^{242} +3q^{254} −2q^{258} +2q^{266} −q^{270} −q^{278} −2q^{290} +q^{330} +4q^{338} − q^{366}−q^{374}−2q^{378}+3q^{386}−3q^{390}+2q^{426}+5q^{438}+q^{450}−3q^{458}−4q^{462}+5q^{506}+q^{510}+4q^{518}+…

f_{3}(τ) = q^{3} − q^{27} + q^{51} − q^{75} + q^{123} − 3q^{147} + 6q^{155} + 2q^{179} − 4q^{227} + q^{243} + 3q^{291} − 6q^{347} − 4q^{363} − 2q^{371} − 6q^{419} − 4q^{435} − q^{459} + 4q^{467} − 2q^{491} + 2q^{507} + 2q^{515} + …

f_{4}(τ) = 2q^{5} − 2q^{29} − q^{33} − 2q^{45} + 6q^{65} + 3q^{69} − 6q^{77} + 6q^{89} − 5q^{93} − 2q^{105} + 4q^{113} − 4q^{125} + 3q^{129} +6q^{141} +4q^{149} −2q^{161} +2q^{177} +q^{201} −4q^{209} −4q^{233} −6q^{245} −5q^{249} +10q^{257} +2q^{261} + 2q^{285} +q^{297} −7q^{309} −8q^{329} −14q^{377} +5q^{381} +4q^{389} +2q^{405} −5q^{417} −3q^{429} −8q^{437} −6q^{449} + 4q^{473} + 14q^{485} + q^{501} + 10q^{521} + …

S_{\frac{3}{2}} (2096, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2096, χ_{0})) = 128 131A

f_{1}(τ) = q^{23} − q^{31} − q^{47} + 2q^{87} + q^{103} − q^{111} − q^{119} + q^{127} − 2q^{207} + 2q^{223} − q^{247} − 2q^{255} − 2q^{319} + 2q^{359} + …

f_{2}(τ) = q^{32} − q^{76} + q^{92} − q^{96} − q^{124} − q^{188} + q^{204} + q^{224} + 2q^{268} − q^{272} − 2q^{288} − q^{304} + 2q^{348} + 2q^{352} − q^{368} + …

f_{3}(τ) = q^{19} − q^{51} − 2q^{67} + 2q^{115} + q^{139} + 2q^{163} − 2q^{227} − 2q^{235} + q^{251} − q^{259} − q^{291} − q^{299} − q^{347} + 2q^{355} + 2q^{395} + …

f_{4}(τ) = q^{8} − q^{24} − q^{32} + q^{56} − q^{68} − 2q^{72} + 2q^{88} − 2q^{92} + q^{96} + q^{104} + 2q^{120} + 2q^{124} − 2q^{128} + q^{148} − q^{168} + 2q^{188} − q^{200} + q^{216} − q^{224} − q^{228} − 2q^{264} + q^{272} + q^{276} − 2q^{280} + 2q^{288} + 2q^{292} + 3q^{304} − q^{312} − 3q^{328} − 4q^{340} + q^{344} − 4q^{348} − 2q^{352} − q^{368} + 5q^{372} + 2q^{384} − q^{388} + …

f_{5}(τ) = q^{2} − q^{6} + q^{14} − 2q^{18} + 2q^{22} + q^{26} + 2q^{30} − q^{42} − q^{50} + q^{54} − 2q^{66} − 2q^{70} − q^{78} − 3q^{82} + q^{86} + q^{106} − q^{118} + q^{122} − 2q^{126} + 2q^{130} + 3q^{150} + 4q^{154} − q^{162} − q^{178} − 3q^{182} − q^{202} − q^{214} + 3q^{218} + 2q^{226} − 2q^{234} − q^{242} + 3q^{246} + q^{258} − q^{262} − 2q^{270} + 2q^{294} + q^{302} − q^{318} + 4q^{330} − 2q^{334} − 2q^{338} − 3q^{350} − q^{354} − q^{358} − 3q^{366} + q^{378} + 5q^{382} − 4q^{390} + …

f_{6}(τ) = q^{17} − q^{37} + q^{57} − q^{69} − 2q^{73} + 4q^{85} − 5q^{93} + q^{97} + 3q^{133} − 3q^{137} + q^{141} − 2q^{145} − 2q^{153} + q^{157} + q^{161} + 2q^{173} + q^{181} − 2q^{185} + q^{197} + 2q^{201} + 2q^{209} − 5q^{217} − q^{221} + q^{229} + 4q^{237} + 3q^{241} + 2q^{249} − q^{257} + 3q^{281} − 2q^{285} − q^{293} + q^{309} − 4q^{313} + q^{329} + 4q^{345} − 3q^{349} − 3q^{357} − 4q^{373} − 2q^{377} − q^{381} + 4q^{389} + 2q^{393} + …

S_{\frac{3}{2}} (544, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (544, χ_{0})) = 30 136A f_{1}(τ) = q^{3} + q^{11} − 2q^{27} + q^{51} − q^{75} − 3q^{99} + q^{107} + …

f_{2}(τ) = q^{10} − q^{14} + 2q^{22} + q^{34} + q^{46} − 3q^{58} − q^{62} − q^{74} − 2q^{78} − q^{90} − 2q^{102} + …

S_{\frac{3}{2}} (1104, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1104, χ_{0})) = 86 138E

f_{1}(τ) = q^{5} + q^{17} − q^{21} − q^{33} − q^{45} + 3q^{53} − 2q^{57} − 2q^{65} + q^{89} + q^{113} − 2q^{125} + q^{137} + q^{149} − q^{153} + q^{161} + q^{189} + 2q^{201} + 2q^{221} − q^{237} − 3q^{245} − q^{249} − q^{281} + …

f_{2}(τ) = q^{14} − q^{38} − 2q^{42} − q^{66} + 2q^{74} + 3q^{86} − 3q^{102} − q^{114} + 4q^{122} − q^{126} − q^{134} + q^{138} + 3q^{158} − 2q^{182} − q^{206} − 2q^{218} − q^{222} + q^{230} + q^{258} + …

f_{3}(τ) = q^{20} − q^{56} − q^{60} + q^{68} − q^{80} − q^{84} + q^{92} − q^{132} + q^{152} + 2q^{168} − q^{180} + 3q^{212} + q^{224} − 2q^{228} + q^{240} − 2q^{260} + q^{264} − q^{272} + …

f_{4}(τ) = q^{15} − q^{23} + q^{111} − q^{135} − 2q^{143} + q^{159} − q^{183} + q^{207} + 2q^{263} + 2q^{287} + …

S_{\frac{3}{2}} (2256, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2256, χ_{0})) = 182 141E

f_{1}(τ) = q^{7} + q^{55} + q^{63} + q^{79} − q^{103} − q^{111} − 2q^{159} − 2q^{175} + 2q^{183} − 4q^{247} + q^{271} + 2q^{303} + q^{319} − 3q^{343} + q^{439} − 2q^{447} − 3q^{471} + 4q^{487} + q^{495} + q^{535} + 2q^{559} + q^{567} + …

f_{2}(τ) = q^{34} − 2q^{42} + 3q^{102} + q^{118} − 4q^{130} + q^{142} − 2q^{166} + q^{178} − 3q^{190} − q^{202} − 2q^{222} + q^{238} + 3q^{262} − 2q^{282} + 2q^{286} − 2q^{298} + q^{306} + 3q^{310} − 2q^{318} + 2q^{330} − 2q^{346} + q^{354} + 2q^{366} − 2q^{378} + 3q^{382} +2q^{390} +q^{394} +q^{418} +q^{426} −q^{430} −2q^{478} +6q^{498} −q^{502} +q^{526} −q^{534} −q^{538} −q^{570} +…

f_{3}(τ) = q^{4} − 2q^{12} + q^{16} + q^{36} + 3q^{48} − 4q^{64} + q^{84} − 4q^{100} − 2q^{108} − 5q^{112} + 2q^{136} + q^{144} + 5q^{148} − 4q^{168} − 2q^{192} − 2q^{196} − 4q^{204} + 2q^{244} + 6q^{256} + 4q^{300} + q^{324} + q^{336} + 3q^{388} − 4q^{400} + 6q^{408} +

3q^{432} + 10q^{448} + 2q^{460} + 2q^{472} − 4q^{484} − 8q^{520} + 2q^{544} + 2q^{564} + 2q^{568} − 4q^{576} + …

f_{4}(τ) = q^{4} − q^{16} − 2q^{28} + q^{36} + q^{48} + q^{84} − 4q^{100} + q^{112} + 2q^{136} − q^{144} + 5q^{148} − 4q^{168} − 2q^{192} − 2q^{196} − 2q^{220} + 2q^{244} − 2q^{252} + 2q^{256} − 2q^{316} + q^{324} − q^{336} + 3q^{388} + 4q^{400} + 6q^{408} + 2q^{412} +

q^{432} + 2q^{444} + 2q^{448} + 2q^{472} − 4q^{484} − 8q^{520} − 2q^{544} + 2q^{564} + 2q^{568} + …

f_{5}(τ) = q^{3} +q^{27} +2q^{51} −2q^{75} −q^{115} −4q^{147} +2q^{195} +5q^{235} +q^{243} −q^{259} −8q^{267} +7q^{283} +3q^{291} − 3q^{307} −2q^{331} −4q^{363} −5q^{379} −6q^{403} +4q^{427} +7q^{435} −2q^{451} +2q^{459} +q^{507} +5q^{523} −8q^{571} +…

141I

f_{1}(τ) = q^{11} + q^{35} − q^{99} − q^{107} − 2q^{123} + q^{179} + 3q^{203} − 2q^{219} + q^{227} − 2q^{275} − q^{315} + 2q^{339} − 3q^{395} + q^{419} + 4q^{443} − q^{467} − q^{483} + q^{515} − 2q^{539} + q^{555} − 2q^{563} + …

f_{2}(τ) = q^{15} − q^{23} + q^{47} + q^{87} − q^{135} − q^{167} + q^{207} − q^{231} − 2q^{287} − q^{311} − 2q^{327} + 3q^{359} − q^{375} + 2q^{399} + q^{407} − q^{423} + q^{503} − 2q^{527} + 2q^{543} + … f_{3}(τ) = q^{5}−q^{29}+q^{33}−q^{45}−2q^{57}+q^{69}+3q^{77}+4q^{93}+q^{105}−q^{125}−6q^{137}+q^{141}−3q^{161}+3q^{185}+2q^{201}+

2q^{221} −q^{233} −4q^{245} +q^{257} +q^{261} +4q^{273} −5q^{281} −5q^{293} −q^{297} −3q^{317} +q^{321} +q^{329} −2q^{381} + q^{405}−4q^{417}+q^{449}+2q^{453}−3q^{461}−q^{485}+4q^{489}+5q^{501}+4q^{509}+2q^{513}−q^{537}+9q^{557}−q^{569}+…

f_{4}(τ) = q^{44} − q^{60} − q^{80} + q^{92} + q^{140} + q^{176} − q^{188} + q^{240} − q^{348} − q^{368} − q^{396} − 2q^{416} − q^{428} + q^{464} + 2q^{480} − 2q^{492} − q^{528} + q^{540} + q^{560} + …

S_{\frac{3}{2}} (1136, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1136, χ_{0})) = 68 142F

f_{1}(τ) = q^{4} + q^{8} + q^{12} + q^{16} − q^{24} + q^{32} − 2q^{36} − 2q^{40} + q^{48} + q^{64} − 4q^{72} + q^{76} − q^{96} − 5q^{100} − 3q^{108} +2q^{120} +q^{128} −2q^{144} +6q^{148} +q^{152} −2q^{160} +5q^{172} +q^{192} −2q^{196} −3q^{200} +3q^{216} +…

f_{2}(τ) = q − 2q^{9} − 5q^{25} + 6q^{37} − 2q^{49} + 3q^{57} − 7q^{73} + 4q^{77} + 3q^{81} + q^{89} − 2q^{101} + 2q^{109} + q^{121} + q^{129} − 4q^{145} + 8q^{157} − q^{161} − 4q^{213} + …

f_{3}(τ) = q^{2} −q^{6} −2q^{10} −4q^{18} +2q^{30} +q^{38} −3q^{50} +3q^{54} +8q^{58} −2q^{74} +q^{86} +4q^{90} −2q^{98} −3q^{114} − 6q^{142} − q^{146} + 5q^{150} − 4q^{158} + 9q^{162} + 4q^{166} − 9q^{178} + 3q^{182} − 6q^{190} + 4q^{202} − q^{214} + …

f_{4}(τ) = q^{3} + q^{19} − 3q^{27} + 5q^{43} − 3q^{75} − 2q^{83} − q^{91} − q^{107} − q^{131} − 4q^{147} − 2q^{171} + q^{179} + 6q^{187} + …

142E

f_{1}(τ) = q^{28} + q^{52} − q^{56} + q^{84} − 2q^{88} + q^{92} + q^{104} − q^{112} − q^{124} + 2q^{132} − 2q^{136} + q^{156} − q^{168} + q^{184} − q^{188} − q^{208} − 2q^{212} + …

f_{2}(τ) = q^{13} + q^{21} + 2q^{33} − 2q^{53} − 2q^{65} + q^{69} + 2q^{85} + 3q^{93} − 2q^{97} + 2q^{105} − q^{133} − 2q^{137} − 3q^{141} + q^{149} − 3q^{173} + 2q^{177} − q^{181} − q^{189} − 4q^{193} − q^{197} − 2q^{201} + 2q^{205} − 2q^{209} − q^{213} + …

f_{3}(τ) = q^{14} + 2q^{22} − q^{26} + 2q^{34} + q^{42} − q^{46} − q^{62} + 3q^{78} + q^{94} − 2q^{102} − 2q^{118} − 2q^{122} − 2q^{126} − 2q^{130} − q^{138} − q^{142} − 2q^{170} − q^{186} + 2q^{194} + 2q^{210} + …

f_{4}(τ) = q^{7} + q^{23} − q^{31} + q^{39} − q^{47} − q^{71} − q^{175} − 2q^{207} + …

S_{\frac{3}{2}} (2288, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2288, χ_{0})) = 158 143A

f_{1}(τ) = 2q^{43} + 2q^{51} − 2q^{107} − q^{195} − 2q^{283} − q^{299} − 2q^{347} + q^{403} − 2q^{451} − 2q^{459} + …

f_{2}(τ) = 4q^{40} − 2q^{52} + 4q^{68} + 4q^{88} − 4q^{116} + 4q^{120} + 2q^{156} − 4q^{172} − 4q^{204} − 4q^{244} − 4q^{248} − 2q^{260} + 4q^{264} − 4q^{296} − 4q^{316} + 4q^{348} − 4q^{380} + 4q^{428} − 4q^{472} + …

f_{3}(τ) = 2q^{40} − q^{52} + 2q^{68} + 2q^{88} − 2q^{116} + 2q^{120} + 2q^{160} − 4q^{172} − 4q^{204} − q^{208} − 2q^{244} − 2q^{248} − q^{260} + 2q^{264} + 2q^{272} − 2q^{296} + 2q^{352} + 4q^{428} − 2q^{464} − 2q^{472} + 2q^{480} + …

f_{4}(τ) = q^{13} − 2q^{17} + 2q^{29} + 2q^{61} + q^{65} − 2q^{129} + 4q^{153} + 4q^{165} + 2q^{173} − 2q^{205} + 2q^{209} − 4q^{217} − 2q^{237} −4q^{261} −4q^{277} +2q^{285} −2q^{321} −4q^{329} −6q^{337} −4q^{365} +4q^{373} +4q^{393} −4q^{413} +4q^{417} +

q^{429} + 3q^{481} − 4q^{497} + …

f_{5}(τ) = q^{10} +q^{22} +q^{30} −q^{62} +q^{66} −q^{74} −q^{118} −q^{134} +q^{142} −q^{178} −q^{182} +q^{186} +q^{194} +q^{222} −q^{230} + 2q^{238} −q^{250} −q^{270} +q^{274} −q^{286} −2q^{326} −q^{354} −q^{402} −q^{426} −2q^{442} +q^{446} −q^{458} −3q^{490} +…

f_{6}(τ) = q^{39} − 2q^{79} + 2q^{87} − 2q^{95} + q^{143} + 2q^{183} − q^{351} − 2q^{391} − 2q^{415} + 2q^{439} + …

S_{\frac{3}{2}} (2320, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2320, χ_{0})) = 170 145A

f_{1}(τ) = q^{71} − q^{111} − q^{199} + q^{231} + q^{295} + q^{335} − q^{399} − q^{455} − 2q^{471} + …

f_{2}(τ) = q^{51}−q^{91}−q^{115}−q^{139}+q^{179}+q^{299}+2q^{339}−q^{371}−q^{411}−2q^{419}+q^{435}+q^{451}+2q^{499}+q^{515}+…

f_{3}(τ) = q^{16} − q^{64} + q^{80} + q^{144} − 2q^{204} − q^{256} − 2q^{284} − q^{320} + 2q^{364} − q^{400} + 2q^{444} + 2q^{460} − q^{464} + 2q^{480} + …

f_{4}(τ) = q^{151} − q^{231} + q^{239} − q^{255} + q^{319} + q^{399} − q^{415} − 2q^{431} − q^{439} + q^{455} − q^{471} − q^{535} + …

f_{5}(τ) = q + q^{5} + q^{9} − q^{25} − q^{29} − q^{45} − q^{49} + 2q^{65} + 4q^{71} − 3q^{81} + 2q^{109} − 4q^{111} − 5q^{121} − q^{125} + 4q^{141} − q^{145} − 2q^{161} + q^{169} − 4q^{199} + 2q^{209} − q^{225} + 4q^{231} + 2q^{241} − 3q^{245} + q^{261} − 2q^{265} + 2q^{281} + 4q^{285} − 3q^{289} + 4q^{295} + 4q^{335} + 2q^{341} + 2q^{349} − q^{361} − 4q^{399} − 3q^{405} + 4q^{429} − q^{441} −

4q^{455} + 4q^{465} + 2q^{469} − 8q^{471} + 4q^{489} + 2q^{509} + 6q^{521} + 3q^{529} + …
S_{\frac{3}{2}} (592, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (592, χ_{0})) = 34 148A

f_{1}(τ) = q^{2} + q^{6} + q^{14} − 2q^{18} + 3q^{22} + q^{42} − 3q^{50} − q^{54} − q^{66} − q^{74} − 3q^{82} + q^{94} − 2q^{98} − 3q^{106} + …

f_{2}(τ) = q^{13} + q^{17} − q^{29} + q^{37} − 2q^{57} + q^{61} − 2q^{93} − q^{97} − 2q^{105} + q^{113} + …

S_{\frac{3}{2}} (608, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (608, χ_{0})) = 34 152A

f_{1}(τ) = q^{15} − q^{31} − q^{79} + 2q^{103} + …

f_{2}(τ) = q^{2} − q^{10} + q^{14} − 3q^{18} − 3q^{22} + 3q^{34} − q^{38} + 2q^{46} + 3q^{70} − 2q^{78} + 3q^{86} + q^{90} − q^{94} − 2q^{98} + q^{110} + 2q^{114} + …

S_{\frac{3}{2}} (2448, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2448, χ_{0})) = 196 153C

f_{1}(τ) = q^{32} − 2q^{128} − q^{140} + q^{188} + 2q^{236} − 3q^{332} + q^{416} − q^{476} + 2q^{512} + q^{560} − q^{608} + 3q^{620} + …

f_{2}(τ) = q^{55} + q^{103} − q^{127} − 2q^{151} − 3q^{223} + 3q^{247} + q^{271} − 2q^{319} + q^{391} + 4q^{463} + 2q^{511} − 3q^{535} − q^{559} − 3q^{631} + … f_{3}(τ) = q^{35} − 2q^{59} + 3q^{83} − 3q^{155} − 3q^{179} + 2q^{203} + 3q^{251} − 4q^{323} + 2q^{395} − q^{443} + 2q^{467} + 3q^{491} −

q^{563} + q^{611} + …

f_{4}(τ) = q^{16} − 2q^{64} + q^{76} − q^{172} + q^{208} + q^{220} + 2q^{256} − 4q^{268} − q^{304} − 2q^{400} + q^{412} + 5q^{460} − q^{508} + 2q^{544} − 2q^{604} + …

f_{5}(τ) = q^{19}−q^{43}−4q^{67}+5q^{115}+3q^{187}−4q^{259}−2q^{307}−q^{331}+8q^{427}+q^{451}−2q^{475}−4q^{523}−2q^{595}+…

f_{6}(τ) = q + q^{13} − 2q^{25} − q^{49} + 3q^{85} − 2q^{121} + 4q^{145} + 3q^{157} − 6q^{169} + q^{205} − 4q^{229} − 5q^{253} − q^{289} + q^{349} + 4q^{373} + 5q^{409} + q^{421} + 3q^{433} − 3q^{457} + 2q^{493} − 6q^{529} + 10q^{553} + 9q^{565} + q^{577} − 11q^{613} − 3q^{625} − 3q^{637} + …

f_{7}(τ) = q^{4} − q^{16} + q^{52} − 2q^{100} + 2q^{136} − q^{196} − q^{208} − 2q^{220} + 2q^{256} − q^{304} + 3q^{340} + 2q^{400} − 2q^{412} − 4q^{472} − 2q^{484} + 2q^{508} − 2q^{544} + 4q^{580} + 4q^{604} + 4q^{616} + 3q^{628} + …

f_{8}(τ) = q^{2} + q^{26} − q^{38} − 3q^{86} − q^{98} + 3q^{110} + q^{170} + 3q^{206} − q^{230} − 4q^{242} − 3q^{254} + 2q^{302} − q^{314} − 4q^{338} + q^{374} + 7q^{410} − 2q^{434} + q^{446} − q^{494} + q^{506} + 6q^{518} + 3q^{542} − q^{578} − 2q^{614} − 2q^{638} + …

f_{9}(τ) = q^{34} − 2q^{118} + 2q^{154} − 2q^{178} − 2q^{202} + 2q^{238} + q^{274} + q^{298} + q^{310} − 2q^{322} + q^{358} − 3q^{370} + 3q^{382} − 2q^{406} + q^{442} − q^{478} − q^{502} + q^{526} + 2q^{562} − 2q^{574} + q^{586} − 2q^{610} + q^{646} + …

S_{\frac{3}{2}} (2480, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2480, χ_{0})) = 182 155C

f_{1}(τ) = q^{24} + 2q^{44} + 3q^{84} + q^{96} − 2q^{104} − q^{116} + q^{120} − 3q^{136} − q^{176} − q^{216} + 3q^{240} + 2q^{244} + q^{296} + 3q^{336} − q^{340} − q^{344} − 5q^{356} − 2q^{384} − 4q^{396} − 2q^{416} + q^{420} − 5q^{424} + 2q^{440} − 3q^{456} − 4q^{460} − q^{464} + q^{480} + 3q^{496} + 4q^{520} − 3q^{544} + 2q^{556} + 4q^{564} + …

f_{2}(τ) = q^{44} − q^{60} + q^{96} − q^{124} + q^{176} − q^{220} + q^{240} − q^{316} + 3q^{336} − 2q^{396} − 2q^{416} − 2q^{460} − q^{464} + q^{476} + q^{480} + q^{496} + q^{540} − 3q^{544} + q^{556} + …

f_{3}(τ) = q^{15} + q^{31} + q^{55} + q^{79} − q^{119} − q^{135} − q^{151} − q^{199} + q^{215} − 3q^{271} − q^{375} + q^{399} + q^{415} − 2q^{455} + 3q^{471} − 5q^{511} + 3q^{519} − 3q^{551} + …

f_{4}(τ) = q^{11} − 2q^{99} − 2q^{115} + q^{139} − q^{155} − q^{179} + 2q^{251} + q^{259} − q^{275} + 4q^{291} + 4q^{331} − 3q^{339} + q^{371} − q^{395} − 3q^{451} − q^{499} + q^{539} + q^{571} + …

f_{5}(τ) = 3q^{21}−q^{29}+2q^{61}−q^{85}−5q^{89}+q^{105}+4q^{141}+3q^{145}+2q^{181}−q^{185}−3q^{189}+5q^{201}−q^{209}+7q^{229}− q^{241}+2q^{261}−3q^{265}+q^{269}−q^{285}−7q^{301}−4q^{305}−2q^{309}+4q^{321}−q^{341}−3q^{365}−4q^{385}−4q^{389}− q^{401} −3q^{409} +2q^{429} −3q^{445} +4q^{449} −q^{461} −3q^{465} −2q^{489} −2q^{509} −3q^{525} −q^{561} +4q^{569} +…

f_{6}(τ) = q^{6} −2q^{26} +q^{30} −3q^{34} −q^{54} +q^{74} −q^{86} −5q^{106} +2q^{110} −3q^{114} +4q^{130} +q^{146} −q^{150} −2q^{154} − 5q^{166}+q^{170}+q^{186}+2q^{230}+4q^{234}+3q^{246}+4q^{254}−q^{270}+3q^{274}−q^{294}+2q^{310}+3q^{334}+3q^{354}+ q^{370}+4q^{394}−2q^{406}−q^{426}+q^{430}+4q^{434}−3q^{446}−2q^{486}+4q^{494}−9q^{526}−q^{530}−3q^{554}−7q^{570}+…

155D

f_{1}(τ) = q^{28} + q^{32} + q^{80} − 3q^{112} − 2q^{128} + q^{140} + q^{160} + q^{268} − 2q^{288} − 2q^{320} + q^{348} − q^{380} − 2q^{428} + 4q^{448} + 2q^{512} − q^{528} − q^{560} + … f_{2}(τ) = q^{7} + q^{87} − q^{95} + q^{175} − 2q^{183} + q^{255} − q^{287} − q^{295} − q^{335} − 2q^{343} + q^{407} + q^{503} − q^{527} +

2q^{535} + 2q^{543} − 3q^{567} + …

f_{3}(τ) = q^{35} + q^{67} − 2q^{107} + q^{155} + 6q^{163} − 3q^{187} + 2q^{195} − 5q^{227} − 4q^{235} + 7q^{267} − 2q^{283} + 3q^{307} − 2q^{315} − 3q^{355} − 4q^{403} + 7q^{435} + 2q^{467} − 6q^{483} − 2q^{515} − 7q^{547} − 3q^{555} − q^{563} + …

f_{4}(τ) = q^{8} + q^{20} − q^{28} + q^{40} − 2q^{72} − 2q^{112} − 2q^{128} − q^{132} + q^{140} + q^{152} − 2q^{180} + q^{200} − q^{248} + q^{268} + 2q^{280} + 4q^{312} − 2q^{320} − q^{328} − q^{348} − 3q^{372} + q^{380} + 4q^{388} − q^{392} − q^{408} − 2q^{428} + 6q^{448} + 3q^{452} + q^{472} + q^{500} + 4q^{512} − q^{532} − 2q^{552} − 2q^{560} − q^{568} + …

f_{5}(τ) = q^{5} −q^{33} −2q^{45} −3q^{93} +4q^{97} +3q^{113} +q^{125} −q^{133} +q^{157} −q^{165} −q^{173} +4q^{193} −q^{205} −q^{217} − 3q^{233} − 3q^{237} − 3q^{245} − 6q^{253} + q^{257} − 2q^{273} + 3q^{293} + q^{297} + 4q^{345} + 3q^{357} − 5q^{373} − 4q^{377} + 6q^{397}−q^{405}+5q^{413}−3q^{417}+7q^{453}−q^{465}+7q^{473}−3q^{493}−q^{497}+9q^{505}−3q^{537}+q^{545}+q^{565}+…

f_{6}(τ) = q^{2} + q^{10} − 2q^{18} + q^{38} + q^{50} − q^{62} + 2q^{70} + 4q^{78} − q^{82} − q^{98} − q^{102} + q^{118} − 2q^{138} − q^{142} − q^{162} − 3q^{190} + q^{202} + 5q^{218} − 3q^{222} + q^{242} + q^{250} − 7q^{258} + q^{262} + q^{298} − 3q^{310} − 3q^{318} + 4q^{330} −5q^{338} −2q^{342} −2q^{382} −2q^{390} +3q^{410} +3q^{438} +8q^{442} −2q^{450} +8q^{462} −3q^{490} +3q^{498} + 3q^{510} + 2q^{558} + 3q^{562} + …

S_{\frac{3}{2}} (640, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (640, χ_{0})) = 35 160A

f_{1}(τ) = q^{11} − q^{19} − q^{35} + q^{59} + q^{99} + q^{115} − q^{131} − q^{139} + …

f_{2}(τ) = q^{5} − 2q^{21} + q^{45} − 2q^{61} + 2q^{69} − 2q^{85} + 4q^{101} + 2q^{109} − q^{125} + 2q^{141} + …

160D

f_{1}(τ) = q − q^{9} − q^{25} + 2q^{41} − q^{49} − 2q^{65} − q^{81} + 4q^{89} + 2q^{105} − 3q^{121} + 2q^{129} + …

S_{\frac{3}{2}} (2608, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2608, χ_{0})) = 160 163A

f_{1}(τ) = q^{12} − q^{28} − q^{32} + q^{48} + q^{76} + 2q^{80} − 2q^{92} + q^{112} + q^{124} − 2q^{192} + q^{208} − q^{236} − q^{252} − 2q^{268} + 3q^{272} + q^{288} − 3q^{300} + q^{304} + 2q^{368} − 4q^{412} − 2q^{428} + 2q^{448} − q^{464} − 2q^{480} + q^{492} + …

f_{2}(τ) = q^{7} + 2q^{23} − q^{31} + q^{63} + 4q^{103} + 2q^{127} − 3q^{159} − 3q^{175} + q^{183} + 3q^{191} − 2q^{207} − 2q^{231} + q^{239} − q^{279} − 5q^{287} − 3q^{311} + 2q^{343} − 2q^{399} − 2q^{415} + q^{431} + q^{479} + …

f_{3}(τ) = q^{3} + q^{19} − q^{59} − 2q^{67} − 3q^{75} − 2q^{107} + q^{123} + q^{147} − 2q^{163} + q^{171} + 2q^{195} + q^{211} + 4q^{235} − 3q^{243} + 4q^{283} + 3q^{291} + q^{331} + 3q^{339} − 2q^{355} − 5q^{363} + q^{371} − 5q^{427} − 5q^{443} − 2q^{451} + 8q^{467} − 5q^{475} + 2q^{483} − 2q^{491} + …

f_{4}(τ) = q^{8}+q^{12}−2q^{20}−3q^{28}−2q^{32}+4q^{48}−q^{52}−3q^{68}−q^{72}+q^{76}+4q^{80}−6q^{92}+q^{116}+2q^{120}+3q^{124}− 2q^{128} − 3q^{148} + 6q^{168} + 2q^{180} − 2q^{192} − 3q^{200} + 2q^{208} − q^{236} − 3q^{252} + 4q^{264} − 2q^{268} + 6q^{272} + 2q^{288}−3q^{292}−3q^{300}+4q^{304}+2q^{312}+4q^{320}−7q^{328}+q^{344}−2q^{356}+q^{376}+3q^{392}+3q^{404}−6q^{408}− 12q^{412}+2q^{420}−q^{424}−2q^{428}−q^{436}+2q^{440}+6q^{448}+4q^{456}−2q^{464}−q^{468}−4q^{480}+3q^{488}+q^{492}+… f_{5}(τ) = q^{2} − q^{18} + 2q^{30} + 6q^{42} − 3q^{50} + 4q^{66} + 2q^{78} − 7q^{82} + q^{86} + q^{94} + 3q^{98} − 6q^{102} − q^{106} +

2q^{110} + 4q^{114} + 3q^{122} + 4q^{130} − 2q^{138} − q^{142} + 2q^{154} − 3q^{162} + 5q^{166} − 2q^{170} + 4q^{174} + 4q^{182} + 4q^{190} − q^{194} − 6q^{222} + q^{226} − 4q^{230} + 2q^{238} − 7q^{242} − 5q^{262} − 4q^{286} − 6q^{290} − 9q^{302} + 2q^{310} − q^{326} − 2q^{334} + 5q^{338} + q^{346} + 2q^{358} − 2q^{370} + 2q^{374} + 3q^{394} − 4q^{398} + 2q^{406} − 4q^{418} − 4q^{434} − 12q^{438} − 4q^{442} − q^{446} + 3q^{450} − 6q^{454} − 4q^{474} + …

f_{6}(τ) = 2q^{5} + q^{13} + 3q^{17} − q^{29} + 3q^{37} − 2q^{45} + 3q^{73} + 2q^{89} − 3q^{101} − 2q^{105} + q^{109} + q^{117} − 8q^{125} + q^{129} − 5q^{137} + q^{141} − 3q^{153} + 10q^{157} − 2q^{165} + 4q^{181} + q^{193} − 4q^{205} + 7q^{213} + 4q^{229} + 2q^{233} + 2q^{245} + q^{249} + 10q^{257} + q^{261} + 2q^{265} − q^{269} − 12q^{273} − 7q^{277} + 2q^{285} − 4q^{293} + 3q^{301} − q^{317} − 3q^{325} − 3q^{329} + 3q^{333} + 4q^{345} + 3q^{349} − 7q^{353} − 6q^{357} + 6q^{385} + 5q^{389} − 5q^{393} + q^{401} − 6q^{405} − 9q^{425} − 11q^{433} + 3q^{449} − 3q^{453} − 4q^{465} + 2q^{473} + 2q^{485} − q^{489} + …

S_{\frac{3}{2}} (1360, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1360, χ_{0})) = 98 170A

f_{1}(τ) = q^{7} + q^{23} − q^{63} − q^{167} + q^{175} − 3q^{207} − q^{215} − q^{255} + 2q^{295} + …

f_{2}(τ) = q^{20} + 2q^{28} + q^{40} − q^{80} + 2q^{92} − 2q^{112} − 2q^{148} − q^{160} − 3q^{180} − 4q^{228} + 6q^{232} − 2q^{248} − 2q^{252} + 2q^{260} − 4q^{292} − 4q^{312} + q^{320} + …

f_{3}(τ) = q^{5} − 2q^{37} − 3q^{45} − 4q^{57} + 2q^{65} − 4q^{73} − 3q^{85} + 4q^{97} + 2q^{105} + q^{125} + 4q^{133} + 2q^{165} + 2q^{173} + 8q^{177} + 4q^{193} + 2q^{197} − 4q^{233} − 3q^{245} − 6q^{277} − 4q^{313} + 6q^{317} + …

f_{4}(τ) = q^{10} + 6q^{58} − 2q^{62} − 4q^{78} + 4q^{82} − q^{90} − 4q^{102} + 2q^{122} + 4q^{130} + 6q^{142} − 2q^{158} + q^{170} − 4q^{182} − 6q^{190} − 6q^{210} − 2q^{218} − 2q^{238} + q^{250} − 4q^{258} − 8q^{262} + 4q^{318} + …

S_{\frac{3}{2}} (2800, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2800, χ_{0})) = 208 175C

f_{2}(τ) = q^{19} + q^{59} + q^{91} − 2q^{299} − 2q^{339} − q^{371} − 2q^{411} − q^{419} + q^{451} − 2q^{531} − q^{651} + 4q^{691} + …

S_{\frac{3}{2}} (2960, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (2960, χ_{0})) = 218 185D

f_{1}(τ) = q^{16} − 3q^{44} − 2q^{64} + 2q^{144} − q^{160} + 3q^{176} + 2q^{256} + q^{284} − q^{336} − 2q^{380} − q^{400} + q^{444} + q^{460} − 3q^{480} + 4q^{556} − 4q^{576} + 2q^{604} + q^{620} + q^{636} + 2q^{640} + 3q^{656} + …

f_{2}(τ) = q^{4} − 2q^{16} + 2q^{36} − q^{40} + 3q^{44} + 2q^{64} − q^{84} − q^{100} − 3q^{120} − 4q^{144} + 2q^{160} + 3q^{164} − 4q^{184} − 4q^{196} + 3q^{260} − q^{280} − 3q^{284} + 4q^{296} − q^{324} + 2q^{336} − 4q^{340} + 4q^{344} − 2q^{360} + 6q^{380} + 2q^{400} − q^{404} + q^{440} − 3q^{444} + 2q^{456} − q^{460} + 6q^{480} + 4q^{484} − 4q^{556} + 7q^{564} + 4q^{576} + q^{580} − q^{596} − 6q^{604} − q^{620} − 3q^{636} − 2q^{640} − 6q^{656} − 3q^{676} + …

f_{3}(τ) = q^{71} − 2q^{95} + q^{111} + 2q^{151} + q^{159} + 2q^{215} + 3q^{231} − 2q^{255} − q^{271} − 2q^{295} − 5q^{359} − q^{455} − 3q^{471} − q^{511} + 3q^{519} − q^{591} − 3q^{599} + 3q^{655} + … f_{4}(τ) = −3q^{11}+q^{115}+4q^{139}+q^{155}+3q^{195}+3q^{211}−7q^{219}+q^{259}+3q^{275}−6q^{299}−5q^{371}−5q^{379}−q^{395}+

2q^{411} +3q^{419} −7q^{435} +3q^{451} −2q^{491} +8q^{515} +12q^{539} −4q^{555} −3q^{571} +4q^{595} +q^{619} −q^{659} +…

f_{5}(τ) = q + 2q^{9} − q^{21} − q^{25} + 3q^{41} − 4q^{49} + 3q^{65} − q^{81} − 4q^{85} − q^{101} + 4q^{121} + 7q^{141} + q^{145} − q^{149} − 3q^{169} + q^{181} + 2q^{185} − q^{189} + 4q^{201} − 6q^{221} − 2q^{225} + 3q^{229} − 5q^{249} + 2q^{269} − 2q^{285} − 5q^{289} + 5q^{305} + 4q^{321} − 7q^{329} + q^{345} + 2q^{349} − 3q^{361} + 5q^{381} − 8q^{441} − 3q^{445} − q^{465} − 3q^{485} + 3q^{509} + q^{521} + q^{525} − q^{529} − q^{545} − 5q^{581} + 8q^{589} + q^{625} + 2q^{629} + 5q^{641} − 6q^{645} + 4q^{665} + 15q^{669} + …

f_{6}(τ) = q^{10} + 3q^{30} + 4q^{46} + q^{70} − 4q^{74} − 4q^{86} + 2q^{90} − q^{110} − 2q^{114} + 2q^{174} − 4q^{186} + 2q^{194} + 4q^{206} +5q^{210} −6q^{226} −q^{250} +2q^{266} +3q^{270} −4q^{286} −10q^{326} −5q^{330} −2q^{334} −6q^{354} +6q^{366} − q^{370} + 4q^{374} − 2q^{386} + 6q^{406} − 3q^{410} + 8q^{414} + 8q^{434} + 4q^{454} + 5q^{470} + 4q^{474} − 6q^{490} − 2q^{514} + 3q^{530} − 6q^{534} − 4q^{546} − 4q^{554} − 2q^{566} + 4q^{626} + 2q^{630} − 6q^{654} − 4q^{670} + …

185B

f_{1}(τ) = q^{16} + q^{64} − q^{144} − q^{160} − q^{256} − 2q^{284} + 2q^{336} + q^{380} − q^{400} + q^{444} + q^{460} − 2q^{556} − q^{576} + 2q^{604} + q^{620} − 2q^{636} − q^{640} + …

f_{2}(τ) = q^{4} − q^{36} − q^{40} − 2q^{64} + 2q^{84} − q^{100} + 2q^{184} − q^{196} − 2q^{256} + 2q^{280} + 2q^{284} + q^{296} − q^{324} + 2q^{340} − 2q^{344} + q^{360} − q^{380} + 2q^{404} − 2q^{440} − q^{444} + 2q^{456} + q^{460} + q^{484} − 2q^{556} − 2q^{564} + 2q^{576} − 2q^{580} + 2q^{596} − 2q^{604} + q^{620} + 2q^{636} + 2q^{640} − 3q^{676} + …

f_{3}(τ) = q − q^{9} + 2q^{21} − q^{25} − q^{49} − q^{81} + 2q^{85} + 2q^{101} + q^{121} − 2q^{141} − 2q^{145} + 2q^{149} − 3q^{169} − 2q^{181} − q^{185} − 4q^{189} − 2q^{201} + q^{225} − 2q^{249} + 2q^{269} − 2q^{285} + q^{289} + 2q^{305} − 2q^{321} + 2q^{329} + 4q^{345} + 2q^{349} + 3q^{361} + 2q^{381} + q^{441} + 2q^{465} + 6q^{469} − 2q^{521} − 2q^{525} − 7q^{529} + 2q^{545} − 6q^{565} − 2q^{581} + 2q^{589} + 6q^{601} + q^{625} + 2q^{629} + 2q^{641} − 2q^{665} + 6q^{669} + …

f_{4}(τ) = q^{10} −2q^{46} −2q^{70} −q^{74} +2q^{86} −q^{90} +2q^{110} −2q^{114} −4q^{174} +2q^{186} +2q^{194} −2q^{206} +2q^{210} − q^{250} + 2q^{266} − 4q^{286} + 2q^{326} + 4q^{330} − 2q^{334} + 6q^{354} + 2q^{370} + 4q^{374} − 2q^{386} + 2q^{414} + 2q^{434} − 2q^{454}+2q^{470}−2q^{474}−3q^{490}+4q^{514}−4q^{546}−4q^{554}−2q^{566}−2q^{626}+2q^{630}+3q^{666}−4q^{670}+…

f_{5}(τ) = 4q^{71} − 2q^{95} − 2q^{111} − 4q^{151} + 4q^{159} + 2q^{215} + 4q^{255} − 4q^{271} − 2q^{295} + 4q^{359} − 4q^{455} − 4q^{511} + 8q^{591} − 12q^{639} + 6q^{655} + …

f_{6}(τ) = q^{115} − 2q^{139} + q^{155} + 2q^{219} + q^{259} − 2q^{371} − 2q^{379} − q^{395} + 2q^{411} + 2q^{435} − 2q^{491} − q^{515} − q^{555} − 2q^{595} − 2q^{619} + 2q^{659} + …

185A

f_{1}(τ) = q^{20} + 2q^{68} + q^{80} − 4q^{88} + 2q^{140} − 2q^{148} − 4q^{168} − 4q^{172} − 2q^{180} + 2q^{228} + 3q^{240} + 2q^{272} − 2q^{320} + 4q^{328} − 4q^{352} + 6q^{368} + 6q^{372} + 2q^{388} − 3q^{420} + q^{500} + 6q^{520} − 6q^{532} − q^{560} + 4q^{568} − 2q^{592} − 4q^{612} + 8q^{652} + q^{660} − 4q^{672} − 2q^{680} + …

f_{2}(τ) = q^{5} + q^{13} + 3q^{17} − q^{37} − 2q^{45} + 4q^{93} + q^{97} − 4q^{105} + q^{113} + q^{125} − 8q^{133} − 6q^{153} + 3q^{177} + q^{185} + 5q^{237} − 4q^{245} − 8q^{253} + 3q^{257} + 7q^{273} + 2q^{277} + 11q^{313} − 4q^{325} + q^{353} + 3q^{357} + 3q^{365} − q^{385} − 3q^{393} − q^{405} − 7q^{413} − 2q^{425} + 4q^{457} − 9q^{473} − 3q^{505} + 5q^{533} − q^{537} + 3q^{553} + 4q^{557} − q^{573} + 4q^{577} + 5q^{597} − 4q^{605} − 4q^{637} + 10q^{653} + … f_{3}(τ) = 2q^{22} + 2q^{42} − 2q^{82} − 3q^{130} − 2q^{142} + q^{170} + 2q^{190} − 4q^{282} − q^{290} + 4q^{302} − 2q^{310} − 2q^{318} +

2q^{362} − q^{370} − 2q^{378} + q^{390} + 2q^{402} + 2q^{422} − q^{430} − 4q^{438} + 2q^{442} + 2q^{458} + 4q^{462} + 6q^{498} +

q^{510} − 2q^{518} + 2q^{538} + 2q^{550} − 2q^{570} − q^{590} − 2q^{598} − q^{610} − 2q^{642} − 2q^{658} + …

f_{4}(τ) = q^{35} −2q^{43} +4q^{163} −2q^{187} −2q^{203} +3q^{235} −4q^{267} −2q^{315} +2q^{347} +3q^{355} −2q^{427} −4q^{467} + 2q^{483} − 2q^{523} + 4q^{547} − 3q^{555} + 2q^{627} − q^{635} + 6q^{643} + 4q^{683} + …

f_{5}(τ) = q^{15} + 2q^{23} − q^{55} − 2q^{87} − 2q^{103} − q^{135} + 2q^{183} − 4q^{207} + 2q^{335} + q^{375} + 2q^{383} + 2q^{407} + 3q^{415} + 2q^{487} − 2q^{503} + 2q^{575} − 2q^{607} + 3q^{615} + …

f_{6}(τ) = q^{60} − q^{80} + 2q^{92} − q^{140} + 2q^{172} − q^{220} − q^{240} − 2q^{272} − 2q^{348} + 4q^{352} − 2q^{368} − 2q^{412} − q^{540} − q^{560} + 2q^{592} − 4q^{652} + 4q^{672} + …

S_{\frac{3}{2}} (3024, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (3024, χ_{0})) = 256 189A

f_{1}(τ) = q^{47}−q^{119}+q^{167}+q^{215}−q^{287}−q^{311}−q^{383}−q^{479}+q^{503}−2q^{647}+2q^{671}−q^{719}−q^{815}+q^{839}+…

f_{2}(τ) = q^{80} + q^{140} − q^{188} + q^{236} − q^{272} − 2q^{320} − q^{332} + 2q^{416} + q^{476} − 2q^{524} − q^{560} − q^{656} − q^{668} + 3q^{752} + 2q^{812} − q^{860} + …

f_{3}(τ) = q^{35} + q^{59} − q^{83} − 2q^{131} + 2q^{203} + 2q^{227} − 3q^{251} + 2q^{371} + 3q^{395} − 3q^{419} − 2q^{467} − 6q^{587} + q^{635} + 2q^{707} + q^{731} − q^{755} + …

f_{4}(τ) = q^{26} − q^{62} + q^{110} + q^{122} − q^{146} − q^{182} + q^{206} − q^{230} − q^{278} + 2q^{290} + q^{362} − q^{374} − q^{398} + q^{434} − q^{446} − q^{458} + q^{482} + 2q^{518} − 2q^{542} − q^{566} − q^{614} − q^{626} − 2q^{650} − 2q^{698} + 2q^{710} + q^{770} −

q^{782} + q^{794} + 2q^{818} + q^{854} + …

f_{5}(τ) = q^{20} − q^{68} + q^{80} + 2q^{104} + 2q^{140} − q^{164} + 2q^{236} − 2q^{248} − q^{272} − 2q^{308} − 4q^{320} − 2q^{332} + 2q^{356} + 2q^{416} + 2q^{440} + 2q^{488} − q^{500} − 4q^{524} − 3q^{560} − 2q^{584} − 2q^{644} − q^{656} − 2q^{728} + q^{740} +

5q^{752} + 4q^{812} + 2q^{824} + …

f_{6}(τ) = q^{73} + q^{97} − q^{133} − q^{145} + q^{157} − q^{181} − q^{229} − q^{301} − q^{313} + q^{397} + q^{433} + q^{493} + q^{553} + q^{565} + q^{577} − 2q^{649} + q^{661} − q^{721} + q^{733} + q^{769} − q^{805} − q^{817} − q^{829} − q^{853} + …

189C

f_{1}(τ) = q^{43} + 4q^{67} − 2q^{91} − 5q^{163} − q^{235} − q^{259} + 3q^{331} − 3q^{379} − 4q^{403} + 4q^{427} + 3q^{499} + 3q^{547} − q^{571} − q^{595} + 4q^{667} − 2q^{715} + 2q^{739} + 5q^{763} + 3q^{835} + …

f_{2}(τ) = q^{16} + q^{28} − q^{112} − q^{172} − 2q^{256} − 4q^{268} + q^{316} + 4q^{352} + 2q^{364} − 4q^{400} − 2q^{448} + q^{508} + 7q^{592} − q^{604} + 5q^{652} − q^{688} − 2q^{700} + 2q^{736} + q^{784} + …

S_{\frac{3}{2}} (1520, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (1520, χ_{0})) = 110 190C f_{1}(τ) = q^{40} − q^{60} − 2q^{84} − 2q^{116} − 2q^{124} + 2q^{136} − q^{160} + 2q^{164} + 4q^{184} + q^{240} + q^{260} − 2q^{276} −

q^{280} + 2q^{284} + 2q^{336} − 2q^{344} + 2q^{356} + …

f_{2}(τ) = q^{10} + 2q^{34} + 4q^{46} − q^{70} − 2q^{86} + 2q^{110} − 2q^{114} − 2q^{146} − 2q^{154} − 4q^{166} − q^{170} + 2q^{186} − 2q^{190} − q^{230} + 2q^{246} − q^{250} − 2q^{266} + 2q^{274} − 2q^{326} + 6q^{354} + …

f_{3}(τ) = q^{15} + 2q^{31} − 2q^{71} − q^{95} − q^{135} − 2q^{231} + q^{255} − q^{295} + 2q^{319} + q^{335} + …

190D

f_{1}(τ) = 2q − q^{5} − 4q^{9} − 2q^{25} + 4q^{45} − 8q^{49} + 6q^{61} + 6q^{81} + 7q^{85} − 2q^{101} − 6q^{121} + q^{125} − 2q^{161} − 4q^{169} + 6q^{201} + 4q^{225} + 6q^{245} + q^{285} − 8q^{289} − 14q^{301} + 2q^{305} − 2q^{309} + 2q^{321} + 4q^{329} + …

f_{2}(τ) = 2q^{4} + 2q^{16} − q^{20} − 4q^{36} + 2q^{44} + 2q^{64} + 2q^{76} − q^{80} − 2q^{100} − 2q^{104} − 3q^{120} − q^{140} − 4q^{144} + 2q^{176} + 4q^{180} − 8q^{196} + 6q^{244} + 2q^{256} − 2q^{264} + 4q^{296} + 2q^{304} − q^{320} + 6q^{324} + 7q^{340} + …

f_{3}(τ) = 2q^{11} + 2q^{19} − q^{35} − 8q^{99} + 3q^{115} − 4q^{139} − 4q^{171} − q^{195} + 10q^{235} + 2q^{251} − 2q^{275} + 8q^{291} + 4q^{315} − 2q^{339} + …

f_{4}(τ) = 2q^{26} +3q^{30} +2q^{66} −4q^{74} −10q^{106} −6q^{114} +11q^{130} −4q^{134} +7q^{190} +4q^{194} +2q^{206} −q^{210} − 20q^{214} +14q^{226} −8q^{234} +2q^{266} −9q^{270} +6q^{286} +3q^{290} +10q^{310} −8q^{330} +10q^{334} +4q^{346} +…

S_{\frac{3}{2}} (768, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (768, χ_{0})) = 44 192Q

f_{1}(τ) = q^{15} + 2q^{23} − q^{39} − 2q^{71} + q^{87} − 2q^{95} − q^{111} − q^{135} + 2q^{143} − q^{159} − 2q^{167} + q^{183} + …

f_{2}(τ) = q^{3} + 2q^{11} − q^{27} + 2q^{51} + 2q^{59} − q^{75} − 2q^{83} − 2q^{99} − 6q^{107} + 2q^{123} − 2q^{131} − 5q^{147} − 4q^{155} + 6q^{179} + …

S_{\frac{3}{2}} (3152, χ_{0})

dim(S_{\frac{3}{2}} (3152, χ_{0})) = 194 197A

f_{1}(τ) = q^{7} −q^{23} +2q^{39} +q^{47} +q^{63} +2q^{127} −2q^{143} +q^{175} +q^{191} +q^{207} +q^{223} −2q^{231} −q^{239} +q^{287} − q^{311} − 2q^{335} − 3q^{343} − q^{423} − 5q^{431} + 2q^{479} − 3q^{487} − q^{503} − q^{551} − 3q^{567} − q^{575} + 2q^{591} + …

f_{2}(τ) = q^{4} − q^{16} − 2q^{24} − 2q^{28} + q^{36} − 2q^{40} + 2q^{92} + 2q^{96} − q^{100} + q^{112} + 3q^{116} − 2q^{132} − 2q^{136} − q^{144} + 3q^{148} − 4q^{156} + 2q^{160} + 3q^{164} − 2q^{168} − 2q^{188} − 2q^{196} + q^{244} − 4q^{248} − 2q^{252} + 2q^{256} + 4q^{260} + 2q^{280} + q^{304} − 3q^{324} + 2q^{340} − 2q^{360} − q^{368} − 2q^{372} − 2q^{388} + q^{400} + q^{404} + 4q^{420} − 3q^{436} +2q^{448} −2q^{456} −3q^{464} +5q^{484} −4q^{508} +2q^{528} +3q^{532} +4q^{536} +2q^{544} +3q^{548} −2q^{552} + 6q^{568} + 4q^{572} + 2q^{584} − 3q^{592} + …

f_{3}(τ) = q^{4} + q^{16} − 2q^{24} + q^{36} − 2q^{40} − 4q^{64} − 2q^{76} − 2q^{96} − q^{100} − 5q^{112} + 3q^{116} − 2q^{132} − 2q^{136} + q^{144} + 3q^{148} − 2q^{160} + 3q^{164} − 2q^{168} − 2q^{172} − 2q^{196} − 8q^{204} − 4q^{236} + q^{244} − 4q^{248} + 6q^{256} + 4q^{260} + 2q^{280} + 3q^{304} − 3q^{324} + 6q^{332} + 2q^{340} − 2q^{360} + 5q^{368} − 2q^{372} + 8q^{384} − 2q^{388} − q^{400} + q^{404} + 4q^{420} + 10q^{428} − 3q^{436} + 10q^{448} − 2q^{456} + 3q^{464} + 5q^{484} − 2q^{528} + 3q^{532} + 4q^{536} − 2q^{544} + 3q^{548} − 2q^{552} + 6q^{568} − 4q^{576} + 2q^{584} + 3q^{592} + … f_{4}(τ) = q^{19} + q^{43} + 4q^{51} + 2q^{59} − 3q^{83} − 5q^{107} − 4q^{155} + 6q^{163} + q^{171} − 4q^{187} + q^{203} + 6q^{219} −

q^{251} − q^{259} + 6q^{267} + 3q^{331} + 2q^{339} − 8q^{347} + 2q^{355} − 8q^{371} + q^{387} + 4q^{403} + 5q^{419} + q^{427} − 12q^{435} − q^{443} − q^{475} + 5q^{491} − 2q^{499} − 10q^{515} − 2q^{531} − 4q^{555} − 2q^{587} + …

f_{5}(τ) = q+q^{9}−q^{25}+3q^{29}−2q^{33}+3q^{37}+3q^{41}−2q^{49}+q^{61}+4q^{65}−3q^{81}+2q^{85}−2q^{93}−2q^{97}+q^{101}+ 4q^{105}−3q^{109}+5q^{121}+3q^{133}+3q^{137}+q^{157}−3q^{161}−3q^{169}−6q^{173}−4q^{193}+5q^{197}+2q^{201}−4q^{213}+ 2q^{221}−q^{225}−5q^{233}+6q^{237}−q^{257}−3q^{261}−2q^{273}−4q^{285}−9q^{289}−3q^{293}−q^{301}+q^{313}+5q^{329}+ 3q^{333}−2q^{341}+8q^{345}−q^{353}−2q^{361}+4q^{365}−3q^{369}−2q^{393}−5q^{401}−q^{409}+2q^{413}+q^{433}−5q^{437}− 2q^{441}−2q^{445}+q^{449}+2q^{453}+5q^{457}−3q^{521}−2q^{529}+2q^{537}+q^{549}−q^{557}−4q^{565}+7q^{581}−4q^{585}+…

f_{6}(τ) = q^{6} + q^{10} + q^{34} + q^{42} + 2q^{62} − q^{70} + q^{90} + q^{114} − 2q^{134} + q^{138} − 3q^{142} − q^{146} − q^{150} − 3q^{158} − q^{174} + 2q^{182} − 3q^{190} + q^{206} − q^{222} + 4q^{226} − q^{230} − q^{238} + q^{246} + q^{258} − q^{278} + 3q^{282} − q^{290} − 4q^{294} + q^{298} + q^{306} + 4q^{318} + 6q^{330} − q^{334} + 4q^{354} − q^{358} − q^{366} − 3q^{370} − 2q^{390} + q^{394} + q^{398} + q^{410} − 2q^{418} + 4q^{422} − q^{430} − q^{454} + q^{458} − 5q^{470} − 2q^{482} − 3q^{486} − 4q^{490} + 3q^{498} + 2q^{506} + 2q^{510} + q^{526} + 4q^{538} − q^{542} − 4q^{554} − 2q^{558} + q^{562} − 3q^{566} − 2q^{582} + 6q^{590} + …

Kurve  LK  t
37A 2f_{2} + f_{4} − f_{6} 1
43A −2f_{2} + f_{4} + 2f_{5} 2
172A f_{1} 1
53A −2f_{2} − f_{3} + f_{5} 1
106A −f_{2} + f_{3} 1
57E f_{1} + 2f_{4} + f_{6} 2
58A f_{2} + f_{3} − f_{4}  1
61A f_{1} − f_{3} + f_{4}  1
65A −f_{1} − 3f_{4} + f_{5} 1
130E −f_{1} + f_{4} 2
77F \frac{2}{3}f_{3} + \frac{4}{3}f_{4} + f_{5} 7
154C −f_{2} + f_{3} 7
79A −2f_{1} + f_{2} + f_{4} 3
158D  f_{1} + f_{4}  7
158E  f_{3} + f_{4}  1
82A f_{3} + f_{4} − f_{5}  1
83A −f_{1} − f_{3} + f_{4} 2
166A  −f_{2} + f_{3}  2
88A  f_{3}  2
89C −f_{1} − 3f_{3} + f_{4} 1
91A  −2f_{1} + f_{3}  3
91B  2f_{1} + f_{5}  2
92C  f_{1}  1
184B  f_{1}  7
184C  f_{1}  2
99A −f_{1} − f_{2} + f_{7} 2
101A  −2f_{1} + f_{5}  1
102E  −f_{1} + f_{3}  2
112K  f_{1}  3
118A  f_{2} − f_{3}  2
121D −2f_{3} + 2f_{7} + f_{8} 1

Kurve  LK  t
122A  −f_{2} − f_{3}  1
123A  −2f_{1} + f_{3}  3
123C  −2f_{1} + f_{3}  2
124B  f_{2}  1
128C  f_{1}  1
129E  −f_{1} + f_{2}  2
131A  −2f_{2} + f_{5}  2
136A  f_{1}  3
138E  f_{1} − f_{3}  5
141E f_{3} − f_{4} + f_{5}  3
141I  f_{2} + 2f_{4}  5
142F  f_{1} + f_{2}  1
142E  −f_{1} + f_{4}  7
143A −f_{2} + 2f_{3} + f_{4} 13
148A  f_{1}  2
152A  f_{2}  2
153C  f_{6} − 2f_{7}  1
155C \frac{2}{3}f_{1} − \frac{4}{3}f_{2} + f_{4} 11
155D 2f_{1} − 2f_{4} + f_{6}  2
160A  f_{2}  5
160D  f_{1}  1
163A  2f_{1} + f_{5}  2
170A  −f_{2} + f_{3}  5
185D −2f_{1} − 2f_{2} + f_{5} 1
185A f_{2} + 2f_{6} 5
189A 2f_{2} + f_{4} − f_{5} 26
190C  −f_{1} + f_{2}  10
190D  \frac{1}{2}f_{1} + \frac{1}{2}f_{2}  1
192Q  f_{2}  3
197A  −2f_{2} + f_{5}  1

Anhang B

Tabellen der berechneten Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppen

Für ausgewählte Beispiele aus Anhang A haben wir für Serien von Twists E_{−d} (d ∈ ℕ) der jeweiligen Ausgangskurve E die Ordnung der Tate-Shafarevic Gruppe �(E_{−d}, ℚ) berechnet.

Für die elliptischen Kurven 37A, 53A, 58A, 61A, 89C und 121D wurden Twist E_{−d} mit 0 < d < 5 · 10^{5} betrachtet.

Für die elliptische Kurve 361A gelang es mittels zweidimensionaler Galoisdarstellungen vom Typ S_{4}, die ersten 2 · 10^{6} Fourier-Koeffizienten einer Neuform vom Gewicht 1 zu konstruieren. Damit war es möglich, für Twists E_{−d} mit 0 < d < 2·10^{6} der Ausgangskurve 361A die Ordnung der jeweiligen Tate-Shafarevic Gruppe zu berechnen.

Für alle an dieser Stelle aufgeführten Beispiele haben wir in den nachfolgenden Tabellen die auftretenden Ordnungen und ihre Häufigkeit aufgelistet.

Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppe �(E_{−d}, ℚ) von Twists d zu 37A

Ordnung  1  4  9  16  25  36  49  64
Häufigkeit 11276 6017 8850 3955 6155 2910 4394 1854
Ordnung  81 100 121 144 169 196 225 256
Häufigkeit 3543 1385 2502 1036 1932 734 1845 574
Ordnung  289 324 361 400 441 484 529 576
Häufigkeit 1327 422 1062 336 959 284 733 208
Ordnung  625 676 729 784 841 900 961 1024
Häufigkeit  625 160 563 136 426 148 383  87
Ordnung 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600
Häufigkeit  355  63 270  46 249  42 237  31
Ordnung 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304
Häufigkeit  186  26 134  21 156  17 108  10
Ordnung 2401 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136
Häufigkeit  109  6 101  1  78  5  56  3
Ordnung 3249 3364 3481 3721 3844 3969 4225 4489
Häufigkeit  63  1  51  56  1  48  30  40
Ordnung 4761 5041 5329 5625 5929 6241 6561 6889
Häufigkeit  33  19  19  25  10  16  12  15
Ordnung 7225 7569 7921 8281 8649 9025 9409 9801

Ordnung 10201 10609 11025 11881 12321 12769 13225 14161
Häufigkeit  5  4  1  2  3  1  1  2
Ordnung 15129 15625
Häufigkeit  1  1

Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppe �(E_{−d}, ℚ) von Twists d zu 53A

Ordnung  1  4  9  16  25  36  49  64
Häufigkeit 10601 6547 8593 4577 5881 3310 4289 2162
Ordnung  81 100 121 144 169 196 225 256
Häufigkeit 3355 1675 2463 1317 1910 888 1711 670
Ordnung  289 324 361 400 441 484 529 576
Häufigkeit 1196 579 913 454 900 333 637 298
Ordnung  625 676 729 784 841 900 961 1024
Häufigkeit  540 218 485 173 378 159 282 112
Ordnung 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600
Häufigkeit  306  78 259  71 206  49 175  55
Ordnung 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304
Häufigkeit  146  46 104  28 135  24  78  22
Ordnung 2401 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136
Häufigkeit  70  13  77  15  60  10  54  9
Ordnung 3249 3364 3481 3600 3721 3844 3969 4096
Häufigkeit  40  7  40  6  39  4  40  5
Ordnung 4225 4356 4489 4624 4761 4900 5041 5329
Häufigkeit  27  2  17  2  33  4  11  13
Ordnung 5625 5776 5929 6241 6561 6889 7056 7225

Ordnung 7569 7921 8281 8649 9025 9409 9801 10609
Häufigkeit  7  4  2  1  4  3  2  1
Ordnung 11025 11881 12769 13689 15625
Häufigkeit  4  1  1  3  1

Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppe �(E_{−d}, ℚ) von Twists d zu 58A

Ordnung  1  4  9  16  25  36  49  64
Häufigkeit 6302 4566 5055 3224 3481 2494 2584 1760
Ordnung  81 100 121 144 169 196 225 256
Häufigkeit 2068 1542 1570 1201 1261 990 1206 745
Ordnung 289 324 361 400 441 484 529 576
Häufigkeit 870 758 707 584 667 519 523 399
Ordnung 625 676 729 784 841 900 961 1024
Häufigkeit 449 404 407 317 324 328 286 186
Ordnung 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600
Häufigkeit 251 240 239 184 220 186 209 162
Ordnung 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304
Häufigkeit 142 162 152  97 131 126  98  90
Ordnung 2401 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136
Häufigkeit  98  76  92  50  77  72  67  54
Ordnung 3249 3364 3481 3600 3721 3844 3969 4096
Häufigkeit  66  42  51  36  37  48  60  29
Ordnung 4225 4356 4489 4624 4761 4900 5041 5184
Häufigkeit  37  35  49  21  40  22  31  21
Ordnung 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 6400

Ordnung 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744
Häufigkeit  16  11  30  9  21  7  13  9
Ordnung 7921 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216
Häufigkeit  10  8  14  2  8  6  6  4
Ordnung 9409 9604 9801 10000 10201 10404 10609 11025
Häufigkeit  5  1  13  2  8  4  6  10
Ordnung 11236 11449 11881 12100 12321 12769 12996 13225
Häufigkeit  3  6  1  1  2  8  1  3
Ordnung 13456 13689 14161 14400 14641 14884 15129 15625
Häufigkeit  1  3  2  2  2  1  3  2
Ordnung 16129 16641 17689 18225 18769 21025 22201 28561
Häufigkeit  1  1  2  1  2  2  1  1

Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppe �(E_{−d}, ℚ) von Twists d zu 61A

Ordnung  1  4  9  16  25  36  49  64
Häufigkeit 8259 5521 7438 4326 5775 3538 4542 2478
Ordnung  81 100 121 144 169 196 225 256
Häufigkeit 3780 1897 2802 1544 2284 1096 2102 814
Ordnung 289 324 361 400 441 484 529 576
Häufigkeit 1502 738 1181 600 1091 381 875 368
Ordnung 625 676 729 784 841 900 961 1024
Häufigkeit 729 243 645 220 465 167 409 135
Ordnung 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600
Häufigkeit 399 104 300  90 216  64 228  71
Ordnung 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304
Häufigkeit 178  48 156  47 159  22 115  30
Ordnung 2401 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136
Häufigkeit 115  18 101  13  88  16  66  14
Ordnung 3249 3364 3481 3600 3721 3844 3969 4096
Häufigkeit  51  14  52  8  47  3  39  6
Ordnung 4225 4356 4489 4624 4761 4900 5041 5184
Häufigkeit  38  6  22  3  20  2  23  2
Ordnung 5329 5476 5625 5776 5929 6241 6400 6561

Ordnung 6724 6889 7225 7569 7921 8281 8649 9025
Häufigkeit  2  9  11  6  4  2  9  4
Ordnung 9409 9801 10201 10609 11025 11236 11449 12321
Häufigkeit  5  4  6  1  6  1  5  3
Ordnung 12769 13225 13689 15129 15376 15625 17161 18225
Häufigkeit  2  2  1  1  1  1  1  2
Ordnung 18769 19881
Häufigkeit  1  1

Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppe �(E_{−d}, ℚ) von Twists d zu 89C

Ordnung  1  4  9  16  25  36  49  64
Häufigkeit 10074 6821 8530 4930 6352 3864 4626 2550
Ordnung  81 100 121 144 169 196 225 256
Häufigkeit 3783 1760 2580 1373 2015 910 1671 675
Ordnung  289 324 361 400 441 484 529 576
Häufigkeit 1111 571 937 351 830 257 569 236
Ordnung  625 676 729 784 841 900 961 1024
Häufigkeit  487 133 428 117 305 100 218  44
Ordnung 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600
Häufigkeit  226  46 152  40 139  24 116  25
Ordnung 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304
Häufigkeit  87  17  64  9  92  8  51  4
Ordnung 2401 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136
Häufigkeit  43  3  42  2  29  2  33  3
Ordnung 3249 3481 3721 3969 4225 4489 4624 4761
Häufigkeit  18  20  12  8  8  7  1  8
Ordnung 5041 5329 5625 5929 6241 6561 6889 7225

Ordnung 7569 7921 8281 9801 11025 Häufigkeit  1  1  1  1  1

Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppe �(E_{−d}, ℚ) von Twists d zu 121D

Ordnung  1  4  9  16  25  36  49  64
Häufigkeit 3239 5511 3169 5495 2664 4644 2213 4252
Ordnung  81 100 121 144 169 196 225 256
Häufigkeit 2010 3332 1737 3242 1268 2403 1194 2187
Ordnung 289 324 361 400 441 484 529 576
Häufigkeit 924 1709 774 1585 710 1277 548 1223
Ordnung 625 676 729 784 841 900 961 1024
Häufigkeit 485 851 427 756 308 669 269 544
Ordnung 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600
Häufigkeit 282 394 197 422 162 305 155 311
Ordnung 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304
Häufigkeit  99 238  96 199  98 148  82 152
Ordnung 2401 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136
Häufigkeit  63 117  59 103  32  76  51  78
Ordnung 3249 3364 3481 3600 3721 3844 3969 4096
Häufigkeit  41  57  31  65  24  37  20  39
Ordnung 4225 4356 4489 4624 4761 4900 5041 5184
Häufigkeit  15  23  10  24  16  18  7  20
Ordnung 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 6400

Ordnung 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744
Häufigkeit  1  4  4  8  3  3  5  3
Ordnung 7921 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216
Häufigkeit  5  6  1  5  1  3  3  1
Ordnung 9409 9604 10000 10201 10404 10609 10816 11025
Häufigkeit  1  5  4  1  3  1  2  1
Ordnung 11236 11664 12100 13225 14161 14884 16900 17956
Häufigkeit  1  2  1  2  1  1  1  1

Es sind 112 verschiedene Ordnungen aufgetreten Ordnungen der Tate-Shafarevic Gruppe �(E_{−d}, ℚ) von Twists d zu 361A

Ordnung  1  4  9  16  25  36  49  64
Häufigkeit 23976 14541 27768 12084 19488 13115 16438 7936
Ordnung  81  100  121  144  169  196  225 256
Häufigkeit 19268 6564 11998 7329 10244 4156 13029 3331
Ordnung  289  324  361  400  441  484  529 576
Häufigkeit 7669 4567 6947 2275 8705 1754 4931 2713
Ordnung  625  676  729  784  841  900  961 1024
Häufigkeit 4458 1233 6506  981 3298 1677 2901 671
Ordnung 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600
Häufigkeit 4501  542 2410 1115 2060  389 3218 333
Ordnung 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304
Häufigkeit 1585  767 1421  201 2619  180 1138 506
Ordnung 2401 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136
Häufigkeit 1074  155 1916  98  818  381  801  83
Ordnung 3249 3364 3481 3600 3721 3844 3969 4096
Häufigkeit 1605  58  571  246  505  41 1212  49
Ordnung 4225 4356 4489 4624 4761 4900 5041 5184
Häufigkeit  456  168  437  22  920  26  334 175
Ordnung 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 6400

Ordnung 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744
Häufigkeit  644  6  161  56  161  3  443  2
Ordnung 7921 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216
Häufigkeit  141  41  133  2  386  2  121  31
Ordnung 9409 9604 9801 10201 10404 10609 10816 11025
Häufigkeit  110  4  326  75  20  69  1  261
Ordnung 11449 11664 11881 12100 12321 12769 12996 13225
Häufigkeit  75  11  54  1  219  42  17  49
Ordnung 13689 14161 14400 14641 15129 15625 15876 16129
Häufigkeit  207  29  14  23  151  24  8  18
Ordnung 16641 17161 17424 17689 18225 18769 19044 19321
Häufigkeit  110  21  5  14  95  17  3  10
Ordnung 19881 20449 20736 21025 21609 22201 22500 22801
Häufigkeit  87  14  2  9  72  7  2  9
Ordnung 23409 24025 24336 24649 25281 25921 26244 26569
Häufigkeit  70  5  1  5  51  9  2  7
Ordnung 27225 27889 28224 28561 29241 29929 30276 30625
Häufigkeit  44  4  1  4  39  3  1  3
Ordnung 31329 32041 32761 33489 34969 35721 36481 37249

Ordnung 38025 38809 40401 41209 42849 43681 44521 45369
Häufigkeit  14  5  17  1  14  2  1  11
Ordnung 46225 47089 47961 50625 52441 53361 56169 59049
Häufigkeit  1  1  9  8  1  4  8  7
Ordnung 62001 65025 68121 71289 74529 77841 81225 84681
Häufigkeit  5  3  4  5  3  4  2  3
Ordnung 88209 91809 95481 99225 103041 114921 119025 123201
Häufigkeit  2  1  1  1  2  1  1  1
Ordnung 136161
Häufigkeit  1

Anhang C

Beispiele zur Berechnung von Hecke-Opera-toren T_{p}

Um einen weiteren Einblick in die Berechnnung von Hecke-Operatoren zu geben, findet sich an dieser Stelle zusätzlich zu Beispiel 3 in Kapitel 4 für einige Stufen N und Primzahlen p die berechnete Matrix des Hecke-Operators T_{p} und das zugehörige charakteristische Polynom χ_{T_{p}}. In den Beispielen mit Führer N = 63, 95 und 148 haben wir noch für einzelne Faktoren jeweils das charakteristische Polynom des Frobenius-Endomorphismus π_{p} angegeben.

N = 95, p = 1000002667, g = 9 A_{T_{p}} = ( \begin{matrix}23806 & −7956 & −4126 & −8456 & 20272 & −16620 & −8164 & 7070 & 474 \\ −7752 & 18882 & 594 & −13176 & 20272 & −21340 & −8164 & 7460 & 474 \\ −12482 & −5280 & 6330 & −7202 & 21232 & −18724 & −11522 & 16802 & 4694 \\ 10000 & 636 & −76 & 27152 & −11522 & 15542 & 1922 & −16328 & −3944 \\ 32756 & −2040 & 3000 & 12366 & 1050 & 17646 & 5280 & −26060 & −8164 \\ −960 & −20390 & −12366 & −3000 & 12482 & 5252 & −5280 & 2850 & 8164 \\ −27464 & −23466 & −12658 & −30758 & 26776 & −33640 & 10650 & 21944 & 19522 \\ 4330 & −13380 & 9050 & −9050 & 0 & −9050 & 0 & 22508 & 0 \\ 12484 & −10204 & −9108 & 258 & −3734 & 844 & 586 & −13202 & 25530 \end{matrix} ) Das charakteristische Polynom des Hecke-Operators T_{p} χ_{A_{T_{P}}} (X) = (X^{4} − 41852 X^{3} − 1705573680 X^{2} + 99715463270960 X − 1145905723637314144) (X^{3} − 72244 X^{2} + 1423292512 X − 4544597778992) (X − 13532)^{2}

\underline{129}

Das charakteristische Polynom des Frobenius-Endomorphimus π_{p}

Faktor vom Grad 4

H_{p}(X) = 1 − 41582 X + 2294436988 X^{2} − 25030869426621 X^{3} +

1442969822875354070 X^{4} − 25030936183950760800874 X^{5} + 2294449226543214067613138333 X^{6} − 41582332698469305240007657111466 X^{7} + 1000010668042677409880350445189926321 X^{8}

Faktor vom Grad 3

H_{p}(X) = 1 − 7244 X + 4423300513 X^{2} − 149032983128488 X^{3} + 4423312309942468171 X^{4}

− 72244385350009863552916 X^{5} + 1000008001021338685970074963 X^{6}

Faktor vom Grad 1

H_{p}(X) = 1 − 13532 X + 1000002667 X^{2}

N = 63, p = 1000075103, g = 7 A_{T_{p}} = ( \begin{matrix}−1000075104 & 250002240 & 312518304 & 6432 & 187522464 & 187492608 & 125012832 \\ 0 & −250061952 & 187528896 & 6432 & 312511872 & 312482016 & −125019264 \\ 0 & −6432 & −16992 & 12864 & 23424 & −36288 & −6432 \\ 0 & −23424 & 0 & −6432 & 6432 & 0 & 29856 \\ 0 & 250002240 & −187492608 & 6432 & −312541728 & −312518304 & 125012832 \\ 0 & 250008672 & −187528896 & −6432 & −312511872 & −312535296 & 125019264 \\ 0 & −250008672 & 187475616 & 6432 & 312565152 & 312535296 & −124965984 \end{matrix} ) Das charakteristische Polynom des Hecke-Operators T_{p} χ_{A_{T_{P}}} (X) = (X − 53280) (X^{2} − 124111872) (X + 1000075104)^{2} (X + 53280)^{2}

\underline{131}

Das charakteristische Polynom des Frobenius-Endomorphimus π_{p}

Faktor vom Grad 2

H_{p}(X) = 1 + 1876038334 X^{2} + 1000150211640460609 X^{4}

Faktor vom Grad 1

H_{p}(X) = 1 − 53280 X + 1000075103 X^{2}

Faktor vom Grad 1

H_{p}(X) = 1 + 53280 X + 1000075103 X^{2}

N = 148, p = 1000150819, g = 17 A_{T_{p}} = ( \begin{matrix}−27996 & −21749 & 10816 & 9999 & −9999 & 21749 & −10933 & 3726 & −15509 & −6123 & 9999 & 21749 & 967 & 14542 & 0 & −33 & −4543 \\ −994 & −2521 & 0 & −7123 & 7685 & −3809 & −7007 & −10644 & 21377 & 255 & 3109 & −12147 & −2737 & −7824 & −11378 & −2287 & 877 \\ 861 & 5694 & −32378 & −2330 & −1841 & 5567 & −5567 & −9798 & 11639 & −11639 & 15365 & −16226 & 3070 & 3431 & −13969 & 12496 & 4833 \\ 11050 & −3642 & −7324 & −14388 & 934 & 3726 & 7090 & 3726 & −14692 & −6940 & 7090 & 278 & 150 & −3598 & −18924 & 18924 & −19202 \\ 934 & 11867 & −7324 & −3481 & −17063 & 10933 & −10933 & 0 & 10783 & −10783 & −817 & −3481 & −10783 & −7324 & −22650 & 18107 & 2547 \\ −12559 & −20353 & 10816 & 8603 & 2374 & −8504 & −23874 & 22434 & −27750 & −8530 & 12406 & 14845 & −5093 & 25519 & −3653 & 519 & −704 \\ −14337 & −19536 & 0 & 19536 & −5567 & 1841 & −34219 & 18880 & −28005 & −8275 & 8275 & 9004 & −4104 & 13969 & 4171 & −6428 & −1473 \\ −9606 & 0 & 0 & 0 & 10532 & 1218 & −1218 & −27344 & −1218 & 1218 & −1218 & −4290 & −9314 & 10532 & −10532 & 5024 & −2144 \\ 4731 & 19536 & 0 & −19536 & 16099 & −623 & −17517 & 4294 & −23731 & 9493 & −9493 & −13294 & −5210 & −3437 & −14703 & 11452 & −671 \\ 3026 & −4543 & −7324 & −3843 & 3843 & 4543 & −11867 & 22650 & −33583 & −2287 & −3843 & 4543 & 18257 & 15326 & 0 & −2547 & −19169 \\ −850 & 10933 & 10816 & 817 & −7907 & 11783 & −11783 & 0 & −7207 & 7207 & −17997 & 817 & 7207 & 10816 & −3726 & −18023 & 33 \\ 9122 & 8386 & 0 & 8386 & −4098 & 4098 & −4098 & −3554 & 4288 & −4288 & −4098 & −11304 & −3554 & −734 & −4288 & −13220 & −9122 \\ 861 & 5694 & 18140 & −2330 & −1841 & 5567 & −5567 & −9798 & 11639 & −11639 & 15365 & −16226 & −47448 & 3431 & −13969 & 12496 & 4833 \\ −4647 & −6056 & 18140 & −14080 & −623 & 16099 & −16099 & 11266 & −10643 & 10643 & 4833 & −186 & −8354 & −13381 & −3437 & 4108 & −1409 \\ 14264 & 13480 & −18140 & −33616 & 10966 & −10816 & 0 & −7090 & 6156 & 15476 & −10816 & −21866 & 11750 & −25230 & −20544 & 18140 & 3726 \\ 9122 & −8386 & 0 & −8386 & 7652 & 734 & −734 & 1468 & −9120 & 9120 & −734 & −8388 & 4832 & 4288 & 734 & −7750 & −17508 \\ −12594 & −21749 & 10816 & 9999 & −10733 & 14097 & −3281 & 172 & −7857 & −13775 & 17651 & 4975 & −5951 & 13808 & 734 & −9889 & −11559 \end{matrix} )

\underline{133}

Das charakteristische Polynom des Hecke-Operators T_{p}

χ_{A_{Tp}} (X) = (X + 37262) (X^{2} + 71522 X + 1270399696) (X^{2} + 22652 X − 378544844)^{2}
(X^{2} + 3012 X − 377935996)^{2} (X + 50518)^{3} (X + 2916)^{3}

Das charakteristische Polynom des Frobenius-Endomorphimus π_{p}

Faktor vom Grad 2

H_{p}(X) = 1 + 71522 X + 3270701334 X^{2} + 71532786876518 X^{3} + 1000301660746370761 X^{4}

Faktor vom Grad 2

H_{p}(X) = 1 + 22652 X + 1621756794 X^{2} + 22655416351988 X^{3} + 1000301660746370761 X^{4}

Faktor vom Grad 2

H_{p}(X) = 1 + 3012 X + 1622365642 X^{2} + 3012454266828 X^{3} + 1000301660746370761 X^{4}

N = 168, p = 1000111223, g = 25 A_{T_{p}} = ( \begin{matrix}−5078 & −784 & 6022 & 2384 & ... & −5868 & 4450 & 1882 & −2048 & −19376 & 8086 & 30312 & 4284 & 4450 & −5382 & 8086 & −2384 \\ 14610 & −7304 & 14610 & −3998 & ... & −11416 & 15240 & −12234 & 3194 & −630 & 12382 & −1434 & 5570 & 13012 & 1434 & −7634 & −8250 \\ 1306 & 12170 & 1314 & 10734 & ... & −12040 & 10734 & −5608 & 130 & 2066 & 8304 & −1436 & −7702 & 6238 & −630 & 4172 & −10734 \\ 7620 & −3824 & 15240 & −8738 & ... & −4426 & 7620 & −12234 & 10184 & 8250 & 21262 & −174 & 6200 & 13012 & −7446 & 1246 & −14610 \\ ⋮ & & & & & & & ⋮ & & & & & & & & ⋮ \\ −6178 & −4112 & −2690 & −6984 & ... & 8246 & −5548 & 5210 & 7614 & −25560 & −1426 & −4132 & −21920 & −6498 & 26996 & −5558 & 6984 \\ −7834 & 4038 & −7834 & −5164 & ... & 11416 & −20892 & 5458 & 1624 & 0 & −5606 & −1582 & 1206 & 13918 & 1582 & −830 & 17412 \\ 1204 & −2956 & 8824 & −5652 & ... & −5868 & −2956 & −4400 & −1204 & 8398 & 10888 & 33328 & 7086 & 6622 & −8398 & 10888 & 5652 \\ −214 & −7406 & 7406 & −2802 & ... & −630 & −2172 & 844 & −6912 & 8250 & 8036 & 33008 & 7406 & 7406 & −33008 & 8036 & 2802 \\ −24972 & −2802 & 2172 & −6146 & ... & 0 & −6776 & 24972 & 214 & −4110 & 2172 & 3016 & 2172 & 2802 & −3016 & 2172 & 6146 \\ −6200 & 13012 & −6200 & 14594 & ... & 28242 & −6200 & −23802 & 15392 & −630 & −7934 & −34442 & −15240 & −3824 & 26822 & −11582 & −21574 \\ −1312 & −10110 & 6308 & −11546 & ... & −11546 & 5186 & −10642 & −5406 & 6842 & 2178 & 1444 & 8046 & −532 & −6842 & 2178 & 11546 \\ 20864 & −6238 & −9768 & −3542 & ... & −17322 & −3542 & 12800 & −23560 & −2066 & −14236 & 2696 & −752 & −12170 & −630 & −10104 & 3542 \\ −5570 & 13012 & 2050 & −21430 & ... & −6812 & −6200 & 3342 & −4762 & 8250 & 4426 & 1582 & −6990 & −7304 & −1582 & 9202 & 33974 \\ −468 & −3334 & −468 & −9374 & ... & 3172 & −7308 & 32868 & −24290 & −148 & −3968 & 1580 & 1270 & −7308 & −6978 & −3968 & 9374 \\ 12382 & −6200 & −14762 & 28242 & ... & 14594 & 13012 & −14610 & −21574 & −27626 & −12386 & −1582 & −23802 & 7620 & 1434 & −8738 & −21262 \\ −7620 & −630 & 7620 & −6990 & ... & 6990 & −6990 & 630 & 13980 & 15240 & 15870 & 1260 & 7620 & 27774 & −8880 & 630 & −4110 \end{matrix} )

Das charakteristische Polynom des Hecke-Operators T_{p}

χ_{A_{Tp}} (X) = (X − 592) (X − 24208) (X − 26508)^{2} (X + 30032)^{2}
(X − 26840)^{2} (X + 34404)^{2} (X + 41160)^{2}
(−38904 + X)^{3} (X − 8424)^{4} (X + 30624)^{6}

N = 149, p = 1000292941, g = 12 A_{T_{p}} = ( \begin{matrix}10780 & 14965 & −26503 & 35424 & −63417 & 19660 & 26036 & −40226 & 6358 & 26707 & 24173 & 19980 \\ 42703 & 6428 & −26607 & 45807 & 205 & −41726 & 42042 & 17504 & −33860 & −61112 & −22293 & −52752 \\ −32298 & −3576 & 10320 & −5776 & −18806 & 27147 & 18746 & −19303 & 38074 & −1129 & 3888 & 26787 \\ −4203 & 8661 & −15806 & 13795 & −7298 & 30439 & −6624 & −5605 & −6032 & 3608 & 9119 & 26417 \\ 38139 & 27202 & −51893 & 54259 & −51173 & −4373 & 666 & 797 & −37748 & 4119 & 4903 & −7715 \\ −1685 & 5527 & 799 & 16201 & 3231 & −21035 & −21148 & −114 & 12809 & 902 & 18105 & −1773 \\ 41279 & 25265 & −32639 & 35281 & −31054 & −24113 & −4731 & −3488 & −24734 & −10668 & 11985 & −9220 \\ −1685 & 11494 & 697 & 13751 & 1885 & −18469 & 19990 & −32413 & −12066 & −28279 & −2277 & −19107 \\ 49923 & 14645 & −16346 & 22543 & −31661 & 16507 & −1887 & −20103 & −44405 & 22236 & −1908 & −8390 \\ 25892 & −1003 & −18600 & 7280 & 1892 & 5416 & −8360 & −8495 & −5847 & −22599 & −6538 & 1694 \\ 24501 & 0 & −24501 & 24501 & −24501 & −2824 & 0 & 2824 & 0 & −2824 & 28061 & −2824 \\ 1433 & 6970 & −8827 & 17595 & −30563 & 710 & 49498 & −27364 & −19028 & −3022 & −16668 & −15468 \end{matrix} ) Das charakteristische Polynom des Hecke-Operators T_{p} χ_{A_{Tp}} (X) = (X^{3} − 32357 X^{2} − 1231759386 X + 26802591740861) (X^{9} + 154797 X^{8} + 4737123682 X^{7} − 325872855805789 X^{6} − 18275331380235366972 X^{5} + 91538504406150075645688 X^{4} + 14510300229946759067757027216 X^{3} + 12898814831794517295725383061712 X^{2} − 3653477609850503289562890721715316864 X +14368552306291989565326479274526928820416)

Anhang D

Tabellen zur Häufigkeitsverteilung der absoluten Werte der Fourier-Koeffizienten

In den folgenden Tabellen haben wir für die Kurven

37A, 53A, 61A, 89C, 121D, 2939A und 3089A

unsere Beobachtungen bzgl. der Häufigkeitsverteilung der Absolutwerte der Fourier-Koeffizien-ten der Spitzenform vom Gewicht \frac{3}{2} zusammengestellt. In diesen Beispielen haben wir gezählt, wie oft ein Fourier-Koeffizient gleich null ist. Hierbei wurden für die ersten betrachteten elliptischen Kurven die ersten 5 · 10^{5} Koeffizienten betrachtet.

Die in Kapitel 5.2.1 beschriebene Menge S̃ ist in in den verschiedenen Beispielen wie folgt gewählt

• 37A: S̃ = \{n ∈ ℕ | n quadratfrei (\frac{n}{37}) = 1\}

• 53A: S̃ = \{n ∈ ℕ | n quadratfrei (\frac{n}{53}) = 1\}

• 61A: S̃ = \{n ∈ ℕ | n quadratfrei (\frac{n}{61}) = 1\}

• 89C: S̃ = \{n ∈ ℕ | n quadratfrei (\frac{n}{89}) = 1\}

• 121D: S̃ = \{n ∈ ℕ | n quadratfrei (\frac{n}{11}) = 1\}.

Die für diese Beispiele angegebenen Linearkombinationen von Eigenformen vom Gewicht \frac{3}{2} beziehen sich auf die Tabellen im Anhang A.

Die Eigenformen für die Kurven 2917A, 2939A und 3089A wurden durch Theta-Reihen zu ternären Formen gefunden.

Für die Kurve 2917A haben wir in einem von Theta-Reihen aufgespannt Raum der Dimension 200 eine Linearkombination von 166 Theta-Reihen gefunden, die eine geeignete Spitzenform

vom Gewicht \frac{3}{2} zur Stufe 2^{2} · 2917 und Nebentyp (\frac{2917}{n}) ergibt.

Für die Kurve 2939A haben wir in einem von Theta-Reihen aufgespannt Raum der Dimension 154 eine Linearkombination von 88 Theta-Reihen gefunden, die eine geeignete Spitzenform vom

Gewicht \frac{3}{2} zur Stufe 2^{4} · 2939 und Nebentyp (\frac{2939}{n}) ergibt.

Für die Kurve 3089A haben wir in einem von Theta-Reihen aufgespannt Raum der Dimension 202 eine Linearkombination von 144 Theta-Reihen gefunden, die eine geeignete Spitzenform

vom Gewicht \frac{3}{2} zur Stufe 2^{2} · 3089 und Nebentyp (\frac{3089}{n}) liefert.

Die Menge S̃ wurde für diese Beispiele wie folgt gewählt

• 2917A : S̃ = \{n ∈ ℕ | n quadratfrei, n ≡ 1 (mod 2), (\frac{n}{2917}) = −1\}

• 2939A : S̃ = \{n ∈ ℕ | n quadratfrei, n ≡ 1 (mod 2), (\frac{n}{2939}) = −1\}

• 3089A : S̃ = \{n ∈ ℕ | n quadratfrei, n ≢ 3 (mod 8), (\frac{n}{3089}) = −1\}

N, N0, rg, r1 und r2 geben im einzelnen an

• N = Schranke, bis zu der man die Fourier-Koeffizienten bis jetz betrachtet hat.

• N0 = Anzahl der Indizes, die kleiner gleich N sind und in S̃ liegen.

• rg = Anzahl der Indizes, die in S̃ liegen, und bei denen der Fourier-Koeffizient gleich 0 ist.

• r1 = \frac{rg}{N0} · 100

• r2 = r1 · (log N)^{2}

Man beachte bei den angebenen Resultaten die Abhängigkeit von r2 vom Führer der Kurve.

Kurve 37A 2f_{2}(τ) + f_{4}(τ) − f_{6}(τ)_{N  N0  rg  r1  r2 10000  982  81 8.248 6.997 20000 1968 143 7.266 7.127 30000 2951 215 7.286 7.743 40000 3938 278 7.059 7.927 50000 4928 330 6.696 7.839 60000 5910 383 6.481 7.844 70000 6902 442 6.404 7.970 80000 7884 494 6.266 7.986 90000 8872 536 6.041 7.862 100000 9860 586 5.943 7.878 110000 10849 631 5.816 7.837 120000 11835 692 5.847 7.998 130000 12819 747 5.827 8.080 140000 13802 794 5.753 8.077 150000 14785 847 5.729 8.138 160000 15776 895 5.673 8.146 170000 16762 946 5.644 8.186 180000 17747 987 5.562 8.144 190000 18726 1032 5.511 8.142 200000 19719 1072 5.436 8.100 210000 20708 1113 5.375 8.072 220000 21700 1155 5.323 8.054 230000 22683 1194 5.264 8.023 240000 23670 1243 5.251 8.059 250000 24658 1279 5.187 8.013}  _{N  N0  rg  r1  r2 260000 25645 1328 5.178 8.050 270000 26627 1372 5.153 8.059 280000 27611 1421 5.146 8.096 290000 28602 1460 5.105 8.075 300000 29589 1511 5.107 8.122 310000 30582 1567 5.124 8.192 320000 31566 1617 5.123 8.231 330000 32545 1667 5.122 8.270 340000 33532 1704 5.082 8.244 350000 34518 1744 5.052 8.234 360000 35506 1794 5.053 8.270 370000 36494 1838 5.036 8.279 380000 37484 1882 5.021 8.288 390000 38464 1929 5.015 8.312 400000 39449 1976 5.009 8.334 410000 40437 2021 4.998 8.348 420000 41421 2050 4.949 8.297 430000 42407 2093 4.936 8.305 440000 43390 2130 4.909 8.289 450000 44383 2168 4.885 8.277 460000 45367 2200 4.849 8.245 470000 46363 2227 4.803 8.193 480000 47347 2264 4.782 8.183 490000 48332 2286 4.730 8.119 500000 49321 2321 4.706 8.103}

Kurve 53A −2f_{2}(τ) − f_{3}(τ) + f_{5}(τ)_{N  N0  rg  r1  r2 10000  989  92 9.302 7.891 20000 1977 161 8.144 7.987 30000 2971 234 7.876 8.370 40000 3961 299 7.549 8.476 50000 4960 367 7.399 8.662 60000 5952 413 6.939 8.399 70000 6948 476 6.851 8.527 80000 7941 530 6.674 8.507 90000 8927 586 6.564 8.542 100000 9930 644 6.485 8.596 110000 10921 692 6.336 8.538 120000 11924 740 6.206 8.488 130000 12915 792 6.132 8.503 140000 13908 851 6.119 8.591 150000 14906 893 5.991 8.510 160000 15892 949 5.972 8.575 170000 16887 992 5.874 8.521 180000 17884 1050 5.871 8.597 190000 18874 1109 5.876 8.681 200000 19862 1170 5.891 8.776 210000 20859 1222 5.858 8.798 220000 21848 1260 5.767 8.727 230000 22848 1312 5.742 8.752 240000 23846 1359 5.699 8.746 250000 24846 1394 5.611 8.667}  _{N  N0  rg  r1  r2 260000 25839 1446 5.596 8.700 270000 26836 1496 5.575 8.719 280000 27825 1550 5.571 8.763 290000 28821 1597 5.541 8.766 300000 29823 1642 5.506 8.757 310000 30815 1688 5.478 8.758 320000 31813 1745 5.485 8.814 330000 32810 1800 5.486 8.858 340000 33800 1846 5.462 8.860 350000 34792 1892 5.438 8.862 360000 35797 1936 5.408 8.852 370000 36783 1968 5.350 8.795 380000 37771 2009 5.319 8.780 390000 38767 2060 5.314 8.807 400000 39754 2098 5.277 8.781 410000 40761 2147 5.267 8.798 420000 41746 2193 5.253 8.807 430000 42740 2238 5.236 8.811 440000 43727 2286 5.228 8.828 450000 44731 2323 5.193 8.800 460000 45718 2362 5.166 8.784 470000 46712 2409 5.157 8.797 480000 47702 2444 5.123 8.768 490000 48701 2501 5.135 8.816 500000 49694 2536 5.103 8.788}

Kurve 61A f_{1}(τ) − f_{3}(τ) + f_{4}(τ)_{N  N0  rg  r1  r2 10000  983  74 7.528 6.386 20000 1979 134 6.771 6.641 30000 2977 199 6.685 7.104 40000 3968 251 6.326 7.103 50000 4968 300 6.039 7.069 60000 5964 362 6.070 7.347 70000 6964 414 5.945 7.399 80000 7959 473 5.943 7.575 90000 8958 514 5.738 7.467 100000 9947 558 5.610 7.436 110000 10945 602 5.500 7.412 120000 11946 647 5.416 7.408 130000 12947 690 5.329 7.390 140000 13938 724 5.194 7.293 150000 14929 769 5.151 7.317 160000 15935 815 5.115 7.344 170000 16931 850 5.020 7.282 180000 17930 890 4.964 7.268 190000 18923 930 4.915 7.261 200000 19924 974 4.889 7.283 210000 20909 1017 4.864 7.305 220000 21907 1060 4.839 7.322 230000 22906 1098 4.794 7.306 240000 23907 1144 4.785 7.344 250000 24912 1183 4.749 7.336}  _{N  N0  rg  r1  r2 260000 25897 1229 4.746 7.378 270000 26893 1267 4.711 7.369 280000 27896 1300 4.660 7.331 290000 28887 1340 4.639 7.338 300000 29881 1380 4.618 7.345 310000 30879 1426 4.618 7.383 320000 31877 1462 4.586 7.370 330000 32874 1504 4.575 7.387 340000 33873 1538 4.540 7.366 350000 34873 1585 4.545 7.407 360000 35876 1623 4.524 7.405 370000 36866 1666 4.519 7.429 380000 37869 1703 4.497 7.423 390000 38863 1732 4.457 7.386 400000 39857 1762 4.421 7.356 410000 40861 1806 4.420 7.382 420000 41855 1852 4.425 7.418 430000 42845 1901 4.437 7.466 440000 43844 1931 4.404 7.437 450000 44846 1975 4.404 7.462 460000 45835 2016 4.398 7.478 470000 46834 2046 4.369 7.452 480000 47824 2083 4.356 7.454 490000 48825 2113 4.328 7.429 500000 49823 2155 4.325 7.448}

Kurve 89C −f_{1}(τ) − 3f_{3}(τ) + f_{4}(τ)_{N  N0  rg  r1  r2 10000  989  72 7.280 6.176 20000 1982 137 6.912 6.779 30000 2983 213 7.140 7.588 40000 3982 284 7.132 8.009 50000 4986 342 6.859 8.030 60000 5987 389 6.497 7.865 70000 6994 431 6.162 7.670 80000 7995 477 5.966 7.605 90000 8995 537 5.970 7.769 100000 9989 588 5.886 7.802 110000 10990 628 5.714 7.700 120000 12000 694 5.783 7.910 130000 13000 748 5.754 7.978 140000 14000 796 5.686 7.983 150000 14994 846 5.642 8.015 160000 16003 899 5.618 8.066 170000 17008 947 5.568 8.076 180000 18013 1003 5.568 8.153 190000 19010 1052 5.534 8.176 200000 20011 1104 5.517 8.220 210000 21013 1150 5.473 8.219 220000 22016 1209 5.491 8.310 230000 23017 1254 5.448 8.304 240000 24016 1295 5.392 8.276 250000 25016 1336 5.341 8.250}  _{N  N0  rg  r1  r2 260000 26017 1387 5.331 8.288 270000 27016 1432 5.301 8.290 280000 28021 1484 5.296 8.331 290000 29020 1526 5.258 8.319 300000 30027 1561 5.199 8.269 310000 31030 1608 5.182 8.285 320000 32026 1654 5.165 8.299 330000 33030 1698 5.141 8.301 340000 34037 1744 5.124 8.312 350000 35042 1782 5.085 8.287 360000 36041 1826 5.066 8.293 370000 37035 1858 5.017 8.247 380000 38041 1896 4.984 8.227 390000 39040 1938 4.964 8.227 400000 40043 1981 4.947 8.232 410000 41044 2009 4.895 8.176 420000 42050 2049 4.873 8.169 430000 43052 2078 4.827 8.121 440000 44049 2115 4.801 8.108 450000 45045 2162 4.800 8.133 460000 46052 2192 4.760 8.092 470000 47056 2222 4.722 8.055 480000 48058 2275 4.734 8.101 490000 49057 2316 4.721 8.104 500000 50063 2370 4.734 8.152}

Kurve 121D −2f_{3}(τ) + f_{7}(τ) + f_{8}(τ)_{N  N0 rg  r1  r2 10000  919 49 5.332 4.523 20000 1843 85 4.612 4.523 30000 2773 130 4.688 4.982 40000 3701 170 4.593 5.158 50000 4634 200 4.316 5.053 60000 5559 235 4.227 5.117 70000 6490 278 4.284 5.331 80000 7419 306 4.125 5.257 90000 8347 339 4.061 5.285 100000 9270 385 4.153 5.505 110000 10207 415 4.066 5.479 120000 11135 456 4.095 5.601 130000 12057 502 4.164 5.773 140000 12992 529 4.072 5.717 150000 13918 570 4.095 5.817 160000 14848 606 4.081 5.860 170000 15773 638 4.045 5.867 180000 16704 672 4.023 5.891 190000 17630 709 4.022 5.941 200000 18556 739 3.983 5.934 210000 19484 775 3.978 5.974 220000 20417 809 3.962 5.996 230000 21351 847 3.967 6.047 240000 22277 880 3.950 6.063 250000 23205 906 3.904 6.032}  _{N  N0  rg  r1  r2 260000 24130 945 3.916 6.088 270000 25058 982 3.919 6.129 280000 25991 1011 3.890 6.119 290000 26922 1042 3.870 6.123 300000 27846 1066 3.828 6.089 310000 28778 1096 3.808 6.089 320000 29703 1126 3.791 6.091 330000 30636 1170 3.819 6.166 340000 31564 1203 3.811 6.183 350000 32491 1239 3.813 6.214 360000 33420 1261 3.773 6.176 370000 34346 1290 3.756 6.174 380000 35274 1323 3.751 6.191 390000 36206 1351 3.731 6.184 400000 37130 1380 3.717 6.184 410000 38063 1415 3.718 6.209 420000 38990 1445 3.706 6.213 430000 39917 1461 3.660 6.159 440000 40845 1479 3.621 6.114 450000 41777 1513 3.622 6.137 460000 42706 1542 3.611 6.139 470000 43637 1571 3.600 6.141 480000 44563 1594 3.577 6.121 490000 45492 1626 3.574 6.136 500000 46418 1650 3.555 6.121}

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