Fermat’s sidste sætning: En oversigt.

Ian Kiming

14 Oktober, 1999

Contents

1. Optakt: Et klassisk problem. 2 1.1. Algebraisk-talteoretisk fortolkning. 3 1.2. Højniveaufortolkning. 3 2. Modulformer og Galoisrepræsentationer. 5 2.1. Modulformer 5 2.2. Hecke-operatorer og Galoisrepræsentationer. 7 2.3. Artin-formodningen 10 2.4. Galoisrepræsentationer i positiv karakteristik og Serre’s formodning. 12 2.5. Ribet’s sætning 15 3. Elliptiske kurver og Taniyama-Shimura-formodningen. 15 3.1. Elliptiske kurver. 16 3.2. Elliptiske kurver og Galoisrepræsentationer. I 17 3.3. Elliptiske kurver og Galoisrepræsentationer. II 19 3.4. Wiles’ sætning. 20 4. Fermat’s sidste sætning. 21 4.1. Frey-kurver. 21 4.2. Fermat’s sidste sætning. 22 Appendix A. Valuationer. 23 A.1. Kompletion. 24 A.2. Udvidelser. 24 A.3. Forgrening og Frobenius-elementer. 25 A.4. Højere forgreningsgrupper. 26 Appendix B. Absolutte Galoisgrupper. 27 B.1. Dekompositionsgrupper 27 B.2. Galoisrepræsentationer. 28 B.3. Førere af Galoisrepræsentationer. 29 B.4. Bemærkninger. 31 References 32

Dette manuskripts indhold beskrives godt af dets titel: En ikke overmåde teknisk, men heller ikke overfladisk oversigt over nogle af de essentielle punkter i A. Wiles’ bevis for Fermat’s sidste sætning. Manuskriptet indeholder et appendiks med en oversigt over nogle nødvendige grundbegreber fra den algebraiske talteori. Læsere uden baggrund i algebraisk talteori kan som det første kort skimme dette appendiks igennem. De i appendikset omtalte grundbegreber vil blive benyttet frit i det følgende. Litteraturlisten indeholder referencer til såvel baggrundsmateriale som til avancerede arbejder.

Overalt i det følgende betegner p og ℓ primtal.

1. Optakt: Et klassisk problem.

Litteratur: [BS], [Neu], [Koc], [CF]

Lad os betragte en af de mest velkendte kurver i planen, nemlig enhedscirklen:

(∗)  x^{2} + y^{2} = 1 .

Vi er alle fortrolige med strukturen af løsningerne i reelle tal til (∗): Løsningerne kan parametriseres ved:

(∗∗)  (x, y) = (\frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}} , \frac{2t}{1 + t^{2}} ) ,

hvor t genneløber ℝ∪{∞}, idet højresiden af (∗∗) for t = ∞ fortolkes som (1, 0). Lad os nu stille et andet - og måske tåbeligt - spørgsmål: Hvorledes ’ser’ enhedscirklen ud over det endelige legeme med p elementer 𝔽_{p} = ℤ/ℤp? Ved denne ’enhedscirkel over 𝔽_{p}’ kan vi i første omgang næppe forstå andet end mængden af løsninger (x, y) ∈ 𝔽_{p}^{2} til (∗). Som det første kunne vi spørge efter antallet af sådanne løsninger, lad os kalde det n_{p}. Kan vi angive en ’formel’ for n_{p} som funktion af p? Eftersom n_{p} kan beregnes som antallet af par (x, y) af hele tal med 0 ≤ x, y ≤ p−1 og x^{2}+y^{2} ≡ 1 (p), er det let, (at få en computer til) at beregne eksempler på n_{p}:

n_{2} = 2, n_{3} = 4, n_{5} = 4, n_{7} = 8, n_{11} = 12, n_{13} = 12, n_{17} = 16, n_{19} = 20,

n_{23} = 24, n_{29} = 28, …, n_{101} = 100, …, n_{10037} = 10036, …

Studerer man disse eksempler et øjeblik, kan man opdage, at der tilsyneladende er en ’formel’ for n_{p}. Lad os bevise, at den er korrekt. Man overbeviser sig let om, at (∗∗) i det mindste for p ulige giver en fuldstændig parametrisering af løsningerne til (∗) over 𝔽_{p}, idet t nu gennemløber 𝔽_{p}∪{∞} med undtagelse af eventuelle værdier af t med t^{2} = −1 i 𝔽_{p}; beviset herfor er analogt til det oprindelige bevis for (∗∗) som parametrisering af de reelle løsninger til (∗). For p = 2 er der problemer med fortolkningen af (∗∗); vi ignorerer i første omgang dette, men vil nedenfor opdage den egentlige grund til særstillingen af tilfældet p = 2. Lad altså p være ulige. Ligningen t^{2} = −1 vil have en løsning i 𝔽_{p}, hvis og kun hvis 𝔽_{p}^{x} har et element af orden 4, altså - da 𝔽_{p}^{x} er cyklisk - hvis og kun hvis |𝔽_{p}^{x}| = p − 1 er deleligt med 4; og har denne ligning en løsning, da har den netop 2. Med andre ord:

(∗ ∗ ∗)  n_{p} = \{ \begin{matrix}p − 1 & , for p ulige og ≡ 1 (4) \\ p + 1 & , for p ulige og ≡ 3 (4) . \end{matrix}

Lad nu N være et naturligt tal. Ved en Dirichlet-karakter modulo N forstås en homomorfi (ℤ/Nℤ)^{x} → ℂ^{x}. Hvis N = 4, har vi (ℤ/Nℤ)^{x} = {±1}, så der er netop 1 ikke-triviel Dirichlet-karakter modulo 4, nemlig χ: (ℤ/4ℤ)^{x} = {±1} → ℂ^{x} givet ved χ(±1) = ±1. Hvis p er et ulige primtal, så er p’s restklasse modulo 4 et element i (ℤ/4ℤ)^{x}, og vi kan betragte χ’s værdi på denne restklasse; skriver vi χ(p) for denne værdi, og definerer vi a_{p} := p − n_{p}, da har vi så øjensynligt følgende omformulering af (∗ ∗ ∗):

a_{p} = χ(p) , for p ulige.

1.1. Algebraisk-talteoretisk fortolkning. Den afgørende pointe i det foregående var, at ligningen t^{2} = −1 for p ulige vistes at have en løsning i 𝔽_{p}, hvis og kun hvis χ(p) = 1. Vi vil nu fortolke denne pointe algebraisk-talteoretisk. Lad os betragte det (over ℚ) kvadratiske tallegeme L := ℚ(i), i.e. spaltningslegemet for polynomiet t^{2} + 1. Kald dette legemes ring af hele algebraiske tal for 𝔒 (man kan vise, at 𝔒 = ℤ[i]).

Opfat nu primtal p som svarende til idealer i ℤ (eller ækvivalent som svarende til ikke-arkimediske valuationer på ℚ). Diskriminanten af L/ℚ vises at være 4; følgelig er p uforgrenet i L, hvis og kun hvis p er ulige (appendiks).

Lad da p være ulige. Af sætning A.3.2 følger, at vi har følgende 2 muligheder for primfaktoriseringen af p𝔒:

p𝔒 = \{ \begin{matrix}𝔓_{1}𝔓_{2} & , med 𝔓_{1} ≠ 𝔓_{2} og 𝔒/𝔓_{i} ≅ 𝔽_{p} \\ 𝔓 & , med 𝔒/𝔓 ≅ 𝔽_{p^{2}}. \end{matrix}

Disse 2 alternativer svarer øjensynligt til, at polynomiet t^{2} + 1 har en rod i 𝔽_{p} hhv. ikke har en rod i 𝔽_{p}. Med χ som ovenfor, har vi følgelig:

(♭)  p𝔒 = \{ \begin{matrix}𝔓_{1}𝔓_{2} & , hvis χ(p) = 1 \\ 𝔓 & , hvis χ(p) = −1. \end{matrix}

Sammenhængen (♭) er et eksempel på en ’dekompositionslov’ eller - i talteoretisk jargon - en ’reciprocitetslov’; dens essentielle indhold er, at spaltningen af p i 𝔒 - eller ækvivalent strukturen af fortsættelserne af den til p hørende valuation på ℚ til L - ’kontrolleres’ af en Dirichlet-karakter, nemlig χ. Klasselegemeteorien - en af de største landvindinger i det 20. århundredes matematik - er essentielt set en teori, der analogt til ovenstående etablerer dekompositionslove for vilkårlige cykliske (og dermed også for vilkårlige abelske) Galoisudvidelser af ℚ via Dirichlet-karakterer; se næste afsnit for en præcis og mere moderne formulering. Klasselegemeteorien kan generaliseres til diskussion af vilkårlige abelske udvidelser af algebraiske tallegemer.

Spørgsmålet om eksistens af ’tilsvarende’ dekompositionslove for vilkårlige ikke nødvendigvis abelske udvidelser af algebraiske tallegemer kan af flere forskellige grunde betegnes som den algebraiske talteoris fundamentalproblem. En grund hertil er eksempelvis, at forståelse af strukturen af fortsættelserne af valuationer på algebraiske tallegemer til (endelige) udvidelser heraf tidligt viste sig at være nøglen til løsning af en lang række diophantiske problemer; for eksempel er det konkrete problem, som vi betragtede ovenfor, nøglen til forståelse af, hvilke naturlige tal, der kan udtrykkes som sum af 2 kvadrater; således har man, at p𝔒 = 𝔓_{1}𝔓_{2} ⇔ p er sum af 2 kvadrater.

Det afgørende spørgsmål i denne forbindelse angår fortolkningen af udtrykket ’tilsvarende’ ovenfor: Hvad skulle det overhovedet betyde, at opnå en ’dekompositionslov’ for vilkårlige Galoisudvidelser af ℚ?; hvilken form kunne et svar overhovedet have? Nøglen til besvarelse af disse spørgsmål blev fundet i 1960’erne af R. P. Langlands, hvilket blev starten på diverse revolutionerende udviklinger omfattende blandt mange andre ting Taniyama-Shimura-formodningen og Wiles’ store arbejde. Lad os via det konkrete eksempel ovenfor se på kimen til disse udviklinger.

1.2. Højniveaufortolkning. Betragt igen det ovenstående konkrete eksempel. Galoisgruppen G := Gal(L/ℚ) er cyklisk af orden 2; kald en frembringer for den c. Gruppen G er en kanonisk kvotient af ℚ’s absolutte Galoisgruppe: κ: G_{ℚ} ↠ G.

Lad igen p være et ulige primtal. Som i appendiks kan vi betragte en dekompositions- og inertigruppe over p: I_{p} ⊴ D_{p} ≤ G_{ℚ} og det tilhørende Frobeniuselement Fr_{p} ∈ D_{p}/I_{p}. Da p er uforgrenet i L, gælder κ(I_{p}) = 1, så det giver mening at tale om σ_{p} := κ(Fr_{p}) ∈ G; σ_{p} er da Frobeniuselement over p m.h.t. udvidelsen L/ℚ, i.e. σ_{p} kan identificeres med den kanoniske frembringer for Gal((𝔒_{L}/𝔓)/𝔽_{p}), hvor 𝔓 er en primdivisor i p𝔒; denne frembringer er triviel, netop hvis p𝔒 = 𝔓_{1}𝔓_{2} med 𝔓_{1} ≠ 𝔓_{2}, altså netop hvis χ(p) = 1. Definerer vi en homomorfi φ: G → ℂ^{x} ved φ(c) = −1, og betegner vi med ρ den sammensatte homomorfi:

(♭♭)  ρ: G_{ℚ} ⟶^{κ} G ⟶^{φ} ℂ^{x},

haves følgende omformulering af (♭):

(♭♭♭)  ρ(Fr_{p}) = χ(p) .

Essensen af klasselegemeteori over ℚ består i en generalisering af (♭♭♭) til vilkårlige (endelige) cykliske udvidelser M/ℚ: Givet en sådan og en indlejring af den cykliske gruppe Gal(M/ℚ) i ℂ^{x}, får vi en homomorfi ρ: G_{ℚ} → ℂ^{x} som ovenfor. Til M/ℚ defineres et naturligt tal N kaldet føreren af M/ℚ; N har bl.a. den egenskab, at p er uforgrenet i M, hvis og kun hvis p ikke går op i N. For vores konkrete eksempel ovenfor er denne fælles fører N = 4.

Klasselgemeteoriens centrale udsagn består nu i konstruktion af en Dirichletkarakter χ modulo N således, at (♭♭♭) gælder for i M uforgrenede primtal p, med andre ord: For p ∤ N. Omvendt vises for given Dirichlet-karakter χ modulo N eksistensen af en homomorfi ρ: G_{ℚ} → ℂ^{x}, der er uforgrenet over p for p ∤ N således, at (♭♭♭) gælder for p ∤ N.

Men hvorledes kunne man nu forestille sig en generalisering af relationen (♭♭♭) til ikke-abelske Galoisudvidelser af ℚ? Et første, men afgørende konceptuelt skred består i et skift af fokus fra venstre- til højresiden af identiteten ℂ^{x} = GL_{1}(ℂ) i forbindelse med (♭♭). Med andre ord: Vi opfatter ρ som en 1-dimensional kompleks Galoisrepræsentation ρ: G_{ℚ} → GL_{1}(ℂ). Som sådan har ρ en Artin-fører, som vi definerede i B.3; som nævnt i B.3 stemmer denne Artin-fører overens med den klasselegemeteoretiske fører; Artin-føreren af ρ er altså N. Følgelig kan vi - bringende vores a_{p} fra 1 ovenfor ind i spillet igen - omskrive (♭♭♭) til:

(♮)  a_{p} = Trρ(Fr_{p}) = χ(p) , for p ∤ N .

Den interessante fortolkning af (♮) er følgende: Vi har givet en Galoisrepræsentation ρ, og interesserer os for sporene af ρ(Fr_{p}) for m.h.t. ρ uforgrenede primtal p; af Chebotarev’s sætning B.2.1 kan man trække den konsekvens, at disse spor bestemmer repræsentationen ρ op til ækvivalens (i.e. op til konjugation med et element af G_{ℚ}). Relationen (♮) viser, at sporene af ρ(Fr_{p}) er langt fra at være kaotisk fordelt, når p varierer: De ’kontrolleres’ af et struktureret objekt, nemlig Dirichletkarakteren χ. Den formodningsmæssige generalisering af (♮), som blev udviklet af Langlands i 1960’erne, består i første omgang i at betragte højeredimensionale repræsentationer ρ: G_{ℚ} → GL_{n}(ℂ). Det oplagte spørgsmål er da, hvad man skulle forvente som generalisering af højresiden i (♮), i.e. hvilke ’kontrolobjekter’ kommer ind i spillet i stedet for χ, når n > 1?

I disse noter vil vi udelukkende være beskæftigede med tilfældet n = 2, og endda kun med specielle typer af 2-dimensionale repræsentationer; til gengæld rækker det for vores formål ikke kun at betragte komplekse Galoisrepræsentationer: Vi får også brug for ℓ-adiske og mod ℓ Galoisrepræsentationer (jfr. B.2). Taniyama-Shimura-formodningen, som er emnet for afsnit 3 nedenfor, vil fremstå som et udsagn af samme formelle struktur som (♮). Men inden da må vi først indføre de korrekte ’kontrolobjekter’, i.e. substitutterne for χ i denne nye sammenhæng. Dette er emnet for næste afsnit.

2. Modulformer og Galoisrepræsentationer.

Litteratur: [Miy], [Shi] [Ser77], [DS], [DDT], [Del], [Ser87]

∗ [Maz77], [Car]

2.1. Modulformer. Betragt den såkaldte ’øvre halvplan’

ℌ := {z ∈ ℂ | Im(z) > 0}.

Gruppen GL_{2}^{+}(ℝ) virker på ℌ ved:

α.z := \frac{az + b}{cz + d} , for α = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL_{2}^{+}(ℝ), z ∈ ℌ .

Lad nu N, k ∈ ℕ, lad χ: (ℤ/ℤN)^{x} → ℂ være en Dirichlet-karakter, og betragt gruppen

Γ_{0}(N) := \{α = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(ℤ) | c ≡ 0 (N)\} ;

bemærk, at Γ_{0}(1) = SL_{2}(ℤ). Vi har en af (k, χ) afhængig højrevirkning |_{k,χ} af Γ_{0}(N) på holomorfe funktioner f på ℌ via:

(f |_{k,χ} α)(z) := χ(d)^{−1} · (cz + d)^{−k} · f (\frac{az + b}{cz + d}) , for α ∈ Γ_{0}(N) ;

bemærk, at da α ∈ SL_{2}(ℤ) og c ≡ 0 (N), haves ad ≡ 1 (N), hvorfor d er invertibel modulo N, så χ(d) er defineret. Vi definerer: En modulform af vægt k og nebentypus χ på Γ_{0}(N) er en holomorf funktion f på ℌ med følgende egenskaber:

(i)  f |_{k,χ} α = f , ∀α ∈ Γ_{0}(N),

og

(ii) ∃ν > 0: f(τ) = O(Im(τ)^{−ν}) for Im(τ) → 0 + uniformt m.h.t Re(τ).

Hvis f tilfredstiller (ii) med et ν ∈]0, k[, siges f at være en spidsform. En sådan modul- eller spidsform siges også at være af type (N, k, χ); man referer til de enkelte data N, k og χ som f’s niveau, vægt hhv. nebentypus. Man betegner det komplekse vektorrum bestående af modulformer hhv. spidsformer af vægt k og nebentypus χ på Γ_{0}(N) med M_{k}(N, χ) hhv. S_{k}(N, χ). Hvis χ = 1, skrives i reglen blot M_{k}(N) hhv. S_{k}(N). Rummene M_{k}(N, χ) og S_{k}(N, χ) kan vises at være endelig-dimensionale; beviset kan opnås v.hj.a. formernes fortolkning som differentialformer i algebraisk-geometrisk forstand (se nedenfor).

Lad nu f ∈ M_{k}(N, χ). Da ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(N), giver betingelsen (i) ovenfor, at

f(z + 1) = f(z); med dette vises vækstbetingelsen (ii) at medføre eksistensen af en Fourier-udvikling af f

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}e^{2πinz} , for z ∈ ℌ ,

hvor a_{n} er komplekse tal, der naturligvis kaldes f’s Fourier-koefficienter. Hvis endda f ∈ S_{k}(N, χ), vises a_{0} = 0. Her følger et par klassiske eksempler på modulog spidsformer: Eksempel 1: Det uendelige produkt

Δ(z) := e^{2πiz} ∏_{n=1}^{∞} (1 − e^{2πinz})^{24}

vises at konvergere absolut og uniformt på kompakte delmængder af ℌ, så Δ(z) er en holomorf funktion på ℌ. Den kan vises at være en spidsform af type (1, 12, 1). Eksempel 2: Rummet S_{2}(11) kan vises at være 1-dimensionalt og frembragt af:

(Δ(z)Δ(11z))^{\frac{1}{12}} = e^{2πiz} ∏_{n=1}^{∞} (1 − e^{2πinz})^{2} · (1 − e^{2πi·11nz})^{2} .

Eksempel 3: Lad ℓ være et ulige primtal, og lad χ være en Dirichlet-karakter modulo ℓ med χ(−1) = −1. Den uendelige række:

E_{1,χ}(z) := 1 − \frac{2ℓ}{∑_{1≤a≤ℓ−1} χ(a)a} · ∑_{n=1}^{∞} (∑_{d|n} χ(d)) · e^{2πinz} ,

hvor χ(d) for ℓ|d skal fortolkes som 0, kan vises at definere en modulform af vægt 1 og nebentypus χ på Γ_{0}(ℓ). Denne form er et specielt eksempel på såkaldte Eisensteinrækker. Et specielt og vigtigt eksempel på formerne E_{1,χ} fås således: Der findes en Dirichlet-karakter ψ modulo ℓ med ψ(−1) = −1, således, at:

ψ(a)a ≡ 1 (𝔩) for a ∈ ℤ med ℓ |̸a ,

hvor kongruensen skal forstås således: værdierne ψ(a) ligger i det algebraiske tallegeme ℚ(e^{\frac{2πi}{ℓ−1}} ); kongruensen skal forstås som kongruens mellem algebraisk hele tal i dette legeme med 𝔩 en primplads i legemet over ℓ. Det interessante ved den tilhørende Eisenstein-række E_{1,ψ} er, at vi har kongruensen:

E_{1,ψ} ≡ 1 (𝔩) ,

hvilken kongruens skal forstås ’ledvist’, i.e., at der for E_{1,ψ}’s Fourier-koefficienter a_{n} gælder:

a_{0} ≡ 1 (𝔩) og a_{n} ≡ 0 (𝔩) for n > 0.

At modul- og spidsformer i virkeligheden snarere er algebraisk-geometriske objekter end analytiske, hænger sammen med følgende omstændigheder: Ækvivalensklasserne af punkter i ℌ m.h.t. virkningen af Γ_{0}(N) kan vises at have en naturlig struktur som en ikke-kompakt Riemann-flade, kaldet den affine modulkurve Y_{0}(N); videre: Y_{0}(N) kan ved tilføjelse af endeligt mange punkter (mere præcist: ækvivalensklasserne af punkterne i ℚ ∪ {∞} m.h.t. den naturlige virkning af Γ_{0}(N)) kompaktificeres til en kompakt Riemann-flade kaldet modulkurven X_{0}(N). En berømt sætning af Riemann siger, at en kompakt Riemann-flade er en projektiv algebraisk kurve over ℂ. For X_{0}(N) kan der vises den yderst vigtige og ikke-trivielle sætning, at den som projektiv algebraisk kurve kan defineres over ℚ, i.e. at X_{0}(N) i sidste ende kan beskrives ved polynomiumsligninger med rationale koefficienter. Dette er en af grundene til - som vi skal se nedenfor -, at X_{0}(N) og modulformer har noget at gøre med Galoisrepræsentationer over ℚ, som jo er vores egentlige studieobjekter.

Vi angiver den algebraisk-geometriske fortolkning af begrebet ’spidsform’ for

vægt 2 og triviel nebentypus, i.e. for elementer f ∈ S_{2}(N): Lad a = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ∈

SL_{2}(ℤ). Man beregner, at:

d(a.z) = d (\frac{αz + β}{γz + δ} ) = (γz + δ)^{−2}dz ,

og definitionen af elementer i M_{2}(N) viser derfor, at differentialet f(z)dz på ℌ er invariant ved substitutionen z ↦ a.z for a ∈ Γ_{0}(N); følgelig kan f(z)dz opfattes som et differential på den affine kurve Y_{0}(N). Man viser nu, at de vækstbetingelser, der karakteriserer spidsformer, i det foreliggende tilfælde er ækvivalente med at forlange, at f(z)dz kan fortsættes til et holomorft differential på den projektive kurve X_{0}(N). Rummet S_{2}(N) er altså isomorft med rummet af holomorfe differentialer på en projektiv algebraisk kurve, hvilket eksempelvis implicerer S_{2}(N)’s endeligdimensionalitet: dim_{ℂ} S_{2}(N) er genus af Riemann-fladen X_{0}(N). Denne genus kan bestemmes ved ren topologisk analyse af X_{0}(N), og en formel kan angives (som funktion af N). Eksempelvis fås:

Sætning 2.1.1. For primtalsniveau N = p haves:

dim_{ℂ} S_{2}(p) = \{ \begin{matrix}0 & , for p = 2 \\ \frac{p−13}{12} & , for p ≡ 1 (12) \\ \frac{p−5}{12} & , for p ≡ 5 (12) \\ \frac{p−7}{12} & , for p ≡ 7 (12) \\ \frac{p+1}{12} & , for p ≡ 11 (12) . \end{matrix}

Tilsvarende fortolkninger og formler haves for spidsformer af højere, lige vægte; for ulige vægte stiller sagen sig en smule mere kompliceret, for vægt 1 endda overordentligt meget mere kompliceret.

2.2. Hecke-operatorer og Galoisrepræsentationer. Betragt rummet af spidsformer S_{k}(N, χ). Vi vil nu indføre de såkaldte Hecke-operatorer på S_{k}(N, χ). Den bedste definition af disse operatorer går via algebraisk geometri, hvilket vi dog af pladshensyn ikke kan gennemføre. Vi vælger en konkret definition via Fourierudviklinger, hvilken i øvrigt stemmer overens med Hecke’s oprindelige definition. Det skal dog nævnes, at beviserne for diverse sætninger om Hecke-operatorer, som vil forekomme nedenfor, bedst føres udfra det algebraisk-geometriske synspunkt.

Lad f ∈ S_{k}(N, χ) med Fourier-udvikling:

f(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e^{2πinz},

og lad p være et primtal. Vi definerer den holomorfe funktion T_{p}f på ℌ ved:

(T_{p}f)(z) := ∑_{n=1}^{∞} a_{pn}e^{2πinz} + χ(p)p^{k−1} ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e^{2πipnz},

hvor χ(p) for p|N skal fortolkes som 0. Det vises, at T_{p}f igen er et element i S_{k}(N, χ), så vi kan opfatte T_{p} som en lineær operator på dette rum. Bemærk, at definitionen af T_{p} er afhængig af (N, k, χ), hvilket ikke fremgår af notationen.

Antag nu, at f ≠ 0 er en simultan egenform for samtlige Hecke-operatorer T_{p}, i.e. at vi har:

T_{p}f = λ_{p}f for alle primtal p,

hvor λ_{p}’erne er visse komplekse tal. Det kan vises, at vi så fald har a_{1} ≠ 0, så vi kan gerne antage, at f er normaliseret således, at:

a_{1} = 1;

Vi betegner sådanne former simpelthen som normaliserede egenformer. Det følger nu af definitionen af T_{p}f, at egenværdien λ_{p} stemmer overens med Fourier-koeffi-cienten a_{p} og, at vi har følgende i første omgang formelle identitet:

(♯)  ∑_{n=1}^{∞} a_{n}n^{−s} = ∏_{p primtal} (1 − a_{p}p^{−s} + χ(p)p^{k−1−2s})^{−1} ,

hvor ’formel’ betyder a_{n} = b_{n}, hvis man formelt ganger produktet i højresiden ud og skriver det på formen ∑_{n=1}^{∞} b_{n}n^{−s}; denne formelle identitet kan således oversættes til en (uendelig) liste af rekursionsformler for Fourier-koefficienterne a_{n}. (Det var i øvrigt studiet af sådanne rekursionformler i forbindelse med visse klassiske konstruktioner af modulformer fra kvadratiske former, der foranledigede Hecke til indførelse af Hecke-operatorerne). Men (♯) er langt mere en blot en formel identitet: I den klassiske teori for modulformer vises det, at (♯) konvergerer absolut for s ∈ ℂ med Re(s) > k, hvor den definerer en funktion L(f, s), holomorf i dette område; defineres videre Λ(f, s) := (2π/\sqrt{N})^{−s}Γ(s)L(f, s), da har Λ(f, s) holomorf fortsættelse til hele den komplekse plan s ∈ ℂ, hvor den tilfredsstiller en funktionalligning, der i mistænkelig grad minder om funktionalligninger for L-rækkerne knyttede til visse typer af Galoisrepræsentationer. Lad os nu se, at dette ikke er noget tilfælde.

Sætning 2.2.1. (se f.eks. [Shi]) Antag, at k ≥ 2, og lad f ∈ S_{k}(N, χ) være en normaliseret egenform med Fourier-udvikling

f(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e^{2πinz}.

Da er tallene a_{n} alle algebraisk hele tal i en (af n uafhængig) endelig udvidelse af ℚ.

Sætning 2.2.2. (Deligne [Del], se også [Car]) Antag, at k ≥ 2, og lad f ∈ S_{k}(N, χ) være en normaliseret egenform med Fourier-udvikling

f(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e^{2πinz}.

Da findes der til hvert primtal ℓ en kontinuert, irreducibel ℓ-adisk Galoisrepræsenation:

ρ_{f,ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔒_{λ}) ,

hvor 𝔒_{λ} er ringen af hele tal i en endelig udvidelse af ℚ_{ℓ}, og med følgende egenskaber:

(i)  For p |̸Nℓ er ρ_{f,ℓ} uforgrenet over p ,
(ii)  Trρ_{f,ℓ}(Fr_{p}) = a_{p}  for p |̸Nℓ ,

og

(iii)  det ρ_{f,ℓ}(Fr_{p}) = χ(p)p^{k−1}  for p |̸Nℓ .

Det kan vises, at ρ_{f,ℓ} har fører N (B.3).

Ved en første konfrontation med Sætning 2.2.2 kan denne forekomme overordentligt mystisk: Hvordan i alverden kommer man fra formen f til repræsentationen ρ_{f,ℓ}? Denne mystificering er berettiget forsåvidt, som den faktiske konstruktion er både kompliceret og afhængig af avanceret matematik. Den afgørende pointe er imidlertid den algebraisk-geometriske fortolkning af begrebet ’spidsform’, som vi antydede ovenfor. I det følgende underafsnit giver vi - for tilfældet k = 2 - en antydning af, hvordan ρ_{f,ℓ} konstrueres.

2.2.1. Antydning af konstruktion: En abelsk varietet er en komplet gruppevarietet A, i.e. A er en komplet algebraisk varietet defineret over et eller andet grundlegeme K og forsynet med en ’gruppestruktur’: Hvis L/K er en legemsudvidelse, har mængden A(L) af L-rationale punkter på A struktur af en gruppe, og tilordningen L ↦ A(L) er ’funktoriel’. Det vises, at A er projektiv, og at gruppeloven er abelsk (kommutativ), i.e. gruppen A(L) er abelsk for hvert L.

Lad nu A være en abelsk varietet af dimension d defineret over ℚ; med andre ord: A kan beskrives ved polynomiumsligninger med rationale koefficienter. Betragt A(ℚ̄), dvs. a priori mængden af løsninger i algebraiske tal til de nævnte polynomiumsligninger; da A er en abelsk varietet, har A(ℚ̄) struktur af en abelsk gruppe. Lad ℓ være et primtal. For m ∈ ℤ definerer vi mængden A[ℓ^{m}] af ℓ^{m}- torsionspunkter for A som delmængden af punkter P ∈ A(ℚ̄) for hvilke

ℓ^{m} · P = 0 ,

hvor 0 betegner neutralelementet i A(ℚ̄) og ℓ^{m}· betyder potensering med ℓ^{m} m.h.t. gruppestrukturen i A(ℚ̄). Øjensynligt er A[ℓ^{m}] en undergruppe af A(ℚ̄) og har en naturlig struktur som ℤ/ℤm-modul. Vi definerer videre mængden A[ℓ^{∞}] af ℓ^{∞}-torsionspunkter for A med en naturlig struktur som ℤ_{ℓ}-modul ved:

A[ℓ^{∞}] := lim_{\overleftarrow{m}} A[ℓ^{m}] ⊗ ℤ_{ℓ} .

For A[ℓ^{∞}] som ℤ_{ℓ}-modul har man følgende fundamentale sætning:

Sætning 2.2.3. A[ℓ^{∞}] ≅ (ℤ_{ℓ})^{2d} som ℤ_{ℓ}-modul.

Men vi har yderligere struktur på A[ℓ^{∞}]: Galoisgruppen G_{ℚ} virker på naturlig måde på A(ℚ̄): Hvis vi har en løsning (x_{0}, x_{1}, …) i algebraiske tal til de polynomiumsligninger, der definerer A, og har vi et g ∈ G_{ℚ}, da vil øjensynligt (g.x_{0}, g.x_{1}, …) igen være en løsning i algebraiske tal til de nævnte polynomiumsligninger, eftersom disse har rationale koefficienter. Man viser nu, at denne virkning respekterer gruppestrukturen i A(ℚ̄), specielt bringer den A[ℓ^{∞}] ind i sig selv. Vi har altså en virkning af G_{ℚ} på A[ℓ^{∞}]. Sætning 2.2.3 siger nu, at denne virkning giver os en homomorfi:

ρ_{A,ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2d}(ℤ_{ℓ}) ,

som vises at være kontinuert. ρ_{A,ℓ} er altså en ℓ-adisk Galoisrepræsentation; den kaldes passende for den ℓ-adiske repræsentation hørende til A.

Betragt nu modulkurven X_{0}(N). Det er som nævnt en projektiv algebraisk varietet defineret over ℚ. Som sådan har den en tilknyttet Jacobi-varietet, kaldet J_{0}(N), som er en abelsk varietet defineret over ℚ. Som ovenfor kan vi betragte J_{0}(N)[ℓ^{∞}] og får herfra repræsentationer af G_{ℚ}. Betragtes nu Hecke-operatorerne hørende til rummet S_{2}(N), kan det vises, at disse har en naturlig fortolkning (via ’funktorialitet’) som endomorfier af J_{0}(N); dette hænger sammen med den ovenfor omtalte fortolkning af elementerne i S_{2}(N) som holomorfe differentialer på X_{0}(N). Denne fortolkning af Hecke-operatorerne muliggør en bestemt type af spaltning af J_{0}(N)[ℓ^{∞}], hvor de enkelte ’stykker’ svarer til normaliserede egenformer f ∈ S_{2}(N); denne spaltning udmøntes i sidste ende i en spaltning af Galoisrepræsentationen hørende til J_{0}(N)[ℓ^{∞}] svarende igen til normaliserede egenformer f ∈ S_{2}(N). Galoisrepræsentationen ρ_{f,ℓ} fra Sætning 2.2.2 konstrueres via denne proces. Det virkeligt hårde arbejde består så i at vise, at den således konstruerede repræsentation ρ_{f,ℓ} har egenskaberne angivet i Sætning 2.2.2.

Konstruktionen af ρ_{f,ℓ} i det tilfælde, hvor vægten k er større end 2, er noget mere abstrakt, da man ikke længere blot kan arbejde med J_{0}(N): Der skal nogle noget mere abstrakte objekter ind i spillet (såkaldte ℓ-adiske kohomologigrupper). Set fra en højere synsvinkel er konstruktionen for vægte >2 dog analog til konstruktionen for k = 2.

2.3. Artin-formodningen. Det er ikke svært at gætte på en mulig version af Sætning 2.2.2 i tilfældet k = 1. Vanskeligheden består deri, at de ovenfor omtalte metoder til konstruktion af ρ_{f,ℓ} for vægte k ≥ 2 bryder totalt sammen for vægt k = 1. Ikke desto mindre gælder der følgende bemærkelsesværdige sætning, hvis bevis vi ikke kan komme ind på; det skal dog nævnes, at beviset bl.a. benytter Sætning 2.2.2.

Sætning 2.3.1. (Deligne-Serre [DS]) Lad f ∈ S_{1}(N, χ) være en normaliseret egenform med Fourier-udvikling

f(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e^{2πinz}.

Da findes der en kontinuert, irreducibel Galoisrepræsentation

ρ_{f}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(ℂ) ,

med følgende egenskaber:

(i)  For p |̸N er ρ_{f} uforgrenet over p ,
(ii)  Trρ_{f}(Fr_{p}) = a_{p}  for p |̸N ,

og

(iii)  det ρ_{f}(Fr_{p}) = χ(p)  for p |̸N .

Men får vi ikke ℓ-adiske repræsentationer knyttet til f? Jo, via en simpel konstruktion: Repræsentationen ρ_{f} har endeligt billede, og kan derfor realiseres over et algebraisk tallegeme K, i.e. vi kan opfatte ρ_{f} som en homomorfi:

(♯♯)  ρ_{f}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(K) ,

der naturligvis har samme endelige billede som ρ_{f}. Er nu ℓ et primtal, kan repræsentationen (♯♯) som bekendt gøres ’ℓ-adisk heltallig’, dvs. er ækvivalent med en repræsentation

ρ_{f,ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔒_{λ}) ,

med 𝔒_{λ} ringen af hele tal i en endelig udvidelse af ℚ_{ℓ}. Repræsentationen ρ_{f,ℓ} har naturligvis billede isomorft med Imρ_{f}.

Vi har nu kørt tilstrækkeligt meget skyts i stilling til at kunne vende tilbage til diskussionen sidst i afsnit 1.2. Det spørgsmål, som man ønsker besvaret, er følgende: Vi har gennem sætningerne 2.2.2 og 2.3.1 via normaliserede egenformer fået konstrueret Galoisrepræsentationer; hvis vi vedtager at kalde disse konstruerede repræsentationer for modulære (de opstår fra modul-former), hvilke Galoisrepræsentationer er så modulære? Vi vil nu kort gå ind på dette spørgsmål i forbindelse med repræsentationerne fra sætning 2.3.1. Inden vi kan formulere den berømte Artinformodning i denne forbindelse, skal vi have noteret os en lille, men vigtig egenskab ved repræsentationerne i sætningerne 2.2.2 og 2.3.1: Kompleks konjugering af algebraiske tal er øjensynligt en legemsautomorfi af ℚ̄, der fikserer ℚ punktvist. Følgelig kan vi opfatte kompleks konjugering som et element c ∈ G_{ℚ}; dette element har orden 2. Er nu ρ en repræsentation fra Sætning 2.2.2 eller 2.3.1, kan vi følgelig betragte ρ(c); da c^{2} = 1, haves (det ρ(c))^{2} = 1, altså

det ρ(c) = ±1.

Definition: Repræsentationen ρ kaldes ulige, hvis det ρ(c) = −1.

Sætning 2.3.2. Samtlige repræsentationer, der forekommer i sætningerne 2.2.2 og 2.3.1 er ulige.

Den følgende formodning ville være en delvis generalisering af klasselegemeteorien til studiet af 2-dimensionale, komplekse Galoisrepræsentationer, jfr. diskussionen sidst i afsnit 1.2. Formodning: Lad ρ: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(ℂ) være en irreducibel, ulige Galoisrepræsentation. Da er ρ modulær af vægt 1, i.e. der findes ((N, χ) og) en normaliseret egenform f ∈ S_{1}(N, χ) således, at ρ ≅ ρ_{f}, hvor ρ_{f} er repræsentationen fra Sætning 2.3.1.

En stærkere version af denne formodning opnås ved at forlange, at (N, χ) kan vælges således, at N er Artin-føreren af ρ (appendiks B.3) og således, at χ via klasselegemeteorien svarer til det ρ: G_{ℚ} ⟶ GL_{1}(ℂ), men det kan vises, at denne stærkere version følger af den svagere.

Det er blevet standard at kalde denne formodning for ’Artin-formodningen’ (for irreducible, 2-dimensionale, komplekse, ulige Galoisrepræsentationer over ℚ), idet den kan vises at være ækvivalent med en del af den i appendiks B.3 omtalte klassiske Artin-formodning.

Der følger nu en kort beskrivelse af, hvad der i øjeblikket er kendt om denne formodning.

Lad altså ρ: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(ℂ) være en irreducibel, ulige repræsentation. Betragt den naturlige homomorfi GL_{2}(ℂ) → PGL_{2}(ℂ), og lad os diskutere gruppen

G := Im (G_{ℚ} ⟶^{ρ} GL_{2}(ℂ) → PGL_{2}(ℂ)) ;

da G således er en endelig undergruppe af PGL_{2}(ℂ), har vi som bekendt a priori følgende muligheder for isomorfiklassen af G:

G ≅ \{ \begin{matrix}C_{n} , den cykliske gruppe af orden n \\ D_{n} , diedergruppen af orden 2n \\ A_{4} , den alternerende gruppe på 4 symboler \\ S_{4} , den symmetriske gruppe på 4 symboler \\ A_{5} , den alternerende gruppe på 5 symboler , \end{matrix}

men tilfældet G ≅ C_{n} er udelukket, da ρ i så fald ville være reducibel.

Formodningen ovenfor er bevist generelt i tilfældene, hvor G er isomorf med D_{n}, A_{4} eller S_{4}: I tilfældet G ≅ D_{n} kan påstanden i sidste ende (svært) føres tilbage til klasselegemeteorien, mens der i tilfældene A_{4} og S_{4} kræves en nyere fundamental (svær) teori, den såkaldte teori for cyklisk Base Change; beviserne i A_{4}- og S_{4}- tilfældene skyldes Langlands hhv. Tunnell, se [Lan] og [Tun]. Disse metoder virker ikke i tilfældet G ≅ A_{5}, der derfor længe forekom at være en fuldstændigt uindtagelig bastion. Men et bevis for formodningen i A_{5}-tilfældet (under visse tekniske indskrænkninger på ρ) er for nyligt (sommer 1999) blevet annonceret; dette sidstnævnte bevis bygger stadig på Wiles’ fundamentalt nye og banebrydende ideer i disse problemkredse, men involverer også en længere række nye og højst komplicerede resultater, bl.a. angående såkaldt niveaureduktion.

2.4. Galoisrepræsentationer i positiv karakteristik og Serre’s formodning. Lad ρ_{ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔒_{λ}) være enten en repræsentation fra Sætning 2.2.2 eller den ℓ-adiske repræsentation konstrueret fra en repræsentation ρ_{f} fra Sætning 2.3.1 som skitseret umiddelbart efter Sætning 2.3.1. Lad 𝔐 være maksimalidealet i 𝔒_{λ}; vi har altså, at F := 𝔒_{λ}/𝔐 er en endelig udvidelse af 𝔽_{ℓ}. Via den kanoniske homomorfi GL_{2}(𝔒_{λ}) ⟶ GL_{2}(F) giver ρ_{ℓ} anledning til en mod ℓ repræsentation ρ̄_{ℓ}:

(†)  ρ̄_{ℓ}: G_{ℚ} ⟶^{ρ_{ℓ}} GL_{2}(𝔒_{λ}) → GL_{2}(F) ,

som er ulige i samme forstand som i foregående afsnit. Betegner vi f’s Fourierkoefficienter med a_{n}(f), og f’s niveau med N, er repræsentationen ρ̄_{ℓ} øjensynligt uforgrenet over p, for p |̸Nℓ, og har følgende egenskab:

(‡)  Trρ̄_{ℓ}(Fr_{p}) = (a_{p}(f) mod (𝔩)) , for p |̸Nℓ ,

hvor 𝔩 er et primideal over ℓ i et algebraisk tallegemes ring af hele algebraiske tal 𝔒, der er tilstrækkelig stor til at indeholde samtlige tal a_{n}(f), og så 𝔒/𝔩 ⊇ F (eksisterer ifølge Sætning 2.2.1).

Lad nu F/𝔽_{ℓ} være en endelig udvidelse, og lad

(‡‡)  ρ̄_{ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(F)

være en vilkårlig, absolut irreducibel, ulige repræsentation.

Definition: Vi siger, at ρ̄_{ℓ} er (mod ℓ) modulær, hvis der findes en normaliseret egenform f af en eller anden type (N, k, χ) og med Fourierkoefficienter a_{n}(f) således, at ρ̄_{ℓ} er uforgrenet over p, for p |̸Nℓ, og således, at (‡) gælder.

I 1987 formulerede J.-P. Serre i [Ser87] følgende bemærkelsesværdige og - på det pågældende tidspunkt - temmeligt dristige formodning: Serre’s formodning: Lad ρ̄_{ℓ} være en absolut irreducibel, ulige repræsentation som i (‡‡). Da er ρ̄_{ℓ} (mod ℓ) modulær.

Grunden til, at vi i forbindelse med (‡), definitionen ovenfor og Serre’s formodning og i modsætning til Sætningerne 2.2.2 og 2.3.1 fokuserer i mindre grad på det ρ̄_{ℓ} er følgende: I sætningerne 2.2.2 og 2.3.1, der jo omhandler karakteristik 0 repræsentationer, hænger det ρ_{f,ℓ} hhv. det ρ_{f} øjensynligt sammen med vægten k of f. Faktisk kan det vises, at data-triplet (N, k, χ) hørende til f er entydigt bestemt alene ved repræsentationerne ρ_{f,ℓ} hhv. ved ρ_{f}. Dette står i skarp kontrast til situationen i karakteristik ℓ: Er ρ̄_{ℓ} som i (‡‡) modulær, kan det vises, at der altid findes uendeligt mange mulige valg af såvel k som N; vi vil se et eksempel på et sådant fænomen nedenfor. Ønsker man ikke desto mindre at betone et muligt valg af k og/eller N, siges ρ̄_{ℓ} naturligvis at være mod ℓ modulær af vægt k hhv. af niveau N.

Serre’s forfinede formodning - også formuleret i [Ser87] - er den ovenstående formodning plus en præcis angivelse af et muligt valg af data (N, k, χ), der i en vis forstand er optimalt (minimalt). Vi for ikke brug for at formulere denne forfinede formodning i fuld generalitet, men vil dog senere se et specielt eksempel på, hvad dens indhold er.

I det følgende underafsnit vil vi se eksempler på mod 3 repræsentationer, der beviseligt er modulære.

2.4.1. Nogle modulære mod 3 repræsentationer: Lad i dette underafsnit ρ̄ være en absolut irreducibel, ulige mod 3 Galoisrepræsentation:

ρ̄: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔽_{3}) .

Lad os nu bemærke, at gruppen PGL_{2}(𝔽_{3}) som bekendt er isomorf med den symmetriske gruppe S_{4} på 4 symboler. Gruppen GL_{2}(𝔽_{3}) har følgelig S_{4} som kvotient. Mere præcist kan vi vise, at GL_{2}(𝔽_{3}) er isomorf med en såkaldt overdækningsgruppe S̃_{4} af S_{4}: Gruppen S̃_{4} er som abstrakt gruppe givet ved frembringere a_{1}, a_{2}, a_{3}, z med definerende relationer:

(♣)  a_{1}^{2} = a_{2}^{2} = a_{3}^{2} = z^{2} = (a_{1}a_{2})^{3} = (a_{2}a_{3})^{3} = 1, (a_{1}a_{3})^{2} = z .

Elementet z er centralt i S̃_{4}, og kvotienten S̃_{4}/ < z > er isomorf med S_{4}; vi har altså |S̃_{4}| = 48.

Man checker nu, at hvis vi betragter følgende matricer i GL_{2}(𝔽_{3}):

α_{1} := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , α_{2} := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , α_{3} := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) , ζ := ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ,

da tilfredstiller disse elementer α_{1}, α_{2}, α_{3}, ζ relationerne (♣); vi har følgelig en surjektiv homomorfi S̃_{4} → GL_{2}(𝔽_{3}); eftersom |S̃_{4}| = 48 = |GL_{2}(𝔽_{3})|, følger

GL_{2}(𝔽_{3}) ≅ S̃_{4} .

Betragt nu følgende matricer i GL_{2}(ℤ[\sqrt{−2}]) ⊆ GL_{2}(ℂ) (ℤ[\sqrt{−2}] er ringen af hele algebraiske tal i det algebraiske tallegeme ℚ(\sqrt{−2})):

A_{1} := ( \begin{matrix}−\sqrt{−2} & −1 + \sqrt{−2} \\ −1 − \sqrt{−2} & \sqrt{−2} \end{matrix} ) , A_{2} := ( \begin{matrix}1 & −1 − \sqrt{−2} \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ,

A_{3} := ( \begin{matrix}−2 & 1 + \sqrt{−2} \\ −1 + \sqrt{−2} & 2 \end{matrix} ) , Z := ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} );

man checker, at disse matricer tilfredsstiller relationerne (♣); følgelig har vi en homomorfi

σ: GL_{2}(𝔽_{3}) ⟶ GL_{2}(ℤ[\sqrt{−2}]) ⊆ GL_{2}(ℂ),

der kan ses at være injektiv. Sammensætningen

ρ := σ ∘ ρ̄: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(ℂ)

ses at være irreducibel, ulige, og med billede isomorft med Imρ̄ ⊆ GL_{2}(𝔽_{3}); da denne gruppe er isomorf med S̃_{4} og således opløselig, er ρ ikke af A_{5}-type. Det følger derfor af resultaterne omtalt sidst i afsnit 2.3, at ρ er modulær, i.e. knyttet til en normaliseret egenform af vægt 1 via Sætning 2.3.1. Man efterviser let, at ρ er et ’løft’ af ρ̄ i følgende forstand: Er 𝔓 et primideal over 3 i ℤ[\sqrt{−2}], haves ℤ[\sqrt{−2}]/𝔓 ≅ 𝔽_{3}; repræsentationen ρ̄ er isomorf med mod 𝔓 reduktionen af ρ, i.e. med

(ρ mod 𝔓): G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(ℤ[\sqrt{−2}]) ⟶ GL_{2}(ℤ[\sqrt{−2}]/𝔓) ≅ GL_{2}(𝔽_{3}) .

Følgelig er ρ̄ mod 3 modulær af vægt 1. Vi får senere brug for at vide, at ρ̄ også er mod 3 modulær af vægt 2, og antyder nu beviset for denne kendsgerning:

Da som nævnt ρ er modulær af vægt 1, er ρ Galoisrepræsentationen knyttet til en normaliseret egenform af vægt 1

f(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e^{2πinz}

via sætning 2.3.1. Betragt nu den specielle Eisenstein-række E_{1,ψ} fra eksempel 3 ovenfor i tilfældet ℓ = 3: Konkret haves i dette tilfælde:

(♣♣)  E_{1,ψ}(z) = 1 + 6 ∑_{n=1}^{∞} (∑_{d|n} ψ(d)) e^{2πinz} ,

hvor ψ(x) er 0, 1, −1 for x ≡ 0, 1, −1 mod 3, hhv. Da E_{1,ψ} er en modulform af vægt 1, og da f er en spidsform af vægt 1, er g(z) := E_{1,ψ}(z)f(z) en spidsform af vægt 2. Nu er g ikke en egenform, men det følger af eksempel 3 eller direkte af (♣♣), at hvis

g(z) = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}e^{2πinz} ,

da haves

(♣♣♣)  b_{n} ≡ a_{n} mod 𝔩 , ∀n ,

hvor 𝔩 er et primideal over 3 i en tilstrækkelig stor udvidelse af ℚ. Af (♣♣♣) og et ’løftningslemma’ af Deligne og Serre (se [DS]) følger eksistensen af en normaliseret egenform

g̃(z) = ∑_{n=1}^{∞} b̃_{n}e^{2πinz}

af vægt 2 således, at

b̃_{n} (≡ b_{n}) ≡ a_{n} mod 𝔩 , ∀n ;

ifølge definition er altså ρ̄ mod 3 modulær af vægt 2. Vi har altså følgende sætning:

Sætning 2.4.1. Lad

ρ̄: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔽_{3})

være en absolut irreducibel, ulige Galoisrepræsentation. Da er ρ̄ mod 3 modulær af vægt 2.

2.5. Ribet’s sætning. Lad i dette afsnit ℓ være ulige, og lad

ρ̄_{ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔽̄_{ℓ})

være en kontinuert (i.e.: Imρ endelig), irreducibel, ulige Galoisrepræsentation, som antages at være mod ℓ modulær af vægt 2 og triviel nebentypus. Der findes altså en normaliseret egenform f af vægt 2 således, at ρ̄_{ℓ} er representationen konstrueret via sætning 2.2.2 og processen beskrevet i begyndelsen af afsnit 2.4. Lad N være f’s niveau. Som vi tidligere nævnte, er N ikke entydigt bestemt: Der kunne (og vil) findes en anden normaliseret egenform f̃ af type (M, 2, 1) og med M ≠ N således, at ρ̄_{ℓ} også er repræsentationen knyttet til f̃ via den nævnte proces. Men vi kunne spørge efter det minimalt mulige niveau, når vægten fastholdes. Som vi også tidligere nævnte, opstillede Serre i [Ser87] en præcis formodning om, hvad dette minimale niveau er. Vi vil i dette afsnit citere en for anvendelserne i forbindelse med Fermat’s sidste sætning afgørende sætning af Ribet, der under visse omstændigheder beviser Serre’s forudsigelse angående det minimale niveau; mere præcist giver Ribet’s sætning tistrækkelige betingelser for at kunne ’fjerne’ en primdivisor fra niveauet N:

Sætning 2.5.1. (Ribet, [Rib]). Lad ℓ være ulige og antag, at ρ̄_{ℓ} er modulær af vægt 2, triviel nebentypus, og niveau N. Lad p være en primdivisor i N, og antag, at p^{2} ∤ N. Antag yderligere, at enten

(i) ρ̄_{ℓ} er uforgrenet over p, eller

(ii) p = ℓ, og ρ̄_{ℓ} er flad over p.

Da er ρ̄_{ℓ} modulær af vægt 2, triviel nebentypus og niveau N/p.

Betingelsen i (ii) er en betingelse på restriktionen

\binom{}{ρ̄_{ℓ}}_{|D_{p}} , D_{p} ⊆ G_{ℚ} dekompositionsgruppe over p ,

af geometrisk natur. Den korrekte, tekniske definition på begrebet ’flad over p’ er at denne restriktion skal kunne udvides til et endeligt, fladt gruppeskema over ℤ_{p}; vi vil ikke gå ind på at forklare indholdet af denne definition, men vil dog nedenfor i forbindelse med mod ℓ Galoisrepræsentationer knyttede til elliptiske kurver over ℚ se en anden og - for disse tilfælde - ækvivalent definition.

3. Elliptiske kurver og Taniyama-Shimura-formodningen.

Litteratur: [Sil86], [Har], [Ser87], [CSS], [DDT], [Shi] ∗ [Sil94], [CS] 3.1. Elliptiske kurver. En elliptisk kurve over et legeme K er en abelsk varietet af dimension 1 defineret over K. Vi vil i det følgende kun betragte tilfældene K = ℚ og K = ℚ_{p}. En elliptisk kurve E over K kan vises at være givet ved en såkaldt Weierstraß-ligning:

(♢)  y^{2}z + α_{1}xyz + α_{3}yz^{2} = x^{3} + α_{2}x^{2}z + α_{4}xz^{2} + α_{6}z^{3} ,

hvor α_{1}, α_{3}, α_{2}, α_{4}, α_{6} ∈ K, i.e., E er isomorf med den projektive kurve i ℙ^{2}(K) givet ved (♢); denne kurve har netop 1 punkt med z = 0, nemlig punktet O := [0, 1, 0]. Normalt vil man blot give E ved ligningen

y^{2} + α_{1}xy + α_{3}y = x^{3} + α_{2}x^{2} + α_{4}x + α_{6} ,

hvor det så er underforstået, at der skal tilføjes punktet O ’i ∞’.

Weierstraß-ligningen (♢) er ikke entydigt bestemt ved E: Ved et variabelskift af typen

x′ := u^{2}x + r , y′ := u^{3}y + u^{2}sx + t ,

hvor r, s, t, u ∈ K, u ≠ 0, fås en ny Weierstraß-ligning, der dog definerer en kurve isomorf med E. Ikke desto mindre er det af interesse at knytte diverse tal til ligningen (♢); vi får især brug for den såkaldte diskriminant Δ, der defineres således: Sæt:

b_{2} := α_{1}^{2} + 4α_{2}, b_{4} := 2α_{4} + α_{1}α_{3}, b_{6} := α_{3}^{2} + 4α_{6},
b_{8} := α_{1}^{2}α_{6} + 4α_{2}α_{6} − α_{1}α_{3}α_{4} + α_{2}α_{3}^{2} − α_{4}^{2};

da er:

Δ := −b_{2}^{2}b_{8} − 8b_{4}^{3} − 27b_{6}^{2} + 9b_{2}b_{4}b_{6}.

For en Weierstraß-ligning af den simple type

y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx + c

er Δ simpelthen 16 gange diskriminanten af polynomiet på højresiden.

Er der omvendt givet en Weierstraß-ligning (♢), vises det, at denne definerer en ikke-singular, projektiv kurve af genus 1 over K, og dermed en elliptisk kurve over K, hvis og kun hvis vi for ligningens diskriminant har Δ ≠ 0.

Antag nu, at E er defineret over ℚ_{p}, og givet ved en ligning (♢) med α_{i} ∈ ℚ_{p}. Ved et passende variabelskift kan vi opnå, at α_{i} ∈ ℤ_{p}. I så fald har vi øjensynligt for den tilhørende diskriminant Δ, at

ν_{p}(Δ) ≥ 0 ,

hvor ν_{p} som i appendiks A er den ’additive valuation’ hørende til ℚ_{p}, i.e. konkret:

ν_{p}(Δ) = s , hvis Δ = p^{s}u med u en enhed i ℤ_{p}.

Vi kan derfor definere en minimal Weierstraß-ligning for E som en Weierstraßligning, der minimaliserer størrelsen ν_{p}(Δ). Er Δ diskriminanten for en minimal Weierstraß-ligning, kan vi altså også definere størrelsen

(♠)  Δ_{min}(E) := p^{ν_{p}(Δ)}.

Antag så, at E er defineret over ℚ. For hvert primtal p kan vi - via indlejringen ℚ ↪ ℚ_{p} - opfatte E som en elliptisk kurve E_{/ℚ_{p}} over ℚ_{p}, og har hertil knyttet størrelsen Δ_{min}(E_{/ℚ_{p}}) givet ved (♠); det kan vises, at denne størrelse er 1 for alle pånær endeligt mange p; derfor giver følgende definition - som vi nedenfor vil se formålet med - mening:

Definition: E’s minimale diskriminant Δ_{min}(E) defineres ved:

Δ_{min}(E) := ∏_{p primtal} Δ_{min}(E_{/ℚ_{p}}) .

3.2. Elliptiske kurver og Galoisrepræsentationer. I. Lad E være en elliptisk kurve defineret over ℚ. Da E er en abelsk varietet af dimension 1 defineret over ℚ, har vi - som skildret i afsnit 2.2.1 - for hvert primtal ℓ en kontinuert ℓ-adisk Galoisrepræsentation:

ρ_{E,ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(ℤ_{ℓ}) .

Bringes den algebraiske geometri mere dybtgående ind i spillet, kan repræsentationen ρ_{E,ℓ} vises at have følgende egenskaber: Den er irreducibel, uforgrenet over alle pånær endeligt mange primtal p, og ulige; den har en fører (se B.3), der kan vises at være uafhængig af ℓ den forstand, at den er konstant lig et vist naturligt tal N_{E}, når blot ℓ er tilstrækkelig stor (afhængigt af E); mere præcist stemmer N_{E} op til en potens af ℓ overens med føreren af ρ_{E,ℓ}. Vi definerer E’s fører som dette naturlige tal N_{E}. Repræsentationen ρ_{E,ℓ} er uforgrenet over p, netop hvis p ∤ N_{E}ℓ.

Videre kan det vises, at vi for m.h.t. ρ_{E,ℓ} uforgrenede primtal p - altså for p ∤ N_{E}ℓ - har:

det ρ_{E,ℓ}(Fr_{p}) = p ,

og

a_{p} := Trρ_{E,ℓ}(Fr_{p}) = p + 1 − #E(𝔽_{p}) ;

her betyder #E(𝔽_{p}) ’antallet af punkter på E over 𝔽_{p}’, hvilket konkret er følgende: Vælg en minimal Weierstraß-ligning for E over ℚ_{p} med α_{i} ∈ ℤ_{p}; det giver da mening at reducere denne ligning modulo p, i.e. at reducere hver af koefficienterne α_{i} modulo p; vi får en Weierstraß-ligning over legemet 𝔽_{p}; det kan vises, at denne for p ∤ N_{E}ℓ definerer en elliptisk kurve over 𝔽_{p}; #E(𝔽_{p}) er antallet af 𝔽_{p}-rationale punkter på denne kurve, i.e. antallet af løsninger - projektivt talt - over 𝔽_{p} til denne Weierstraß-ligning.

Vi kan nu i sammenhæng med repræsentationen ρ_{E,ℓ} vende tilbage til den problemkreds, der optog os i afsnit 1, mere specielt til de vage spørgsmål, som vi stillede sidst i afsnit 1.2: Vi havde der at gøre med en 1-dimensional kompleks Galoisrepræsentation ρ og fortolkede klasselgemeteorien som et udsagn om, at sporene Trρ(Fr_{p}) ’kontrolleres’ af et struktureret objekt, nemlig en Dirichletkarakter, jfr. relationen (♮); i afsnit 2.3 havde vi at gøre med 2-dimensionale, irreducible, komplekse, ulige Galoisrepræsentationer ρ og fik udtalt formodningen, at sporene i disse tilfælde kontrolleres af spidsformer af vægt 1. Det spørgsmål, der nu stilles er naturligvis spøgsmålet efter et ’kontrolobjekt’ i forbindelse med den ℓ-adiske repræsentation ρ_{E,ℓ} hørende til E. Sammenholder man de egenskaber for ρ_{E,ℓ}, som vi opsummerede ovenfor, med sætning 2.2.2, er det ikke svært at gætte på følgende formodning, som er en mulig formulering af den berømte Taniyama-Shimura-formodning:

Taniyama-Shimura-formodningen: Lad E være en elliptisk kurve defineret over ℚ. Da findes der et primtal ℓ og en normaliseret egenform f af vægt 2 således, at

ρ_{E,ℓ} ≅ ρ_{f,ℓ} ,

hvor ρ_{f,ℓ} er Galoisrepræsentationen hørende til f fra sætning 2.2.2.

I denne forbindelse synes følgende definitioner relevante: Definition: Lad ρ_{ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(K) med K en endelig udvidelse af ℚ_{ℓ} være en kontinuert, irreducibel, ulige ℓ-adisk Galoisrepræsentation. Vi siger, at ρ_{ℓ} er modulær af vægt 2, hvis der findes en normaliseret egenform f af type (N, 2, 1) således, at

ρ_{ℓ} ≅ ρ_{f,ℓ} .

Ønskes f’s niveau N betonet, siger vi, at ρ_{ℓ} er modulær (af vægt 2 og) niveau N. Definition: Den elliptiske kurve E over ℚ siges at være modulær, hvis repræsentationen ρ_{E,ℓ} er modulær af vægt 2 for et eller andet ℓ.

Taniyama-Shimura-formodningen siger således simpelthen, at enhver elliptisk kurve over ℚ er modulær. Det kan være nyttigt at notere sig følgende sætning, der ikke er svær at bevise:

Sætning 3.2.1. Lad E være en elliptisk kurve over ℚ med fører N_{E}. Da er følgende betingelser ækvivalente:

(i) E er modulær.

(ii) For ethvert primtal ℓ er ρ_{E,ℓ} modulær af vægt 2.

(iii) For ethvert primtal ℓ er ρ_{E,ℓ} modulær af vægt 2 og niveau N_{E}.

Der findes andre (naturligvis med ovenstående ækvivalente) formuleringer af Taniyama-Shimura-formodningen, som er af mere algebraisk-geometrisk natur, men vi går ikke ind på disse.

Det for talteorien helt revolutionerende i Wiles’ og Taylor’s store arbejde ([Wil], [TW]) er ikke så meget beviset for den set udfra en nøgtern synsvinkel relativt uvigtige Fermat’s sidste sætning, men derimod, at disse arbejder giver et bevis for Taniyama-Shimura-formodningen under visse indskrænkende, men relativt milde tekniske betingelser på E, som vi går nærmere ind på nedenfor. For ganske nyligt (sommer 1999) er et bevis for Taniyama-Shimura-formodningen uden nogen indskrænkninger blevet annonceret af Breuil, Conrad, Diamond og Taylor [BCDT]; den fundamentale grundsten for dette bevis er stadig Wiles’ gennembrud [Wil], og det går - startende med dette gennembrud - igennem adskillige etaper, hvor betingelserne på E gradvist svækkes. En af etaperne er eksempelvis arbejdet [CDT].

Det vigtige for talteorien er, at Taniyama-Shimura-formodningen og Wiles’ nye fundamentale ideer giver et bidrag til at komme videre med de meget generelle spørgsmål, som vi antydede i slutningen af afsnit 1.2: Hele spillet går ud på - som generalisering af klasselegemeteorien - at finde ’reciprocitetslove’ for meget generelle klasser af enten komplekse eller ℓ-adiske Galoisrepræsentationer (især for sådanne, der er af algebraisk-geometrisk oprindelse). Den generelle filosofi udviklet oprindeligt af Langlands i 1960’erne er, at sådanne reciprocitetslove bør tage form af en bestemt type af associering mellem Galoisrepræsentationer og såkaldte automorfe former: Eksempler på, hvad der menes denne ’associering’ får vi fra afsnit 1.2: Dirichlet-karakterer er ’automorfe former på GL_{1}’, fra afsnit 2.3 i forbindelse med Artin-formodningen, og fra ovenstående definition af modulære ℓ-adiske Galoisrepræsentationer: Modulformer er ’automorfe former på GL_{2}’.

Langlands’ ideer er idag blevet udmøntet i et præcist og ganske overvældende formodningssystem i hvilket eksempelvis Artin-formodningen og Taniyama-Shimura-formodningen blot er små specialtilfælde.

3.3. Elliptiske kurver og Galoisrepræsentationer. II. Lad igen E være en elliptisk kurve defineret over ℚ, og lad os atter for primtal ℓ betragte de ℓ-adiske repræsentationer

ρ_{E,ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(ℤ_{ℓ})

knyttet til E. Via den kanoniske homomorfi ℤ_{ℓ} → 𝔽_{ℓ} giver repræsentationerne ρ_{E,ℓ} anledning til mod ℓ repræsentationer knyttet til E:

ρ̄_{E,ℓ}: G_{ℚ} ⟶^{ρ_{E,ℓ}} GL_{2}(ℤ_{ℓ}) ⟶ GL_{2}(𝔽_{ℓ}) .

Lad p være et primtal, og betragt som i 3.2 en over ℚ_{p} minimal Weierstraßligning

y^{2}z + α_{1}xyz + α_{3}yz^{2} = x^{3} + α_{2}x^{2}z + α_{4}xz^{2} + α_{6}z^{3} , α_{i} ∈ ℤ_{p} .

Vi skal nu interessere os lidt mere dybtgående for denne lignings opførsel under reduktion modulo p. Vi betragter altså den reducerede ligning:

(✠)  y^{2}z + ᾱ_{1}xyz + ᾱ_{3}yz^{2} = x^{3} + ᾱ_{2}x^{2}z + ᾱ_{4}xz^{2} + ᾱ_{6}z^{3} ,

hvor ᾱ_{i} ∈ 𝔽_{p} er reduktionen af α_{i} ∈ ℤ_{p} modulo p. Vi opfatter (✠) som definerende en projektiv kurve C_{p} over 𝔽_{p}. For C_{p} haves følgende 3 muligheder:

(i) C_{p} er er uden singulariteter (og definerer derfor en elliptisk kurve over 𝔽_{p}), (ii) C_{p} har en singularitet, som er et doppeltpunkt, (iii) C_{p} har en singularitet, som er en spids.

Definition: Svarende til tilfældene (i), (ii) og (iii) for C_{p} siges E at have god, multiplikativ hhv. additiv reduktion over p.

E kaldes semistabil over p, hvis E har god eller multiplikativ reduktion over p. E kaldes semistabil, hvis den er semistabil over p for ethvert primtal p.

Er E givet konkret ved en Weierstraß-ligning, findes der en algoritme, der for givet p bestemmer en minimal Weierstraß-ligning over ℚ_{p} og dermed også fører til en bestemmelse af E’s reduktionstype over p.

Det afgørende for os er nu, at E’s reduktionstype over et givet p siger noget om egenskaberne for restriktionerne til en dekompositionsgruppe over p af Galoisrepræsentationerne ρ_{E,ℓ} og ρ̄_{E,ℓ}. Mere præcist viser den dyberegående aritmetiskgeometriske teori for elliptiske kurver føgende sætning.

Sætning 3.3.1. Lad E være en elliptisk kurve over ℚ med fører

N_{E} = ∏_{p primtal} p^{γ_{p}} ,

minimal diskriminant Δ_{min}(E), og tilhørende Galoisrepræsenationer ρ_{E,ℓ} og ρ̄_{E,ℓ} for primtal ℓ. Da gælder følgende.

(a) γ_{p} = \{ \begin{matrix}0 & , hvis og kun hvis E har god reduktion over p \\ 1 & , hvis og kun hvis E har multiplikativ reduktion over p \end{matrix}

(b) Antag, at E har multiplikativ reduktion over p. For ℓ ≠ p er da ρ̄_{E,ℓ} uforgrenet over p, hvis og kun hvis ℓ|ν_{p}(Δ_{min}(E)) (med ν_{p} som ovenfor den additive p-adiske valuation på ℚ, i.e. ν_{p}(a) = eksponenten af p i primfaktoriseringen af a).

(c) Antag, at E har multiplikativ reduktion over p. Da er (ρ̄_{E,p}) flad over p, hvis og kun hvis p|ν_{p}(Δ_{min}(E)).

Som vi nævnte ovenfor er repræsentationen ρ_{E,ℓ} altid irreducibel. Dette gælder imidlertid ikke altid for ρ̄_{E,ℓ}. Hvad angår dette spørgsmål har man følgende ’big theorem’, der skyldes Mazur; vi får i det følgende kun brug for udsagnet (c).

Sætning 3.3.2. (Mazur, [Maz78], [Maz77]). Lad E være en elliptisk kurve over ℚ. Da gælder følgende.

(a) Hvis ℓ > 163, er ρ̄_{E,ℓ} absolut irreducibel.

(b) Hvis E er semistabil og ℓ > 7, er ρ̄_{E,ℓ} absolut irreducibel.

(c) Hvis E er semistabil, ρ̄_{E,2} er triviel, og ℓ > 3, da er ρ̄_{E,ℓ} absolut irreducibel.

3.4. Wiles’ sætning. Vi kan nu formulere Wiles’ store sætning angående Taniyama-Shimura-formodningen.

Sætning 3.4.1. (Wiles, Taylor-Wiles, [Wil], [TW]) Lad E være en semistabil elliptisk kurve over ℚ. Da er E modulær.

Vi giver nu en meget kortfattet beskrivelse af (superstrukturen af) strategien for beviset for denne sætning: Lad E være en semistabil elliptisk kurve over ℚ og betragt Galoisrepræsentationen

ρ̄_{E,3} : G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔽_{3}) .

Nu er denne repræsentation ikke nødvendigvis (absolut) irreducibel, men beviset for 3.4.1 reduceres i [Wil] ved hjælp af et bestemt trick til tilfældet, hvor den er det. Vi antager altså, at ρ̄_{E,3} er absolut irreducibel. Som vi tidligere har bemærket, er denne repræsentation ulige. Af sætning 2.4.1 følger derfor:

ρ̄_{E,3} er modulær af vægt 2.

Der findes altså en normaliseret egenform f af vægt 2 (og triviel nebentypus) således, at

(¥)  ρ̄_{E,3} ≅ ρ̄_{f,3} ,

hvor ρ̄_{f,3} er den modulære mod 3 repræsentation opnået ved mod 3 reduktion af den 3-adiske modulære repræsentation

ρ_{f,3} : G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔒) ,

𝔒 ringen af hele tal i en endelig udvidelse af ℚ_{3}. Det næste skridt er nu fra (¥) at slutte, at ρ_{E,3} er modulær, hvilket iføge definition giver E’s modularitet. Modulariteten af ρ_{E,3} opnås via etableringen af et princip (’Mazur’s princip’) - og dette er den virkeligt afgørende og hårde kerne i Wiles’ arbejde -, der groft udtrykt siger følgende:

Betragt en absolut irreducibel, ulige mod ℓ Galoisrepræsentation

ρ̄_{ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔽̄_{ℓ}) ,

med ℓ et ulige primtal. Vi betragter ℓ-adiske ’løft’ af ρ̄_{ℓ}, dvs. repræsentationer

ρ_{ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔒) ,

𝔒 ringen af hele tal i en endelig udvidelse af ℚ_{ℓ}, der reducerer til ρ̄_{ℓ} via den kanoniske homomorfi 𝔒 → (restklasselegeme). ’Mazur’s princip’ er da et princip, der groft sagt siger: ’Hvis ρ̄_{ℓ} har 1 modulært ℓ-adisk løft af vægt 2, da er ethvert ℓ-adisk løft (med cyklotomisk determinant) modulært af vægt 2’. Det er et udsagn af denne type, som Wiles (komplementeret af Taylor-Wiles i [TW]) under visse tekniske betingelser på ρ̄_{ℓ} beviser i [Wil].

Anvendelsen på ρ̄_{E,3} ovenfor er nu klar: Denne mod 3 repræsentation har ifølge (¥) et modulært 3-adisk løft, nemlig ρ_{f,3}. Anvendes ’Mazur’s princip’ på ρ̄_{E,3}, fås derfor modulariteten af ρ_{E,3} og dermed af E. Det er i forbindelse med anvendelsen på ρ̄_{E,3} af den version af Mazur’s princip, som Wiles beviser i [Wil], at semistabilitets-forudsætningen på E kommer ind i spillet: Denne bruges til at sikre, at ρ̄_{E,3} opfylder de ovenfor omtalte tekniske betingelser.

4. Fermat’s sidste sætning.

Litteratur: [CSS], [DDT], [Ser87], [Sil86] ∗ [Dia96], [Wil], [TW], [Dia97], [Fre86], [Fre89]

4.1. Frey-kurver. Frey’s geniale ide i [Fre86] og [Fre89] var, at ternære Diofantiske ligninger af den formelle form

(§)  A + B = C

kan analyseres ved at studere aritmetikken af en vis elliptisk kurve knyttet til (§): Lad A, B, C være parvist primiske hele tal med (§), og betragt Weierstraß-ligningen

(§§)  y^{2} = x(x − A)(x + B) .

Man beregner, at diskriminanten af (§§) er:

Δ = 16(ABC)^{2} ,

så hvis ABC ≠ 0, definerer (§§) en elliptisk kurve E_{A,B,C} over ℚ.

Antages det yderligere, at A ≡ −1 (4) og B ≡ 0 (16), kan det vises, at E_{A,B,C} har følgende globalt minimale Weierstraß-ligning (’globalt’ betyder, at den er minimal over ℚ_{p} for ethvert p):

y^{2}z + xyz = x^{3} + \frac{B − A − 1}{4}x^{2}z − \frac{AB}{16} xz^{2} ,

hvoraf beregnes, at

Δ_{min}(E_{A,B,C}) = 2^{−8}(ABC)^{2} ,

og under brug af hvilken man kan bevise, at E_{A,B,C} er semistabil med fører

N_{E_{A,B,C}} = ∏_{\begin{matrix}p primtal \\ p|ABC \end{matrix}} p .

Af Wiles’ sætning 3.4.1 følger derfor, at E_{A,B,C} er modulær.

Vi får desuden brug for at vide, at repræsentationen ρ̄_{E_{A,B,C},2} er triviel: Dette følger af, at denne repræsentation er defineret (se afsnit 2.2.1) via virkningen af G_{ℚ} på de 4 punkter P på E_{A,B,C} med algebraiske koordinater, som tilfredsstiller 2·P = 0 m.h.t. gruppestrukturen på E(ℚ̄), og fordi man ved, at disse 4 punkter for en elliptisk kurve af den specielle form (§§) er ’punktet i ∞’ samt de 3 punkter med affine koordinater (0, 0), (0, A) og (0, −B). Da de 4 punkter således har rationale koordinater, er virkningen af G_{ℚ} på dem triviel, hvoraf det ønskede.

Vi opsummerer i følgende sætning:

Sætning 4.1.1. Lad A, B, C være parvist primiske hele tal med

A + B = C , ABC ≠ 0 , A ≡ −1 (4) , B ≡ 0 (16) ,

og betragt den elliptiske kurve E_{A,B,C} over ℚ givet ved ligningen

y^{2} = x(x − A)(x + B) .

Da er E_{A,B,C} semistabil og følgelig ifølge Wiles’ sætning 3.4.1 modulær. Vi har

Δ_{min}(E_{A,B,C}) = 2^{−8}(ABC)^{2} , N_{E_{A,B,C}} = ∏_{\begin{matrix}p primtal \\ p|ABC \end{matrix}} p ,

og repræsentationen ρ̄_{E_{A,B,C},2} er triviel.

4.2. Fermat’s sidste sætning. Lad ℓ være et ulige primtal og antag, at a, b, c er hele tal med

a^{ℓ} + b^{ℓ} = c^{ℓ} .

Fermat’s sidste sætning er da udsagnet, at vi i så fald må have abc = 0. Vi antager derfor, at abc ≠ 0, og søger at opnå en modstrid. Allerede fra Fermat selv ved vi da, at vi må have ℓ > 3. Øjensynligt kan vi gerne antage, at a, b, c er parvist primiske, og via eventuelt fortegnsskift og/eller permutation af a, b, c yderligere, at a ≡ −1 (4) og, at b er lige. Da ℓ > 3, fås derfor b^{ℓ} ≡ 0 (16). Hvis vi derfor betragter Frey-kurven E_{A,B,C} fra foregående afsnit i tilfældet:

A = a^{ℓ} , B = b^{ℓ} , C = c^{ℓ} ,

er forudsætningerne i sætning 4.1.1 opfyldte: Sæt

E := E_{a^{ℓ},b^{ℓ},c^{ℓ}} ;

da er E semistabil, modulær, har minimal diskriminant

($)  Δ_{min}(E) = 2^{−8}(abc)^{2ℓ} ,

og fører

($$)  N_{E} = ∏_{\begin{matrix}p primtal \\ p|abc \end{matrix}} p .

Vi ønsker at studere mod ℓ Galoisrepræsentationen

ρ̄_{E,ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(𝔽_{ℓ}) ,

som er mod ℓ reduktionen af den ℓ-adiske repræsentation

ρ_{E,ℓ}: G_{ℚ} ⟶ GL_{2}(ℤ_{ℓ}) ,

der er modulær af vægt 2, fordi E er modulær (se sætning 3.2.1). Der findes altså en normaliseret egenform f af vægt 2 og triviel nebentypus således, at

ρ_{E,ℓ} ≅ ρ_{f,ℓ} .

Ifølge sætning 3.2.1, kan vi antage, at f har niveau N_{E}, der ifølge ($$) er kvadratfrit. Det følger, at ρ̄_{E,ℓ} er (mod ℓ) modulær af type (N_{E}, 2, 1). Lad nu p være en ulige primdivisor i N_{E}. Vi påstår på grundlag af Ribet’s sætning 2.5.1, at ρ̄_{E,ℓ} er modulær af type ((N_{E})/p, 2, 1): Da p|N_{E}, er p en primdivisor i abc, så p går op i Δ_{min}(E).

Af ($) følger, at eksponenten af p i primfaktoriseringen af Δ_{min}(E) er delelig med ℓ:

ν_{p}(Δ_{min}(E)) = ν_{p}((abc)^{2ℓ}) = 2ℓ · ν_{p}(abc) ≡ 0 (ℓ) .

Af sætning 3.3.1 følger derfor:

ρ̄_{E,ℓ} er uforgrenet over p, hvis p ≠ ℓ,

og

ρ̄_{E,ℓ} er flad over p, hvis p = ℓ.

Med disse oplysninger kan vi da af Ribet’s sætning 2.5.1 - idet N_{E} er kvadratfrit - slutte, at ρ̄_{E,ℓ} er modulær af vægt 2, triviel nebentypus og niveau (N_{E})/p. Da vi kan gentage argumentet for en eventuel ulige primdivisor i (N_{E})/p følger:

ρ̄_{E,ℓ} er modulær af vægt 2, triviel nebentypus og niveau 2 ;

der findes følgelig en normaliseret egenform g ∈ S_{2}(2), der giver anledning til ρ̄_{E,ℓ} via sætning 2.2.2 og reduktion modulo ℓ; da en normaliseret egenform ikke er 0, slutter vi følgelig

dim_{ℂ} S_{2}(2) ≠ 0 ,

hvilket imidlertid strider mod sætning 2.1.1. Q.E.D.

Appendiks. Et par grundbegreber fra algebraisk talteori.

Dette appendiks er et højst koncentreret kompendium over nogle essentielle begreber og resultater fra den algebraiske talteori til brug for læsere uden baggrund i denne teori.

Lad i det følgende K være et algebraisk tallegeme, i.e. en endelig udvidelse af de rational tal ℚ.

Appendix A. Valuationer.

En (ikke-triviel) valuation v på et legeme F er en ikke-konstant homomorfi v: F^{x} → ℝ_{+}^{x} med

v(x + y) ≤ v(x) + v(y) for x + y ≠ 0.

Man udvider definitionen af v til hele F ved at sætte v(0) := 0. Man får da fra v en metrik d_{v} på F ved at sætte d_{v}(x, y) := v(x−y); metrikken d_{v} giver F struktur af et topologisk legeme; 2 valuationer kaldes ækvivalente, hvis de inducerede topologier på F stemmer overens.

Lad nu F = K. Ved en primplads i K forstås en ækvivalensklasse af valuationer på K. De begreber/strukturer, der i det følgende indføres for valuationer, stemmer enten overens, eller er naturligt isomorfe for ækvivalente valuationer, hvorfor man ikke finder anledning til at skelne skarpt mellem en valuation og den ækvivalensklasse, den er medlem af. Lad altså v være en primplads.

Man kalder v arkimedisk, hvis følgen v(n), n ∈ ℕ, konvergerer mod ∞; i modsat fald ikke-arkimedisk. Man skriver ofte v | ∞ hhv. v |̸ ∞ som kort notation skelnende mellem disse 2 tilfælde. For v ikke-arkimedisk vises:

v(a + b) ≤ max{v(a), v(b)},

med lighed hvis v(a) ≠ v(b).

De arkimediske primpladser i K er følgende: v(x) = |φ(x)|, hvor φ er en legemsindlejring af K i ℂ, og | · | den sædvanlige absolutte værdi. De ikke-arkimediske primpladser i K opstår alle på følgende vis: Lad 𝔒_{K} være ringen af hele algebraiske tal i K, i.e. ringen af elementer x i K, der er rødder i et eller andet (i.e. af x afhængigt) normeret polynomium med heltallige koefficienter. Lad 𝔭 være et primideal i 𝔒_{K}, lad α ∈ K^{x}, vælg β ∈ 𝔒_{K} − {0}, så αβ ∈ 𝔒_{K}, lad

ν_{𝔭}(α) := max_{n∈ℕ}{αβ ∈ 𝔭^{n}} − max_{n∈ℕ}{β ∈ 𝔭^{n}} ,

og sæt

(‡)  v_{𝔭}(α) := a^{−ν_{𝔭}(α)},  v_{𝔭}(0) := 0 ,

hvor a er et vilkårligt reelt tal > 1; v_{𝔭} afhænger ikke af valget af β, og definerer en ikke-arkimedisk valuation på K. Forskellige valg af a resulterer i ækvivalente valuationer. Sædvanligvis vil man ’normalisere’ valget af a ved at sætte a = |𝔒_{K}/𝔭|; i så fald kaldes v_{𝔭} defineret ved (‡) for den normaliserede 𝔭-adiske valuation på K. Vi forudsætter i det følgende, at vores ikke-arkimediske valuationer er normaliserede i denne forstand.

A.1. Kompletion. Lad v være en primplads i K. Via metrikken d_{v} kan vi konstruere kompletionen K_{v} af K m.h.t. v: Det er samme type konstruktion som konstruktionen af ℝ fra ℚ: Givet d_{v} har man begreberne ’Cauchy-følge’ og ’nulfølge’ m.h.t. d_{v}, og vi definerer:

K_{v} = {Cauchy-følger}/{nul-følger} .

K_{v} bliver da født med en naturlig legemsstruktur, man har en legemsindlejring K ↪ K_{v}, og v kan fortsættes til en valuation på K_{v}; K_{v} bliver et lokalkompakt, fuldstændigt topologisk legeme m.h.t. d_{v}. Hvis v er arkimedisk, er K_{v} velkendt: Vi får K_{v} = ℝ eller ℂ, eftersom φ(K) (se ovenfor) er indeholdt i ℝ eller ej.

Lad nu v være ikke-arkimedisk. Mængden

𝔒_{v} := {v ∈ K_{v} | v(x) ≤ 1}

vises at udgøre en underring i K_{v} (kaldet ringen af hele v-adiske tal). Denne ring er en lokal (kommutativ) ring, i.e. den har netop et maksimalideal; dette er

𝔭_{v} := {v ∈ K_{v} | v(x) < 1}.

Legemet k_{v} := 𝔒_{v}/𝔭_{v} vises at være et endeligt legeme kaldet v’s restklasselegeme.

A.2. Udvidelser. Lad L/K være en endelig, normal udvidelse af grad n og Galoisgruppe G. Lad v være en (normaliseret) ikke-arkimedisk valuation i K. Hvis w er en valuation på L, så siges w at være en udvidelse af v, såfremt restriktionen af w til K er ækvivalent med v. I så fald er også w ikke-arkimedisk. Man viser følgende: v har mindst 1 og højst n udvidelser til en normaliseret ikke-arkimedisk valuation på L; lad w = w_{1}, …, w_{s} være disse. Man har da for α ∈ L:

∏_{i=1}^{s} w_{i}(α) = v(N_{L/K}(α)) ,

hvor N_{L/K}(·) er normafbildningen α ↦ ∏_{g∈G} g.α af L ind i K. Nu virker Galoisgruppen G på mængden {w_{1}, …, w_{s}} via fastsættelsen:

(g.w_{i})(α) := w_{i}(g^{−1}.α) ;

man viser, at denne virkning er transitiv.

Man definerer dekompositionsgruppen D_{w} for w som stabilisatoren i G m.h.t. denne virkning:

D_{w} := {g ∈ G | g.w = w}.

Grupperne D_{w_{1}}, …, D_{w_{s}} er indbyrdes konjugerede i G: Hvis w_{j} = g.w_{i}, haves D_{w_{j}} = gD_{w_{i}}g^{−1}.

Da w er en udvidelse af v, har man på naturlig måde K_{v} indlejret som dellegeme af L_{w}. Nu har vi en naturlig virkning af D_{w} på mængden af Cauchy-følger m.h.t. w i L (hvis g ∈ G, og (α_{m}) er en Cauchy-følge m.h.t. w, da er (g.α_{m}) en Cauchyfølge m.h.t. g.w). Ved denne virkning går nul-følger over i nul-følger, så vi får en virkning på L_{w}; denne stabiliserer K_{v} punktvist. Man viser: L_{w}/K_{v} er en normal udvidelse, og den beskrevne virkning af D_{w} giver en isomorfi:

D_{w} ˜⟶Gal(L_{w}/K_{v}) .

Man kan anstille fuldstændigt tilsvarende overvejelser, hvis v er en arkimedisk valuation; i dette tilfælde vil analogierne til ovenstående dog kun bestå af trivialiteter, som vi ikke vil få yderligere brug for.

A.3. Forgrening og Frobenius-elementer. Behold situation og notation som i A.2. For hvert i er 𝔭_{v}𝔒_{w_{i}} et ideal i 𝔒_{w_{i}} og følgelig en potens af 𝔭_{w_{i}}:

𝔭_{v}𝔒_{w_{i}} = 𝔭_{w_{i}}^{e_{i}} ;

størrelsen e_{i} kaldes w_{i}’s forgreningsindex (over v); w_{i} kaldes uforgrenet, hvis e_{i} = 1, i modsat fald forgrenet. Nu vises e_{1} = … = e_{s}; det har da mening at kalde v uforgrenet i L, hvis e := e_{1} = 1; i modsat fald siges v at være forgrenet i L. Man har følgende fundamentale sætning:

Sætning A.3.1. Mængden af i L forgrenede primpladser i K er endelig.

Mere præcist kan man definere et ideal 𝔇(L/K) - kaldet diskriminanten for L/K - i ringen 𝔒 af hele algebraiske tal i K med den egenskab, at primpladsen i K hørende til et primideal 𝔭 i 𝔒 forgrenes i L, hvis og kun hvis 𝔭 går op i 𝔇(L/K).

Man definerer w’s inertigruppe I_{w} som følgende undergruppe af D_{w}:

I_{w} := {g ∈ D_{w} | w(g.α − α) < 1, ∀α ∈ 𝔒_{w}},

og viser:

I_{w} = 1 ⇔ w er uforgrenet;

mere præcist er #I_{w} = e.

Lad nu F være fikspunktslegemet for I_{w} i L_{w}; w inducerer en valuation w^{unr} på F (’unr’ for ’unramified’); w^{unr} er en fortsættelse af v til F, og F er fuldstændig m.h.t. w^{unr}; vi kan altså skrive F = F_{w^{unr}} og har størrelserne 𝔒_{w^{unr}} og 𝔭_{w^{unr}} knyttet hertil. F_{w^{unr}} er den maksimale uforgrenede udvidelse af K_{v} i L_{w}, og man har med k_{w} := 𝔒_{w}/𝔭_{w} en kanonisk homomorfi

Gal(F_{w^{unr}}/K_{v}) ≅ D_{w}/I_{w} ⟶ Gal(k_{w}/k_{v}) ,

der vises at være en isomorfi. Da k_{w} er en endelig udvidelse af det endelige legeme k_{v}, kender vi strukturen af Galoisgruppen Gal(k_{w}/k_{v}): Den er cyklisk af orden dim_{k_{v}} k_{w} med den kanoniske frembringer (Frobenius-automorfien) x ↦ x^{q}, hvor q := #k_{v}; et løft til D_{w} af denne kanoniske frembringer kaldes et (aritmetisk) Frobenius-element hørende til w, og vi betegner et sådant med Fr_{w}; Fr_{w} ∈ D_{w} er altså kun defineret modulo I_{w}; som element i D_{w}/I_{w} karakteriseres det ved egenskaben:

Fr_{w}(α) ≡ α^{q} mod 𝔭_{w} , ∀α ∈ 𝔒_{w} .

Som vi nævnte ovenfor har enhver anden primplads w_{i} af L over v formen w_{i} = g.w for et g ∈ G := Gal(L/K); man verificerer, at Fr_{g.w} = gFr_{w}g^{−1} (som elementer i D_{g.w}/I_{g.w}). Er man derfor kun interesseret i egenskaber ved Frobenius-elementerne, der er invariante under konjugation (som eksempelvis sporene af deres billeder under en lineær repræsentation), så tillader man sig i reglen at benytte Fr_{v} som betegnelse for ethvert af disse; Fr_{v} er altså kun bestemt op til konjugation med elementer i G, og kaldes ’Frobenius-element over v’.

Endelig vil vi nævne følgende down-to-earth fortolkning af de størrelser, der forekommer ovenfor. Lad som ovenfor w_{1}, …, w_{s} være fortsættelserne af v til L med tilhørende forgreningsindices e_{1} = … = e_{s} =: e. Størrelsen f_{i} := dim_{k_{v}} k_{w_{i}} kaldes w_{i}’s restklassegrad; det følger af det ovenstående, at vi har f_{1} = … = f_{s} =: f. Man viser, at størrelserne s, e, f også kan aflæses på følgende måde: Valuationen v svarer til et primideal 𝔭 i 𝔒_{K}; ringen 𝔒_{L} af hele algebraiske tal i L har entydig faktorisering af idealer som produkt af primidealer; vi kan følgelig betragte primfaktoriseringen af 𝔭𝔒_{L}; denne faktorisering har form:

𝔭𝔒_{L} = 𝔓_{1}^{e} … 𝔓_{s}^{e} ,

hvor 𝔓_{1}, … 𝔓_{s} er indbyrdes forskellige primidealer i 𝔒_{L} med 𝔒_{L}/𝔓_{i} = f_{i} = f, og man har følgende sætning:

Sætning A.3.2. sef = n = [L : K].

A.4. Højere forgreningsgrupper. Samme situation som i 1.2. Sæt 𝔒 := 𝔒_{w}, I := I_{w} og ν := ν_{𝔭_{w}} således, at vi ifølge definitioner har w(α) = |𝔒/𝔭_{w}|^{−ν(α)} for α ∈ L. Ifølge definitionen på I haves da:

\begin{matrix}g ∈ I ⇔ w(g.α − α) < 1, ∀α ∈ 𝔒 ⇔ & ν(g.α − α) > 0, ∀α ∈ 𝔒 \\ ⇔ & ν(g.α − α) ≥ 1, ∀α ∈ 𝔒 . \end{matrix}

For u ∈ ℤ, u ≥ −1, definereres den hørere forgreningsgruppe I_{u} ved:

(∗)  g ∈ I_{u} ⇔ ν(g.α − α) ≥ u + 1, ∀α ∈ 𝔒 .

Således er D_{w} = I_{−1} og I = I_{0}. Det vises, at grupperne I_{u} er normale undergrupper i D_{w}; man har I_{0} ≥ I_{1} ≥ …, og I_{u} = 1 for u tilstrækkelig stor. Gruppen I_{1} kan vises at være en p-gruppe, hvis p betegner karakteristikken af k_{v}, hvorimod kvotienten I_{0}/I_{1} er cyklisk af orden primisk med p.

Definitionen (∗) giver mening for ethvert u ∈ ℝ; vi kan således definere en funktion φ : ℝ_{≥−1} → ℝ ved:

φ(u) = ∫_{0}^{u} \frac{dt}{[I_{0} : I_{t}]} ,

hvor [I_{0} : I_{t}] for t ≤ 0 skal fortolkes som [I_{t} : I_{0}]^{−1}. Funktionen φ vises at være en stykkevis lineær, kontinuert, voksende og konkav afbildning af [−1, ∞[ på sig selv. Kald den inverse funktion til φ for ψ og definer for s ≥ −1: I^{s} := I_{ψ(s)}. Grupperne I^{s} kaldes forgreningsgrupper med øvre nummerering, og formålet med deres indføring er følgende sætning, hvis betydning vi vil se i næste afsnit:

Sætning A.4.1. Lad L′/K være en Galoisudvidelse indeholdt i L, og lad w′ være va-luationen på L′, som w er en fortsættelse af. Lad N := Gal(L_{w}/L′_{w′}) således, at N ⊴ D_{w}. Da gælder

I_{w′}^{s} = (I_{w}^{s}N)/N .

Appendix B. Absolutte Galoisgrupper.

Lad M/K være en vilkårlig Galoisudvidelse af legemer, i.e., M er algebraisk over K, og gruppen Gal(M/K) bestående af legems-automorfier af M, der fikserer K elementvist, fikserer kun elementer i K. Lad K(j), j ∈ J, være mængden af endelige Galoisudvidelser af K indeholdt i M. Hvis K(i) ⊆ K(j), har vi fra Galoisteorien en surjektiv homomorfi π_{ji}: Gal(K(j)/K) → Gal(K(i)/K), hvilket giver systemet af endelige grupper Gal(K(j)/K), j ∈ J, struktur af et projektivt system. Vi kan derfor betragte systemets projektive limes:

G := lim_{\overleftarrow{j∈J}} Gal(K(j)/K) ;

man viser, at vi har en naturlig isomorfi:

Gal(M/K) ≅ G .

Vi kan forsyne hver af grupperne Gal(K(j)/K) med den diskrete topologi; homomorfierne π_{ji} er da kontinuerte, og ’abstrakt nonsens’ giver derfor en topologi på Gal(M/K) ≅ G p.gr.a. G’s konstruktion som projektiv limes: Et system af åbne omegne af 1 er mængden Gal(M/K(j)), j ∈ J. Gal(M/K) er et eksempel på en pro-endelig topologisk gruppe; sådanne kan karakteriseres ved at være kompakte og totalt usammenhængende.

Vi skal benytte denne konstruktion i tilfælde, hvor K er et algebraisk tallegeme, kompletteringen af et sådant m.h.t. en valuation, eller er et endeligt legeme, og hvor M = \overline{K} er en algebraisk afslutning af K. I disse tilfælde skriver vi

G_{K} := Gal(\overline{K}/K) .

B.1. Dekompositionsgrupper. Betragt specielt tilfældet K = ℚ, M = ℚ̄, med K(j)/ℚ, j ∈ J, systemet af endelige Galoisudvidelser af ℚ. Lad p være et primtal. Lad w(p, j), j ∈ J, være et system af valuationer på legemerne K(j) med følgende egenskaber: (i) w(p, j) er en valuation på K(j), der fortsætter valuationen hørende til p på ℚ; (ii) Hvis K(i) ≤ K(j), da er w(p, j) en fortsættelse af w(p, i).

Et sådant system w(p, j) eksisterer, men er på ingen måde entydigt bestemt; faktisk er mængden af mulige systemer overtælleligt.

Givet systemet w(p, j), j ∈ J, kan vi lade K(p, j) betegne kompletionen af K(j) m.h.t. w(p, j), og lade D(p, j) hhv. I(p, j)^{u}, u ≥ −1, være de tilhørende dekompositionsgrupper hhv. højere inertigrupper med øvre nummerering; vi har altså I(p, j)^{−1} = D(p, j). Vi vil nu se formålet med introduktionen af den øvre nummerering på de højere inertigrupper: Sætning A.4.1 medfører, at systemet I(p, j)^{u}, j ∈ J, for ethvert givet u ≥ −1, på naturlig måde udgør et projektivt system: Hvis K(i) ≤ K(j), da er I(p, i)^{u} kvotient af I(p, j)^{u} via den kanoniske homomorfi fra Galoisteorien. Det giver således mening at definere:

I_{p}^{u} := lim_{\overleftarrow{j∈J}} I(p, j)^{u},

og specielt

D_{p} := I_{p}^{−1} = lim_{\overleftarrow{j∈J}} D(p, j) .

Af konstruktion of tidligere nævnte resultater følger:

(i) D_{p} ≤ G_{ℚ}, I_{p}^{u} ⊴ D_{p}, ∀u ≥ −1,

(ii) I_{p}^{v} ≥ I_{p}^{u}, for v ≤ u, I_{p}^{u} = ⋂_{v<u} I_{p}^{v}, og ⋂_{u} I_{p}^{u} = 1.

Grupperne D_{p}, I_{p}^{u} afhænger naturligvis af valget af systemet w(p, j). Resultaterne i A.2 viser imidlertid, at forskellige valg af systemet w(p, j) resulterer i konjugation med elementer i G_{ℚ} af de tilknyttede grupper D_{p}. Vi kalder D_{p} hhv. I_{p}^{u}, u ≥ 0, for (en) dekompositionsgruppe over p i G_{ℚ} hhv. (højere) inertigrupper over p i G_{ℚ}. Vi sætter I_{p} := I_{p}^{0}. Der gælder følgende sætning, som ikke helt følger af tidligere nævnte resultater:

Sætning B.1.1. (i) D_{p} ≅ G_{ℚ_{p}}, (ii) D_{p}/I_{p} ≅ G_{𝔽_{p}}.

Disse isomorfier er kanoniske i den forstand, at deres konstruktion som injektive homomorfier følger direkte af de tilsvarende konstruktioner i A.3 ovenfor samt konstruktionen af grupperne I_{p}^{u}; kun surjektiviteten af disse homomorfier kræver yderligere overvejelser.

Gruppen G_{𝔽_{p}} har en kanonisk topologisk frembringer: Frobenius-automorfien σ, der virker på 𝔽̄ ved σ(α) = α^{p}; ’topologisk frembringer’ betyder naturligvis, at < σ > er tæt i G_{𝔽_{p}}. Et løft af σ til D_{p} via isomorfien i (ii) i sætningen ovenfor kaldes (et) Frobenius-element over p i G_{ℚ}, og vi betegner et sådant med Fr_{p}. Således er Fr_{p} ∈ D_{p} ≤ G_{ℚ} efter valg af system w(p, j) og dermed D_{p} kun entydigt bestemt modulo I_{p}; foskellige valg af systemer w(p, j) resulterer i konjugation af de tilknyttede elementer Fr_{p}.

B.2. Galoisrepræsentationer. Lad n være et naturligt tal. Ved en n-dimensional Galoisrepræsentation (af G_{ℚ}) vil vi forstå en semisimpel, kontinuert homomorfi ρ: G_{ℚ} ⟶ GL_{n}(F), hvor F er enten (i) ℂ med den diskrete topologi, (ii) en endelig udvidelse af ℚ_{ℓ}, (ℓ primtal) med sin naturlige topologi, eller (iii) et endeligt legeme (lad os sige af karakteristik ℓ) med den diskrete topologi. Svarende til disse 3 tilfælde kalder man ρ en kompleks, en ℓ-adisk, hhv. en mod ℓ Galoisrepræsentation. Billedet ρ(G_{ℚ}) er endeligt i tilfældene (i) og (iii), men ikke nødvendigvis i tilfældet (ii). Hvis ρ er givet, vil vi som fast betegnelse benytte ℓ som betegnelse for det primtal, der er givet med ρ, hvis ρ er af typen (ii) eller (iii).

Lad nu ρ: G_{ℚ} ⟶ GL_{n}(F) være en Galoisrepræsentation, lad p være et primtal, lad D_{p} være (en) dekompositionsgruppe over p, og lad I_{p} ⊴ D_{p} være den tilhørende inertigruppe. Vi siger, at ρ er uforgrenet over p, hvis ρ(I_{p}) = 1; i modsat fald siges ρ naturligvis at være forgrenet over p; man siger også, at p er et forgreningspunkt for ρ. Da jo ρ’s kerne er en normal undergruppe i G_{ℚ}, følger det, at selvom gruppen I_{p} ≤ G_{ℚ} ikke er entydigt bestemt, så er egenskaben ’uforgrenet over p’ uafhængig af valget af D_{p}, I_{p}. Hvis ρ er af type (i) eller (iii), så følger det af sætning A.3.1, at ρ kun er forgrenet over p for endeligt mange p. Hvis ρ er af type (ii) følger dette ikke nødvendigvis, men man finder i øjeblikket i talteorien ikke anledning til at betragte ℓ-adiske repræsentationer med uendeligt mange forgreningspunkter; vi vil overalt forudsætte, at ℓ-adiske Galoisrepræsentationer kun har endeligt mange forgreningspunkter; man kan således tage denne egenskab som en del af definitionen af en ℓ-adisk repræsentation.

Hvis ρ er uforgrenet, giver ρ via restriktion til D_{p} anledning til en homomorfi D_{p}/I_{p} ⟶ GL_{n}(F), hvorfor det giver mening at tale om ρ(Fr_{p}); dette element i GL_{n}(F) afhænger naturligvis af valget af D_{p}, men det følger af bemærkningerne i B.1, at det karakteristiske polynomium af ρ(Fr_{p}) - og dermed specielt Trρ(Fr_{p}) - er uafhængigt af dette valg. Mere generelt kan vi gøre os følgende overvejelser: Vi kan opfatte ρ som en homomorfi G_{ℚ} ⟶ Aut(V), hvor V er et n-dimensionalt vektorrum over F. Betegner vi med ρ_{p} restriktionen af ρ til D_{p}, da giver ρ_{p} - eftersom I_{p} ⊴ D_{p} - en homomorfi D_{p}/I_{p} ⟶ Aut(V^{I_{p}}), hvor V^{I_{p}} betegner fikspunkterne for ρ(I_{p}) i V; betegner vi denne homomorfi med ρ_{p}^{I_{p}}, kan vi således tale om ρ_{p}^{I_{p}}(Fr_{p}), og vi har, at det karakteristiske polynomium og dermed specielt sporet af af dette element i Aut(V^{I_{p}}) er uafhængigt af valget af D_{p}.

Vi har nu følgende fundamentale sætninger.

Sætning B.2.1. (Chebotarev’s sætning.) Lad L/ℚ være en endelig Galoisudvidelse med Galoisgruppe G. Lad C ⊆ G være en konjugationsklasse i G. For x ∈ ℝ, x ≥ 2, har vi da for antallet π_{L/ℚ,C}(x) af primtal p ≤ x, der er uforgrenede i L/ℚ, og for hvilke Fr_{p} ∈ C:

π_{L/ℚ,C}(x) = \frac{|C|}{|G|} · ∫_{2}^{x} \frac{dt}{log t} + o(\frac{x}{log x}).

Chebotarev’s sætning er en generalisering af den velkendte primtalssætning. Beviset er i det væsentlige analytisk talteori, men benytter sig dog af et grundlæggende udsagn fra klasselegemeteorien. Restleddet kan præciseres, og under antagelse af den såkaldte generaliserede Riemann-hypotese forbedres betydeligt. Følgende sætning er et korollar til Chebotarev’s sætning.

Sætning B.2.2. Lad L/ℚ være en (ikke nødvendigvis endelig) Galoisudvidelse med Galoisgruppe G, der er uforgrenet udenfor en endelig mængde af primtal S. Betegn for p ∈ S med [Fr_{p}] konjugationsklassen af Fr_{p} i G. Da er ⋃_{p∉S}[Fr_{p}] tæt i G.

Denne sætning medfører sammen med generelle egenskaber for semisimple repræsentationer følgende sætning, der giver en første antydning af begrundelsen for vores fokusering på Frobenius-elementer i forbindelse med Galoisrepræsentationer.

Sætning B.2.3. Lad ρ : G_{ℚ} ⟶ GL_{n}(F) være en Galoisrepræsentation uforgrenet udenfor den endelige mængde S af primtal.

Hvis ρ er kompleks eller ℓ-adisk, er ρ bestemt op til konjugation ved sporene Trρ(Fr_{p}), p ∉ S.

Hvis ρ er en mod ℓ repræsentation, er ρ bestemt op til konjugation ved de karakteristiske polynomier af ρ(Fr_{p}), p ∉ S. Er ℓ > n, er ρ bestemt op til konjugation ved sporene Trρ(Fr_{p}), p ∉ S.

B.3. Førere af Galoisrepræsentationer. Samme betegnelser og notationer som i B.2. Lad altså igen ρ : G_{ℚ} ⟶ GL_{n}(F) være en Galoisrepræsentation. Opfat som i B.2 ρ som en homomorfi G_{ℚ} ⟶ Aut(V), hvor V er et n-dimensionalt vektorrum over F. Lad p være et primtal, der forudsættes ≠ ℓ, hvis ρ er en mod ℓ eller ℓ-adisk repræsentation. Vi definerer:

(♯)  m_{p}(ρ) = dim_{F} (V/V^{ρ(I_{p})}) + ∫_{0}^{∞} dim_{F} (V/V^{ρ(I_{p}^{u})})du .

Man viser først, at m_{p}(ρ) < ∞; hvis ρ er en kompleks eller mod ℓ repræsentation, følger dette af endeligheden af ρ(G_{ℚ}). Hvis ρ er ℓ-adisk, følger endeligheden af m_{p}(ρ) af en påvisning af, at ρ(P_{p}) er endelig, hvor P_{p} := ⋃_{u>0} I_{p}^{u}; dette medføres af p ≠ ℓ, efter at man har bevist, at P_{p} er en pro-p-gruppe, i.e. en projektiv limes af endelige p-grupper.

Der gælder følgende ikke-trivielle sætning:

Sætning B.3.1. m_{p}(ρ) ∈ ℕ_{0}.

Vi bemærker, at definitionen af m_{p}(ρ) umiddelbart giver:

m_{p}(ρ) = 0 ⇔ ρ er uforgrenet over p.

Følgelig kan vi definere et naturligt tal N(ρ) kaldet føreren af ρ (eng.: conductor) ved:

N(ρ) := ∏_{p} p^{m_{p}(ρ)} ,

hvor produktet er over alle primtal p, hvis ρ er kompleks, mens det er over alle p ≠ ℓ, hvis ρ er en mod ℓ eller ℓ-adisk repræsentation.

Hvis ρ er en kompleks repræsentation, kaldes N(ρ) også Artin-føreren af ρ. Begrebet ’Artin-fører’ er generalisering af et klassisk begreb fra klasselegemeteorien: Antag, at ρ er 1-dimensional: ρ : G_{ℚ} ⟶ GL_{1}(ℂ) = ℂ^{x}; da er ρ(G_{ℚ}) cyklisk, i.e. fikslegemet for Ker(ρ) ≤ G_{ℚ} er en endelig Galoisudvidelse af ℚ med cyklisk Galoisgruppe; i klasselegemeteorien knytter man til en sådan et naturligt tal kaldet føreren af den givne udvidelse; denne fører stemmer overens med Artin-føreren af ρ.

Selvom vi i artiklens hoveddel ikke beskæftiger os synderligt med L-rækker af Galoisrepræsentationer, vil vi dog for fuldstændighedens skyld kort anføre deres definition for komplekse repræsentationer, da det kan siges at være ’L-funktions-yoga’, der historisk set førte Langlands frem til sine storslåede visioner om sammenhænge mellem Galoisrepræsentationer og automorfe former, hvorved den udvikling, der i sidste ende førte frem til beviset for Taniyama-Shimura-formodningen, blev igangsat.

Lad altså ρ: G_{ℚ} ⟶ GL_{n}(ℂ) være en kompleks repræsentation, og V som ovenfor. Man definerer for en kompleks parameter s:

(♭)  L(ρ, s) = A(ρ)^{s/2}γ(s) ∏_{p} \frac{1}{det (1 − p^{−s}ρ(Fr_{p}) | V^{I_{p}})} ,

hvor | betyder ’virkende på’, A(ρ) er et vist naturligt tal, der afhænger bl. a. af N(ρ), γ(s) er en vis funktion, der kan udtrykkes via den klassiske Gamma-funktion Γ(s), og hvor produktet er over alle primtal p. Denne definition er i første omgang rent formel, men vi kan dog straks notere os, at den generaliserer en yderst velkendt, klassisk funktion: Antag, at ρ er den trivielle repræsentation G_{ℚ} → GL_{1}(ℂ), i.e. ρ(g) = 1, ∀g ∈ G_{ℚ}. I dette tilfælde er N(ρ) = 1, A(ρ) = 1, γ(s) = π^{−s/2}Γ(s/2), og følgelig L(ρ, s) = π^{−s/2}Γ(s/2)ζ(s), hvor ζ(s) er Riemann’s zeta-funktion; som bekendt gælder der altså i dette tilfælde, at L(ρ, s) definerer en holomorf funktion af s for Re(s) > 1, og kan fortsættes meromorft til hele den komplekse plan, hvor den har simple poler i 0 og 1, og tilfredsstiller funktionalligningen:

L(ρ, 1 − s) = L(ρ, s).

Generelt har man følgende berømte sætning af Artin:

Sætning B.3.2. L(ρ, s) definerer en holomorf funktion af s for Re(s) > 1, som kan fortsættes meromorft til hele den komplekse plan, hvor den tilfredsstiller funktionalligningen

L(ρ, 1 − s) = W (ρ)L(ρ̂, s).

Her er ρ̂ den til ρ kontragrediente repræsentation, og W (ρ) er et vist komplekst tal med absolutværdi 1 (det såkaldte Artin’ske ’rodtal’ knyttet til ρ).

Artin’s berømte formodning udsiger, at hvis enten n > 1 og ρ er irreducibel, eller hvis n = 1 og ρ er ikke-triviel, da kan L(ρ, s) fortsættes holomorft til hele den komplekse plan (med ovenstående funktionalligning). For n = 1 kan denne formodning bevises ved hjælp af klasselegemeteorien. For n = 2 vides der nu ganske meget, hvilket bl.a. (men ikke kun) skyldes de nyeste udviklinger, som Wiles’ fundamentale arbejde har givet anledning til. For n > 1 er formodningen stort set stadig åben, idet man kun kender beviser i en række (ret beset temmeligt) specielle tilfælde.

B.4. Bemærkninger. Samtlige af de ovenstående begreber, resultater og formodninger har generaliseringer til situationen, hvor man betragter repræsentationer af G_{K}, hvor K er et vilkårligt algebraisk tallegeme.

Man kan også definere L-rækker knyttede til visse typer af ℓ-adiske repræsentationer (eller rettere: til visse systemer af sådanne), og for disse udtale formodninger, der generaliserer Artin’s formodning ovenfor. Vi undgår af give de relevante definitioner, da de forudsætter indførelse af yderligere begreber, især fra algebraisk geometri. Det skal dog nævnes, at disse ’generaliserede Artin-formodninger’ i sammenhæng med de systemer af ℓ-adiske repræsentationer, der opstår på naturlig måde fra elliptiske kurver defineret over ℚ, kan vises at være ækvivalente med (en version af) den berømte Taniyama-Shimura-formodning, der står centralt i Wiles’ arbejde. Vi vil dog ikke beskæftige os nærmere med denne formulering af Taniyama-Shimura-formodningen, især fordi denne formulering ikke har vist sig at være en frugtbar ansats for beviser for Taniyama-Shimura.

Artin’s formodning (i den ovenfor benyttede analytiske version) er af betydning for moderne talteori, fordi den (overraskende) viste sig i tilfældet n = 2 at være ækvivalent til en generalisering af klasselegemeteorien til 2-dimensionale komplekse repræsentationer af G_{ℚ}; denne synsvinkel har - i modsætning til foregående bemærkning - vist sig at være frugtbar, idet den har spillet en rolle for beviser for en del af disse generaliseringer, hvoraf én udgør udgangspunktet for Wiles’ bevis for en del af Taniyama-Shimura-formodningen.

Litteratur.

Der følger her et kort og på ingen måde fuldstændigt udvalg af litteratur; listen indeholder litteratur til brug ved studium af baggrundsstof, selve beviset for Taniyama-Shimura/Fermat, samt mere avancerede emner.

Algebraisk talteori, klasselegemeteori: [BS], [Neu], [Ser68], [Koc], [CF] Gruppekohomologi, Galoiskohomologi: [CF], [Mil], [Hab] Grupperepræsenationer: [CR] Algebraisk/aritmetisk geometri: [Har], [CS] Elliptiske kurver: [Sil86], [Sil94] Modulformer: [Miy], [Shi] Aritmetik af modulkurver: [CSS], [Maz77] Modulformer og Galoisrepræsentationer: [Del], [Ser77], [DS], [Ser87], [Rib], [Car] Artinske L-funktioner, Artin’s formodninger: [Mar], [Neu], [Ser77], [DS], [Lan], [Tun] Base change teori: [Lan], [Tun] Serre’s formodninger: [Ser87], [Rib], [Edi] Taniyama-Shimura ⟹ Fermat: [Fre86], [Fre89], [Ser87], [Rib] Taniyama-Shimura og generaliseringer: [DDT], [CSS], [Wil], [TW], [Dia97], [Dia96], [CDT], [BCDT]

References

[BS] Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich: Number theory. Academic Press, 1966.

[BCDT] C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond, R. Taylor: On the modularity of elliptic curves over ℚ. To appear.

[Car] H. Carayol: Sur les représentations l-adiques associées aux formes modulaires de Hilbert. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 19 (1986), 409-468.

[CF] J.W.S. Cassels, A. Fröhlich: Algebraic number theory. Academic Press, 1967.

[CDT] B. Conrad, F. Diamond, R. Taylor: Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations. J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), 521-567.

[CS] G. Cornell, J.H. Silverman (eds.): Arithmetic geometry. Springer, 1986.

[CSS] G. Cornell, J.H. Silverman, G. Stevens (eds.): Modular forms and Fermat’s last theorem. Springer, 1998.

[CR] C.W. Curtis, I. Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras. Wiley, 1962.

[DDT] H. Darmon, F. Diamond, R. Taylor: Fermat’s last theorem. Current developments in mathematics 1995, International Press, 1995.

[Del] P. Deligne: Formes modulaires et représentations ℓ-adiques. Sém. Bourbaki 1968/69 355 (1969), 139-172.

[DS] P. Deligne, J.-P. Serre: Formes modulaires de poids 1. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 7 (1975), 507-530.

[Dia96] F. Diamond: On deformation rings and Hecke rings. Ann. of Math (2) 144 (1996), 137-166.

[Dia97] F. Diamond: The Taylor-Wiles construction and multiplicity one. Invent. math. 128 (1997), 379-391.

[Edi] B. Edixhoven: The weight in Serre’s conjectures on modular forms. Invent. math. 109 (1992), 563-594.

[Fre86] G. Frey: Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations. Ann. Univ. Saraviensis, ser. Math. 1 (1986), 1-40.

[Fre89] G. Frey: Links between solutions of A-B=C and elliptic curves. In: Number Theory, Ulm 1987, Lecture Notes in Mathematics 1380, Springer, 1989.

[Hab] K. Haberland: Galois cohomology of algebraic number fields. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1978.

[Har] R. Hartshorne: Algebraic geometry. Graduate texts in Mathematics 52, Springer, 1977.

[Koc] H. Koch: Algebraic number theory. Springer, 1997.

[Lan] R.P. Langlands: Base change for GL(2). Annals of Math. Studies 96, Princeton Univ. Press, 1980.

[Mar] J. Martinet: Character theory and Artin L-functions. I: A. Fröhlich (ed.): Algebraic Number Fields, L-functions and Galois properties. Academic Press, 1977.

[Maz77] B. Mazur: Modular curves and the Eisenstein ideal. Publ. Math. IHES 47 (1977), 33-186.

[Maz78] B. Mazur: Rational isogenies of prime degree. Invent. Math. 44 (1978), 129-162.

[Mil] J. S. Milne: Arithmetic duality theorems. Perspectives in Mathematics 1, Academic Press, 1986.

[Miy] T. Miyake: Modular forms. Springer, 1989.

[Neu] J. Neukirch: Algebraic number theory. Springer, 1999.

[Rib] K.A. Ribet: On modular representations of Gal(\overline{ℚ}/ℚ). Invent. math. 100 (1990), 431-476.

[Ser68] J.-P. Serre: Corps locaux. Hermann, Paris, 1968.

[Ser77] J.-P. Serre: Modular forms of weight one and Galois representations. I: A. Fröhlich (ed.): Algebraic Number Fields, L-functions and Galois properties. Academic Press, 1977.

[Ser87] J.-P. Serre: Sur les représentations de degré 2 de Gal(\overline{ℚ}/ℚ). Duke Math. J. 54 (1987), 179-230.

[Shi] G. Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, 1971.

[Sil86] J.H. Silverman: The arithmetic of elliptic curves. Graduate texts in Mathematics 106, Springer, 1986.

[Sil94] J.H. Silverman: Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves. Graduate texts in Mathematics 151, Springer, 1994.

[TW] R. Taylor, A. Wiles: Ring theoretic properties of certain Hecke algebras. Ann. Math. 141 (1995), 553-572.

[Tun] J. Tunnell: Artin’s conjecture for representations of octahedral type. Bull. AMS 5 (1981), 173-175.

[Wil] A. Wiles: Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem. Ann. Math. 141 (1995),

443-551.

   E-mail address: kiming@math.ku.dk