FAMILLES DE FONCTIONS L DE FORMES AUTOMORPHES ET APPLICATIONS

PHILIPPE MICHEL, I.U.F ET UNIVERSITÉ DE MONTPELLIER

Table des matières

1. Introduction 1 2. Familles de fonctions L 2 3. La méthode de mollification 6 4. La méthode d’Amplification 10 5. Survol des techniques analytiques utilisées 18 Bibliographie 25

1. Introduction

L’étude des propriétés analytiques des fonctions L des formes automorphes dans la bande critique^{1} est un sujet fascinant de l’arithmétique contemporaine qui mêle théorie analytique des nombres, formes automorphes et géométrie arithmétique. Dans cet exposé qui aborde ces questions plutôt sous l’angle de la théorie analytique des nombres, nous allons essayer de montrer que loin d’être des concurrentes, ces différentes approches sont complémentaires et s’éclairent l’une l’autre.

Une notion cruciale qui s’est dégagée ces dernières années, est celle de famille de fonctions L. Bien entendu, du point de vue de la théorie analytique des nombres ”classique”, cette notion est naturelle: certains des résultats les plus fameux sur les fonctions L de caractères de Dirichlet (essentiellement la seule famille qui a été étudiée jusqu’à il y a peu) sont des énoncés ”en moyenne” ( par exemple les Théorèmes de Densité pour leurs zéros) qui quelque fois sont une alternative (parfois plus) éfficace à l’Hypothèse de Riemann Généralisée. Mais dans le contexte des formes automorphes, la notion de famille de fonctions L conjuguée avec les extraordinaires developpements de la géométrie arithmétique apporte bien plus qu’une simple généralisation d’ énoncés classiques:

• C’est une notion naturelle dans plusieurs problèmes arithmétiques liés aux courbes modulaires et à la conjecture de Birch—Swinnerton-Dyer(question de non-annulation au point critique).

• Elle sert à résoudre des problèmes de nature analytique, qui étaient inaccessibles par les méthodes traditionnelles, pour les fonctions L générales, et qui en corollaire fournissent des résultats non-triviaux en géométrie arithmétique.

1Dans la suite, nous normaliserons toutes les fonctions L de sorte que la bande critique est le domaine complexe 0 ⩽ ℜes ⩽ 1.

• Elle est au coeur du modèle probabiliste des matrices aléatoires pour les fonctions L de Katz-sarnak [KaSa1] qui permet de décrire la structure fine des zéros des fonctions L et peut-être de mieux comprendre leur nature spectrale (voir aussi les survols [KaSa2, Mi1]).

Dans cet exposé nous présenterons certains progrès récents qui ont été réalisés en théorie analytique des fonctions L en utilisant cette notion. Cela ira des résultats quantitatifs concernant la non-annulation de fonctions L au point critique, à des majorations non-triviales pour ces fonctions sur la droite critique ℜes = 1/2. A chaque fois que ce sera possible nous tâcherons de donner certaines des applications (ou quelquefois des interprétations) qui peuvent être obtenues en combinant ces résultats avec d’autres techniques ou formules.

Remerciements: Je veux remercier J. Friedlander, H. Iwaniec et P. Sarnak pour de nombreuses discussions concernant les thèmes abordés dans cet article et pour m’avoir communiqué leurs travaux [DFI8], [Sa2] sur lesquels une partie de ce texte est basé.

2. Familles de fonctions L

2.1. Fonctions L de formes automorphes. On rappelle que pour une normalisation convenable ( si le caractère central est unitaire) la fonction L d’une forme automorphe cuspidale f sur GL_{d}(𝔸_{ℚ}) est une série de Dirichlet qui admet une factorisation en produit eulérien

L(f, s) = ∑_{n⩾1} \frac{a_{f}(n)}{n^{s}} = ∏_{p} L_{p}(f, s).

Pour chaque p, le facteur local L_{p}(f, s)^{−1} est un polynôme en p^{−s} de degré ⩽ d (et de degré = d pour presque tout p)

L_{p}(f, s)^{−1} = ∏_{i=1}^{d}(1 − α_{f,i}(p)p^{−s})

où les nombres complexes α_{f,i}(p) sont appelés les paramètres locaux de f en p. Pour la place à l’infini, on a également un facteur local formé de fonctions ”Gamma”:

L_{∞}(f, s) = ∏_{i=1}^{d} Γ_{ℝ}(s + μ_{f,i}), avec Γ_{ℝ}(s) = π^{−s/2}Γ(s/2) et ℜeμ_{f,i} > −1/2.

On sait alors [GoJ] que la fonction L complète Λ(f, s) = L_{∞}(f, s)L(f, s) admet un prolongement holomorphe à ℂ (sauf si L(f, s) est la fonction ζ) et qu’elle vérifie une équation fonctionnelle de la forme

(2.1)  q_{f}^{s/2}Λ(f, s) = ε_{f}q_{f}^{(1−s)/2}Λ(\overline{f}, 1 − s)

où q_{f} est un entier (appelé le conducteur de f), \overline{f} désigne la contragrédiente de f et ε_{f} est un nombre complexe de module 1, (le ”signe” de l’équation fonctionnelle). Par la théorie de Rankin-Selberg [JS, JPPS], on sait également que le produit eulérien L(f, s) converge absolument pour ℜes > 1, que Λ(f, s) a tous ces zéros dans la bande critique 0 ⩽ ℜes ⩽ 1 et par la méthode de Hadamard—de la Vallée-Poussin fournit une région sans zéros ”standart” de la forme

ℜes ⩾ 1 − \frac{c}{log Q_{f}(1 + |ℑms|)}

où Q_{f} est le conducteur analytique de f définit par

(2.2)  Q_{f} := q_{f} ∏_{i=1}^{d}(1 + |μ_{f,i}|),

à un (éventuel) ”zéro de Landau-Siegel” près: celui-ci serait contenu dans ce domaine , serait réel, simple et ne pourrait apparaitre que si f est autoduale. On pourra se reporter à [HL, HR] pour une étude du zéro de Siegel pour les fonctions L de formes automorphes sur GL_{d} pour d ⩾ 2.

Dans cet exposé nous considérons certaines fonctions L liées aux formes sur GL_{d} avec d = 1, 2. Pour d = 1 ce sont les fonctions L associées aux caractères de Dirichlet

L(χ, s) = ∑_{n⩾1} \frac{χ(n)}{n^{s}} = ∏_{d}(1 − \frac{χ(p)}{p^{s}})^{−1}.

Pour d = 2, on considère les espaces suivants de formes cuspidales de niveau q ⩾ 1 et de nebentypus un caractère de Dirichlet χ(mod q):

• l’espace S_{k}(q, χ) des formes holomorphes de poids entier k ⩾ 1.

• l’espace S_{λ}(q, χ) des formes (de Maass), réelles analytiques, vecteur propre du Laplacien hyperbolique Δ = y^{2}(\frac{∂^{2}}{∂^{2}x} + \frac{∂^{2}}{∂^{2}y}), de valeur propre λ = (1/2 + ir)(1/2 − ir) ⩾ 0, (la conjecture de Ramanujan-Petersson prédit que ℜeir = 0.)

( si le nebentypus χ est le caractère trivial, on l’omettra de la notation). Parmi ces formes on considère l’ensemble S_{k}^{p}(q, χ) (resp. S_{λ}^{p}(q, χ)) de celles qui sont primitives (ie vecteur propre de tous les opérateurs de Hecke T_{n}, n ⩾ 1, nouvelles et normalisées); les formes primitives admettent un développement de Fourier à l’infini de la forme

f(z) = ∑_{n⩾1}ρ_{f}(n)e(nz) = ρ_{f}(1) ∑_{n⩾1}λ_{f}(n)n^{\frac{k−1}{2}} e(nz),

si f est holomorphe (resp.

f(z) = ∑_{{n=−∞ \atop n≠0}}^{+∞} ρ_{f}(n)y^{1/2}K_{ir}(2π|n|y)e(nx) = ρ_{f}(1) ∑_{{n=−∞ \atop n≠0}}^{+∞} λ_{f}(n)y^{1/2}K_{ir}(2π|n|y)e(nx),

si f est de Maass) où λ_{f}(n)n^{\frac{k−1}{2}} (resp. λ_{f}(n)) est la valeur propre de l’opérateur de Hecke T_{n}. Remarque 2.1. Il y a plusieurs manières de normaliser les formes primitives, ici on imposera ρ_{f}(1) = 1, mais notons que la normalisation L^{2}, obtenues en imposant que ⟨f, f⟩, le produit scalaire de Petersson de f, soit égal à 1 peut être elle aussi commode, notamment quand on travaille sur des courbes de Shimura où il n’y a pas de pointes.

La fonction L de Hecke associée est la série

L(f, s) = ∑_{n⩾1} \frac{λ_{f}(n)}{n^{s}} = ∏_{p}(1 − \frac{λ_{f}(p)}{p^{s}} + \frac{χ(p)}{p^{2s}})^{−1} = ∏_{p}(1 − \frac{α_{f,1}(p)}{p^{s}})^{−1}(1 − \frac{α_{f,2}(p)}{p^{s}})^{−1},

et son conducteur arithmétique vaut q.

Le troisième type de fonctions L que nous considérons est la famille des fonctions L de Rankin-Selberg, L(f ⊗g, s) où g est une forme automorphe sur GL_{2}(𝔸_{ℚ}) fixée de conducteur D et nebentypus χ′. Cette série de Dirichlet peut être difficile à écrire explicitement en général, mais si q et D sont premiers entre eux, elle a une expression simple

L(f ⊗ g, s) = L(χχ_{g}, 2s) ∑_{n⩾1} \frac{λ_{f}(n)λ_{g}(n)}{n^{s}} = ∏_{p} ∏_{i,j=1,2}(1 − \frac{α_{f,i}α_{g,j}}{p^{s}})^{−1},

et son conducteur arithmétique vaut (qD)^{2}. Remarque 2.2. Récemment, Ramakrishnan [Ra] a montré (en accord avec la philosophie de Langlands), que ce produit Eulérien de degré 4 est la fonction L d’une forme automorphe sur GL_{4}(𝔸_{ℚ}). Remarque 2.3. On peut aussi noter qu’il n’est pas toujours nécessaire de se restreindre au cas où g est cuspidale. Par exemple prenant

(2.3) g(z) = E′(z, \frac{1}{2}) := \frac{∂}{∂s}E(z, s)_{|s=1/2} = y^{1/2} log y + 4y^{1/2} ∑_{n⩾1}τ(n) cos(2πnx)K_{0}(2πny),

avec E(z, s) la série d’Eisenstein non-holomorphe pour le groupe modulaire, on a formellement

L(f ⊗ g, s) = L(f, s)^{2},

ce qui permet quelquefois de considérer parallèlement le cas des fonctions L de Hecke et celui des fonctions L de Rankin-Selberg.

2.2. Familles. Les familles qu’on introduit sont des familles F(Q) de fonctions L de degré donné, indexées par leur conducteur analytique, de sorte que pour Q → +∞ et f ∈ F(Q) on ait log Q_{f} ≃ log Q. Dans cet exposé, on considérera surtout les familles

F_{[K,K+K′]}(q, χ) = {L(f, s), f ∈ B_{k}(q, χ), k ∈ [K, K + K′]}, pour 0 ⩽ K′ ⩽ K,

ou bien F_{[Λ,Λ+Λ′]}(q, χ) = {L(f, s), f ∈ B_{λ}(q, χ), λ ∈ [Λ, Λ + Λ′]}, pour 0 ⩽ Λ′ ⩽ Λ,

où B_{?}(q, χ) désigne une base de Hecke de S_{?}(q, χ): une base (orthogonale) formée de vecteurs propres des T_{n}, (n, q) = 1 qui contient S_{?}^{p}(q, χ). On a également pour g fixé, les familles de fonctions L de Rankin-Selberg

F_{[K,K+K′]}^{g}(q, χ) = {L(f ⊗ g, s), f ∈ B_{k}(q, χ), k ∈ [K, K + K′]},
F_{[Λ,Λ+Λ′]}^{g}(q, χ) = {L(f ⊗ g, s), f ∈ B_{λ}(q, χ), λ ∈ [Λ, Λ + Λ′]}.

En pratique un des paramêtres q, K ou Λ tendra vers +∞ les autres restant essentiellement fixés ou tout au moins très petits devant la paramètre principal. Compte-tenu de la valeur du conducteur et celle des paramêtres locaux à l’infini de ces fonctions L, on trouve pour les différentes familles, les équivalences:

log Q_{f} = log q, log Q_{f⊗g} ≃ log(q^{2}) quand q → +∞,
log Q_{f} ≃ log k^{2} ≃ log K^{2}, log Q_{f⊗g} ≃ log k^{4} ≃ log K^{4} quand K → +∞

et si on consière les formes de Maass

log Q_{f} ≃ log λ^{2} ≃ log Λ^{2}, log Q_{f⊗g} ≃ log λ^{4} ≃ log(Λ^{4}) quand Λ → +∞.

2.3. Moments de fonctions L. Etant donné une famille F(Q), les méthodes analytiques qu’on va décrire reposent toutes sur l’évaluation des moments des fonctions L(f, s) ”tordues” par certains polynômes de Dirichlet M(f, s). Ces moments sont définis par la donnée d’un entier L (qu’on écrit sous la forme L = [Q^{Δ}] ⩾ 1 pour un certain paramêtre Δ > 0 fixé), et d’un vecteur de coefficients x⃗ = (x_{1}, …, x_{L}) ∈ ℂ^{L} avec lequel on forme le polynôme de Dirichlet

M(f, s) = ∑_{l⩽L} \frac{λ_{f}(ℓ)}{n^{s}}x_{ℓ}.

Pour s ∈ ℂ dans la bande critique (disons ℜes = 1/2), le moment d’ordre 1 est la forme linéaire

(2.4)  M_{1}(F(Q), x⃗, s) := ∑_{f∈F(Q)} L(f, s)M(f, s)

et les moments d’ordre κ (κ entier pair) sont définis par les formes quadratiques

(2.5)  M_{κ}(F(Q), x⃗, s) := ∑_{f∈F(Q)} |L(f, s)|^{κ}|M(f, s)|^{2}.

La méthode générale pour évaluer ces moments est la suivante: on commence par représenter L(f, s) sous forme d’une série rapidement convergente en utilisant l’équation fonctionnelle (2.1); on obtient alors que

(2.6)  L(f, s) = ∑_{n⩾1} \frac{a_{f}(n)}{n^{s}}V_{s}(\frac{n}{\sqrt{Q_{f}}}) + ε_{f} ∑_{n⩾1} \frac{\overline{a_{f}(n)}}{n^{1−s}}V_{1−s}(\frac{n}{\sqrt{Q_{f}}})

où pour ℜes = 1/2, V_{s}(y) est une fonction à décroissance rapide quand y > 1. On a donc exprimé L(f, s) comme somme de deux séries (essentiellement) finies de longueur ≪ Q_{f}^{1/2}. Reportant (2.6) dans M_{κ}(F(Q), x⃗, s) on développe cette expression et la multiplicativité des a_{f}(n) permet d’intervertir les sommations pour se ramener à des sommes de la forme

∑_{f∈F(Q)} \overline{a_{f}(m)}a_{f}(n)

pour m, n ≪ Q^{κ/2+Δ}. On évalue ces sommes grâce à diverses formules de ”traces” (cf. (5.1) pour un exemple) qui donnent lieu à une égalité du type

(2.7)  ∑_{f∈F(Q)} \overline{a_{f}(m)}a_{f}(n) = δ_{m=n} + TERME NON-DIAGONAL ,

qu’on reporte dans l’expression cherchée. La contribution du terme δ_{m=n} fournit le Terme Diagonal du moment. Il général il est le plus facile à contrôler. La partie restante est le Terme Non-Diagonal. Bien entendu plus κ est grand, plus les variables m, n peuvent être grandes et moins on a de contrôle sur le TERME NON-DIAGONAL de (2.7). En pratique, une transition de phase se produit quand on calcule le moment critique d’ordre κ_{0} donné par

(2.8)  κ_{0} + 2Δ = lim inf_{Q→+∞} 4\frac{log |F(Q)|}{Q}

: c’est à ce point que la contribution provenant du TERME NON-DIAGONAL de (2.7) cesse d’être trivialement^{2} négligeable devant le Terme Diagonal; on verra dans la section 4. une autre raison expliquant pourquoi cette barrière est naturelle. Exemple 2.1. Quand Δ = 0, κ_{0} vaut 4 pour les familles F_{[K,2K]}(q, χ), F_{[Λ,2Λ]}(q, χ) et 2 pour les familles F_{[K,2K]}^{g}(q, χ), F_{[Λ,2Λ]}^{g}(q, χ) quand q, K, ou bien Λ → +∞.

Nous décrirons dans la section 5., les techniques qui sont utilisées pour contrôler les termes non-diagonaux dans ces cas critiques. Supposons cette barrière franchie ( on verra qu’elle l’est pour les famille décrites précédement) et que les moments sont alors convenablement évalués pour certains ordres κ. On dispose alors de deux types d’applications très différentes suivant le choix que l’on fait du vecteur x⃗.

3. La méthode de mollification

La méthode de mollification a été inventée par Bohr et Landau au début du 20ème siècle pour étudier ζ et ses zéros; elle a ensuite été développée par Selberg [Se] et d’autres pour étudier les questions de non-annulation de fonctions L. On doit à Iwaniec et Sarnak d’avoir un nouvel élan à la méthode de mollification en la généralisant aux familles de fonctions L de formes automorphes dans leur tentative d’attaquer le problème du zéro de Landau-Siegel [IS1].

3.1. Le principe. Soit F(Q) une famille; si l’on veut des renseignements sur le nombre de fonctions L de F ne s’annulant pas en un point déterminé s_{0}, la méthode des moments peut fournir des éléments de réponse: en effet l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne la minoration

|\{f ∈ F(Q), L(f, s_{0}) ≠ 0\}| ⩾ \frac{|M_{1}(F(Q), x⃗, s_{0})|^{2}}{M_{2}(F(Q), x⃗, s_{0})} ,

qui ramène ce problème de comptage à celui de minimiser la forme quadratique en x⃗, M_{2}(F(Q), x⃗, s_{0}) sous la contrainte linéaire M_{1}(F(Q), x⃗, s_{0}) = 1. Quand on est capable d’évaluer asymptotiquement les moments d’ordre 1 et 2 pour Q → +∞, on peut montrer que ce problème de minimisation admet une solution asymptotiquement optimale qu’on peut expliciter. Le polynôme de Dirichlet M(f, s) solution de ce problème est appelé un ”mollifieur”. On obtient alors un résultat de la forme

|{f ∈ F(Q), L(f, s_{0}) ≠ 0}| ⩾ (c(Δ) + o(1))|F(Q)|, Q → +∞

2”trivial” pouvant avoir un sens très relatif suivant les cas considérés

où c(Δ) est une fraction rationnelle du paramètre Δ qui s’annule en Δ = 0 et est strictement croissante. En particulier (??) est d’autant meilleur que l’on peut prendre Δ (la longueur relative du Mollifieur) grand. Comme le suggère le fait que c(0) = 0, le vecteur ”trivial” definit par L = 1, x_{1} = 1 est loin d’être optimal: on obtient dans ce cas la minoration plus faible

|\{f ∈ F(Q), L(f, s_{0}) ≠ 0\}| ≫ \frac{|F(Q)|}{log Q} = o(|F(Q)|), Q → +∞.

On voit donc que l’introduction d’un mollifieur M(f, s_{0}) permet de compenser en moyenne, l’influence non négligeable des quelques L(f, s_{0}) qui sont très grand par rapport à la valeur moyenne.

Mentionnons également que cette méthode admet des variantes qui permettent notamment de contrôler en moyenne dans une famille, le nombre et la multiplicité des zéros des fonctions L situés sur le segment critique [0, 1] et plus particulièrement particulier l’ordre d’annulation au point critique s = 1/2 ([KM1, HM, KMV1, CS]). En particulier ces techniques ont permis à Conrey et Soundararajan [CS] d’obtenir le résultat frappant suivant Théorème 3.1. Il existe une infinité (et même au moins 20% en un sens convenable) de caractères de Dirichlet quadratiques primitifs χ dont la fonction L, L(χ, s) = ∑_{n} χ(n)n^{−s} ne s’annule pas sur le segment critique [0, 1].

3.2. Mollification des fonctions L de Rankin-Selberg. Dans [KMV2, KMV3, MV] la technique de mollification a été appliquée aux familles de fonctions L de Rankin-Selberg F_{k}^{g}(q, χ_{0}) pour k ⩾ 2, q premier, χ_{0} le caractère trivial et pour g de niveau D sans facteurs carrés. Du point de vue technique le point intéressant est que le moment d’ordre κ_{0} = 2 est ”critique” et qu’on doit donc faire face à des termes non-diagonaux.

Dans [KMV3] le calcul asymptotique des moments d’ordre 1 et 2 mollifiés donnent le Théorème 3.2. Soit g une forme primitive cuspidale holomorphe de niveau D sans facteurs carrés et nebentypus χ′. il existe une constante positive absolue c > 0 telle que pour tout q premier suffisament grand (en fonction de g) on a les minorations

• si g n’est pas autoduale ou si g est autoduale et χ′(−q) = 1

(3.1)  |\{f ∈ S_{2}^{p}(q), L(f ⊗ g, \frac{1}{2}) ≠ 0\}| ⩾ (c + o_{g}(1))|S_{2}^{p}(q)|,

• si g est autoduale et χ′(−q) = −1, alors

(3.2)  |\{f ∈ S_{2}^{p}(q), L′(f ⊗ g, \frac{1}{2}) ≠ 0\}| ⩾ (c + o_{g}(1))|S_{2}^{p}(q)|.

Remarque 3.1. On peut noter que la preuve de ce résultat utilise pour l’étape d’optimisation de la forme quadratique, l’existence d’une région sans zéros convenable pour les convolutions de Rankin-Selberg L(g ⊗ g, s) et L(g ⊗ \overline{g}, s) et ainsi des résultats plutôt avancés de la théorie des formes automorphes comme la modularité de la fonction L du carré symétrique (due à Gelbart-Jacquet [GJ]) et la modularité de la fonction L de Rankin-Selberg L(g⊗\overline{g}, s) due à Ramakrishnan [Ra].

On peut aussi considérer le cas où g est une série d’Eisenstein [KMV2, MV]: Si χ est un caractère de Dirichlet fixé, alors pour g = E_{χ} une série d’Eisenstein convenable on a L(f ⊗ g, s) = L(f ⊗ χ, s)^{2}. Bien que g soit alors plus élémentaire qu’une forme cuspidale, l’obtention de formules asymptotiques pour le moment d’ordre 2 (qui est donc le moment d’ordre 4 des fonctions L de Hecke des f tordues par χ) s’avère être beaucoup plus complexe que dans le cas cuspidal: cela tient au fait que des termes principaux non-diagonaux supplémentaires liés au terme constant de cette série d’Eisenstein E_{χ} apparaissent et qu’ils sont plutôt délicats à évaluer. L’inégalité

(∑_{f} M_{1}(f)M_{2}(f)M_{3}(f))^{4} ⩽ ( ∑_{{f \atop M_{1}(f)M_{2}(f)M_{3}(f)≠0}} 1) ∏_{i=1,2,3}(∑_{f} |M_{i}(f)|^{4})

permet alors d’obtenir, en choisissant des mollifieurs appropriés, des résultats de nonannulation simultanée comme le Théorème 3.3. Il existe une constante absolue c > 0 telle que: pour χ_{i}, i = 1, 2, 3 trois caractères primitifs de conducteur D_{i} sans facteurs carrés et tels que χ_{i}^{2} est encore primitif, et pour tout q premier, on a la minoration quand q → +∞

|{f ∈ S_{2}^{p}(q), L(f ⊗ χ_{1}, 1/2)L(f ⊗ χ_{2}, 1/2)L(f ⊗ χ_{3}, 1/2) ≠ 0}| ⩾ (c + o_{D_{1}D_{2}D_{3}}(1))|S_{2}^{p}(q)|.

3.3. Interprétations. Soit A/ℚ est une variété abélienne, la détermination du rang de tous les groupes de Mordell-Weil A(K) pour les extensions finies de ℚ est équivalente à celle de la multiplicité dans A(\overline{ℚ}) ⊗ ℂ de toutes représentations complexes, continues, de dimension finie et irréductibles de Gal(\overline{ℚ}/ℚ). Si ρ est une telle représentation, (une variante de) la conjecture de Birch—Swinnerton-Dyer prédit sa multiplicité m_{ρ} dans A(\overline{ℚ})⊗ℂ [Ro]:

(BSD−?) m_{ρ} = ord_{s=1}L(A ⊗ ρ, s)

où L(A ⊗ ρ, s) est la fonction L du produit tensoriel de la représentation galoisienne définie par le module de Tate de A, et (d’une réalisation ℓ-adique convenable ) de ρ. Dans le cas particulier où A = A_{f} est la variété abélienne modulaire associée à une forme holomorphe f de poids 2 et quand ρ est ”modulaire” et est donc associée à une forme automorphe g_{ρ} (ce qui est maintenant connu pour de très nombreuses ρ de dimension 2) on a l’égalité

L(A_{f} ⊗ ρ, s) = ∏_{f^{σ}} L(f^{σ} ⊗ g_{ρ}, s − 1/2)

où f^{σ} parcours l’orbite de f sous le groupe de Galois. Grâce aux travaux de Gross-Zagier, Kolyvagin, Kato, Bertolini-Darmon, Zhang et d’autres, on dispose à ce jour de nombreux résultats en direction de la conjecture (BSD-?) pour les quotient A_{f} de J_{0}(q) = Jac(X_{0}(q)) et pour les représentations ρ suivantes

• quand ρ est la représentation triviale [GZ, Ko];

• dim ρ = 1: g_{ρ} = χ est alors un caractère de Dirichlet [Sc];

• quand dim ρ = 2 et ρ est dihédrale et impaire: ie. est induite par un caractère de Hecke sur un corps quadratique imaginaire. D’après Hecke, g_{ρ} est une forme holomorphe de poids 1 et de nebentypus le symbole de Kronecker du corps [GZ, G, BD1, BD2, Zh2].

De plus, dans tous les cas évoqués ci-dessus, la preuve de (BSD-?) résulte d’une ”formule” exacte conférant une interprétation arithmético-géométrique à la valeur spéciale L(f ⊗ g_{ρ}, 1/2) (ou à sa dérivée). Par exemple, si ρ est impaire dihédrale, L(f ⊗ g_{ρ}, 1/2) ou L′(f ⊗ g_{ρ}, 1/2) peut interpréter comme la hauteur de la f-composante isotypique d’un diviseur de Heegner sur une courbe de Shimura convenable ([GZ, G, BD1, BD2, Zh2]).

Ces résultats, sont autant de motivations pour une étude générale par voie analytique de la variable aléatoire

f → L(f ⊗ g, s)

et de la variable ”rang analytique”

f → r(f ⊗ g) = ord_{s=1/2}L(f ⊗ g, s).

où g est fixée, s est dans un voisinage de 1/2 et f décrit un ensemble de formes primitives holomorphes de poids 2.

Si ρ est la représentation triviale, ces questions ont été étudiés dans [IS1, KM1, KM2, KMV1, HM, V1].

Pour les représentations ρ de dimension 1, le Théorème 3.3, ses variantes et les travaux de Kato sur le conjecture de Birch—Swinnerton-Dyer pour les corps cyclotomiques [Sc] impliquent le Corollaire 3.4. Il existe une constante absolue c > 0 telle que pour tout corps cyclique K de degré ⩽ 5 sur ℚ, non-ramifié en 2, 3, 5, et pour tout q premier assez grand, la jacobienne J_{0}(q) possède un quotient J_{K} définit sur ℚ de dimension ⩾ c dim J_{0}(q), qui vérifie la conjecture de Birch—Swinnerton-Dyer sur K.

Dans le cas des représentations de dimension 2, le Théorème 3.2 appliquée aux fonctions theta associées aux caractères du groupe de classes d’idéaux d’un corps quadratique imaginaire et les formules de Gross-Zagier impliquent le Corollaire 3.5. Il existe une constante absolue c > 0, telle que pour tout corps quadratique imaginaire K, non-ramifié en 2, et pour tout q premier assez grand inerte dans O_{K}, on a

rangJ_{0}(q)(H_{K}) ⩾ ch_{k} dim J_{0}(Q)

où H_{K} est le corps de classes de Hilbert de K et h_{K} = [H_{K} : K].

Mentionnons aussi que l’on a aussi des interprétations moins arithmétiques; par exemple le résultat suivant dù à W. Luo [Lu], concerne la question de non-annulation famille de fonctions L de Rankin-Selberg associées aux formes de Maass F_{[0,Λ]}^{g}(q) au point critique : Théorème 3.6. Il existe une constante absolue c > 0 telle que pour q ⩾ 5 premier fixé, et pour g ∈ S_{4}(q) une forme holomorphe de poids 4 fixée, on a pour Λ → +∞, la minoration

|\{f ∈ B_{λ}(q), L(f ⊗ g, \frac{1}{2} + ir) ≠ 0, 0 ⩽ λ = 1/4 + r^{2} ⩽ Λ\}| ⩾ (c + o(1))\frac{Vol(Γ_{0}(q)\H)}{4π}Λ^{2}.

Ce théorème s’interprète via la théorie de la déformation spectrale de Phillips-Sarnak [PS]. il implique qu’une proportion positive de formes primitives cuspidales sont ”annihilées” par une déformation réelle analytique générique de Γ_{0}(q), allant (dans l’espace de Teichmüller) dans la direction définie par la différentielle quadratique g. Sous la conjecture que la multiplicité des valeurs propres du Laplacien sur Γ_{0}(q) est bornée par une constante absolue, la théorie de Phillips-Sarnak implique ainsi que pour une déformation générique de Γ_{0}(q), le spectre du Laplacien n’est plus essentiellement cuspidal: ie. la loi de Weyl forte n’est pas vérifiée.

Pour conclure cette section, il est bon de mentionner que les résultats présentés dans cette partie sont les plus représentatifs du point de vue de la complexité des techniques engagées, mais que d’autres, plus simples, sont parfois utilisés dans certains problèmes arithmétiques: par exemple dans les travaux de Merel sur les point de torsion des courbes elliptiques (cf. [Me, KM3, KM4]). Ces méthodes fournissent aussi des énoncés d’indépendances linéaires pour les images, par les opérateurs de Hecke, de différents ”cycles” arithmétiques sur les courbes modulaires [V2, KMV3].

On peut aussi noter que des énoncés de non-annulation de fonctions L peuvent aussi être obtenus par des méthodes complètement différentes. Un exemple frappant et récent est donné dans la preuve par Vatsal et Cornut [Va, Cor] de la conjecture de Mazur sur la non-trivialité de certains diviseurs de Heegner dans les extensions anticyclotomiques, dont la preuve utilise des méthodes ergodiques. Dans [Va] Vatsal a remarqué que cette question peut se ramener à un problème de non-annulation pour certaines fonctions L de Rankin-Selberg et il est bien possible que ce problème soit accessible aux techniques analytiques.

4. La méthode d’Amplification

Nous décrivons dans cette partie une autre utilisation possible de l’évaluation des moments d’ordre κ ⩾ 1 définis en (2.5).

4.1. Le problème de convexité. Soit L(f, s) la fonction L d’une forme automorphe cuspidale sur GL_{d}(𝔸_{ℚ}), l’Hypothèse de Riemann pour cette fonction L a la conséquence suivante sur la taille de L(f, s) pour s sur la droite critique: Conjecture. (Hypothèse de Lindelöf Généralisée). Pour tout ε > 0, et pour ℜes = 1/2, on a

L(f, s) ≪_{ε} (|s|^{d}Q_{f})^{ε}.

En direction de cette conjecture, on a d’abord la majoration triviale (dite de convexité)

(4.1)  ∀ε > 0, L(f, s) ≪_{ε} (|s|^{d}Q_{f})^{1/4+ε},

qui résulte de l’équation fonctionnelle (2.1) et principe de convexité de Phragmen–Lindelöf. Remarque 4.1. Cette majoration résulterait aussi de la représentation (2.6) et de la borne de Ramanujan-Petersson |a_{f}(n)| ≪_{ε} n^{ε} (voir [?] pour une preuve inconditionnelle de (4.1) suivant cette méthode).

Le problème de convexité consiste à faire un (petit) pas en direction de la conjecture de Lindelöf, en améliorant l’exposant (de convexité) 1/4: Problème de Convexité. Montrer qu’il existe δ > 0, tel que pour ℜes = 1/2

L(f, s) ≪ (|s|^{d}Q_{f})^{1/4−δ},

la constante impliquée dans le symbole ≪ étant absolue. Remarque 4.2. Dans les applications, un seul des paramètres est amené à varier, les autres restant essentiellement fixés: ce peut être la variable complexe s, le conducteur q_{f} ou les paramètres à l’infini ∏_{i=1..d}(1 + |μ_{f,i}|) (par exemple le poids ou la valeur propre pour les formes modulaires); dans la pratique, il suffit souvent de resoudre le problème de convexité par rapport à tel ou tel paramêtre tout en conservant un contrôle raisonnable sur les autres (par exemple une dépendance polynomiale).

La célèbre majoration de Weyl [?]

(4.2)  ζ(s) ≪_{ε} |s|^{1/6+ε}

résoud le problème de convexité pour la fonction ζ suivant le paramètre s, alors que la majoration de Burgess [B62]

(4.3)  L(χ, s) ≪_{ε} |s|^{2}q^{3/16+ε},

résoud le problème pour les fonctions L des caractères de Dirichlet par rapport à leur conducteur q. Les méthodes utilisées dans ces deux exemples sont assez spécifiques et ne semblent pas se généraliser facilement à des fonctions L de degré supérieur (voir cependant le travail de Fouvry-Iwaniec [FoI] qui résoud le problème de convexité pour certaines fonctions L de caractères de Hecke d’un corps quadratique imaginaire, en utilisant des méthodes réminiscentes de celles de Burgess).

La notion de famille et la méthode des moments fournit ici une approche systématique du problème de convexité. Le principe est le suivant: plutôt que ce résoudre le problème pour une fonction L(f, s) ”à la fois” (comme l’ont fait Weyl et Burgess dans les exemples précédents mais aussi Weil pour l’Hypothèse de Riemann des fonctions L des courbes sur les corps finis ) on la plonge dans une famille F(Q) avec Q_{f} ∼ Q et on va chercher à résoudre le problème simultanement pour tous les membres de la famille (un peu comme l’a fait Deligne il y a trente ans pour les conjectures de Weil et un peu plus tard Laumon — avec une famille différente — quand il a donné une preuve alternative de ces mêmes conjecture [De1, De2, La]).

Pour notre problème, on majore simplement le moment d’ordre κ pour κ convenable. On obtient en général une majoration de la forme

(4.4)  ∑_{f∈F(Q)} |L(f, s)|^{κ} ≪_{ε} Q^{ε}|F(Q)|

(qui s’interprète comme l’Hypothèse de Lindelöf Généralisée ”en moyenne”) de sorte que

L(f, s) ≪_{ε} Q^{ε}|F(Q)|^{1/κ};

ainsi le problème de convexité sera résolut si on peut prendre κ > κ_{0} = 4\frac{log |F(Q)|}{log Q}.

Remarque 4.3. Le choix de la famille F(Q) fait partie du problème et peut être une question non-triviale: elle doit être à la fois suffisament grande (”spectralement complète”) pour permettre d’obtenir (4.4) et pas trop pour ne pas avoir à calculer un moment d’ordre κ trop élevé. En particulier, Le moment limite κ_{0} = 4\frac{log |F(Q)|}{log Q} permettant de briser la convexité est exactement celui où apparaissent les termes non-diagonaux: rien n’est jamais gratuit en ce bas monde !

En général, on peut arriver à (4.4) pour le moment critique κ_{0} par des arguments assez généraux (ie des inégalités de grand crible) et pour aller au delà plusieurs options sont disponibles:

• Obtenir (4.4) pour κ_{0} + 1, ce qui est parfois faisable.

• Etablir (4.4) pour le moment d’ordre κ_{0} mais en ce restreignant à une sous-famille de F(Q) assez petite; par exemple, en passant des familles F_{[K,2K]}(q, χ) ou F_{[K,2K]}^{g}(q, χ), aux familles F_{[K,K+K^{α}]}(q, χ) ou F_{[K,K+K^{α}]}^{g}(q, χ) pour un certain α < 1 aussi petit que possible.

• Utiliser un amplificateur: cette méthode inventée par Iwaniec [FoI, Iw2] et utilisée à ce nombreuses reprises depuis, permet d’éviter les deux options précédentes. Rappelons (voir aussi [?]) que la méthode d’amplification consiste à majorer le moment d’ordre κ_{0} défini par (2.5) pour un vecteur x⃗ ∈ ℂ^{L}général afin d’obtenir l’analogue de (4.4):

(4.5)  ∑_{f∈F(Q)} |L(f, s)|^{κ_{0}}|M(f, s)|^{2} ≪_{ε} Q^{ε}|F(Q)| ∑_{ℓ⩽L} \frac{|x_{ℓ}|^{2}}{ℓ}

pour un certain L = Q^{Δ} avec Δ > 0 aussi grand que possible. Ensuite on choisit les coefficient x⃗ = (x_{1}, …, x_{L}) de sorte que si L(f_{0}, s) est le terme qu’on désire majorer M(f_{0}, s) amplifie la contribution de ce terme: on peut choisir x⃗ de sorte que pour tout ε > 0 et pour un certain α = α(d) > 0 on ait, à la fois,

(4.6)  ∑_{ℓ⩽L} \frac{|x_{ℓ}|^{2}}{ℓ} ≪_{ε} L^{ε}, et |M(f_{0}, s)|^{2} = | ∑_{ℓ⩽L} \frac{λ_{f_{0}}(ℓ)x_{ℓ}}{ℓ^{s}} |^{2} ≫ L^{α}.

Cette fois-ci la fonction f → M(f, s) agit à l’opposé d’un mollifieur. On obtient alors

L(f_{0}, s) ≪_{ε} Q^{ε}|F(Q)|^{1/κ_{0}}L^{−α/κ_{0}} ≪_{ε} Q_{f_{0}}^{1/4−αΔ/κ_{0}+2ε}.

Remarque 4.4. cette méthode est tout à fait ”morale”: en effet, (4.6) ne contredit en rien la majoration générale (4.5): le vecteur x⃗ qui a été choisit est relatif à la forme particulière f_{0} et pour f ≠ f_{0} dans F(Q) on peut montrer (sous une Hypothèse de Riemann Généralisée convenable) la majoration

| ∑_{ℓ⩽L} \frac{λ_{f_{0}}(ℓ)x_{ℓ}}{ℓ^{s}} |^{2} ≪_{ε} L^{ε}

pour tout ε > 0. Bien entendu cette dernière majoration (conditionnelle) n’est pas utilisée dans la méthode d’amplification.

Ces trois approches ont été utilisés pour résoudre le problème de convexité pour les fonctions L associées aux formes automorphes sur GL_{1}(𝔸_{ℚ}), GL_{2}(𝔸_{ℚ}) et par rapport à chaque paramètre pris séparement (le paramètre s, le conducteur (ou niveau) q, le poids k ou la valeur propre λ).

Un cas remarquable où la première option a été utilisée (en passant de κ_{0} = 2 à κ = 3) est le travail de Conrey-Iwaniec [CI] qui améliore la majoration de Burgess (4.3) pour les fonctions L de caractères de Dirichlet réels: ils montrent pour ℜes = 1/2, la majoration

L(χ, s) ≪_{ε} |s|^{3}q^{1/6+ε}

qui est l’analogue de la majoration de weyl (4.7). Pour cela ils réalisent L(χ, s)^{2} comme la fonction L de la serie d’Eisenstein tordue E(z, s).χ et concluent en évaluant le moment d’ordre 3 en s_{0} = 1/2 des fonctions L de Hecke des formes modulaire pour Γ_{0}(1) vecteurs propres du Laplacien hyperbolique (provenant du spectre discret et continu) tordues par χ et en prouvant la majoration correspondante (4.4). pour conclure les auteurs invoquent alors le résultat de positivité de Walspurger

L(f.χ, 1/2) ⩾ 0.

Ce cas est exemplaire à la fois par le choix (non évident) de la famille de fonctions L auxiliaire et aussi par l’utilisation d’un résultat de positivité pour les valeurs spéciales de fonctions L. Mentionnons également que Ivic a utilisé un argument similaire pour résoudre le problème de convexité pour les fonctions L de formes de Maass au point spécial s = 1/2.

La deuxième méthode (de restriction à une sous-famille) peut-être est utilisée quand on cherche a résoudre le problème de convexité par rapport au poids k ou à la valeur propre λ (voir [Sa2]).

La troisième méthode (d’ Amplification) a été utilisée surtout pour résoudre le problème de convexité par rapport au conducteur q_{f} (où la méthode de restriction ne fonctionne pas), notamment dans la série de travaux de Duke, Friedlander et Iwaniec ([DFI1, DFI2, DFI3, DFI4, DFI5, DFI6, DFI7]) qui culmine dans [DFI8].

En regroupant les différents résultats connus sur le problème de convexité, on dispose maintenant de toute la technologie nécéssaire pour montrer l’énoncé particulièrement général suivant: Théorème 4.1. Soit f une forme automorphe (cuspidale) sur GL_{1}(𝔸_{ℚ}) ou GL_{2}(𝔸_{ℚ}), le problème de convexité est résolu séparement par rapport à chacun des paramètres numériques dont peut dépendre f — le conducteur q, (si d = 2) le poids k ou la valeur propre du Laplacien λ— pour les fonctions L suivantes:

• La fonction de Hecke L(f, s) associée à f.

• Toute fonction L de Rankin-Selberg L(f ⊗ g, s) où g est une forme automorphe

cuspidale sur GL_{1}(𝔸_{ℚ}) ou GL_{2}(𝔸_{ℚ}) préalablement fixée. De cet énoncé nous extrayons quatre cas particuliers, dont trois constituent les trois

contributions les plus récentes au Théorème 4.1 et dont le second plus ancien, est recyclé dans la preuve du dernier cas:

Le premier cas est dù à Sarnak; il brise la convexité par rapport au poids pour les fonctions L(f ⊗ g, s) de Rankin-Selberg [Sa2]: Théorème 4.2. Soit g une forme primitive cuspidale ( holomorphe ou de Maass ) fixée. Pour toute forme primitive cuspidale f , holomorphe de poids k, on a la majoration

L(f, s) ≪ k^{1−7/165},

pour ℜes = 1/2; de plus, la constante impliquée dans la symbole ≪ dépend (polynomialement) que de s, du niveau de f et des paramètres de g.

Les trois autres cas sont relatifs au niveau: le second, plus ancien, et est dù à Duke-Friedlander-Iwaniec, et résoud le problème de convexité pour les fonctions de Hecke tordues par un caractère χ en fonction du conducteur de χ [DFI1]: Théorème 4.3. Soit g une forme primitive cuspidale ( holomorphe ou de Maass ) fixée. Pour tout caractère primitif χ de conducteur q, on a la majoration

L(g ⊗ χ, s) ≪ q^{1/2−1/22},

pour ℜes = 1/2; de plus, la constante impliquée dans la symbole ≪ dépend (polynomialement) que de s, du niveau de f et des paramètres de g.

Le troisième est le résultat principal d’un article monumental de Duke-Friedlander-Iwaniec [DFI8] qui conclut un travail long de 8 ans qui achève la résolution du problème de convexité pour les fonctions L de Hecke par rapport au niveau: Théorème 4.4. Pour toute forme primitive cuspidale f , holomorphe ou de Maass de niveau q et de nebentypus primitif, on a la majoration

L(f, s) ≪ q^{1/4−1/23041},

pour ℜes = 1/2; de plus, la constante impliquée dans la symbole ≪ dépend (polynomialement) que de s, du niveau de f et des paramètres de g. Remarque 4.5. En particulier, ce résultat résoud potentiellement le problème de convexité pour les fonctions L d’Artin de degré 2 par rapport au conducteur ( et en tout cas pour toutes celles qui sont ”modulaires”) au moins quand le conducteur de la représentation coincide avec celui du déterminant.

Enfin, le dernier résultat rompt la convexité, par rapport au niveau de f et quand g est fixé, pour la fonction de Rankin-Selberg L(f ⊗ g, s). Il a été obtenu en deux temps, d’abord pour f holomorphe et de nebentypus trivial par Kowalski, l’auteur et Vanderkam [KMV3] puis dans le cas général par l’auteur [Mi2] (en particulier dans le cas extrème où le nebentypus de f est primitif) en combinant les méthodes (complémentaires) développées pour montrer les cas precédents [KMV3, DFI8, Sa2] avec le Théorème 4.3: Théorème 4.5. Soit g une forme primitive cuspidale ( holomorphe ou de Maass ) fixée. Pour toute forme primitive cuspidale f , holomorphe ou de Maass sur Γ_{1}(q), on a la majoration

L(f ⊗ g, s) ≪ q^{1/2−1/800},

pour ℜes = 1/2; de plus, la constante impliquée dans la symbole ≪ dépend (polynomialement) que de s, du niveau de f et des paramètres de g.

4.2. Applications. Il est remarquable que le fait d’améliorer l’exposant de convexité, même de manière microscopique (par exemple de 1/23041) suffit à apporter une solution complète à certaines questions qui n’ont apparement rien a voir avec les fonctions L.

Avant de passer à des application plus élaborées, voici un corollaire très simple du Théorème 4.5. Corollaire 4.6. Soient f(z) = ∑_{n⩾1} ρ_{f}(n)e(nz) et g(z) = ∑_{n⩾1} ρ_{g}(n)e(nz) deux formes modulaires holomorphes de poids 2 (disons) pour Γ_{0}(q) et Γ_{0}(D) respectivement. Alors si f est primitive et f ≠ g, le premier nombre premier p pour lequel ρ_{f}(p) ≠ ρ_{g}(p) est majoré par ≪_{D} q^{1−1/400} la constante impliquée ne dépendant polynomialement que de D.

Notons que le Theorème de Riemann-Roch appliqué à la courbe modulaire X_{0}(qD) donnerait une majoration de la forme ≪ qD qui correspondrait essentiellement à la borne de convexité pour L(f ⊗ g, s). Cette borne est donc plus faible que celle du corollaire quand q est suffisament grand devant D. Il serait intéressant de disposer d’une preuve géométrique de résultat.

4.2.1. Application aux corps quadratiques imaginaires. Le théorème 4.4 peut être utilisé pour donner des information non-triviales et innaccessible jusqu’à present sur le groupe des classes d’ideaux Pic(O_{K}) d’un corps quadratique imaginaire K: en effet en appliquant ce résultat aux formes de poids 1 attachés aux caractères de Pic(O_{K}) [DFI8], on obtient par exemple le Corollaire 4.7. Tout sous-groupe cyclique de Pic(O_{K}) d’indice m est engendré par un ideal de norme ≪ m^{2}D^{1/2−1/11521}, où D est la valeur absolue du discriminant de K.

Notons que la majoration de convexité fournirait essentiellement une borne de la forme ≪ D^{1/2}, qui provient également du théorème de Minkowski (notons que cet énoncé implique lui aussi la notion de convexité mais de manière assez différente). En particulier le corollaire est non-trivial dés que m n’est pas trop grand (m ≪ D^{1/23041}).

4.2.2. Applications aux points de Heegner. Certaines applications du problème de convexité proviennent d’une interprétation arithmétique des valeurs spéciales des fonctions L: c’est notamment le cas dans la théorie des points de Heegner associés à un ordre d’ un corps quadratique imaginaire. On rappelle que l’ensemble des points de Heegner sur X_{0}(q) associés à un ordre O ⊂ O_{K} est muni d’une action transitive de Pic(O). Etant donné un de ces points e, on définialors pour tout caractère χ de Pic(O) la χ-composante isotypique de e

e_{χ} := ∑_{σ∈Pic(O)} \overline{χ}(σ)(e^{σ} − (∞)) ∈ P ic^{0}(X) ⊗ ℂ.

Pour f ∈ S_{2}^{p}(q), les formules de type Gross et Gross-Zagier interprètent la valeur spéciale en 1/2 de la dérivée de la fonction de Rankin-Selberg L(f ⊗ g_{χ}, s) comme la hauteur de Neron-Tate de la f-composante de e_{χ}: on a

⟨e_{χ,f}, e_{χ,f}⟩ = c\frac{|Disc(O)|^{1/2}L′(f ⊗ g_{χ}, 1/2)}{⟨f, f⟩}

pour une certaine constante absolue c > 0. On dispose également de formules analogues pour les diviseurs de Heegner sur les courbes de Shimura associées à une algèbre de quaternion (éventuellement définie) sur ℚ [G, GZ, BD1, BD2, Zh2].

En particulier le théorème 4.5 appliqué à f = f_{E} la forme modulaire associée à une courbe elliptique E/ℚ et g = g_{χ} la forme de poids 1 associée à un caractère de Pic(O) fournit une majoration ”non-triviale” de la hauteur (de la projection sur E) du diviseur de Heegner e_{χ,E} qui est définit sur E(H_{O})⊗ℂ, soit quand le conducteur de E varie, soit quand le discriminant de O varie. Mais on ne dispose pas encore d’une interprétation géométrique de la borne de convexité dans ce contexte.

Le théorème 4.5 fournit également des renseignements sur la répartition des points de Heegner dans X_{0}(q) (suivant la mesure hyperbolique). Quand le corps quadratique K est fixé et que le discriminant de l’ordre non-maximal O tend vers l’infini l’équirépartition de points de Heegner correspondant à cet ordre a été établie par Clozel-Ullmo ( Voir aussi [Va] pour une variante sur les courbes de Shimura définies). Ici, on considère le cas ”orthogonal”

(plus difficile) de la répartition des points de Heegner relatifs à l’ordre maximal O_{K} quand K varie. Ainsi pour toute forme de Maass f, L(f ⊗ g_{χ}, 1/2) s’interprète comme la ”somme de Weyl” pour f: si on pose

W (f, χ) := \frac{1}{|Pic(O)|} ∑_{σ} \overline{χ}(σ)f(e^{σ})

on a (au moins si Disc(O_{K}) est premier avec q) la formule suivante due à Zhang [Zh2]

(4.7)  |W (f, χ)|^{2} = c\frac{|Disc(O_{K})|^{1/2}L(f ⊗ g_{χ}, 1/2)}{⟨f, f⟩|Pic(O_{K})|^{2}}.

Remarque 4.6. Dans le cas le plus simple de la courbe modulaire X_{0}(1) et pour χ = χ_{0} le caractère trivial de P ic(O_{K}) une telle formule résulte de travaux de Maass, et de la formule de Waldspurger reliant les coefficients de Fourier de poids demi-entiers aux valeurs spéciales de tordues quadratiques de fonctions L [Wal]).

Le théorème 4.5 appliqué par rapport au niveau de g_{χ}, (4.7) et le théorème (inéffectif) de Siegel impliquent le

Corollaire 4.8. Pour tout sous-groupe C de Pic(O_{K}) d’indice m et pour tout forme cuspidale f on a

W_{C}(f) := \frac{1}{|C|} ∑_{σ∈C} f(e^{σ}) ≪ m|Disc(O_{K})|^{−1/401}.

Le critère d’équirépartition de Weyl, et un résultat analogue au Corollaire 4.8 quand f est une série d’Eisenstein (dont la preuve utilise le Théorème 4.4) donne finalement le

Corollaire 4.9. Soit q fixé. Quand D = |Disc(O_{K})| → +∞, pour tout sous-groupe C de Pic(O_{K}) d’indice m ⩽ D^{1/402} l’orbite (incomplète) des points de Heegner {e^{σ}}_{σ∈C} devient équirépartie relativement à la mesure hyperbolique sur X_{0}(q).

Plus généralement, les formules de Gross [G, BD1] (pour les algèbres de quaternion sur ℚ qui sont définies) et de Zhang [Zh2] (dans le cas indéfini), impliquent l’équirépartition des orbites incomplètes de points de Heegner sur les courbes de Shimura correspondantes quand l’ordre maximal est variable.

Remarque 4.7. Quand l’orbite des complète (C = Pic(O_{K})), ce théorème a été démontré par Duke [Du] en utilisant une méthode de Iwaniec [Iw1] pour majorer non-trivialement les coefficients de Fourier des formes de Maass de poids demi-entier. On peut aussi noter que ce cas résulte aussi du Théorème 4.3. Un résultat d’équirépartition analogue à été obtenu récemment par Paula Cohen pour les points de Heegner sur les surfaces modulaires de Hilbert [?] et par Zhang pour les variétés modulaires de hilbert [Zh2], la preuve de ces deux résultats repose sur la généralisation par Cogdell, Piatetski-Shapiro et Sarnak [Cor, ?] du Théorème 4.3 aux formes modulaires de Hilbert sur les corps totalement réels. L’extension aux orbites incomplètes resulterait de la généralisation du Théorème 4.5 aux formes modulaires de Hilbert.

4.2.3. Applications au Chaos Quantique Arithmétique. Une conjecture de base de la théorie du chaos quantique — la conjecture QUE (pour ”Quantum Unique Ergodicity”, [RS])—, quand on la spécialise aux courbes modulaires X_{0}(q) (ou plus généralement aux surface de Riemann de type arithmétique) — prédit le comportement probabiliste des formes primitives cuspidales quand leur poids ou leur valeur propre tend vers l’infini.

Plus précisement, à une telle forme f on associe la mesure de probabilité

μ_{f} := \frac{1}{⟨f, f⟩}y^{k}|f(z)|^{2} \frac{dxdy}{y^{2}}

(si f est une forme de Maass on prend k = 0) on a la conjecture suivante due à Rudnick-Sarnak Conjecture 1. quand k ou λ → +∞, la mesure μ_{f} converge faiblement vers la mesure de Poincaré \frac{dxdy}{Vol(X_{0}(q))y^{2}} .

Remarque 4.8. Une conséquence particulièrement élégante de cette conjecture a été établie par Rudnick [Ru]: il montre que la conjecture QUE implique l’équirépartition des zéros de f quand f est holomorphe et de poids k tendant vers +∞.

Cette fois les sommes de Weyl correspondantes à ce problème d’équirépartition s’expriment en terme de la valeur spéciale en 1/2 de la fonction L du produit triple L(f ⊗ f ⊗ g, s) introduite par Garrett [Ga] et étudiée par Rallis–Piatetski-Shapiro et Harris-Kudla [HK]. En effet, on a la formule suivante, due à T. Watson [Wat], qui est une forme précise et explicite de la formule de [HK]: pour toute forme primitive de Maass g sur X_{0}(1)

(4.8)  | ∫_{X_{0}(1)} \frac{g(z)}{⟨g, g⟩^{1/2}} dμ_{f(z)}|^{2} = c\frac{Λ(f ⊗ f ⊗ g, 1/2)}{Λ(sym^{2}f, 1/2)Λ(sym^{2}f, 1/2)Λ(sym^{2}g, 1/2)},

où c est une constante positive absolue. Notons aussi que si g est une série d’Eisenstein l’analogue de cette formule est simplement l’expression intégrale de la fonction de Rankin-Selberg L(f ⊗ f, s).

A partir de la formule (4.8) il est facile de voir que la critère d’équidistribution de Weyl (ie. que pour toute forme g fixée qu’elle soit cuspidale, ou d’Eisenstein, on a

∫_{X_{0}(1)} \frac{g(z)}{⟨g, g⟩^{1/2}} dμ_{f(z)} → 0,

quand λ ou k → +∞) et donc la conjecture QUE est équivalente au problème de convexité pour L(f ⊗ f ⊗ g, s) en s = 1/2 par rapport au poids ou à la valeur propre de f. En particulier la conjecture QUE est une conséquence (faible) de l’Hypothése de Riemann Généralisé ce qui la rend extrèmement plausible.

En fait le produit eulérien L(f ⊗ f ⊗ g, s) de degré 8 se factorise en une fonction L de degré 2 et une de degré 6: on a

L(f ⊗ f ⊗ g, s) = L(g, s)L(sym^{2}f ⊗ g, s)

et on est ramené au problème de convexité pour la fonction L de Rankin-Selberg d’une forme sur GL_{3}(𝔸_{ℚ}) par une forme sur GL_{2}, un problème qui sera sans doute accessible dans un futur proche.

Dans le cas particulier où f est de type CM (provenant d’un caractère de Hecke sur un corps quadratique K) Sarnak a pu résoudre complètement la question, en remarquant qu’on a une factorisation supplémentaire

L(sym^{2}f ⊗ g, s) = L(χ_{K} ⊗ g, s)L(f^{(2)} ⊗ g, s)

oú f^{(2)} est la forme de type CM obtenue en prenant le carré du caractère de Hecke attaché à f. Appliquant le théorème 4.2 on obtient le corollaire suivant [Sa2] Corollaire 4.10. La conjecture QUE est vraie pour les formes holomorphes de type CM: soit q fixé si f est une forme holomorphe de type CM et de poids k sur X_{0}(q), quand k → +∞ la mesure μ_{f} converge faiblement vers la mesure de Poincaré sur X_{0}(q). En particulier (Cf Remarque. 4.8) les zéros de f deviennent équirépartis sur X_{0}(q) relativement à la mesure hyperbolique. En particulier pour tout z_{0} ∈ X_{0}(q)(ℂ) on a ord_{z=z_{0}}f(z) = o(k). Remarque 4.9. Du point de vue arithmétique, il sera sans doute très intéressant de developper des analogues de ces techniques par rapport au niveau plutôt que par rapport au poids. Elles devraient permettre d’étudier la distribution des valeurs des forme modulaires holomorphes de poids fixe (disons 2) et de grand niveau et en particulier la répartition de leurs zéros (dans un sens convenable). Ainsi, il devrait être possible donner des informations nontriviales sur la paramétrisation modulaire d’une courbe elliptique de grand conducteur. A titre d’exemple voici un analogue suivant le niveau q de la conjecture QUE 4.10 : Conjecture 2. ([KMV3]) Soit f ∈ S_{2}^{p}(q) un forme primitive holomorphe de poids 2 et de niveau q. On note π_{q} : X_{0}(q) → X_{0}(1) la projection canonique. Quand q → +∞ la mesure π_{q,∗}μ_{f} converge faiblement vers la mesure de Poincaré sur X_{0}(1).

Pour les formes de type CM, cette conjecture résulterait immédiatement du Théorème 4.5 et d’un analogue convenable de la formule (4.8).

5. Survol des techniques analytiques utilisées

Dans cette section, nous décrivons dans les grandes lignes, les méthodes utilisées pour montrer les théorèmes 4.2, 4.4 et 4.5, ce qu’elles ont de commun et ce en quoi elles diffèrent.

Rappelons qu’on veut résoudre le problème de convexité pour L(f ⊗ g, s) dans le cas où g est fixée; pour simplifier nous supposons que g est de niveau 1. Remarque 5.1. Si on choisit g(z) = E′(z, 1/2) on a L(f ⊗ g, s) = L(f, s)^{2} ce qui permet de résoudre paralèllement le problème pour les fonction L de Hecke.

D’après (2.6), il suffit de majorer convenablement des sommes partielles de la forme

S(f, N) = ∑_{n} λ_{f}(n)λ_{g}(n)V (n/N)

où V est à décroissante rapide et N ≪ Q_{f}. On majore ces sommes par la méthode des moment telle qu’elle a été décrite dans la section 2.3 en estimant le moment d’ordre 2 avec un amplificateur (cf. Section 4). Le point délicat est de choisir une famille appropriée F(Q): on choisit une famille de formes cuspidales dont les paramètres sont proches de ceux de f, par exemple si f ∈ S_{k}^{p}(q, χ) on peut choisir la famille F(Q) = B_{k}(q, χ) une base orthogonale convenable de l’espace S_{k}(q, χ) contenant f. Pour une majoration non-triviale suivant le poids, une telle familles est trop petite et on choisit plutôt la réunion B_{[k,k+k^{α}]}(q, χ) des B_{k′}(q, χ) pour k′ ∈ [k, k + k^{α}] et un certain α ⩽ 1. Remarque 5.2. Il y a une difficultée pour k = 1 (on désire ici faire varier le niveau): l’espace des formes de poids 1 est trop ”petit” pour qu’on puisse y pratiquer une analyse harmonique convenable (en particulier on n’a pas de formule de traces), pour résoudre ce problème structurel Duke, Friedlander et Iwaniec considèrent au lieu de la forme holomorphe f, la forme réelle analytique y^{1/2}f(z) qui est une forme de Maass de poids 1: ie. vecteur propre de l’opérateur

Δ_{1} = Δ − iy \frac{∂}{∂x}

de valeur propre 1/4. On choisit alors comme famille F(Q) une réunion de bases orthogonales de formes de Maass poids 1 dont les valeurs propres sont dans une voisinage de 1/4.

Une fois la famille choisie on estime le moment d’ordre 2 avec un amplificateur:

∑_{f∈F(Q)} \frac{1}{⟨f, f⟩}|S(f, N)|^{2}|M(f)|

ce qui nous amène essentiellement à majorer des sommes de la forme

∑_{m,n} λ_{g}(m)\overline{λ_{g}}(n)V (m/M)V (n/N) ∑_{f∈F(Q)} \frac{1}{⟨f, f⟩}λ_{f}(ℓm)\overline{λ_{f}}(n),

avec M, N ≈ Q ≈ Q_{f_{0}} la variable ℓ provenant de l’amplificaleur utilisé. On emploie alors une formule de trace; dans ce cas, c’est la formule de Petersson (dans le cas holomorphe) ou l’une de ses généralisations non-holomorphe (Kuznetzov/Proscurin): dans la cas des forme holomorphes de poids k la formule s’écrit

(5.1)  \frac{Γ(k − 1)}{(4π)^{k−1}} ∑_{f∈B_{k}(q)} \frac{λ_{f}(m)\overline{λ_{f}}(n)}{⟨f, f⟩} = δ_{m,n} + Δ(m, n)

avec

Δ(m, n) := 2πi^{−k} ∑_{{c≡0(q) \atop c>0}} \frac{S(m, n; c)}{c}J_{k−1}(\frac{4π\sqrt{mn}}{c})

et S(m, n; c) est la somme de Kloosterman (tordue par la caractère χ)

S(m, n; c) = ∑_{x(c),(x,c)=1} \overline{χ}(x)e(\frac{mx + n\overline{x}}{c}).

Reportant cette formule dans la précédente on obtient un terme diagonal qui est facile à estimer et le terme non-diagonal provenant de Δ(m, n) qui est plus dificile:

(5.2) M_{2}^{ND} := 2πi^{−k} ∑_{{c≡0(q) \atop c>0}} \frac{1}{c} ∑_{m,n} λ_{g}(m)\overline{λ_{g}}(n)§(ℓm, n; c)V (m/M)V (n/N)J_{k−1}(\frac{4π\sqrt{ℓmn}}{c})

L’étape suivante consiste à ouvrir la somme de Kloosterman pour dualiser la variable m en utilisant une formule sommatoire de type Voronoi: par simplicité nous la donnons ici pour g holomorphe (on pourra consulter [KMV3] par exemple pour une version beaucoup plus générale). Proposition 5.1. Soit g une forme primitive holomorphe de poids k′ et de niveau D et de nebentypus χ . Soient a, c premiers entre eux avec c ≡ 0(D) et F ∈ C^{∞}(ℝ^{∗+}) une fonction lisse et à décroissance rapide aux bords, on a

c ∑_{n⩾1}λ_{g}(n)e(n\frac{a}{c})F (n) = \overline{χ}(a) ∑_{n⩾1}λ_{g}(n)e(−n\frac{\overline{a}}{c})F̌(n)

avec

F̌(y) := ∫_{0}^{∞} F (x)2πi^{k′}J_{k′−1}(\frac{4π}{c} \sqrt{xy})dx.

En pratique l’application de cette formule ne change pas de manière essentielle la longueur des sommes pour la variable m et la nouvelle variable n, en revanche la somme de Kloosterman S(ℓm, n; c) est transformée en une somme de Gauss-Ramanujan S(ℓm − n, 0; c) = ∑_{x(c)} \overline{χ}(x)e((ℓm − n)x; c) = G\overline{χ}(n − m; c) qui est structurellement plus simple. Par le changement de variable h = ℓm − n on se ramène alors à majorer des sommes de la forme

(5.3)  ∑_{h} G\overline{χ}(h; c)S(g, ℓ, 1, h),

avec

S(g, ℓ, 1, h) := ∑_{{m,n \atop ℓm−n=h}} λ_{g}(m)\overline{λ_{g}}(n)F (m, n)

où F (x, y) est une certaine fonction lisse et m, n sont des variables de taille essentiellement Q.

Les sommes S(g, ℓ, 1, h) qui sont des sortes de convolutions de Rankin-Selberg avec un shift additif ont été étudiées dans des contextes variés en théorie analytique des nombres. La fréquence dégénérée h = 0, on retrouve une somme partielle de la convolution de Rankin-Selberg de g; en particulier le terme correspondant dans le moment d’ordre 2 peut alors être évalué explicitement (il implique notamment la quantité L(g ⊗ \overline{g}, 1) (cf. par exemple KMV)).

le point crucial est d’évaluer la somme S(g, ℓ, 1, h) dans le cas où h ≠ 0.

Dans [DFI2], on trouve une technique relativement élémentaire pour évaluer les sommes S(g, ℓ, 1, h) basée sur la méthode du ”δ-symbol” et sur les majorations de sommes de Kloosterman(voir [KMV3] où cette technique est généralisée). Dans beaucoup de cas, l’estimation qui en résulte est suffisament bonne pour résoudre le problème de convexité, en particulier pour les fonctions L(f, s) et L(f ⊗ g, s) suivant le poids de f et aussi suivant le niveau q quand le nebentypus de f est trivial [KMV3]. Mais cette technique seule ne suffit pas pour résoudre le problème de convexité suivant le niveau quand le nebentypus de f est primitif. En effet, si χ est trivial, la somme de Gauss-Ramanujan G_{χ}(h; c) dégénère en une somme de Ramanujan qui est essentiellement bornée alors que dans ce cas où χ est primitif c’est essentiellement la somme de Gauss G\overline{χ}(h; q) et son module est essentiellement \sqrt{q} ce qui est trop important pour les estimations. Cette difficulté est résolue dans [Mi2] en exploitant la sommation supplémentaire sur la variable h et les oscillations du signe de G\overline{χ}(h; q) qui est essentiellement déterminé par χ(h). Avant de donner plus de détail sur la technique utilisée nous allons expliquer comment Duke, Friedlander et Iwaniec sont parvenus à résoudre ce problème délicat pour les fonctions L de Hecke de formes modulaires ayant un nebentypus primitif.

5.1. L’équation du déterminant. Dans [DFI7, DFI8], le problème posé par la somme de Gauss G\overline{χ}(h; q) est résolu purement et simplement en la supprimant (!) grâce à une approche initiale légèrement différente de celle donnée précédement. Rappelons que l’ on désire majorer le moment d’ordre 4 (amplifié) de L(f, s). Partons de l’identité (triviale)

|L(f, s)^{2}|^{2} = |L(f, s)|^{4} = (|L(f, s)|^{2})^{2},

la première approche consiste a utiliser l’identité de gauche. L’approche choisie dans [DFI7, DFI8] est d’utiliser celle de droite. L’effet est qu’alors la somme partielle

S(f, N) = ∑_{n} λ_{f}(n)τ(n)V (n/N)

est remplacée par

S(f, N) = ∑_{n} λ_{f}(n)τ_{χ}(n)V (n/N)

où dans le premier cas τ(n) est la convolution 1∗1(n) et dans le second τ_{χ}(n) = 1∗χ(n), en particulier τ_{χ}(n) est le n-ième coefficient de Fourier d’une série d’Eisenstein E_{χ}(z) de niveau q et non plus 1. On procède comme précédemment et après l’application de la formule de Voronoi(Prop. 5.1) à E_{χ}(z) on voit (car ici q|c) que la somme de Kloosterman est cette foisci transformée en une somme de Ramanujan! Cette manipulation a bien permis d’éviter la somme de Gauss, mais maintenant le prix à payer est l’estimation des sommes S(g, ℓ, 1, h) avec g = E_{χ}:

S(g, ℓ, 1, h)) = ∑_{{m,n \atop ℓm−n=h}} τ_{χ}(m)\overline{τ}_{χ}(n)F (m, n)

mais cette fois ci le problème est considérablement plus difficile que précédement puisque les oscillation de τ_{χ}(n) dépendent aussi de q qui est le paramètre principal.

Cette question délicate est résolue dans les deux articles [DFI5, DFI6] en considérant la somme précédente comme une somme portant sur les solutions ((m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2})) de l’équation du déterminant ℓm_{1}m_{2} − n_{1}n_{2} = h qui s’interprète encore comme la congruence ℓm_{1}m_{2} ≡ h( mod n_{1}):

S(g, ℓ, 1, h) = ∑ ∑_{{m_{1},m_{2},n_{1},n_{2} \atop ℓm_{1}m_{2}−n_{1}n_{2}=h}} χ(m_{1})\overline{χ}(n_{1})F (m_{1}m_{2}, n_{1}n_{2})

= ∑_{m_{1},n_{1}} α_{m_{1}}β_{n_{1}} ∑_{{m_{2} \atop ℓm_{2}m_{1}≡h(n_{1})}} F (m_{1}m_{2}, ℓm_{1}m_{2} − h).

avec α_{m_{1}}, β_{n_{1}} désignant respectivement les complexes χ(m_{1}) et \overline{χ}(n_{1}). Ce changement de notation est justifié par le fait que le traitement qui suit est valable pour des coefficients complexes arbitraires α_{m_{1}}, β_{n_{1}}. Après quelques manipulations élémentaires et une application de la formule de Poisson à la variable m_{2}, on isole un terme non-diagonal principal provenant de la fréquence nulle a = 0 dans la formule de Poisson et les autres fréquences a ≠ 0 produisent des sommes de la forme

∑_{{m_{1},n_{1} \atop (ℓm_{1},n_{1})=1}} α_{m_{1}}β_{n_{1}}e(\frac{a\overline{ℓm_{1}}}{n_{1}} ) ⩽ ||α||(∑_{m_{1}} | ∑_{(ℓm_{1},n_{1})=1} β_{n_{1}}e(\frac{a\overline{ℓm_{1}}}{n_{1}} )|^{2})^{1/2}

où les définitions de α_{m_{1}}, β_{n_{1}} peuvent avoir changé. La somme de droite est alors traitée par une nouvelle application de la méthode d’amplification mais dans une direction completement inattendue : on amplifie la somme correspondant au caractère trivial ( donc invisible !) modulo m_{1} dans la famille de sommes

| ∑_{(ℓm_{1},n_{1})=1} ψ(n_{1)}β_{n_{1}}e(\frac{a\overline{ℓm_{1}}}{n_{1}} )|

ψ parcourant l’ensemble des caractères multiplicatifs de module m_{1}. Nous renvoyons aux 4 articles [DFI5, DFI6, DFI7, DFI8] pour plus de détails. Le résultat technique fondamental est l’énoncé très général suivant et qui aura certainement beaucoup d’applications dans différents domaines de la théorie analytique des nombres (par exemple pour des théorèmes de type Bombieri-Vinogradov)

Théorème 5.2. Soient α_{m} M ⩽ m < 2M et β_{n} N ⩽ n < 2N des nombres complexes, a > 0 un entier fixé. Pour tout ε > 0 on a la majoration

∑ ∑_{{M⩽m<2M \atop N⩽n<2N, (m,n)=1}}α_{m}β_{n}e(a\frac{\overline{m}}{n}) ≪_{ε} ||α||||β||(a + MN)^{14/29}(M + N)^{1/58+ε}.

Remarque 5.3. la majoration triviale est ||α||||β||(MN)^{1/2}; donc si a ⩽ MN le théorème 5.2 est non-trivial dès que M > N^{ε} et N > M^{ε}.

En conclusion le problème de convexité pour les fonction L de Hecke associée aux formes de nebentypus quelconque est résolu par une double application de la méthode d’amplification.

Mentionnons toutefois que pour les formes de poids 1 une difficulté technique supplémentaire se présente; elle est liée au fait que la valeur propre 1/4 pour le spectre discret est aussi contenue dans le spectre continu; Dans ce cas précis la contribution du terme non-diagonal provenant de la fréquence dégénérée h = 0 n’est pas petit, mais qu’ il se compense exactement avec une contribution similaire provenant des séries d’Eisenstein (en fait seulement celles des pointes 0 et ∞), le point délicat est de vérifier que cette compensation a bien lieu (cf. [DFI8] 10.).

5.2. Retour sur les convolutions de Rankin-Selberg avec Shift additif. Dans [Sa2], Sarnak a proposé une méthode alternative pour traiter les sommes de convolution ”avec shift”

(5.4)  S(g, a, b, h) = ∑_{{m,n \atop am−bn=h}} λ_{g}(m)\overline{λ_{g}}(n)F (m, n)

que l’on a traité précédement. Sa méthode repose sur une approche qui remonte à Selberg [Se] et dépend directement de la conjecture de Ramanujan-Petersson pour les formes de Maass pour GL_{2}(𝔸_{ℚ}). Plus précisement, soit θ ⩾ 0 tel que pour toute forme de Maass primitive ϕ les paramètre locaux α_{ϕ,i}(p), i = 1, 2 en p < ∞ soient majorés par p^{θ} et les paramètres à l’infini μ_{ϕ,i}, i = 1, 2 vérifient |ℜeμ_{ϕ,i}| ⩽ θ; La conjecture de Ramanujan-Petersson prédit que θ = 0 est admissible, et trivialement on peut prendre θ = 1/2. Les progrès réalisés dans le programme de Langlands ont fait diminuer cette valeur au cours du temps et actuellement la meilleure valeur connue est θ = 7/64 (valeur due a Kim et Sarnak en utilisant les travaux récents de Kim et Shahidi sur les puissances symétriques troisièmes et quatrièmes d’une forme automorphe [Ki, KiSh]). L’évaluation de la somme (5.4) est directement liée aux propriétés analytiques de la série de dirichlet suivante : Théorème 5.3. Soit ℜes > 1, a, b, h > 0 et g une forme holomorphe cuspidale de poids k et de niveau D, posons

D(g, a, b, h; s) = ∑_{{m,n \atop am−bn=h}} λ_{g}(m)\overline{λ_{g}}(n)(\frac{\sqrt{abmn}}{am + bn})^{k−1}(am + bn)^{−s}.

Soit θ′ > θ, D(g, a, b, h; s) s’étend en une fonction holomorphe dans le domaine ℜes =: σ ⩾ 1/2 + θ′ et vérifie dans ce même domaine la majoration, pour tout ε > 0

D(g, a, b, h; s) ≪_{g,ε} (ab)^{1/2+ε}h^{θ′+1/2−σ}|s|^{3}.

La preuve suit la démarche originale de Selberg: on considère la fonction Γ_{0}(N) invariante (où N = abD)

V (z) = y^{k}g(az)\overline{g}(bz)

qui décroit rapidement aux pointes. Par un calcul standard, la série de Dirichlet est proportionnelle au produit scalaire de Petersson

⟨V, U_{h}(., s)⟩ = ∫_{X_{0}(N)} V (z)U_{h}(z, s)\frac{dxdy}{y^{2}}

où

U_{h}(z, s) = ∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ} ℑm(γz)^{s}e(−hℜeγz)

est une série de Poincaré. Soit ϕ_{0} = 1/V ol(X_{0}(N))^{1/2}, ϕ_{1}, …, ϕ_{j}, … une base orthonormée du spectre discret du Laplacien sur X_{0}(N) de valeurs propres λ_{j} = 1/4 + r_{j}^{2}, on peut considérer le développement de U_{h}(z, s) dans cette base pour en déduire

(5.5)  ⟨V, U_{h}(., s)⟩ = ∑_{j⩾1}⟨U_{h}(., s), ϕ_{j}⟩⟨V, ϕ_{j}⟩ + Partie Eisenstein.

Par un autre calcul bien connu

⟨U_{h}(., s), ϕ_{j}⟩ = 2^{s} \frac{\overline{ρ_{j}(−h)}}{|h|^{s−1/2}} Γ(\frac{s − 1/2 + ir_{j}}{2} )Γ(\frac{s − 1/2 − ir_{j}}{2} )

où ρ_{j}(−h) est le coefficient de Fourier de ϕ_{j} d’indice −h; en particulier ⟨V, U_{h}(., s)⟩ est holomorphe pour ℜes > 1/2 + θ.

Dans [Sa1], Sarnak a obtenu la majoration

⟨V, ϕ_{j}⟩ ≪ N^{1/2}(ab)^{−k/2}(1 + |r_{j}|^{k+5})e^{−π|r_{j}|/2}

le point important dans cette majoration était d’obtenir exactement décroissance exponentielle en e^{−π|r_{j}|/2}. Elle permet de montrer le convergence absolue de la série (5.5) puis de conclure la preuve du Théorème 5.3 grâce aux majorations individuelles ρ_{j}(−h) ≪_{ε} |h|^{θ+ε}. Remarque 5.4. Cette méthode apparament plus compliquée présente un certain nombre d’avantage sur la méthode élémentaire utilisant le δ−symbol et les sommes de Kloosterman

• Via le paramètre θ elle tire directement avantage des progrès concernant la conjecture de Ramanujan-Petersson sur GL_{2}(𝔸_{ℚ}), (qui prédit que θ = 0) alors que les majorations utilisant les sommes de Kloosterman fournissent des résultats correspondant à θ = 1/4. On pourra donc sans doute améliorer certains exposants de convexité.

• Elle est très robuste et peut tre étendue à des corps de nombres généraux (cf l’exposé de J. Cogdell).

• Avec un ingredient supplémentaire, elle permet de résoudre le problème de convexité pour les convolutions de Rankin-Selberg L(f ⊗ g, s) suivant le niveau et quand f a un nebentypus quelconque.

5.3. Le problème de convexité pour les fonctions L de Rankin-Selberg suivant le niveau. Nous pouvons maintenant évoquer la fin de la preuve du Théorème 4.5 suivant la méthode de [Mi2]. Notons d’abord que l’astuce décrite dans la section 5.1 ne peut être utilisée si g est cuspidale (L(f ⊗ g, s) n’est pas factorisable). On en revient donc à l’étape (5.3) et à traiter la somme G\overline{χ}(h; c). Les techniques de la section précédente, permettent de découper la somme S(g, ℓ, 1, h) en sous sommes correspondant aux différentes composantes du spectre de X_{0}(ℓ): la partie Eisenstein et celles des différentes formes de Maass ϕ_{j}. Cette fois on va tirer avantage de la sommation par rapport à la variable h qui est de longueur ≈ q: pour chaque ϕ_{j}, on est ramené à majorer des sommes de la forme

∑_{h} ρ_{j}(−h)G\overline{χ}(h; c)G(h/H)

pour G une fonction lisse à décroissance rapide et H de l’ordre de q. Comme de plus c vaut essentiellement q la somme se ramène à une somme de la forme

G\overline{χ}(q) ∑_{h} ρ_{j}(h)χ(h)G(h/H)

qui peut être evaluée en fonction de L(ϕ_{j} ⊗χ, s) sur la droite ℜes = 1/2. En particulier, on montre que le problème de convexité pour L(ϕ_{j} ⊗ χ, s) par rapport à q suffit à montrer que le terme (5.3) est petit. Hors ce problème a déjà été résolu dans le Théoème (4.3): un point crucial de ce dernier résultat étant que la majoration sous-convexe dépend polynomialement des paramètres des ϕ_{j}. Remarque 5.5. A nouveau, la solution de ce problème de convexité nécéssite deux applications de la méthode d’amplification, (tout comme dans la section 5.1 quoique ce manière assez différente): il est assez remarquable que le problème de convexité pour L(f ⊗ g, s) suivant q quand f à un nébentypus primitif χ se réduise au problème de convexité pour les fonctions L de Hecke des tordues par χ de toutes les formes de Maass de niveau inférieur à une (petite) puissance de q. Sans doute y a t-il un phénomène intéressant à mettre à jour. Remarque 5.6. La technique présentée dans cette dernière partie doit pouvoir s’étendre au cas où g est une série d’Eisenstein (pour fournir une autre preuve du Théorème 4.4). La seule différence est que quand g est Eisenstein, la série D(g, a, b, h; s) admet un pôle en s = 1 et son résidu fournira un terme non-diagonal supplémentaire dont il faudra tenir compte dans les estimations. Une telle preuve aurait certains avantages sur celle de [DFI7, DFI8]:

• Elle est (conceptuellement) plus directe et en poids 0 ou 1, elle devrait permettre d’éviter la fastidieuse vérification qu’une compensation a bien lieu entre certains termes provenant du spectre discret et d’autre provenant du spectre continu. En effet dans notre cas le terme provenant de la fréquence h = 0 est nul dès que χ est non-trivial.

• Elle devrait fournir de meilleurs exposants de convexité (comparer 1/800 avec 1/11521).

• Avec beaucoup d’effort, elle est susceptible de s’étendre dans certains cas aux corps

de nombres totalement réels. En revanche, cette approche n’aurait pas permit de découvrir le Théorème 5.2, qui aura certainement d’autres applications.

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P. Michel: michel@darboux.math.univ-montp2.fr Université Montpellier II CC 051, 34095 Montpellier Cedex 05, FRANCE.