Signes locaux des courbes elliptiques en 2 et 3

Emmanuel HALBERSTADT

Fevrier 1998

Résumé

Soit p un nombre premier. A toute courbe elliptique E sur Q_{p} correspond un signe local W_{p}(E), défini à partir des facteurs epsilon locaux de Deligne= . Ce signe est déjà connu si p > 3, et aussi dans certains cas lorsque p = 2 ou 3. Dans cette Note, nous donnons la valeur de W_{2} ou W_{3} dans tous les cas. Pour W_{3}, nos résultats ne sont certains que si l’on admet qu’un certain nombre (fini) de courbes elliptiques (sur Q) auxiliaires sont des courbes de Weil.

Abstract

Let p be a prime number. Associated to every elliptic curve E over Q_{p} there is a local root number W_{p}(E) = ±1, constructed from the local epsilon factors of Deligne. This sign is allready known when p > 3, and also, in certain cases, when p = 2 or 3. In this Note, we give the value of W_{2} or W_{3} in all cases. Concerning W_{3}, for our results to be valid, we have to suppose that a certain (finite) number of auxiliary elliptic curves over Q are Weil curves.

Soient E une courbe elliptique sur Q et L sa fonction de Hasse-Weil; on écrit comme d’habitude

L(s) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n} n^{−s} et f(z) == ∑_{n=1}^{∞} a_{n} e^{2πinz} .

Supposons que E soit une courbe de Weil, de conducteur N. Dans ce cas, f est une newform de poids 2 pour Γ_{0}(N) ([1], th. A et son corollaire), vecteur propre des opérateurs de Hecke. La fonction L se prolonge analytiquement à C, et vérifie u= ne équation fonctionnelle

Λ(2 − s) = ε Λ(s) , avec Λ(s) = N^{s/2}(2π)^{−s}Γ(s)L(s) et ε = ±1 .

On sait que ε est un produit de signes locaux, presque tous égaux à 1:

ε = W_{∞}(E) ∏_{p premier} W_{p}(E)  (1)

Ces signes locaux, définis en fait pour toute courbe elliptique sur le= complété de Q correspondant (voir plus loin), sont connus dans certains cas (cf. [2] et [8= ]):

1) Pour toute courbe elliptique E sur R, on a W_{∞}(E) = −1; dans les cas suivants, E sera donc une courbe elliptique sur l’un des Q_{p}. On notera v la valuation normalisée de Q_{p} et c_{4}, c_{6}, Δ, j les invariants standard (d’u= n modèle de Weierstrass entier minimal) de E.

2) Cas semi-stable: si E a bonne réduction, W_{p}(E) = 1; si = E a mauvaise réduction de type multiplicatif, W_{p}(E) vaut 1 dans le cas non déployé et −1 da= ns le cas déployé.

3) On suppose que E a mauvaise réduction de type additif et que j n’est pas entier. Si p > 2, on a W_{p}(E) = (\frac{−1}{p}); si p = 2, on a W_{2}(E) = − (\frac{−1}{b}),

en posant b = c_{6} 2^{−v(c_{6})}.

4) On suppose que E a mauvaise réduction de type additif, que j est entier et p > 3. Soit e = 12/pgcd(12, v(Δ)). Alors W_{p}(E) = (\frac{−t}{p}), en posant t = 1 si e = 2 ou 6, t = 2 si e = 4 et t = 3 si e = 3.

5) Si p = 2 ou 3, W_{p}(E) a été déterminé en [8] = (et explicité en [2]) dans le cas ”abélien”: E a mauvaise réduction de type additif mais acquiert bonne réduction dans une extension abélienne (finie) de Q_{p}.

Nous complétons ici ces résultats, en donnant la valeur de W_{p}(E) da= ns les cas restants: p = 2 ou 3, E a mauvaise réduction de type additif et j est entier (tableaux 1 et 2). Pour une courbe de Weil E, ceci permet le calcul de ε, produit des divers signes locaux, à partir d’une équation de Weierstrass minimale de E.

Venons-en à la définition des signes locaux. Soit E une courbe elliptique sur Q_{p}. Notons W le groupe de Weil de Q_{p}: \overline{Q}_{p} étant une clôture algébrique de Q_{p}, on peut identifier W au sous-groupe de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) formé des éléments induisant sur le corps résiduel de \overline{Q}_{p} une puissance entière du =46robénius. La topologie de W est celle pour laquelle le groupe d’inertie I, muni de sa topologie naturelle, est ouvert dans W. Soit ℓ un nombre premier distinct de 2 et p. La représentation naturelle de W dans le module de Tate T_{ℓ}(E) induit, via un plongement de Z_{ℓ} dans C, une représentation de W à valeurs dans GL_{2}(C), dont la contragrédiente sera notée σ. Supposons d’abord que l’invariant modulaire j de E soit \underline{entier}: E a potentiellement bonne réduction. Alors σ est continue (ceci se déduit du critère de Néron-Ogg-Shafarevitch) = et semi-simple ([8], prop. 2). Soient ψ : Q_{p} ⟼ C^{∗} un caractère (continu) non trivial de Q_{p} et dx une mesure de Haar sur Q_{p}. On pose:

W_{p}(E) = \frac{ε(σ, ψ, dx)}{|ε(σ, ψ =, dx)|} ,  (2)

où ε(σ, ψ, dx) ∈ C^{∗} est la constante locale définie par Deligne ([4], th. 4.1). La condition (2) de [4], th. 4.1 montre que W_{p}(E) ne dépend pas du choix de dx; la formule 5.4 de loc. cit. montre que W_{p}(E) ne dépend pas du choix de ψ, parce que det σ est à valeurs réelles positives. Enfin, d’après [10], corollaire p. 499, W_{p}(E) ne dépend pas du choix de ℓ et de plus c’est un nombre réel, il v= aut donc ±1.

Cette définition de W_{p}(E) dans le cas où E a potentiellement bonn= e réduction est la seule dont nous ayons besoin ici. Lorsque l’invariant j de E n’est pas entier, le groupe de Weil doit être remplacé par le groupe de Weil-Deligne (cf. [4] §8 ou [11] §4) et σ modifiée en conséquence (cf. [8] §3). Pour le cas réel, voir [8],= prop. 1.

La formule (1) est classique, il ne semble cependant pas facile d’en donner une référence précise. Disons que sa démonstration utilise les résultats=20de= Carayol déjà cités et, en amont, les liens connus entre formes modulaires de poids 2 pour Γ_{0}(N), représentations de GL(2) et représentations ℓ-adiques (notamment le fait que la correspondance locale de Langlands, établie en général pour GL(2) par Kutzko [6] respecte les facteurs ε). Le lecteur pourra consulter [9] et aussi [5], pour une synthèse récente.

Nous ne pouvons détailler ici les calculs ayant conduit aux tableaux ci-après. Disons seulement que nous avons utilisé une méthode indirecte (la méthode directe, c.f. [8] dans les cas abéliens, mène à des calculs très longs). Soit par exemple E une courbe elliptique sur Q_{2}, on suppose que E a mauvaise réduction de type additif et que l’invariant modulaire j de E est entier. On choisit une courbe elliptique E′ sur Q, assez proche 2-adiquement de E pour que W_{2}(E′) = W_{2}(E). On impose à E′ d’être de Weil; c’est = le cas si E′ a bonne réduction en 3 (résultats non publiés de B. Conrad, F. Diamond, R. Taylor). On s’arrange aussi pour qu’un calcul de fonction L en 1 donne le signe de l’équation fonctionnelle pour E′. La formule (1) permet alors de calculer W_{2}(E′) = W_{2}(E). La méthode est= la même lorsque p = 3, avec une nuance importante: dans l’état actuel, on ne peut plus imposer aux courbes E′ d’être de Weil. Nos résultats concernant W_{3} ne sont donc valides que si l’on admet qu’un certain nombre fini de courbes elliptiques sur Q, de conducteur multiple de 27, sont de Weil. Si tel est le cas, le tableau 1 donnera W_{3}(E), ceci pour toute courbe elliptique E sur Q_{3}. Indiquons que, pour les 17583 courbes elliptiques modulaires de conducteur ≤ 5077, dont la liste (à isogénie près) a été établie par Cremona (jusqu’au conducteur 1000, ces tables se trouvent dans [3], ensuite elles sont disponibles sur serveur ftp), les valeurs de W_{2} et W_{3} que nous donnons ici conduisent à un signe ε en accord avec celui de loc. cit.. A ce propos, signalons que G. Henniart et J.F. Mestre ont effectué ce calcul de W_{2} et W_{3}, par une méthode semble-t-il voisine de la nôtre, il y a plusieu= rs années; leurs résultats n’ont pas été publiés (l’absence des tables de Cremona rendait sans doute alors les vérifications systématiques nécessaires moins commodes...).

Voici enfin quelques explications concernant la lecture des tableaux 1 et 2. Lorsque p = 2 ou 3, ces tableaux donnent W_{p} = W_{p}(E), ceci pour toute courbe elliptique E sur Q_{p} non semi-stable; on a inclus les résultats de [8] et [2] (cas signalés par= un •). On suppose E donnée par un modèle \underline{minimal}. On note v la valuation normalisée usuelle sur Q_{p}. Pour tout x appartenant à Q_{p} = et tout entier k, on pose x_{k} = x/p^{k}; si x ≠ 0 et k = v(x), x_{k} est noté x′. Les = cas possibles sont classés en fonction du symbole de Kodaira (colonne Kod.); lorsque le triplet (v(c_{4}), v(c_{6}), v(Δ)) ne suffit pas pour déterminer ce symbole, une condition supplémentaire (colonne condition spéciale) permet d’assurer que le symbole de Kodaira est celui qui est indiqué (cf. [7] pour ces conditions). Dans la colonne W_{p}, lorsque le signe W_{p} n’est pas constant dans le cas considéré, on indique \underline{une conditio= n nécessaire et suffisante pour qu’il soit égal à 1}.

Tableau 1: signe local W_{3}

Kod. v(c_{4}) v(c_{6}) v(Δ) condition spéciale = v(N) W_{3}

II ≥ 2  3  3 c′_{6}^{2} + 2 ≡ / 3c_{4,2} (mod 9) 3 c′_{6} ≡ 4, 7, 8 (mod 9)
II  2  4  3  3  c′_{4} ≡ / c′_{6} (mod 3)
II  2  3  4  4  1
II ≥ 3  4  5  5  c′_{6} ≡= 2 (mod 3)
III ≥ 2  3  3 c′_{6}^{2} + 2 ≡ 3c_{4,2} (mod 9) 2  1
III  2  ≥ 5  3  2  1
IV  2  3  5  3  Δ′ ≡ c′_{6} (mod 3)
IV  3  5  6  4  c′_{4} ≡ 2 (mod 3)
IV ≥ 4  5  7  5  c′_{6} ≡ 2 (mod 3)
IV^{∗}  4  6  9 c′_{6}^{2} + 2 ≡ / 3c_{4,4} (mod 9) 3  c′_{6} ≡ 4, 8 (mod 9)
IV^{∗} ≥ 5  6  9 c′_{6}^{2} + 2 ≡ / 3c_{4,4} (mod 9) 3  c′_{6} ≡ 1, 2 (mod 9)
IV^{∗}  4  7  9  3  c′_{6} ≡ 2 (mod 3)
IV^{∗}  4  6  10  4  c′_{6} ≡ ±2 (mod 9)
IV^{∗} ≥ 5  7  11  5  c′_{6} ≡ 1 (mod 3)
III^{∗} ≥ 4  6  9 c′_{6}^{2} + 2 ≡ 3c_{4,4} (mod 9) 2  1
III^{∗} 4  ≥ 8  9  2  1
II^{∗}  4  6  11  3  c′_{6} ≡ 1 (mod 3)
II^{∗}  5  8  12  4  1
II^{∗} ≥ 6  8  13  5  c′_{6} ≡ 1 (mod 3)
• I_{0}^{∗}  2  3  6  2  −1
• I_{0}^{∗}  3  ≥ 6  6  2  −1

Tableau 2: signe local W_{2} 5

Kod. v(c_{4}) v(c_{6}) v(Δ)  condition spéciale =  v(N)  W_{2}
II  4  5  4  c′_{4} ≡ c′_{6} (mod 4)  4  c′_{4} ≡ 1 (mod 4)
II  ≥ 5  5  4  c′_{6} ≡ 3 (mod 4)  4  v(c_{4}) = 5
II  4  ≥ 7  6  6  v(c_{6}) = 7
II  4  6  7  7  c′_{6} ≡ 5 ou 5c′_{4} (mod 8)
II  5  6  6  6  c′_{4} ≡ 3 (mod 4)
• II ≥ 6  6  6  6  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)
III  4  5  4  c′_{4} ≡ 1 ≡ −c′_{6} (mod 4)  3  c′_{4}c′_{6} ≡ 3 (mod 8)
III  5  5  4  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)  = 3  c′_{6} ≡ 5 (mod 8)
III  4  ≥ 7  6  c′_{4} ≡ 3 (mod 4)  5  c′_{4} − 4c_{6,7} ≡ 7, 11 (mod 16)
III  5  7  8  7  c′_{6} ≡ 3 ou 2c′_{4} + c′_{6} ≡ 7 (mod 8)
III  5  8  9  8  2c′_{6} + c′_{4} ≡ ±1 (mod 8)
III  5  ≥ 9  9  8  c′_{4} ≡ 1, 3 (mod 8)
IV  4  5  4  c′_{6} ≡ 1 ≡ −c′_{4} (mod 4)  2  −1
IV  ≥ 6  5  4  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)  2  −1
IV^{∗}  4  6  8  2c′_{6} + c′_{4} ≡ 11 (mod 16)  2  −1
IV^{∗} ≥ 7  7  8  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)  2  −1
III^{∗}  4  6  10  c′_{6} ≡ 3 (mod 4)  3  c′_{4} − 2c′_{6} ≡ 3, 19 (mod 64)
III^{∗}  7  9  12  5  c′_{4} ≡ 1 (mod 4) et c′_{6} ≡ ±1 (mod 8) ou

c′_{4} ≡ 3 = (mod 4) et c′_{6} ≡ 1, 3 (mod 8)

III^{∗}  7  10  14  7  c′_{4} ≡ 1 (mod 4) et c′_{4}c′_{6} ≡ 5, 7 (mod 8) ou

c′_{4} ≡ 3 (mod 4) et c′_{4}c′_{6} ≡ 1, 7 (mod 8)

III^{∗}  7  11  15  8  2c′_{6} + c′_{4} ≡ 1, 3 (mod 8)
III^{∗}  7 ≥ 12 15  8  c′_{4} ≡ 5, 7 (mod 8)
II^{∗}  4  6  11  c′_{6} ≡ 3 (mod 4)  3  c′_{6} ≡ 1, 3 (mod 8)
• II^{∗} ≥ 8  9  12  4  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)
II^{∗} ≥ 8 10  14  6  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)
I_{0}^{∗}  4  6  8 2c′_{6} + c′_{4} ≡ 3, 15 (mod 16) 4  2c′_{6} + c′_{4} ≡ 3 (mod 16)
I_{0}^{∗}  4  6  9  5 c′_{6} ≡ 7 (mod 8) ou 2c′_{6} + c′_{4} ≡ 11 (mod 32)
I_{0}^{∗}  ≥ 6  7  8  c′_{6} ≡ 3 (mod 4)  4  v(c_{4}) = 6
I_{0}^{∗}  6  8  10  6  c′_{4}c′_{6} ≡ 3 (mod 4)
I_{0}^{∗}  ≥ 7  8  10  6  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)
I_{1}^{∗}  4  6  8  2c′_{6} + c′_{4} ≡ 7 (mod 16)  3  2c′_{6} + c′_{4} ≡ 23 (mod 32)
I_{1}^{∗}  6  7  8  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)  3  2c′_{4} + c′_{6} ≡ 3 (mod 8) 6

Tableau 2: signe local W_{2} (suite)

Kod. v(c_{4}) v(c_{6}) v(Δ) condition spéciale = v(N) W_{2}

I_{2}^{∗}  4  6  10  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)  4  1
I_{2}^{∗}  6 ≥ 10 12  c′_{4} ≡ 3 (mod 4)  6  v(c_{6}) = 10
I_{2}^{∗}  6  9  13  7 c′_{4} ≡ 11 ou c′_{4} + 4c′_{6} ≡ 3 (mod 16)
I_{3}^{∗}  4  6  11  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)  4  1
I_{3}^{∗}  6  10  12  c′_{4} ≡ 1 (mod 4)  5  c′_{4} + 4c′_{6} ≡ 9, 13 (mod 16)
I_{3}^{∗}  6 ≥ 11 12  c′_{4} ≡ 1 (mod 4)  5  c′_{4} + 4c_{6,10} ≡ 5, 9 (mod 16)
• I_{4}^{∗}  4  6  12  c′_{6} ≡ 1 (mod 4)  4  −1
I_{4}^{∗}  6  9  14  6  Δ′ ≡ c′_{6} (mod 4)
I_{5}^{∗}  6  9  15  6  Δ′ ≡ 3 (mod 4)
I_{n}^{∗}  6  9 n + 10  n > 5  6  c′_{6} ≡ 3 (mod 4)

Références bibliographiques

[1] Carayol H., Sur les représentations ℓ-adiques associées aux formes modulaires de Hilbert,Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 19, p. 409-468, 1986.

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[3] Cremona J.E., Algorithms for modular elliptic curves, Cambridge Univ. Press, 2^{ème} édition, 1997.

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[6] Kutzko, P., The local Langlands conjecture for GL(2), Ann. of Math 112, p. 381-412, 1980.

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[9] Serre J-P., Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (définitions et conjectures), Séminaire Delange-Pisot-P= oitou 1969/70, n^{∘}19.

[10] Serre J-P. et Tate, J., Good reduction of abelian varieties, Annals of Math. 88, p. 492-517, 1968.

[11] Tate, J. Number theoretic background, Automorphic Forms, Representations and L-Functions, Proc. Symp. Pure Math. 33 partie 2, p. 3-26, 1979.

Emmanuel HALBERSTADT Université Paris VI Laboratoire de Maths. fondamentales, UFR 921 4, place Jussieu 75252 Paris Cedex 05 =46RANCE email: halberst@math.jussieu.fr