Om kongruenstal.

Ian Kiming.

Contents

1. Indledning. 1 2. Omformulering. 2 3. L-rækker, spidsformer og modularitet. 3 4. Birch- og Swinnerton-Dyer formodningen og Waldspurger’s sætning. 6 5. Eksempel. 9

1. Indledning.

Lad d være et naturligt tal. Et klassisk, diofantisk problem - endda taget op til overvejelse af Diofant selv - består i at spørge efter rationale tal α, β, γ, hvis kvadrater er på hinanden følgende tal i en aritmetisk progression med modulus d; med andre ord: Der spørges efter rationale tal α, β, γ således, at:

(∗)  γ^{2} − β^{2} = β^{2} − α^{2} = d .

Hvis (∗) har en løsning i rationale tal α, β, γ, kaldes d klassisk for et ’kongruenstal’. Mens forfattere i oldtiden og middelalderen var tilfredse med at kunne angive eksempler på kongruenstal (f.eks. (Fibonacci) d = 5, α = 31/12, β = 41/12, γ = 49/12), må opgaven set fra et moderne synspunkt - såfremt problemet da overhovedet skal tages alvorligt - være at karakterisere kongruenstallene eller i det mindste at spørge efter en algoritme, der for givet d afgør, om d er et kongruenstal. Bemærk, at det på ingensomhelst måde er trivielt klart, at en sådan algoritme eksisterer: Hvis et givet d skal vises ikke at være et kongruenstal, skal - a priori - uendeligt mange muligheder for (α, β, γ) udelukkes.

Vi vil se, at det er muligt at give et partielt svar på disse spørgsmål og, at eksistensen af en fuld algoritme som ovenfor tilsyneladende hænger på et af de store, centrale, uløste problemer i moderne talteori, nemlig den såkaldte Birch- og Swinnerton-Dyer formodning (se nedenfor i afsnit 3). Øvelse 1: Vis, at d er et kongruenstal, hvis og kun hvis d er arealet af en retvinklet trekant med rationale kantlængder.

Lad os nu bemærke, at vi øjensynligt uden væsentlige indskrænkninger kan antage, at d er kvadratfrit. Af pladshensyn vil vi i denne artikel yderligere antage, at d er ulige; tilfældet, hvor d er lige kan behandles helt analogt. Altså:

d ∈ ℕ, kvadratfrit og ulige.

Vi vil diskutere forskellige aspekter af følgende sætning af J. B. Tunnell (Invent. math. 72 (1983), 323-334):

Sætning 1.1. Definer:

\begin{aligned}c_{d} := & #\{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 32z^{2} = d\} \\ & −\frac{1}{2} · #\{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = d\}. \end{aligned}

Da gælder:

c_{d} ≠ 0 ⇒ d er ikke kongruenstal.

Hvis Birch-Swinnerton-Dyer formodningen gælder, kan denne implikation vendes om.

Tunnell’s sætning har diverse klassiske resultater om kongruenstalproblemet som umiddelbare konsekvenser og viser, at visse klassiske formodninger kan opnås som følger af Birch-Swinnerton-Dyer formodningen, men vi kommer af pladshensyn ikke ind på dette.

Interessen for Tunnells sætning i sammenhæng med det måske udfra en umiddelbar betragtning relativt tilfældigt udseende problem (∗) koncentrerer sig - bortset fra den historiske interesse - i følgende 2 punkter: (i) Man beviser i den matematiske logik, at der ikke findes nogen generel algoritme til afgørelse af løsbarhed i hele tal til systemer af diofantiske ligninger (i.e. systemer af polynomiumsligninger i flere variable med heltallige koefficienter). Men det tilsvarende spørgsmål angående mulighederne for algoritmisk afgørelse af løsbarhed i rationale tal er endnu ikke afklaret. Selv specielle spørgsmål af denne type, der kan vise hvilke problemer, man er oppe imod, er derfor af en vis interesse. (ii) Som vi vil se nedenfor lurer der under overfladen af det ’uskyldigt’ udseende problem (∗) en dyb, massiv struktur, som kun den moderne matematik er i stand til at håndtere. Og det er vel netop matematikkens egentlige opgave at afdække sådanne dybtliggende og a priori skjulte strukturer.

2. Omformulering.

Lemma 2.1. Ligningen (∗) har en løsning (α, β, γ) ∈ ℚ^{3}, hvis og kun hvis ligningen

y^{2} = x^{3} − d^{2}x

har en løsning i rationale tal x, y med y ≠ 0.

Bevis: ⇒: Sæt x := (α + β)(β + γ), y := (α + β)(α + γ)(β + γ) og udnyt, at d = (γ + β)(γ − β) = (β + α)(β − α). ⇐: Sæt α := (x^{2} − 2dx − d^{2})/(2y), β := (x^{2} + d^{2})/(2y), γ := (x^{2} + 2dx − d^{2})/(2y).

I denne og vel at mærke kun i denne artikel vil vi definere en elliptisk kurve E (over ℚ) som en ligning af formen y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx + c, hvor a, b, c ∈ ℤ, og hvor polynomiet x^{3} + ax^{2} + bx + c har 3 forskellige rødder. Vi skriver:

(∗∗)  E : y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx + c ,

og vi vil betegne den specielle elliptiske kurve, der forekommer i 2.1, med E_{d}, altså:

(∗ ∗ ∗)  E_{d} : y^{2} = x^{3} − d^{2}x .

Løsninger til (∗∗) i rationale tal x, y kaldes rationale punkter på E; til disse løsninger tilføjes ’kunstigt’ et ekstra ’punkt’, som betegnes O, og man sætter:

E(ℚ) := {O} ∪ {(x, y) ∈ ℚ^{2} | y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx + c}.

Formålet med tilføjelsen af det ekstra punkt O er, at man i teorien for elliptiske kurver viser, at E(ℚ) har en naturlig struktur som abelsk gruppe, hvor O spiller rollen som neutralelement. Kompositionen i denne abelske gruppe betegner vi simpelthen med ’+’; den kan angives eksplicit: Haves eksempelvis 2 løsninger P_{i} = (x_{i}, y_{i}) ∈ ℚ^{2}, i = 1, 2, til (∗∗) med x_{1} ≠ x_{2}, fås en 3’de løsning P_{3} = P_{1} + P_{2} =

(x_{3}, y_{3}) ∈ ℚ^{2}, hvor x_{3} = (\frac{y_{1}−y_{2}}{x_{1}−x_{2}} )^{2} − a − x_{1} − x_{2}, y_{3} = − (\frac{y_{1}−y_{2}}{x_{1}−x_{2}} ) x_{3} − (\frac{y_{2}x_{1}−y_{1}x_{2}}{x_{1}−x_{2}} ) (kan checkes direkte som øvelse). Et andet eksempel på kompositionen er: (x_{1}, y_{1})+ (x_{1}, −y_{1}) = O, altså (x_{1}, −y_{1}) = −P_{1}.

Hvad kan vi sige om strukturen af E(ℚ)? En grundlæggende sætning i teorien for elliptiske kurver er Mordell’s sætning (1922), der udsiger, at gruppen E(ℚ) er endeligt frembragt. Af struktursætningen for endeligt frembragte, abelske grupper kan vi da slutte, at

E(ℚ) ≅ T ⊕ ℤ^{r} ,

hvor r ∈ ℕ_{0}, T er en endelig, abelsk gruppe, og T og r er entydigt bestemte ved E. Gruppen T kaldes E’s gruppe af (rationale) torsionspunkter og betegnes E_{tors}(ℚ); denne gruppe består altså netop af elementerne af endelig orden i E(ℚ). Tallet r kaldes E’s rang, og vi betegner det med r(E).

Lad os nu specialisere til vores specielle kurver E_{d}: Kan vi angive nogle rationale punkter på E_{d}? Det er let: Vi har øjensynligt (0, 0), (d, 0), (−d, 0) ∈ E_{d}(ℚ). Som vi nævnte ovenfor, har vi −P = (x, −y), for P = (x, y) ∈ E_{d}(ℚ), og for disse punkter gælder følgelig 2 · P (= P + P) = O, hvis og kun hvis P ∈ {(0, 0), (d, 0), (−d, 0)}. Naturligvis har vi også 2 · O = O, da O er neutralelement i E_{d}(ℚ). Vi kan altså slutte, at U := {O, (0, 0), (d, 0), (−d, 0)} er undergruppen i (E_{d})_{tors}(ℚ) bestående af elementerne af orden 2 i E_{d}(ℚ). Med blot en lille smule teori for elliptiske kurver kan man på relativ simpel vis slutte, at vi faktisk har U = (E_{d})_{tors}(ℚ). Vi antyder en mulig bevismetode i den næste øvelse. Øvelse 2: Betragt tilfældet, hvor d er et primtal ℓ. Den såkaldte Nagell-Lutz sætning specialiseret til kurven E_{ℓ} udsiger, at hvis P = (x, y) ∈ E_{ℓ}(ℚ) er et torsionspunkt, da gælder x, y ∈ ℤ, og enten 2 · P = O eller y | 2ℓ^{3}. Slut heraf, at vi for et torsionspunkt (x, y) må have y = 0.

Vi er nu i stand til at omformulere vores kongruenstalproblem.

Lemma 2.2. (d er et kongruenstal) ⇔ r(E_{d}) > 0.

Bevis: Ifølge Lemma 2.1 er d et kongruenstal, netop hvis der findes (x, y) ∈ E_{d}(ℚ) med y ≠ 0. Vi karakteriserede ovenfor torsionspunkter (altså punkter af endelig orden) (x, y) ∈ E_{d}(ℚ) ved betingelsen y = 0. Altså er d et kongruenstal, netop hvis E_{d}(ℚ) har et element af uendelig orden. Men dette er jo ækvivalent med betingelsen r(E_{d}) > 0.

3. L-rækker, spidsformer og modularitet.

Vi betragter igen den generelle elliptiske kurve (∗∗). Lad p være et primtal. Til parret (E, p) er knyttet et helt tal a_{p}(E), der kommer til at spille en afgørende rolle i det følgende. Vi angiver definitionen af a_{p}(E) ’for næsten alle p’: Da ligningen (∗∗) har heltallige koefficienter, giver det mening at opfatte den som en ligning med koefficienter i det endelige legeme 𝔽_{p}, i.e.: Vi opfatter a, b, c som liggende i ℤ/ℤp = 𝔽_{p}. Man kan vise, at polynomiet x^{3} + ax^{2} + bx + c ∈ 𝔽_{p}[X] for alle pånær endeligt mange primtal p har 3 forskellige rødder (i en eller anden endelig udvidelse af 𝔽_{p}); antag, at dette er tilfældet for det givne p; da defineres:

a_{p}(E) := p − #{(x, y) ∈ 𝔽_{p}^{2} | y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx + c} .

I de endeligt mange tilfælde, hvor 2 eller 3 af rødderne i x^{3} + ax^{2} + bx + c over 𝔽_{p} falder sammen, har man også en definition af a_{p}(E), men denne kan ikke mere forklares i elementære termer (hvilket vi derfor må undlade at gøre). Som vi snart skal se spiller følgen af tal (a_{2}(E), a_{3}(E), a_{5}(E), a_{7}(E), a_{11}(E), …) en fundamental rolle for strukturen af E, specielt for strukturen af E(ℚ). Imidlertid rækker det ikke kun at kende endeligt mange af disse tal a_{p}(E); vi må derfor finde en måde at ’pakke’ den information, der ligger i hele rækken af a_{p}(E)’er, sammen i et nyt objekt. Dette nye objekt er E’s såkaldte L-række. Der findes (uendeligt) mange andre strukturer i talteorien, der har L-rækker knyttet til sig. Det simpleste eksempel på en L-række er Riemann’s zeta-funktion:

(♯)  ζ(s) := ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} = ∏_{p primtal}(1 − p^{−s})^{−1} ,

med sin udvidede version:

Λ(s) := π^{−s/2}Γ(s/2)ζ(s) ,

hvor Γ er den sædvanlige gamma-funktion. Som bekendt konvergerer (♯) absolut for s ∈ ℂ, Re(s) > 1, og her definerer Λ(s) en holomorf funktion af s. Denne kan fortsættes meromorft til hele den komplekse plan, hvor den har simple poler i 0 og 1 og tilfredsstiller funktionalligningen Λ(s) = Λ(1 − s).

Definitionen af L-rækken for E, L(E, s), er analog:

(♯♯)  L(E, s) := ∏_{p primtal} (1 − a_{p}(E) · p^{−s} + p^{1−2s})^{−1} ,

og vi har også her en udvidet version:

Λ(E, s) := N_{E}^{s/2}(2π)^{−s}Γ(s)L(E, s) ,

hvor N_{E} er et vist naturligt tal knyttet til E, hvis definition vi ikke kommer ind på (N_{E} er E’s såkaldte ’fører’). Benytter man Hasse-Weil-vurderingerne, der siger, at | a_{p}(E) |< 2\sqrt{p}, kan man slutte, at (♯♯) konvergerer absolut for s ∈ ℂ, Re(s) > 2 og definerer en holomorf funktion af s i dette område. I dette område kan vi så gange paranteserne i (♯♯) ud, og finder under benyttelse af den geometriske række (1 − q)^{−1} = 1 + q + q^{2} + …:

L(E, s) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(E) · n^{−s} ,

hvor a_{1}(E) := 1, a_{mn}(E) := a_{m}(E)a_{n}(E) for (m, n) = 1, a_{p^{2}}(E) := a_{p}(E)^{2} − p, osv..

Kunne det måske være tilfældet, at Λ(E, s) har en analytisk fortsættelse til hele den komplekse plan s ∈ ℂ, hvor den tilfredsstiller en funktionalligning analog til funktionalligningen for Riemann’s zeta-funktion? Dette er et overordentligt meget mere kompliceret spørgsmål end det tilsvarende spørgsmål for Riemann’s zeta-funktion, fordi svaret afhænger af, om E er ’modulær’, - et begreb, som vi nu kort vil forklare: Lad N ∈ ℕ. En spidsform af vægt 2 og niveau N er en holomorf funktion f på ’den øvre halvplan’ {τ ∈ ℂ | Im(τ) > 0} med følgende egenskaber:

(i) f(τ) = (cτ + d)^{−2}f (\frac{aτ+b}{cτ+d}) for alle a, b, c, d ∈ ℤ med N | c og ad − bc = 1; (ii) ∃ν ∈]0, 2[: f(τ) = O(Im(τ)^{−ν}) for Im(τ) → 0+, uniformt m.h.t. Re(τ). En sådan spidsform er et specielt eksempel på en modulform af vægt 2 og niveau N, - definitionen af en sådan er det samme som ovenstående bortset fra, at der kun forlanges ν > 0 i betingelse (ii). En spidsform f har en Fourier-udvikling:

f(τ) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(f) · e^{2πinτ} ,

hvor a_{n}(f) er visse komplekse tal. Teorien for spidsformer er klassisk, og man kan ’let’ (dvs. kun under brug af klassiske metoder, såsom kompleks analyse) vise eksempelvis følgende: Defineres:

Λ(f, s) := N^{s/2}(2π)^{−s}Γ(s) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(f) · n^{−s} ,

da konvergerer Λ(f, s) absolut for Re(s) > 2, har holomorf fortsættelse til hele s ∈ ℂ, og tilfredsstiller her funktionalligningen:

(♯♯♯)  Λ(f, s) = −Λ(f̂, 2 − s) ,

hvor f̂(τ) := N^{−1}τ^{−2}f (\frac{−1}{Nτ} ), som også er en spidsform af vægt 2 og niveau N.

Den elliptiske kurve E siges at være modulær, hvis der findes en spidsform f af vægt 2 og niveau N_{E} således, at a_{n}(E) = a_{n}(f), ∀n ∈ ℕ. I så fald er øjensynligt Λ(E, s) = Λ(f, s) for Re(s) > 2. Af (♯♯♯) følger da med lidt ekstra arbejde, hvor man viser, at der i dette tilfælde gælder f̂ = ±f:

Sætning 3.1. Lad E være en modulær elliptisk kurve over ℚ. Da kan Λ(E, s) fortsættes holomorft til hele s ∈ ℂ, og tilfredsstiller her funtionalligningen:

Λ(E, s) = σ(E) · Λ(E, 2 − s) ,

med et vist (af E afhængigt) fortegn σ(E) ∈ {±1}.

Den berømte Taniyama-Shimura-formodning siger, at enhver elliptisk kurve over ℚ er modulær. Som mange læsere måske vil vide, blev denne formodning bevist for en stor klasse af elliptiske kurver af Andrew Wiles i 1995. Ved en første konfrontation kan T.-S.-formodningen forekomme overordentligt mystisk: Tallene a_{p}(E) har at gøre med antallet af løsninger modulo p til (∗∗); hvorfor i alverden skulle disse tal have noget med Fourierkoefficienterne af en periodisk holomorf funktion at gøre? Noget af mystikken forsvinder, hvis man ved, at en spidsform i virkeligheden er et betydeligt meget mere abstrakt (repræsentationsteoretisk, algebraisk-geometrisk) objekt. Intuitivt kunne man sige, at den holomorfe funktion f ovenfor blot er en af ∞ mange af det virkelige objekts inkarnationer (de øvrige står i 1-1 korrespondance med mængden af primtal). Vi vil hermed sige, at den ’rigtige’ spidsform er et langt mere struktureret objekt, end definitionen ovenfor lader ane, og at T.-S.- formodningen fra denne højere synsvinkel ganske vist stadig fremstår som en dyb, men langt mere naturlig og mindre overraskende formodning.

T.-S.-formodningen er blevet bevist i fuld almenhed af C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond og R. Taylor. Beviset forløber over adskillige etaper, hvoraf Wiles’ store sætning udgør den første. Relativt kort tid efter Wiles’ resultat var man (F. Diamond og K. Kramer) dog i stand til at bevise følgende udsagn: Antag, at polynomiet x^{3} + ax^{2} + bx + c i (∗∗) har 3 forskellige \underline{rationale} rødder. Da er E modulær. Specielt kunne vi heraf slutte følgende om vores specielle kurver E_{d}:

Sætning 3.2. Kurven E_{d} er modulær.

At bruge Wiles’ store sætning til at bevise sætning 3.2 er i virkeligheden et massivt teoretisk overkill; grunden er, at kurverne E_{d} tilhører en speciel klasse af elliptiske kurver, hvis teori er simplere end i det generelle tilfælde (men ikke simpel): Kurverne E_{d} er såkaldte CM-kurver (CM = ’Complex Multiplication’); det betyder groft sagt, at disse kurver har nogle ekstra, exceptionelle ’endomorfier’: Et eksempel på, hvad der menes med dette, kan fås af følgende observation: Lad (x, y) være en løsning i komplekse tal til (∗ ∗ ∗); da er også (−x, iy) en løsning. For CM-kurver - og altså specielt for kurverne E_{d} - kan modularitet bevises v.hj.a. mere klassiske teorier i algebraisk talteori og algebraisk geometri (for kendere af de finere dele af algebraisk talteori kan vi oplyse, at Λ(E_{d}, s) kan udtrykkes via en vis grössen-karakter på det tilhørende CM-legeme ℚ(i)).

Lad nu f_{d} betegne den spidsform af vægt 2 (og niveau N_{E_{d}}), som opfylder a_{n}(E_{d}) = a_{n}(f_{d}), og hvis eksistens er sikret af sætning 3.2. Vi har altså: Λ(E_{d}, s) = Λ(f_{d}, s) for s ∈ ℂ, og det giver mening at studere opførslen af Λ(E_{d}, s) i (en omegn af) symmetripunktet s = 1 for s ↦ 2 − s. Dette fører os naturligt til næste afsnit.

4. Birch- og Swinnerton-Dyer formodningen og Waldspurger’s sætning.

Antag, at kurven E er modulær. Vi kan da meningsfuldt tale om nulpunktsordenen af den holomorfe funktion Λ(E, s) i punktet s = 1. Denne orden kaldes E’s analytiske rang, og betegnes r_{an}(E). Den svage form af Birch-Swinnerton-Dyer-formodningen siger: Formodning (Birch-Swinnerton-Dyer, svag form): r(E) = r_{an}(E).

Den stærke form af formodningen er den svage form + en præcis angivelse af værdien Λ^{(r)}(E, 1), r := r_{an}(E) = r(E), udtrykt ved visse fundamentale analytiske og algebraisk-aritmetiske invarianter knyttet til E. B.-Sw.-D.-formodningen er den næste store udfordring i teorien for elliptiske kurver efter, at Taniyama-Shimura-formodningen nu er faldet mere eller mindre på plads. Hvilke grunde har vi nu til at tro på B.-Sw.-D.-formodningen? Der kan nævnes 3 grunde, ordnet efter faldende vægt: (1). Formodningen understøttes af et stort eksperimentelt datamateriale: Der findes algoritmer til bestemmelse af r_{an}(E), og selvom der ikke kendes nogen algoritme til bestemmelse af r(E), der beviseligt fungerer i ethvert tilfælde, så kan r(E) alligevel bestemmes i mange tilfælde. Man kan således for mange kurver checke, om r_{an}(E) = r(E), hvilket er blevet gjort (endda er den stærke form af formodningen blevet testet for mange kurver; i øvrigt kan det nævnes, at B.-Sw.-D.-formodningen faktisk opstod i slutningen af 1960’erne på grundlag af sådanne eksperimenter). (2). Følgende sætning (’big theorem’):

Sætning 4.1. (V. Kolyvagin, 1990, se Grothendieck Festschrift, vol. II): Lad E være en modulær elliptisk kurve over ℚ og antag, at r_{an}(E) ≤ 1. Da er r_{an}(E) = r(E).

(3). B.-Sw.-D.-formodningen er et lille hjørne af et gigantisk, men uhyre kohærent formodningsnetværk (Beilinson-formodningerne), der forbinder algebraiskaritmetiske egenskaber ved bestemte typer af talteoretiske objekter (såkaldte ’motiver’) med den analytiske opførsel af tilknyttede L-funktioner i specielle punkter. Dette store formodningssystem generaliserer diverse helt klassiske sætninger eksempelvis om Riemann’s zeta-funktion, men har på den anden side også ikke-klassiske konsekvenser, der i nogle tilfælde (som ved B.-Sw.-D.) kan bekræftes i det mindste partielt. Som minimum kan man derfor sige, at dette formodningssystem er en god arbejdshypotese.

Bemærk, at hvis vi kun interesserer os for nulpunktsordenen af Λ(E, s) i s = 1, da kan vi ligeså godt diskutere nulpunktsordenen af (den meromorfe funktion) L(E, s) i dette punkt, eftersom Λ(E, s) kun adskiller sig fra L(E, s) ved faktoren (2π/\sqrt{N_{E}})^{−s}Γ(s). Af lemma 2.2 og sætning 3 kan vi da konkludere:

Lemma 4.1. L(E_{d}, 1) ≠ 0 ⇒ (d er ikke kongruenstal). Hvis B.-Sw.-D.-formod-ningen gælder, kan denne implikation vendes om.

Et bevis for Tunnell’s sætning fås derfor, hvis man viser:

(♭)  L(E_{d}, 1) ≠ 0 ⇔ c_{d} ≠ 0 .

Vi skitserer nu, hvordan man kan reducere beviset for (♭) til en endelig mængde regning (det skitserede argument er lidt anderledes og bedre generaliserbart end argumentet i Tunnell’s artikel) : Vi interesserer os for værdierne L(E_{d}, 1) hørende til familien af kurver (E_{d})_{d ulige, kvadratfri}; disse værdier er L(f_{d}, 1), hvor (f_{d})_{d ulige, kvadratfri} er familien af til (E_{d}) hørende spidsformer. Den afgørende pointe er nu, at f_{d}’erne alle fremgår af ’grundformen’ f_{1} hørende til E_{1} ved en proces, der teknisk kaldes ’twist’: Det præcise udsagn er, at der for Fourierkoefficienterne af f_{d} og f_{1} gælder følgende sammenhæng:

a_{n}(f_{d}) = (\frac{d}{n}) a_{n}(f_{1}) , hvis (n, 2d) = 1,

hvor (\frac{d}{·}) er det sædvanlige Legendre-symbol, altså (eksempelvis) for primtal ℓ, (d, ℓ) = 1: (\frac{d}{ℓ}) = 1, hvis d er et kvadrat i 𝔽_{ℓ}, og ellers = −1. For en familie af spidsformer, der fremgår af en grundform ved sådanne ’twists’, gælder der - under bestemte tekniske forudsætninger, der er opfyldte i det foreliggende tilfælde - en dyb og ret beset temmelig mystisk sætning af Waldspurger (’big theorem’, se J. Math. pures et appl. 60 (1981), 375-484), som vi ikke formulerer i sin fulde generalitet men kun i sin specialisering til den foreliggende familie (f_{d}): Waldspurger’s sætning siger her, at værdierne L(f_{d}, 1) kan udtrykkes ved L(f_{1}, 1) og Fourierkoefficienterne i en spidsform af vægt 3/2 (se (♭♭♭) nedenfor for det præcise udsagn); men hvad er nu en spidsform af vægt 3/2? Man kan næsten gætte det af definitionerne i foregående afsnit: En spidsform af vægt 3/2 og niveau N er en holomorf funktion g på den øvre halvplan {τ ∈ ℂ | Im(τ) > 0} med:

(i) ∃ν ∈]0, 3/2[: g(τ) = O(Im(τ)^{−ν}) for Im(τ) → 0+, uniformt m.h.t. Re(τ); (ii) g(τ) = χ(c, d)(cτ + d)^{−3/2}g (\frac{aτ+b}{cτ+d}) for alle a, b, c, d ∈ ℤ med N | c og ad − bc = 1, hvor der tages hovedværdien af kvadratroden, og hvor χ(c, d) er et vist fortegn ∈ {±1, ±i}, hvis præcise afhængighed af c, d er irrelevant i denne sammenhæng. En sådan funktion g har også en Fourierudvikling:

(♭♭)  g(τ) = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}(g) · e^{2πinτ} .

Det præcise udsagn fra Waldspurger’s sætning specialiseret til familien (f_{d}) er: Der findes en spidsform g af vægt 3/2 og niveau 128 - lad os sige med Fourierudvikling (♭♭) - således, at:

(♭♭♭)  b_{1}(g)^{2}L(f_{d}, 1)\sqrt{d} = b_{d}(g)^{2}L(f_{1}, 1) ;

formen g er ikke entydigt bestemt ved kravet (♭♭♭), men (♭♭♭) er opfyldt, hvis g for ethvert ulige primtal p er egenform for en vis operator (kaldet en Hecke-operator) T_{p^{2}} med tilhørende egenværdier a_{p}(f_{1}), hvor T_{p^{2}} er en lineær operator virkende på det komplekse vektorrum S_{3/2}(128) af spidsformer af vægt 3/2 og niveau 128. Nu er rummet S_{3/2}(128) endelig-dimensionalt (faktisk er dim S_{3/2}(128) = 3), og der findes algoritmer til konstruktion af en basis for dette rum, hvorved vi mener, at Fourierkoefficienterne for en basis kan konstrueres op til en hvilken som helst grænse, der ønskes. Videre kan virkningerne af operatorerne T_{p^{2}} angives eksplicit som virkninger på følgerne af Fourierkoefficienter for en basis. Af den nævnte endelig-dimensionalitet kan man trække den konsekvens, at det krav, der stilles til vores ukendte form g ∈ S_{3/2}(128) - altså at T_{p^{2}}g = a_{p}(f_{1})g for alle ulige primtal -, kan vises eller afvises at være opfyldt for en given kandidat g ved for endeligt mange ulige primtal p (i det foreliggende tilfælde rækker det at tage p ∈ {3, 5}) at teste, om T_{p^{2}} giver den ønskede virkning på g’s Fourierkoefficienter op til en vis eksplicit angivelig grænse. At finde et g ∈ S_{3/2}(128) således, at (♭♭♭) gælder, er således reduceret til en endelig mængde lineær algebra. Man kan på denne måde verificere, at vi har (♭♭♭) , hvis g betegner følgende form:

(♮)  g(τ) := ∑_{x,y,z=−∞}^{∞}(−1)^{z} · e^{2πiτ·(2x^{2}+(4y+1)^{2}+8z^{2})} .

At denne funktion virkelig er et element i S_{3/2}(128), er i princippet standard 19. århundredes-viden: Beviset kan føres ved klassisk Fourieranalyse (Poissonsummation) analogt til beviset for den klassiske theta-transformationsformel:

θ (−\frac{1}{4τ} ) = \sqrt{\frac{2τ}{i}} θ(τ) ,

hvor θ(τ) := ∑_{n=−∞}^{∞} e^{2πin^{2}τ}, for Im(τ) > 0.

Vi kan nu let afslutte beviset for Tunnell’s sætning: Tallet L(f_{1}, 1) kan beregnes numerisk; det er givet ved den uendelige række:

L(f_{1}, 1) = 2 · ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(f_{1})n^{−1}e^{−πn/\sqrt{8}} ,

så man beregner, at L(f_{1}, 1) = 0, 655514 … ≠ 0. For vores form g givet ved (♮) haves b_{1}(g) = 1 ≠ 0. Da g tilfredsstiller (♭♭♭), fås således

L(E_{d}, 1) = L(f_{d}, 1) ≠ 0 ⇔ b_{d}(g) ≠ 0 ,

så (♭) følger, hvis vi viser, at b_{d}(g) = c_{d}. Lad:

u_{d} := #{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 32z^{2} = d}
= #{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = d, z lige} ,
v_{d} := #{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = d, z ulige} ;

da er c_{d} = u_{d} − \frac{1}{2} · (u_{d} + v_{d}), altså 2c_{d} = u_{d} − v_{d}. Men nu har vi også:

u_{d} = #{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = d, z lige, y af form 4t + 1}
+ #{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = d, z lige, y af form 4t + 3}
= #{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = d, z lige, y af form 4t + 1}
+ #{(x, −y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = d, z lige, y af form 4t + 1}
= 2 · #{(x, y, z) ∈ ℤ^{3} | 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = d, z lige, y af form 4t + 1} ,

og tilsvarende for v_{d}, hvoraf sluttes u_{d} − v_{d} = 2b_{d}(g).

5. Eksempel.

Betragt tallet 751 (primtal). Vi har, at 751 ≡ 7 (8), i.e. 751 giver rest 7 ved division med 8. Hvis man bemærker, at kvadratet på et ulige, helt tal er ≡ 1 (8), ser man da, at ingen af ligningerne 2x^{2} + y^{2} + 32z^{2} = 751 og 2x^{2} + y^{2} + 8z^{2} = 751 har en løsning i hele tal x, y, z. Tallet c_{751} fra Tunnell’s sætning er således = 0. Af beviset for Tunnell’s sætning følger derfor, at L(E_{751}, 1) = 0 (alternativt kan dette vises på følgende måde: Der findes en algoritme til bestemmelse af fortegnet σ(E) fra sætning 3.1; benyttes denne, finder man, at σ(E_{751}) = −1; af sætning 3.1 følger da L(E_{751}, 1) = 0). Nu er det således, at man for en modulær elliptisk kurve E v.hj.a. af tallene a_{n}(E) kan udtrykke tallet L′(E, 1) ved en hurtigt konvergerende uendelig række. Jeg beslutter mig for et beregningsmæssigt overkill og forlanger 1000 led af denne uendelige række hørende til E_{751} og hvert led beregnet med 100 decimalers nøjagtighed. Efter knapt 2 sek. regnetid oplyser min computer mig, at L′(E_{751}, 1) = 10, 89225888 . . .. Den nævnte uendelige række konvergerer så hurtigt, at man heraf rigorøst kan slutte, at L′(E_{751}, 1) ≠ 0. Vi har følgelig r_{an}(E_{751}) = 1. Ifølge Kolyvagin’s sætning (sætning 4.1 ovenfor) er da r(E_{751}) = 1. Ifølge lemma 2.2 er derfor 751 et kongruenstal. På helt tilsvarende vis viser man, at 1063 (primtal) også er et kongruenstal. Øvelse 3: Vi beviste altså netop eksistensen af rationale tal α, β, γ med den egenskab, at γ^{2} − β^{2} = β^{2} − α^{2} = 751. Men kan vi også faktisk angive et eksempel på sådanne rationale tal α, β, γ? Nu, man konstaterer, at:

(\frac{99126392479}{2323841520})^{2}−(\frac{75963556321}{2323841520})^{2} = (\frac{75963556321}{2323841520})^{2}−(\frac{41411134879}{2323841520})^{2} = 751.

Øvelsen består i at tænke over, hvorledes man finder sådan en løsning. Eventuelle læsere, der let finder denne eller en anden løsning, og som derfor ikke forstår eksemplets og øvelsens pointe, kan i stedet betragte tilfældet d = 1063.