La méthode des graphes. Exemples et applications.

J.-F. Mestre. Ed.

February 18, 2004

1 Introduction

Soit S_{k}(N, ε) l’espace des formes paraboliques de poids k, de niveau N et de caractère ε, où k et N sont des entiers ≥ 1, et ε un caractère de Dirichlet mod N. Il existe plusieurs manières d’en construire une base. On peut par exemple utiliser la formule des traces de Selberg: notons Tr(n) la trace de T_{n}, le n^{ienne} opérateur de Hecke. La fonction

f = ∑_{n=1}^{∞} Tr(n)q^{n}

appartient alors à S_{k}(N, ε). L’ensemble des f_{i} = T_{i}f engendre cet espace et cela permet théoriquement d’en obtenir une base. Par exemple, si N est premier, si ε = 1, et si k = 2, l’ensemble des f_{i}, 1 ≤ i ≤ g, où g est le genre de X_{0}(N), est une base de S_{2}(N, 1).

Mais même dans ce cas, qui est le plus favorable, les calculs deviennent rapidement insurmontables: sur un ordinateur de taille moyenne, on ne peut guère espérer traiter des niveaux N plus gros que 5000 (toujours avec N premier, poids 2 et caractère trivial): en effet, le calcul de Tr(n) nécessite la connaissance de nombreux nombres de classes de corps quadratiques imaginaires - dont le discriminant est de l’ordre de grandeur de n – et, pour avoir la base f_{1}, f_{2}, …, f_{g}, il faut calculer Tr(n) pour n ≤ g^{2}.

Nous décrivons dans le paragraphe suivant une méthode, la “méthode des graphes”, reposant sur des résultats de Deuring et Eichler, et développeée par J. Oesterlé et moi-même, qui permet d’obtenir plus rapidement (au moins dans le cas N premier) une base de S_{2}(N, 1).

Dans le second paragraphe, nous indiquons comment cette méthode a permis de montrer que certaines courbes elliptiques définies sur Q sont des courbes de Weil (ce qui, en l’occurrence, par l’obtention d’une courbe de Weil adéquate, donne tous les corps quadratiques imaginaires de nombres de classes 3, à l’aide d’un résultat de Goldfeld et des travaux récents de Gross et Zagier).

Le troisième paragraphe est consacré à la vérification d’une conjecture de Serre dans certains cas particuliers, vérification qui a été possible grâce à la méthode exposée dans le premier paragraphe. On sait que cette conjecture, si elle est vraie, a de nombreuses conséquences (la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, ainsi que le théorème de Fermat, en découleraient en particulier).

2 La méthode des graphes

2.1 Définitions et notations

Dans ce qui suit, p désigne un nombre premier, N_{1} un entier positif premier à p. On pose N = pN_{1}.

Soit

M_{N} = ⊕_{S}Z[S]

où S décrit l’ensemble des points supersinguliers de X_{0}(N_{1}) en caractéristique p, c’est-à-dire l’ensemble des couples (E, C) formés d’une courbe elliptique définie sur \overline{𝔽}_{p} munie d’un groupe cyclique C d’ordre N_{1}. Deux tels couples sont identifiés s’ils sont, dans un sens évident, \overline{𝔽}_{p}-isomorphes.

Posons

α_{S} = \frac{| Aut(S)|}{2},

où Aut(S) désigne le groupe des \overline{𝔽}_{p}-automorphismes de S. On a toujours α_{S} ≤ 12, et même, si p ne divise pas 6, α_{S} ≤ 3.

On peut alors définir un produit scalaire sur M_{N} par ⟨S, S⟩ = α_{S} et ⟨S, S′⟩ = 0 si S ≠ S′. Soit Eis = ∑ α_{S}^{−1}[S], et soit

M_{N}^{0} = {∑ x_{S}[S] : ∑ x_{S} = 0}

l’orthogonal de Eis.

Pour tout entier n ≥ 1 premier à p, on définit un opérateur T_{n} sur M par:

T_{n}(E, C) = ∑_{C_{n}}(E/C_{n}, (C + C_{n})/C_{n}),

où C_{n} parcourt les sous-groupe d’ordre n de E dels que C ∩ C_{n} = {0}.

Pour tout entier q divisant N_{1} et premier à q′ = N_{1}/q, on définit de même des involutions W_{q} par:

W_{q}(E, C) = (E/q′C, (E_{q} + C)/q′C),

où E_{q} est le groupe des points d’ordre q de E.

Enfin, on définit une involution W_{p} par W_{p} = − Frob_{p}, où Frob_{p} est l’endomorphisme de M_{N} qui transforme (E, C) en (E^{p}, C^{p}). (Le fait qu’il s’agit d’une involution reflète le fait que les points supersinguliers sont définis sur 𝔽_{p^{2}}.)

Ces divers opérateurs possédent les propriétés suivantes: l’ensemble des W_{q} et des T_{n}, n premier à N, engendre un semi-groupe commutatif d’opérateurs hermitiens par rapport au produit scalaire ⟨·, ·⟩. Les T_{n} commutent entre eux pour tout n premier à p. Si q = q_{1}q_{2}, q_{1} et q_{2} premiers entre eux, et si n = n_{1}n_{2}, n_{1} et n_{2} premiers entre eux et premiers à p, on a W_{q} = W_{q_{1}}W_{q_{2}} et T_{n} = T_{n_{1}}T_{n_{2}}.

Par ailleurs, pour tout d divisant N_{1}, on a un morphisme ϕ_{d} de M_{N} vers M_{N/d} qui transforme (E, C) en (E, dC). Ce morphisme commute aux T_{n}, n premier à N, et aux W_{q}, pour q divisant N/d. Pour d divisant N_{1} et premier à N_{1}/d, on a la formule

T_{d}ϕ_{d} = ϕ_{d}(T_{d} + W_{d})

2.2 Un isomorphisme avec S_{2}(N)

On considère ici l’espace S_{2}(N) des formes paraboliques de poids 2 sur le groupe Γ_{0}(N), muni de sa structure naturelle de T-module, où T est l’algèbre de Hecke [1].

Théorème 2.1. Il existe un isomorphisme, compatible avec l’action des opérateurs de Hecke, entre l’espace vectoriel M_{N}^{0} ⊗ C et le sous-espace de S_{2}(N) engendré par les newforms de niveau N et les oldforms provenant des formes paraboliques de poids 2 et de niveau pd, d divisant N_{1}.

Remark 2.2. Supposons N (ou N_{1}, cela revient au même) sans facteur carré. On peut alors déterminer facilement le sous-espace de M_{N}^{0} correspondant aux newforms de S_{2}(N): il s’agit du sous-espace formé des x tels que, pour tout d divisant N_{1}, on ait

ϕ_{d}(x) = ϕ_{d}(W_{d}(x)) = 0.

En particulier, si N = pq, q premier, c’est le sous-espace de M_{pq} intersection du noyau de ϕ_{q} et de ϕ_{q}W_{q}.

2.3 Rapport avec les algèbres de quaternions

Les matrices des opérateurs T_{n} agissant sur M_{N} ne sont rien d’autre que les matrices de Brandt classiques [15], construites d’ordinaire à partir d’algèbres de quaternions.

En effet, soit B_{p,∞} l’algèbre de quaternions sur Q ramifiée en p et l’infini, soit O un ordre d’Eichler de niveau N_{1} (défini par Eichler [6] dans le cas où N_{1} est sans facteur carré, et défini dans le cas géneral par Pizer [14]), et soient I_{1}, I_{2}, …, I_{h} des représentants des classes d’idéaux à gauche de O.

Soient O_{i} les ordres à droite (i.e., normalisateurs à droite) des idéaux I_{i}, et e_{i} le nombre des unités de O_{i}. La matrice de Brandt B(n) = (b_{i,j}^{(n)}) a lors comme terme général

b_{i,j}^{(n)} = e_{j}^{−1} · |{α : α ∈ I_{j}^{−1}I_{i}, Nor(α) Nor(I_{j})/ Nor(I_{i}) = n}|,

où Nor est la norme sur B_{p,∞} (la norme d’un idéal étant le pgcd des normes de ses éléments non nuls).

Dans le langage des courbes supersingulières en caractéristique p, on peut donner de ces matrices, où plus exactement de leurs transposées l’interprétation suivante:

Soit S un point supersingulier comme en I.1, c’est-à-dire une courbe elliptique supersingulière E définie sur \overline{𝔽}_{p} munie d’un groupe C cyclique d’ordre N_{1}. L’anneau des endomorphismes O_{1} de S est un ordre d’Eichler de niveau N_{1}. A tout autre point supersingulier S′ = (E′, C′), associons l’ensemble I_{S,S′} des homomorphismes de S vers S′, i.e. l’ensemble des homomorphismes α de E sur E′ qui envoient C sur C′. C’est de manière évidente un idéal à droite sur O_{1}, et l’idéal inverse n’est autre que I_{S′,S}. On peut alors montrer que tout idéal à droite de O_{1} est obtenu de cette manière, et que tout ordre d’Eichler de niveau N_{1} est anneau d’endomorphismes d’un point supersingulier S. Il est alors clair que le term général b_{i,j}^{(n)} de la n^{ieme} matrice de Brandt est le nombre d’isogénies de S_{i} vers S_{j} (les points supersinguliers étant convenablement indexés), deux telles isogénies étant identifiées si elles diffèrent par un automorphisme de S_{j}. On retrouve donc la matrice de l’opérateur T_{n} agissant sur le module M_{N}.

D’autre part, si à tout couple de points supersinguliers (S, S′) on associe la fonction

θ_{S,S′}(q) = ∑_{α} q^{deg α}

où α parcourt les morphsimes de S vers S′, on retrouve les fonctions θ classiquement associées aux idéaux d’ordres de quaternions, ou, si l’on préfère, aux formes quadratiques entières définies positives à 4 variables.

Il est alors facile de montrer que, si ∑ x_{S}[S] est un élément de M_{N} ⊗ C vecteur propre de tous les opérateurs de Hecke, et si f(q) est la forme modulaire correspondante, on a, pour tout S′:

x_{S′}f(q) = ∑_{S} x_{S}θ_{S,S′}

ce qui permet en théorie de trouver à partir des x_{S} les coefficients a_{n} de f. En pratique, malheureusement, le calcul d’un a_{n} demande la connaissance de toutes les isogénies de degré n arrivant vers S′, et il ne semble pas y avoir d’algorithme simple pour cela.

Néanmoins, dans certains cas, il existe une autre méthode pour calculer les coefficients de f qui ce prête plus facilement au calcul:

supposons donc ici N premier (donc égal à p) ou N de la forme pq, où q est premier et X_{0}(q) de genre 0 (donc q = 2, 3, 5, 7 ou 13).

Dans l’appendice, nous donnons dans chacun de ces cas une équation de X_{0}(q) de la forme xy = p^{k}, ainsi que l’action de opérateurs de Hecke T_{2} et T_{3} sur X_{0}(q), qui est donnée par une équation étonnament simple comparée à celle des polynômes modulaires Φ_{2}(j, j′) et Φ_{3}(j, j′) (qui donnent l’action de T_{2} et T_{3} sur X_{0}(1), paramétré par l’invariant modulaire j, cf. le paragraphe 2.4).

Posons u = x si N = pq et u = j si N = p. Le développement de Fourier de u au voisinage de l’infini est alors 1/q + · · ·. Soit f(q) = ∑ a_{n}q^{n} une newform normalisée de niveau N et poids 2 correspondant à un vecteur ∑ x_{S}[S] de M_{N}^{0} ⊗ K, où K est l’extension de Q engendrée par les a_{n}. Il existe alors un idéal premier ℘ de K au-dessus de p tel qu’on a:

(∑ x_{S}u(S)) f(q)\frac{dq}{q} ≡ ∑ x_{S} \frac{du}{u − u(S)} (mod ℘).  (1)

(Il s’agit d’une congruence entre séries de Laurent en q).

Supposons par exemple que f corresponde à une courbe de Weil de conducteur N, donc que les a_{n} soient dans Z. Les x_{S} sont alors dans Z, et on peut montrer que ∑ x_{S}u(S) ≠ 0. On connait donc les a_{n} mod p pour tout n. Mais l’inégalité de Hasse |a_{l}| < 2\sqrt{l} pour l premier montre qu’en fait on les connait exactement pour n < p^{2}/16.

2.4 Construction explicite du réseau M_{N}

Dans ce paragraphe, nous supposons pour simplifier que N est impair. Supposons connu un modèle explicite de la courbe X_{0}(N_{1}), ainsi que l’action de l’opérateur de Hecke T_{2} sur ce modèle (cf. Appendice).

Il nous fait d’abord trouver un point supersingulier. Notons qu’ils sont tous définis sur 𝔽_{p^{2}}. Par exemple, supposons pour simplifier N = p. On cherche d’abord si p est inerte dans l’un des 9 corps quadratiques imaginaires de nombre de classes 1. Si oui, on peut prendre pour valeur de j initiale l’invariant modulaire de la courbe à multiplications complexes par l’anneau des entiers du corps correspondant. Si non, on peut connaître une liste des polynômes minimaux des invariants modulaires de courbes elliptiques à multiplications complexes par des corps quadratiques imaginaires de petit nombre de classes, et appliquer la même méthode. Il faut ici résoudre dans 𝔽_{p^{2}} une équation polynomiale, ce qui se fait en log p opérations – tout au moins probabilistiquement. Supposons enfin que toutes ces tentatives aient échouées; il reste la possibilité d’énumérer toutes les valeurs de 𝔽_{p} jusqu’à en trouver une supersingulière. On sait qu’il en existe toujours dans 𝔽_{p}, mais malheureusement en assez petit nombre – de l’ordre de grandeur du nombre de classes de Q(\sqrt{−p}), soit environ \sqrt{p}.

Supposons donc connu un point supersingulier S_{1}. La connaissance de l’action de T_{2} sur le modèle donné de X_{0}(N_{1}) nous permet d’obtenir les trois points supersinguliers S_{2}, S_{3} et S_{4} (non forcément distincts) liés à S_{1} par une 2-isogénie. Il s’agit de résoudre un polynôme de degré 3 sur 𝔽_{p^{2}}, ce qui requiert l’extraction de racines cubiques et de racines carrées, opérations ne nécessitant que O(log p) opérations. Parfois, on peut d’ailleurs éviter cette résolution: supposons ici encore N = p, et que l’on ait, par exemple, p ≡ 2(mod 3). Alors p est inert dans Q(\sqrt{−3}), donc j = 0 est une valeur supersingulière, et on sait que les trois isogénies de degré 2 envoient la courbe d’invariant nul sur la courbe à multiplications complexes par Z[\sqrt{−3}], dont l’invariant est j = 54000.

De toutes manières, on a au plus une seule fois à résoudre une équation du troisième degré: en effet, une fois connu S_{2}, on cherche à partir de S_{i}, i ≥ 2, les trois points supersinguliers qui lui sont reliés, mais on en connaˆ ît déjà un, et donc il ne reste à résoudre qu’une équation du second degré, donc à extraire une racien carrée sur 𝔽_{p^{2}}, ce qui est rapide (les méthodes probabilistes demandant O(log p) opérations, par un algorithme très simple à mettre en oeuvre).

Pour montrer que l’on obtient ainsi, de proche en proche, tous les points supersinguliers de M_{N}, il suffit de montrer que le graphe de T_{2} (et plus généralement de T_{n}) est connexe. Mais, comme me l’a fait remarquer J.-P. Serre, la valeur propre a_{2} = 3 de T_{2} sur M_{N} de multiplicité égale au nombre de composantes connexes du graphe de T_{2}. Or, dans M_{N}, l’espace M_{N}^{0} correspondant aux formes paraboliques est de codimension 1, donc 3 est valeur propre simple de T_{2} dans M_{N}, (car, pour une forme parabolique, on a |a_{2}| < 2\sqrt{2}) et le graphe de T_{2} est donc connexe.

En conclusion, en un algorithme en O(N log N) opérations, on a donc trouvé tous les points supersinguliers et la matrice de Brandt B_{2} associée. L’un des intérêts de cette matrice est d’être très creuse: dans chque ligne (et chaque colonne) il y a au plus trois termes non nuls, qui sont des entiers dont la somme est 3. Cela permet, étant donné une valeur propre, de trouver assez rapidement, si N n’est pas trop grand, les vecteurs propres correspondants.

2.5 Exemples

1. Prenons par exemple N = p = 37. Comme 37 est inerte dans le corps quadratique imaginaire Q(\sqrt{−2}), on peut prendre comme premier sommet de notre graphe la courbe E_{1} à multiplications complexes par Z[\sqrt{−2}], dont l’invariant modulaire est j_{1} = 8000 ≡ 8mod 37; il nous faut à présent trouver les invariants des courbes 2-isogènes à celle-ci, c’est-à-dire résoudre l’équation Φ_{2}(x, 8000) ≡ 0(mod 37). Or \sqrt{−2} est un endomorphisme de degré 2 de E_{1}, donc j_{1} est racine (sur Q) du polynôme Φ_{2}(x, 8000). En divisant ce polynôme par x − 8000, on trouve donc un polynôme du second degré dont les racines sont j_{2} et j_{3}, les invariants des deux autres courbes E_{2} et E_{3} reliées à E_{1} par une isogénie de degré 2. Soit ω ∈ 𝔽_{p^{2}} tel que ω^{2} = −2. On trouve alors j_{2} = 3 + 14ω et j_{3} = 3 − 14ω.

Une autre méthode pour trouver j_{2} et j_{3} consiste à remarquer que 37 est également inerte dans le corps K = Q(\sqrt{−15}), dont le nombre de classes est 2. Le polynôme du second degré donnant les valeurs des invariants modulaires des 2 courbes à multiplications complexes par l’anneau des entiers de K est x^{2} + 191025x − 121287375, dont les racines engendrent Q(\sqrt{5}), donc modulo 37 sont conjuguées dans 𝔽_{37^{2}}. On retrouve ainsi j_{2} et j_{3}.

Pour N premier congru à 1 mod 12, le nombre de courbes supersingulières mod N est égal à (N − 1)/12. Pour N = 37, on a donc trouvé les 3 courbes supersingulières voulues. Il reste à trouver l’action de T_{2} sur E_{2} (on en déduira par conjugaison l’action sur E_{3}). Il n’est pas possible qu’il y ait 2 isogénies de E_{2} sur E_{1}, car alors il y aurait 5 isogénies de degré 2 partant de E_{1}. Il n’est pas non plus possible qu’il y ait une 2-isogénie de E_{2} sur E_{2}.

En effet, s’il existe une 2-isogénie d’une courbe elliptique d’invariant j sur ellemême, cet invariant est racine de l’équation Φ_{2}(x, x) = 0, équation de degré 4 qui s’écrit

(x − 1728)(x − 8000)(x + 3375)^{2}

.

(Pour le voir, on peut faire le calcul à partir l’équation de Φ_{2}(j, j′) ci-dessus. On peut aussi chercher quelles sont les courbes à multiplications complexes qui admettent un endomorphisme de degrè 2, c’est-à-dire quels sont les corps quadratiques imaginaires qui contiennent un élément de norme 2. On trouve, à multiplication par une unité du corps près, les éléments 1 + i, \sqrt{−2}, \frac{1+\sqrt{−7}}{2} and \frac{1−\sqrt{−7}}{2}, qui sont les endomorphismes de degré 2 des courbes d’invariant j = 1728, j = 8000, et pour les deux derniers, j = −3375.)

Par suite, modulo p, le graphe de T_{2} ne peut contenir de boucle d’une courbe supersingulière sur elle-même que si cette courbe est définie sur 𝔽_{p} (et, plus précisément, est l’une des 3 courbes décrites ci-dessus). Par conséquent, il y a 2 isogénies reliant E_{2} à E_{3}, et le graphe de T_{2} agissant sur M_{37} est complètement déterminé.

Pour calculer les vecteurs propres correspondants, on peut évidemment diagonaliser la matrice (3, 3) de T_{2}, mais il y a encore plus simple:

l’involution W_{37} = − Frob_{37} découpe M_{37} de manière évidente en deux sousespaces propres orthogonaux, l’un, engendré par u_{1} = [E_{2}] − [E_{3}], associé à la valeur propre 1, l’autre, associé à la valeur propre -1, engendré par Eis = [E_{1}]+ [E_{2}] + [E_{3}] et par le produit vectoriel de u_{1} et Eis, soit u_{2} = 2[E_{1}] − [E_{2}] − [E_{3}]. On en déduit donc, sans recours à coefficients dans Q, et donc le fait que J_{0}(37), la jacobienne de X_{0}(37), est isogène au produit de 2 courbes elliptiques (ce qui est bien connu, voir par exemple [9]). La formule (1) ci-dessue permet alors d’obtenir les 83 premiers termes de leur fonction L.

2. p − 37, N = 2 · 37.

Pour étudier X_{0}(74), on utilise le morphisme ϕ_{2} de M_{74} vers M_{37} défini plus haut. Les fibres de chacun des trois points supersinguliers [E_{1}], [E_{2}] et [E_{3}] de X_{0}(1)mod 37 sont formées de trois points supersinguliers distincts de X_{0}(2)mod 2. D’une manière générale, notons que si S_{1}, S_{2}, …, S_{k} sont les points supersinguliers de X_{0}(qM)mod p au-dessus d’un point supersingulier S de X_{0}(M)mod p (p et q premiers et premiers à l’entier M), on a la formule

\frac{q + 1}{Aut S} = ∑_{1}^{k} \frac{1}{Aut S_{i}} .

L’équation de X_{0}(2) utilisée ici est celle décrite dans l’appendice:

uv = 2^{12},

l’involution W_{2} échangeant u et v. Rappelons d’autre part que W_{37} = − Frob_{37}, et que j = (u + 16)^{3}/u (où j est l’invariant de la courbe E, image du point (E, C) de X_{0}(2) par le morphisme “oubli” de X_{0}(2) sur X_{0}(1)). De l’équation j = j_{1} = 8, on tire les valeurs des trois points supersinguliers au-dessus de E_{1}, de coordonnées u_{1} = (−1 + ω)/2, u_{2} = (−1 − ω)/2 = W_{2}(u_{1}) et u_{3} = 27 = W_{2}(u_{2}). (Ici encore, il était possible de deviner la valeur de u_{3}, car il est clair d’après l’action de T (2) sur X_{0}(1)mod 37 faite précédemment que l’un des points au-dessus de E_{1} doit être invariant par W_{2}; or les 2 solutions de u^{2} = 2^{12} sont u = u_{1} et u = −u_{1}. En les remplaçant dans l’équation donnat j, on voit qu’il s’agit de u_{1}. Pour trouver u_{2} et u_{3}, il suffit de résoudre une équation du second degré.)

On calcule ensuite u_{4} = W_{2}(u_{1}) = 2^{12}/u_{1} = −5 − 5ω, et on trouve que l’invariant j(u_{4}) correspondant est j_{2} = 3 + 14ω. On résoud l’équation du second degré donnant les 2 autres points au-dessus de j_{2}, d’òu u_{5} = 15 + 17ω et u_{6} = 16 − 12ω. Notons alors u_{7} = W_{2}(u_{2}) = ū_{4}, u_{8} = W_{2}(u_{5}) = ū_{5} et u_{9} = W_{2}(u_{6}) = ū_{6} les abscisses des trois points supersinguliers au-dessus de E_{3} (x ⟶ x̄ étant l’automorphisme non trivial de 𝔽_{p^{2}}.) Nous avons ainsi la liste de tous les points supersinguliers de X_{0}(2)mod 37.

Comme il a été dit plus haut, l’espace M_{74}^{new} correspondant aux newforms est l’intersection du noyau de ϕ_{2} et de ϕ_{2}W_{2}. Si on note [u_{i}], i = 1, …, 9 les générateurs de M_{74} correspondant aux points supersinguliers d’abscisse u_{i}, un examen facile de l’action de W_{37} et W_{2} montre que M_{74}^{new} est somme directe de deux sous-espaces de dimension 2, l’un G_{1}, engendré par e_{1} = [u_{1}] − [u_{2}] − [u_{4}] + [u_{7}] − [u_{9}] et e_{2} = [u_{5}] − [u_{6}] − [u_{8}] + [u_{9}], sur lequel W_{37} = −W_{2} = 1, l’autre, G_{2}, engendré par e_{3} = [u_{1}] + [u_{2}] − 2[u_{3}] + [u_{4}] − [u_{6}] + [u_{7}] − [u_{9}], sur lequel W_{2} = −W_{37} = 1.

En utilisant l’équation de T_{3} agissant sur X_{0}(2) (cf. l’appendice) on montre alors que la matrice de T_{3} agissant sur G_{1} (resp. G_{2}) dans la base (e_{1}, e_{2})

(resp. (e_{3}, e_{4}))) est ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ), de polynôme caractéristique x^{2} + x − 1 (resp.

( \begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ), de polynôme caractéristique x^{2} − 3x − 1).

On en déduit que J_{0}^{new}(74) est isogène à un produit de 2 variétés abéliennes simples, A_{1} (resp. A_{2}), à multiplications réelles par l’anneau des entiers de Q(\sqrt{5}), (resp. Q(\sqrt{13}).)

Si λ = \frac{−1+\sqrt{5}}{2} et μ = \frac{3+\sqrt{13}}{2}, les vecteurs v_{1} = e_{1} + (λ + 1)e_{2}, v_{2} = e_{1} − λe_{2}, v_{3} = μe_{3} + e_{4} et v_{4} = (3 − μ)e_{3} + e_{4} correspondent aux 4 newforms f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} de poids 2 et de niveau 74. En utilisant la congruence (1), on peut alors, comme ci-dessus, obtenir la valeur des 83 premiers coefficients de ces newforms. Par exemple, pour f_{1}, la liste des premières valeurs de a_{l} est

\begin{matrix}l & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 \\ a_{l} & 1 & \frac{−1+\sqrt{5}}{2} & \frac{1−3\sqrt{5}}{2} & −1 + \sqrt{5} & \frac{−5−\sqrt{5}}{2} & \frac{1+3\sqrt{5}}{2} \end{matrix}

alors que pour f_{3} on trouve

\begin{matrix}l & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 \\ a_{l} & −1 & \frac{3+\sqrt{13}}{2} & −1 − \sqrt{13} & \frac{1−\sqrt{13}}{2} & \frac{−1−\sqrt{13}}{2} & \frac{−1+\sqrt{13}}{2} \end{matrix}

3 Application à la recherche de courbes de Weil

Soit f = ∑ a_{n}q^{n} une newform de poids 2 et de niveau N, dont les coefficients a_{n} sont dans Z. Elle correspond donc à une courbe de Weil forte E de conducteur N. Malheureusement, les coefficients a_{n} ne donnent que peu de renseignements sur E, et ne permettent pas d’obtenir simplement une équation de E. (Dans [10], on décrit une méthode due à Serre qui permet parfois d’en trouver une, mais cela n’a rien de systématique.) Nous donnons ci-après une méthode qui, au moins dans le cas où N = p est premier, résoud ce problème.

On suppose donc désormais N premier. D’après les paragraphes précédents, à la newform f est associé un vecteur v_{f} = ∑ x_{S}[S], x_{S} ∈ Z, vecteur propre des opérateurs de Hecke définis dans le paragraph 2.1. Le théorème 1 ne décrit pas l’isomorphisme (d’ailleurs non canonique) entre S_{2}(N) et M_{N}^{0} ⊗ C. Mais supposons connus les premiers termes a_{n} de f (a_{2} suffit en général). La construction du paragraphe 2.4 hous donne simultanément les valeurs supersingulières mod N et le graphe de T_{2} agissant sur M_{N}. Nous pouvons donc déterminer l’espace propre V_{2} associé à la valeur propre a_{2}. S’il est de dimension 1, nous avons v_{f}, ou tout au moins l’espace qu’il engendre. Sinon, on applique T_{3} sur V_{2} (qui est expérimentalement de petite dimension – pour les conducteurs < 80000, dim V_{2} ne dèpasse pas 6), jusqu’à trouver un espace de dimension 1, correspondant aux mêmes valeurs propres des opérateurs T_{l} que f. Choisissons dans cet espace un vecteur r_{f} = ∑ x_{E}[E], les étant dans Z et premiers entre eux; w − f est donc déterminé au signe près.

Pour aller plus loin, il nous faut à présent une interprétation géométrique de ces x_{E}

Soient donc Δ = ±N^{δ} le discriminant d’un modèle minimal de Weierstrass de E, ϕ : X_{0}(N) ⟶ E un revêtement minimal de E, et n = deg ϕ.

D’après Deligne-Rapoport [5], il existe un modèle X_{0}(N)_{/Z} de X_{0}(N) défini sur Z dont la réduction modulo N est la réunion de deux droites projectives, l’une, C_{∞}, classifiant les courbes elliptiques en caractéristique N munies du schéma en groupes noyau du Frobenius (donc correspondant à des isogénies inséparables), l’autre, C_{0}, classifiant les courbes munies du “Verschiebung”. Ces deux droites se coupent aux points supersinguliers. Quant à la courbe E, la réduction modulo N de son modèle de Néron a une composante neutre E_{/𝔽_{N}}^{0} isomorphe sur 𝔽_{N^{2}} au groupe multiplicatif G_{m}. On peut montrer que le revêtement ϕ se prolonge à X_{0}(N)_{/Z} − §, où § est l’ensemble des points supersinguliers en caractéristique N, et définit par spécialisation et restriction une application régulière de C_{∞} − S sur E_{/\overline{𝔽}_{N}}^{0} , d’où une fonction rationnelle ϕ sur C_{∞}, dont les pôles et les zéros appartiennent à E. Le diviseur ∑ λ_{E}[E] o de ϕ, E parcourant les courbes supersingulières mod N, est donc un élément de M_{N}^{0}, défini au signe près (dépendant du choix de l’isomorphisme de E_{/𝔽_{N}}^{0} sur G_{m}.)

Proposition 3.1. Avec les notations ci-dessus, le diviseur (Φ) = ∑ λ_{E}[E] est égal á ±r_{f}.

Il n’est pas très difficile de voir que (Φ) est proportionnel à r_{f}. Par contre, le fait que les l_{E} sont premiers entre eux se déduit du beau résultat que Ribet vient d’obtenir^{1}, à savoir que, si l est un nombre premier distinct de 2 et 3, toute forme parabolique mod l de poids 2 et de niveau Np, où Np est sans facteur carré, dont la représentation mod l associée est irréductible et n ramifiée en p, provient d’une forme parabolique mod l de poids 2 et de niveau N (ce résultat avait été conjecturé par Serre, dans une lettre qu’il m’avait adressée en août 1985. On en déduit en particulier que la conjecture de Taniyama-Weil implique le grand théorème de Fermat).

Pour prouver la proposition précédente, on montre d’abord que δ est relié aux λ_{E} par la formule

δ = gcd(λ_{E}ω_{E} − λ_{F} ω_{F})

où ω_{E} est le nombre d’automorphismes de E. Supposons qu’un nombre premier l divise le pgcd des λ_{E}. Il divise alors δ, et on en déduit que p n’est pas ramifié dans le corps des points d’ordre l de E. Si l est premier à 6, le théorème de Ribet implique que la forme modulaire f associée à E est congrue mod l à une forme modulaire de poids 2 et de niveau 1, qui ne peut être que la série d’Eiseinstein. La courbe E étant semi-stable, cela implique d’après [16], p.306, que E ou une courbe qui lui est Q-isogène possède un point fini d’ordre l. Si l = 2 ou 3, on a le même résultat grâce à [4], Appendice. Or on connaˆ ît explicitement les courbes de conducteur premier possédant de la torsion [11], à savoir les courbes 11A et 11B de [19], qui ont un point d’ordre 5, les courbes 17A, 17B et 17C (un point d’ordre 4), 17D (d’ordre 2), 19A et 19B (d’ordre 3), 37B et 37C (d’ordre 3), et les courbes de Setzer-Neumann [18], qui est égal au nombre de points d’ordre fini rationnels sur Q des courbes considérées, et on vérifie que les λ_{E} sont premiers entre eux. En dehors de ces cas, les courbes E n’ont pas de torsion sur Q, et sont seules dans leur classe d’isogénie sur Q; on a donc δ = 1, et les λ_{E} sont premiers entre eux. Ceci démontre la proposition. Notons qu’en cours de démonstration on a montré que le théorème de Ribet implique également le résultat suivant:

1K.Ribet, Lectures on Serre’s conjectures, MSRI, Fall 1986

Théorème 3.2. Soit E une courbe de Weil forte de conducteur premier N. La valuation de son discriminant en N est alors égale au nombre de points de torsion de E(Q).

Nous énonçons à présent sans démonstration le théorème qui permet d’obtenir explicitement une équation de E une fois connus les λ_{E}.

Théorème 3.3. SoitLet E une courbe de Weil forte de conducteur premier N, et ∑ λ_{E}[E] l’élément de M_{N}^{0} associé à E par la construction ci-dessus. Il existe une équation de E

y^{2} = x^{3} − \frac{c_{4}}{48}x − \frac{c_{6}}{864}

avec c_{4} et c_{6} dans Z, tels que, si H = sup(\sqrt{|c_{4}|}, \sqrt[3]{|c_{6}|}), on a, avec les notations ci-dessus L

1. H ≤ \frac{8n}{\sqrt{N}−2}(log(H^{6}/1728) + b), où b = (Γ(1/3)/Γ(2/3))^{3} = 7.74316962 . . ..

2. Soit Δ′ = (c_{4}^{3} −c_{6}^{2})/1728. Alors Δ′ = Δ si E est supersingulière en 2, et Δ′ = Δ ou 2^{12}Δ sinon.

3. c_{4} ≡ (∑ λ_{E}j_{E})^{4}mod N.

4. c_{6} ≡ −(∑ λ_{E}j_{E})^{6}mod N.

5. nδ = λ_{E}^{2}ω_{E}.

Si les λ_{E} sont connus, 5 permet d’obtenir n, et 1 d’obtenir une borne de H donc de c_{4} et c_{6}. Par 2, on connait c_{4}^{3} − c_{6}^{2} = 1728Δ′, ce qui permet de trouver c_{4} et c_{6}. Les congruences 3 et 4 permettent de diminuer notablement le nombre de calculs. On a donc ainsi trouvé une équation de la courbe de Weil forte correspondant à la newform f initiale.

En fait, cette méthode permet aussi de prouver qu’une courbe elliptique de conducteur N premier assez petit est de Weil. Supposons en effet donnée une telle courbe, par exemple par son équation. Nous pouvons alors calculer le nombre de ses points N_{l} mod l pour l = 2, 3, . . .. On cherche ensuite, par la méthode des graphes, si a_{2} = 3 − N_{2} est valeur propre de T_{2} agissant sur M_{N}. Si non, la conjecture de Taniyama-Weil est fausse. Si oui, on continue avec T_{3} agissant sur l’espace propre trouvé, s’il n’est pas de dimension 1, jusqu’à trouver un espace propre de dimension 1 pour les opérateurs de Hecke, à valeurs propres entières. S’il n’existe pas, on a un contre-exemple à la conjecture de Taniyama-Weil. S’il existe, on calcule une équation de la courbe de Weil correspondante. Si cette courbe se révèle être isogène à la courbe initiale, on a fini. Sinon, la courbe initiale n’est pas de Weil.

En particulier, cela a permis de montrer que la courbe elliptique d’équation

y^{2} + y = x^{3} − 7x + 6

de conducteur 5077, est une courbe de Weil.

Cette courbe semble être la plus petite courbe (lorsqu’on ordonne les courbes par conducteurs croissants) ayant un groupe de Mordell-Weil de rang ≥ 3 [3]. Son intérêt est le suivant:

Soit f(z) = ∑ a_{n}q^{n} (q = e^{2πiz}), une newform de poids 2 et de conducteur N, et L(s) = ∑ a_{n}n^{−s}, la fonction L associée. Si l’ordre en 1 de L est ≥ 3, Goldfeld a montré qu’il existe une constante C_{f} calculable telle que

log p < C_{f}h(−p),

où p est un nombre premier ≡ 3(mod 4) et premier à N et h(−p) le nombre de classes du corps quadratique imaginaire de discriminant −p. On a des formules analogues, mais plus compliquées, dans le cas des corps quadratiques imaginaires de discriminant non premier (voir [13] par exemple).

Si la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est vraie, toute courbe de Weil dont le groupe de Mordell-Weil sur Q est de rang ≥ 3 devrait fournir de telles formes modulaires, mais jusqu’aux travaux de Gross et Zagier [8], on n’avait aucun moyen de vérifier que la dérivée en 1 de la fonction L d’une courbe de Weil est effectivement nulle. Les résultats de Gross et Zagier permettent par contre d’écrire L′(1) comme un produit d’un facteur non nul aisément calculable et de la hauteur de Néron-Tate d’un point de Heegner (cf. [8] pour les détails). Il est alors possible, en minorant la hauteur des points rationnels de la courbe et en majorant L′(1) par un calcul approché, de montrer que L est d’ordre ≥ 3 en s = 1. (Dans toute ce qui précéde, on a considéré des courbes de Weil impaires, c’est-à-dire dont la fonction L a un ordre impair en 1 – ou, si l’on préfère, dont le signe de l’équation fonctionnelle est -1.)

On a plusieurs moyens de construire des courbes de Weil doint le groupe de Mordell-Weil est de rang ≥ 3 (et qui sont donc de bons candidats pour la question précédente: par la méthode de Gross-Zagier, on peut calculer L′(1). Si L′(1) est nul, on a une fonction L qui permet d’obtenir une majoration de la valeur absolue du discriminant des corps quadratiques imaginaires de nombre de classes donné; s’il est non nul, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est fausse! Il va sans dire que jusqu’à présent, on s est toujours trouvé dans le premier cas...) On peut par exemple chercher des courbes à multiplications complexes de rang 3 (on sait a priori qu’elles sont de Weil), mais la constant C_{f} est alors très grande. On peut aussi tordre une courbe de Weil (par exemple la courbe 37C de [19] jusqu’à obtenir une courbe de rang 3 (en l’occurrence, pour la courbe 37C, on peut tordre par Q(\sqrt{−139}), comme le montrent Gross et Zagier [8]). Ceci conduit à une constante C_{f} de l’odre de grandeur de 7000.

On peut enfin choisir une courbe elliptique quelconque définie sur Q, de rang 3, et tenter de montrer que c’est une courbe de Weil. C’est ce qui a été fait dans [10] pour la courbe ci-dessus de conducteur 5077, en employant la formule des traces. Mais le calcul a été très long (5 ehures sur l’ordinateur employé, un IBM 4341). Le méthode des graphes a permis de le faire en environ 5 secondes sur le même ordinateur.

Pour cette courbe, on a C_{f} < 50: tout corps quadratique imaginaire de discriminant d, avec |d| > e^{150} a donc un nombre de classes ≥ 4. D’autre part, il n’existe pas de corps quadratique imaginaire de discriminant d et de nombre de classes 3 pour 907 < |d| < 10^{2500} [12]. Par suite (après examen d’une table donnant les nombres de classes des premiers corps quadratiques):

Théorème 3.4. Les corps quadratiques imaginaires de nombre de classes 3 sont les seize corps de discriminant −23, −31, −59.−83, −107, −139, −211, −283, −307, −331, −379, −499, −547, −643, −883, −907.

4 Application à une conjecture de Serre

Soit ρ une représentation contique de Gal(\overline{Q}/Q) dans GL_{2}(V), où V est un espace vectoriel de dimension 2 sur un corps fini 𝔽_{q} de caractéristique p. On suppose cette représentation impaire, c’est-à-dire que l’image ρ(c) de la conjugaison complexe c, vue comme élément de Gal(\overline{Q}/Q), a comme valeurs propres -1 et 1. Dans ce qui suit, on pose G = Imρ.

Dans [17], Serre définit le niveau, le caractère et le poids d’une telle représentation:

1. Le niveau.

Soit l un nombre premier premier à p. On note G_{i}, i = 0, … les groupes de ramification de ρ en l. Soit

n(l) = ∑_{i=0}^{∞} \frac{g_{i}}{g_{0}} codimV^{G_{i}},

où g_{i} est l’ordre de G_{i}|.

Le conducteur de la représentation ρ est alors défini comme étant

N = ∏_{l≠p} l^{n(l)}.

2. Le caractère.

Le déterminant de ρ fournit un caractère de Gal(\overline{Q}/Q) dans 𝔽_{q}^{∗},dont le conducteur divise pN. Par suite, on peut écrire

det ρ = εχ^{k−1},

où χ est le caractère cyclotomique de conducteur p et où ε est un caractère (Z/NZ)^{∗} ⟶ 𝔽_{q}^{∗}. L’entier k est défini mod (p−1),et le fait que la représentation est impaire implique que ε(−1) = (−1)^{k}.

Par définition, ε est le caractère de la représentation ρ.

3. Le poids.

L’entier k est défini mod (p−1). Je renvoie à l’article de Serre pour la définition du poids k ∈ Z de la représentation ρ. Alors que le conducteur N ne dépend que du comportement de ρ aux places premières à p, la définition du poids ne fait intervenir que les propriétés locales en p de la représentation ρ.

La conjecture de Serre peut alors s’énoncer ainsi:

Conjecture 4.1. Soit ρ une représentation comme ci-dessus, de poids k, de niveau N et de caractère ε. Supposons cette représentation irréductible. Elle provient alors d’une forme parabolique mod p de poids k, niveau N caractère ε.

Cette conjecture, si elle était vraie, aurait de nombreuses conséquences: elle implique notamment la conjecture de Taniyama-Weil, et le grand théorème de Fermat.

Beaucoup de telles représentations ρ sont modulaires, soit par constructions, soit parce qu’elles entrent dans le cadre de conjectures classiques (Langlands, Artin, …) qui entrainent la conjecture (parfois sulement sous une forme faible, c’est-à-dire avec un poids ou un conducteur plus grands que ceux définis dans [17].)

Pour vérifier (ou infirmer) la conjecture de Serre, il faut trouver des extensions K/Q, de groupe de Galois un sous-groupe de GL_{2}(𝔽_{q}) à déterminant impair si p ≠ 2. Il n’est en général pas difficile de calculer, pour l premier et pas trop grand, la trace a_{l} de Frob_{l} dans GL_{2}(𝔽_{q}): si P (x) est un polynôme dont les racines engendrent K, la décomposition de P mod l suffit souvent.

Il est par contre beaucoup plus ardu de trouver la forme modulaire mod p, si elle existe, qui correspond à la représentation ρ donnée par le corps K: le discriminant de K est souvent gros, donc aussi le conducteur de ρ, qui lui est intimement lié, et il n’est alors pas possible de mener les calculs à bien

4.1 Le cas SL_{2}(𝔽_{4})

Un cas troublant est celui où p = 2, car, du fait que −1 ≡ 1(mod 2), toute représentation est alors impaire.

Les représentations de Gal(\overline{Q}/Q) dans GL_{2}(𝔽_{2}) = S_{3} (même totalement réelles, cf. [17]) proviennent de formes modulaires de poids 1, le groupe S_{3} pouvant être réalisé comme un sous-groupe de GL_{2}(C). On peut alors espérer que par multiplication par des séries d’Eiseinstein convenables, on obtienne une forme modulaire de poids et de niveau prédits par la conjecture de Serre (cf. [17] pour des exemples).

Pour obtenir des cas plus intéressants en caractéristique 2, on considère des représentations à valeurs dans GL_{2}(𝔽_{4}). L’isomorphisme A_{5} ≃ SL_{2}(𝔽_{4}) permet d’en obtenir plusieurs exemples. Soit donc une extension K de Q de Galois A_{5}. Comme A_{5} se plonge dans P GL_{2}(C), si le corps n’est pas totalement réel, la représentation ρ associée provient encore d’une forme modulaire de poids 1 (modulo la conjecture d’Artin; cf. [2]). Supposons par contre que K soit totalement réel; aucune des conjectures classiques ne nous permet alors de soupçonner ρ de provenir d’une forme modulaire, même de poids ou de niveau éléve. C’est ce cas que nous étudions en détail dans ce qui suit. La méthode des graphes a ici été indispensable, les formes modulaires recherchées ayant de trop gros conducteurs pour être étudiées à l’aide de la formule des traces de Eichler-Selberg.

Soit donc P (x) = x^{5} + a_{1}x^{4} + a_{2}x^{3} + a_{3}x^{2} + a_{4}x + a_{5} un polynôme à coefficients dans Q de degré 5, de discriminant D. Pour que le corps des racines de P soit A_{5}, il faut et il suffit que P soit irréductible, que D soit un carré, et qu’il existe un nombre premier l ne divisant pas D tel que P mod l ait exactement 2 racines dans 𝔽_{l} (cette dernière condition assurant que le groupe est bien A_{5} tout entier).

Il est clair que ε = 1. Si p divise D, p premier à 30, n(p) = 1 si it seulment si l’inertie en p est d’ordre 2, et donc si le polynôme P a des racines au plus doubles mod p. Quant au poids k, il est 2 ou 4 suivant la ramification de K en 2. Pour simplifier les calculs, nous avons limité la recherche d’exemples aux représentations de niveau premier et de poids 2.

D’autre part, bien qu’il s’agisse de représentations dans SL_{2}(𝔽_{4}), le coefficient a_{2} de la forme modulaire cherchée, si elle existe, peut ne pas être dans 𝔽_{4}, mais dans 𝔽_{16}. Cela provient du fait que le coefficient a_{l} d’une forme modulaire mod l est égal à une valeur propre de Frob_{l}, et non à sa trace. Or, si une matrice de SL_{2}(𝔽_{4}) est d’ordre 5, ses valeurs propres sont dans 𝔽_{16}, et non dans 𝔽_{4}.

Les exemples traités ci-dessous ont éte obtenus en faisant tout d’abord une recherche systématique sur ordinateur (l’IBM 4341 de l’ENS, rue d’Ulm) de polynômes convenables (totalement réels, de type A_{5}, dont le conducteur de la représentation associée est un nombre premier N, et dont le poids est 2.

Ensuite, pour chachun de ces polynômes P, on a calculé la valeur propre a_{2} correspondante (dans 𝔽_{1}6), et on a cherché s’il existe une forme modulaire mod 2 de niveau N et de poids 2 telle que T_{2} ait a_{2} comme valeur propre. Dans tous les cas considérés, on a alors trouvé un espace propre de dimension 1 ou 2. En employant les opérateurs T_{3} et T_{5}, on a alors calculé les coefficients a_{3} et a_{5}, et vérifié qu’ils ont la valeur prédite par le type de décomposition de P en 3 et 5.

Évidemment, cela ne prouve pas vraiment que la représentation ρ associée à P est modulaire: nous avons seulement exhibé une forme modulaire mod 2 du bon niveau et du bon poids dont les termes a_{2}, a_{3} et a_{5} conviennent. Mais c’est une bonne présomption de la véracité de la conjecture de Serre dans les cas considérés: une recherche extensive sur de nombreux nombres premiers N des coefficients a_{2} de formes modulaires de poids 2 et de niveau N montre en effet qu’il est rare qu’ils soient dans des corps de petit degré. (En fait, il semble que 2, et plus généralement les petits nombres premiers, soient les plus “inertes” possibles dans les corps intervenant dans l’algèbre de Hecke des formes modulaires, corps qui eux-mêmes paraissent en général être du plus gors degré possible, compte tenu des contraintes du type involutions d’Atkin-Lehner, premiers d’Eiseinstein, etc. Il arrive évidemment qu’il y ait des petits facteurs, – correspondant par exemple aux courbes elliptiques de conducteur premier – mais c’est apparemment rare.)

4.2 Quelques exemples

1. P (x) = x^{5} − 10x^{3} + 2x^{2} + 19x − 6.

Le discriminant de P est (2^{3}887)^{2}. Ce polynôme est irréductible mod 5, donc irréductible sur Q. Ses racines sont toutes réelles (on peut par exemple appliquer l’algorithme de Sturm). On a

P (x) ≡ x(x − 1)(x^{3} + x^{2} − 1)mod 3,

ce qui fournit un cycle d’ordre 3; le groupe de Galois de K, le corps des racines de P, est donc A_{5}.

Du fait que P (x) ≡ (x − 462)(x − 755)^{2}(x − 788)^{2}mod 887^{2} on déduit que le conducteur N de la représentation associée à P est N = 887. On peut également montrer que 3 est “peu ramifié” au sens de [17], donc le poids de ρ est 2. Un examen facile de la réduction de P mod 2 montre que les coefficients a_{2}, a_{3} et a_{5} de la forme modulaire mod 2 de niveau 887 qui doit correspondre via la conjecture de Serre à ρ sont 1, 1 et j (où j ∈ 𝔽_{4} vérifie j^{2} + j + 1 = 0).

On applique alors la méthode des graphes: l’espace des formes modulaires mod 2 de poids 2 et niveau 887 est de dimension 73, et le calcul montre que l’espace propre G_{1} de T_{2} correspondant à la valeur propre 1 est de dimension 2; T_{3} agit comme l’identité sur G_{1}, et j et j^{2} sont les valeurs propres de T_{5} agissant sur G_{1}, d’où une base de G_{1} formée de f_{1} = q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + jq^{5} + ⋯ et f_{2} = q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + j^{2}q^{5} + ⋯, vecteurs propres des opérateurs de Hecke. Ceci corrobore parfaitement la conjecture.

2correction from original: P (x) ≡ (x − 446)(x − 126)^{2}(x − 538)^{2}mod 887

2. P (x) = x^{5} − 23x^{3} + 55x^{2} − 33x − 1.

Then D = 13613^{2}, P (x) ≡ (x − 6308)(x − 2211)^{2}(x − 8248)^{2}mod 13613, N = 13613; P étant irréductible mod 2, Frob_{2} est un cycle d’ordre 5, et a_{2} = ζ_{5}, une racine cinquième de l’unitè, vue comme élément de 𝔽_{16}. La calcul montre alors que, dans l’espace des formes modulaires mod 2 de niveau 13613 et de poids 2, qui est de dimension 1134, ζ_{5} est valeur propre simple de T_{2}. Les coefficients a_{3} et a_{5} sont respectivement égaux à 1 + ζ_{5}^{2} + ζ_{5}^{3} = j et à ζ_{5}^{2} + ζ_{5}^{3} = j^{2}, qui sont bien les traces de Frob_{3} et Frob_{5} dans SL_{2}(𝔽_{4}).

3. Énonçons rapidement les autres polynômes trouvés; dans chaque cas, il existe une forme modulaire de poids 2 et du bon niveau, dont les premiers termes a_{n} correspondent à ceux prédits par la conjecture de Serre.

P (x) = x^{5} + x^{4} − 16x^{3} − 7x^{2} + 57x − 35, N = 8311, \sqrt{D} = N
P (x) = x^{5} + 2x^{4} − 43x^{3} + 29x^{2} + 2x − 3, N = 8447, \sqrt{D} = 2^{2}N
P (x) = x^{5} + x^{4} − 13x^{3} − 14x^{2} + 18x + 14, N = 15233, \sqrt{D} = 2N
P (x) = x^{5} + x^{4} − 37x^{3} + 67x^{2} + 21x + 1, N = 24077, \sqrt{D} = 2^{2}N

5 Appendice: Les courbes X_{0}(p) de genre 0

Dans [5], il est montré que, si p est un nombre premier, la courbe X_{0}(p) sur Z_{p} est formellement isomorphe à la courbe d’équation xy = p^{k} au voisinage de tout point se réduisant mod p en un point supersingulier S, k étant la moitié du nombre d’automorphismes de S.

Si X_{0}(p) est de genre 0 (i.e., p = 2, 3, 5, 7, et 13) on a en fait un tel modèle sur Z, donné par la fonction

x = (\frac{η(z)}{η(pz)})^{\frac{24}{p−1}} ,  (2)

où η(z) = q^{1/24} ∏_{i=1}^{∞}(1 − q^{n}) and q = e^{2πiz}.

Ceci découle de Fricke [7], qui donne également, pour chacune des valeurs de p ci-dessus, l’expression du morphisme oubli j : X_{0}(p) ⟶ X_{0}(1), qui à tout point (E, C) de X_{0}(p) associe le point (E) de X_{0}(1), paramétré par l’invariant modulaire j.

Dans ce qui suit, nous rappelons ces équations, et donnons également l’expression des correspondances T_{2} et T_{3} sur ces courbes. La variable x est celle donnée par l’équation (2), l’involution W_{p} échange x et y et le diviseur de x est (0) − (∞), où 0 et ∞ sont les deux pointes de X_{0}(p).

1. p = 2 Les èquations données par Fricke (légèrement modifiées pour donner un

modèle de X_{0}(2) sur Z) sont:

xy = 2^{12}

j = \frac{(x + 16)^{3}}{x}

T_{2} est donné par:

y^{2} − y(x^{2} + 2^{4}3x) − 2^{12}x = 0

(A tout point x est associée par T_{2} la somme formelle des points de coordonnées y racines de ce polynôme.)

T_{3} est donné par:

x^{4}+y^{4}−x^{3}y^{3}−2^{3}3^{2}x^{2}y^{2}(x+y)−2^{2}3^{2}5^{2}xy(x^{2}+y^{2})+2·3^{2}1579x^{2}y^{2}−2^{15}3^{2}xy(x+y)−2^{24}xy = 0

2. p = 3.

xy = 3^{6}

j = \frac{(x + 27)(x + 3)^{3}}{x}

T_{2} : x^{3} + y^{3} − 2^{3}3xy(x + y) − x^{2}y^{2} − 3^{6}xy = 0
T_{3} : y^{3} − y^{2}(x^{3} + 2^{2}3^{2}x^{2} + 2 · 3^{2}5y) − 3^{6}yx(x + 2^{2}3^{2}) − 3^{12}x = 0

3. p = 5.

xy = 5^{3}

j = \frac{(x^{2} + 10x + 5)^{3}}{x}

T_{2} : x^{3} + y^{3} − x^{2}y^{2} − 2^{3}xy(x + y) − 7^{2}xy = 0

T_{3} : x^{4}+y^{4}−x^{3}y^{3}−2·3^{2}x^{2}y^{2}(x+y)−3^{4}xy(x^{2}+y^{2})−2·3^{2}23x^{2}y^{2}−2250xy(x+y)−5^{6}xy = 0

4. p = 7.

xy = 7^{2}

j = \frac{(x^{2} + 13x + 49)(x^{2} + 5x + 1)^{3}}{x}

T_{2} : x^{3} + y^{3} − x^{2}y^{2} − 2^{3}xy(x + y) − 7^{2}xy = 0

T_{3} : x^{4}+y^{4}−x^{3}y^{3}−2^{2}3x^{2}y^{2}(x+y)−2·3·7xy(x^{2}+y^{2})−3·53x^{2}y^{2}−2^{2}3·7^{2}xy(x+y)−7^{4}xy = 0 5. p = 13.

xy = 13

j = \frac{(x^{2} + 5x + 13)(x^{4} + 7x^{3} + 20x^{2} + 19x + 1)^{3}}{x}

T_{2} : x^{3} + y^{3} − x^{2}y^{2} − 2^{2}xy(x + y) − 13xy = 0

T_{3} : x^{4}+y^{4}−x^{3}y^{3}−2·3x^{2}y^{2}(x+y)−3·5xy(x^{2}+y^{2})−3·11x^{2}y^{2}−2·3·13xy(x+y)−13^{2}xy = 0

Les polynômes ci-dessus donnat T_{2} et T_{3} sont donc d’écriture plus simple que les équations modulaires classiques Φ_{2}(j, j′) et Φ_{3}(j, j′) (qui correspondent à l’action de T_{2} et T_{3} sur X_{0}(1)). A titre de comparaison, nous rappelons leur expression:

Φ_{2}(j, j′) = j^{3} + j^{′3} − j^{2}j^{′2} + 2^{4}3 · 31jj′(j + j′) − 2^{4}3^{4}5^{3}(j^{2} + j^{′2})
+3^{4}5^{3}4027jj′ + 2^{8}3^{7}5^{6}(j + j′) − 2^{12}3^{9}5^{9}

Φ_{3}(j, j′) = j^{4} + j^{′4} − j^{3}j^{′3} − 2^{2}3^{3}9907jj′(j^{2} + j^{′2}) + 2^{3}3^{2}31j^{2}j^{′2}(j + j′)

−2^{16}5^{3}3^{5}17 · 263jj′(j + j′) + 2^{15}3^{2}5^{3}(j^{3} + j^{′3}) + 2 · 3^{4}13 · 193 · 6367j^{2}j^{′2}

−2^{31}5^{6}22973jj′ + 2^{30}3^{3}5^{6}(j^{2} + j^{′2}) + 2^{45}3^{3}5^{9}(j + j′)

References

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