Invariants des courbes de Frey-Hellegouarch et grands groupes de Tate-Shafarevich

Abderrahmane Nitaj (Saarbrücken)

1. Introduction

Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ, et � son groupe de Tate-Shafarevich, définie par

� = ker (H^{1}(ℚ, E) ⟶ ∏_{v} H^{1}(ℚ_{v}, E)) ,

où v décrit l’ensemble des places finies et ∞ de ℚ (voir [30] pour une définition des groupes H^{1}(ℚ, E) et H^{1}(ℚ_{v}, E)). Ce groupe est abélien, et sa finitude pour toute courbe elliptique est encore conjecturale, mais, en 1987, Rubin [29] a donné un exemple d’une famille infinie de courbes elliptiques pour lesquelles � est fini. Ces courbes sont à multiplication complexe, et définies sur un corps quadratique imaginaire. En 1989, Kolyvagin [18] a montré que � est fini pour toute courbe elliptique modulaire définie sur ℚ et de rang analytique 0 ou 1. D’autre part, Cassels [4] et Bölling [3] ont montré que � peut être arbitrairement grand (voir aussi [11] pour d’autres résultats). D’autres méthodes effectives ont été développées par Kramer [19], Mai et Murty [23] pour déterminer des courbes elliptiques ayant un grand groupe de Tate-Shafarevich, mais les premières estimations de l’ordre de � ont été conjecturées par Manin et Lang (voir [24] et [21]). Dans cette direction, Goldfeld et Szpiro ( [14]) ont proposé la conjecture suivante :

Conjecture 1. Pour tout ε > 0, il existe une constante C_{1}(ε) > 0 telle que si E/ℚ est une courbe elliptique de conducteur N et de groupe de Tate–Shafarevich � , alors

|� | ≤ C_{1}(ε)N^{\frac{1}{2} +ε}.

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1991 Mathematics Subject Classification. 11G05, 11G40, 11Y99.

Key words and phrases. Courbe de Frey-Hellegouarch, groupe de Tate-Shafarevitch, conjecture de Goldfeld-Szpiro.

Research supported by the Marie Curie TMR programme of the European Community under contract ERBFMBICT960848.

Cette conjecture fait partie d’autres conjectures formulées en 1993 par Mai et Murty dans un travail non publié (voir par exemple [27]). D’autre part, C.S. Rajan [27] a montré son analogue pour un corps de fonctions global K/𝔽_{q}, où la caractéristique de 𝔽_{q} est impair. Par la suite, Goldfeld et Lieman ont montré que cette conjecture est vraie pour certaines familles de courbes elliptiques (voir [13]). Ces courbes sont de rangs 0 ou 1, et leurs j-invariants, différents de 0 et 1728, appartiennent à des ensembles finis. En admettant certaines conjectures, de Weger [32] a proposé la conjecture suivante.

Conjecture 2 (de Weger). Pour tout ε > 0, il existe une constante C_{2}(ε) > 0 et une infinité de courbes elliptiques définies sur ℚ, de conducteurs N, et de groupes de Tate-Shafarevich � , vérifiant :

N ≤ C_{2}(ε)|� |^{2+ε}.

Cette conjecture est essentiellement relative aux courbes généralisées de Frey-Hellegouarch, définies par l’équation

y^{2} = x(x − s)(x − t) = x^{3} − (s + t)x^{2} + stx,

où s et t sont deux entiers quelconques. Pour comparer le conducteur N et l’ordre du groupe de Tate-Shafarevich |� |, on introduit le rapport :

γ = γ(E) = 2\frac{log |� |}{log N}.  (1)

La plus grande valeur connue actuellement de ce rapport provient de l’exemple suivant (voir Table V I) :

Y^{2} + XY + Y =X^{3} + X^{2} − 3532978428694464611454768601X
− 80827582979574301299537222938555582992327,

avec

γ = 2 × \frac{log 1832^{2}}{log 6305720190} ≈ 1.332.

Dans [32], de Weger a donné 11 exemples de courbes elliptiques liées aux courbes de Frey-Hellegouarch avec |� |/\sqrt{N} ≥ 1, dont le meilleur vérifie |� |/\sqrt{N} ≈ 6.893. Nous exhibons ici 47 autres exemples de telles courbes, dont l’exemple ci-dessus pour lequel on a |� |/\sqrt{N} ≈ 42.265. En fait, comme le suggère la conjecture 2, le rapport |� |/\sqrt{N} n’aura plus de sens si la constante C_{1}(ε) dans la conjecture 1 vérifie lim_{ε→0} C_{1}(ε) = ∞. Le choix du rapport (1) semble donc plus approprié.

On utilisera dans tout cet article les notations habituelles suivantes : Δ le discriminant minimal de E, N le conducteur de E, r le rang de E, |� | l’ordre du groupe de Tate-Shafarevich de E, ω l’invariant différentiel de E, Ω La période ∫_{E(ℝ)} |ω| de E, R le régulateur de E. T E(ℚ)_{tors}, le groupe des points de torsion de E, C le nombre de Tamagawa de E.

Les conjectures 1 et 2 ont été établies pour les courbes elliptiques vérifiant la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. En effet, celle-ci permet de relier la série L d’une courbe elliptique E à d’autres quantités, via la formule :

lim_{s→1} \frac{L(s)}{(s − 1)^{r}} = \frac{1}{r!}L^{(r)}(1) = \frac{ΩRC|� |}{|T |^{2}}.  (2)

Le calcul de |� | nécessite donc la connaissance des autres paramètres intervenant dans la relation ci-dessus. Ceci peut s’avérer très difficile si le conducteur est assez grand (voir partie 2). En utilisant la relation (2), le rapport (1) devient :

γ = 2\frac{log (\frac{|T |^{2}}{ΩC} )}{log N} + 2\frac{log (\frac{L^{(r)}(1)}{Rr!})}{log N}.

Si on admet l’hypothèse de Riemann pour la fonction L (voir par exemple [14]), alors il existe une constante C_{3}(ε) > 0 telle que

L^{(r)}(1) ≤ C_{3}(ε)N^{ε}.

D’autre part, la conjecture de Lang (voir [21]) implique qu’il existe une constante C_{4}(ε) > 0 telle que le régulateur R vérifie

R ≥ C_{4}(ε)N^{−ε},

si le rang r est borné. Ainsi, le rapport γ vérifie :

γ ≤ 2\frac{log (\frac{|T |^{2}}{ΩC} )}{log N} + 2\frac{log (\frac{C_{3}(ε)}{C_{4}(ε)})}{log N} + 4ε.

Pour les courbes elliptiques ayant un grand conducteur (N > 10^{10} dans cet article) ou qui ont un rang non nul, on calculera donc le rapport

δ = 2\frac{log (\frac{|T |^{2}}{ΩC} )}{log N}.  (3)

Ce rapport a l’avantage d’ignorer le rang, le régulateur, la valeur de L^{(r)}(1) ainsi que l’ordre du groupe de Tate-Shafarevich.

Le but de cet article est de décrire un certain nombre de propriétés des courbes de Frey-Hellegouarch et de leurs isogènes. On montre ainsi comment déterminer toutes les quantités nécessaires pour le calcul du rapport (3). On applique ensuite cette étude pour déterminer des courbes elliptiques ayant un grand groupe de Tate-Shafarevich.

Dans la partie 2, on décrit des propriétés communes à une courbe de Frey-Hellegouarch et à ses isogènes. Dans les parties 3 et 4, on explicite séparément les quantités nécessaires au rapport (3) pour chaque courbe. Dans la partie 5, on donne une méthode pour déterminer des paramètres s et t qui peuvent donner de grands rapports (3). Si le conducteur N vérifie N ≤ 10^{10} et le rang est nul, on calcule dans ce cas le rapport (1). Dans la partie 6, on donne des tables listant des courbes elliptiques ayant les plus grandes valeurs connues pour le rapport (1). Enfin, on donne dans la partie 7 l’expression des courbes elliptiques définies sur ℚ, de sousgroupe de torsion donné. Cette partie servira pour la preuve de certaines propositions de cet article.

Tous les calculs ont été effectués à l’aide d’une combinaison du langage C et du système de calcul SIMATH [31]. Les résultats ont été ensuite vérifiés à l’aide de PARI-GP [2], APECS [6] et MWRANK [7].

Toutes les courbes elliptiques des Tables V et VI sont modulaires (voir Remarque 2.1) et sont telles que leurs fonctions L vérifient L(1) ≠ 0. Ces courbes sont donc de rang nul. Ainsi, d’après les travaux de Kolyvagin, le rang de leurs groupes de Tate-Shafarevich est fini et toutes ces courbes vérifient la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (voir [15] et [18]). Il en résulte que tous les exemples listés dans ces tables ne dépendent d’aucune conjecture.

2. Les courbes de Frey-Hellegouarch

Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. Pour tout nombre premier p|st(s − t), on attribue un couple (A_{p}, B_{p}) à l’aide de la table I.

Table I
max(ord_{p}(s), ord_{p}(t), ord_{p}(s − t))  A_{p}  B_{p}
ord_{p}(s)  s  t
ord_{p}(t)  t  s
ord_{p}(s − t)  s − t −t

Dans toute la suite, (\frac{.}{p}) désignera le symbole de Legendre.

Les courbes de Frey-Hellegouarch sont définies par l’équation :

E_{1} : y^{2} = x(x − s)(x − t) = x^{3} − (s + t)x^{2} + stx,

où s et t sont deux entiers quelconques. Le discriminant minimal Δ_{1} et les covariants c_{4,1} et c_{6,1} sont :

Δ_{1} = 2^{4}u_{0}^{−12}s^{2}t^{2}(s − t)^{2},
c_{4,1} = 2^{4}u_{0}^{−4}(s^{2} − st + t^{2}),
c_{6,1} = 2^{5}u_{0}^{−6}(s + t)(s − 2t)(2s − t),

avec u_{0} ∈ {1, 2} (voir Table II). La courbe E_{1} admet au moins trois isogènes E_{2}, E_{3} et E_{4} (voir [25]). La courbe E_{2} est définie par l’équation :

E_{2} : y^{2} = x (x^{2} + 2(s + t)x + (s − t)^{2}) ,

avec les quantités :

Δ_{2} = 2^{8}u_{0}^{−12}st(s − t)^{4},
c_{4,2} = 2^{4}u_{0}^{−4}(s^{2} + 14st + t^{2}),
c_{6,2} = 2^{6}u_{0}^{−6}(s + t)(s^{2} − 34st + t^{2}),

où u_{0} ∈ {1, 2, 4} (voir Tables III et IV). La courbe E_{3} est définie par l’équation :

E_{3} : y^{2} = x (x^{2} − 2(2s − t)x + t^{2}) ,

avec :

Δ_{3} = 2^{8}u_{0}^{−12}st^{4}(s − t),
c_{4,3} = 2^{4}u_{0}^{−4}(16s^{2} − 16st + t^{2}),
c_{6,3} = 2^{6}u_{0}^{−6}(2s − t)(32s^{2} − 32st − t^{2}),

et u_{0} ∈ {1, 2, 4} (voir Tables III et IV). Enfin, la courbe E_{4} est définie par l’équation :

E_{4} : y^{2} = x (x^{2} + 2(s − 2t)x + s^{2}) ,

avec :

Δ_{4} = −2^{8}u_{0}^{−12}s^{4}t(s − t),
c_{4,4} = 2^{4}u_{0}^{−4}(s^{2} − 16st + 16t^{2}),
c_{6,4} = 2^{6}u_{0}^{−6}(s − 2t)(s^{2} + 32st − 32t^{2}),

et u_{0} ∈ {1, 2, 4} (voir Tables III et IV).

Si d ≠ 0 est un entier, la tordue quadratique par d de E_{i}(s, t), 1 ≤ i ≤ 4, est E_{i}^{(d)}(s, t) = E_{i}(ds, dt). En particulier

E_{i}^{(d^{2})}(s, t) = E_{i}(d^{2}s, d^{2}t) = E_{i}(s, t).

On peut se limiter alors dans la suite aux entiers s et t sans facteurs carrés communs. D’autre part, on a les isomorphismes suivants :

E_{i}(s, t) ≃ E_{i}(t, s), i = 1, 2,  (4)

et de plus,

E_{1}(s, t) ≃ E_{1}(s − t, −t).  (5)

Les courbes E_{3} et E_{4} peuvent se ramener à E_{2} grâce aux isomorphismes :

E_{3}(s, t) ≃ E_{2}(−s, t − s), E_{4}(s, t) ≃ E_{2}(−t, −t + s).

La courbe E_{1} et ses différentes isogènes ont en commun un certain nombre de quantités, dont le conducteur, le rang et les coefficients de la série L et ses dérivées.

Proposition 2.1. Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. Soient A_{2} et B_{2} donnés par la table I. Le conducteur des courbes E_{1}, E_{2}, E_{3} et E_{4} est

N = ∏_{p|st(s−t)} p^{f_{p}}, p premier,

où f_{2} = f_{2}(A_{2}, B_{2}) est donné par la table II, et, pour p ≥ 3,

f_{p} = \{ \begin{matrix}1 & si (s, t) ≢ 0 (mod p), \\ 2 & si (s, t) ≡ 0 (mod p). \end{matrix}

Preuve. Une application de l’algorithme de Tate (voir par exemple [5] ou [7]) permet de déterminer le conducteur de E_{1}(s, t), en distinguant différents cas suivant la structure de s et t. □

Remarque 2.1. Tous les points de 2-torsion de la courbe E_{1}(s, t) sont rationnels, donc d’après Diamond et Kramer (voir [9] et [10]), E_{1}(s, t) et ses isogènes E_{i}(s, t), 2 ≤ i ≤ 4, sont modulaires.

Soit N le conducteur commun de E_{1}, E_{2}, E_{3} et E_{4}. On suppose que E_{1} vérifie la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. La fonction L, commune aussi, s’écrit L(x) = ∑_{n≥1} a_{n}n^{−x}. Soit Λ définie par :

Λ(x) = (\frac{\sqrt{N}}{2π} )^{x} Γ(x)L(x).

Alors le signe w de l’équation fonctionnelle Λ(2 − x) = wΛ(x) vérifie w = (−1)^{r}, où r est le rang de E_{1}. Le calcul de w peut se faire à l’aide des coefficients a_{n} de la série L, par la méthode exposée dans [12]. Le calcul de Λ(x) à la précision 10^{−k}, k ≥ 1, nécesssite le calcul de m\sqrt{N} coefficients a_{n}, avec

m > max ((\frac{4}{5π} )^{3/2} N^{1/4}, \frac{1}{π} (k log 10 − log(1 − e^{−π/\sqrt{N}}))) .

Si E_{1} admet une réduction lisse ou multiplicative en 2 (f_{2} ≤ 1 dans la table II, III ou IV), le signe w peut se calculer à l’aide de la proposition suivante.

Proposition 2.2. Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. Si A_{2} et B_{2}, donnés par la table I, vérifient A_{2} ≡ 0, 16 (mod 32) et B_{2} ≡ 3 (mod 4), alors le signe de l’équation fonctionnelle relative à E_{1}(s, t) est :

w = − ∏_{p|st(s−t)} w_{p}(A_{p}, B_{p}),

avec

w_{p}(A_{p}, B_{p}) = \{ \begin{matrix}1 & si p = 2 et A_{2} ≡ 16 (mod 32), \\ − (\frac{−B_{p}}{p} ) & si p |̸B_{p}(A_{p} − B_{p}), \\ (\frac{−1}{p}) & si p|B_{p}(A_{p} − B_{p}) et p ≥ 3, \end{matrix}

où A_{p} et B_{p} sont donnés par la table I.

Preuve. D’après Deligne [8], le signe w de l’équation fonctionnelle d’une courbe elliptique quelquonque E/ℚ est le produit des signes locaux w_{p}, où p est un diviseur premier du conducteur et de w_{∞} = −1. Ces signes dépendent du type de réduction. Si la courbe E a une réduction multiplicative en p, alors w_{p} = − (\frac{−c_{6}}{p} ) (voir [1]), où c_{6} est le covariant habituel de la courbe. En particulier, si E_{1} admet une réduction lisse en p = 2, on a w_{2} = 1, et si E_{1} admet une réduction multiplicative en p = 2, on a u_{0} = 2 et

c_{6} = \frac{(A_{2} + B_{2})(A_{2} − 2B_{2})(2A_{2} − B_{2})}{2} ≡ B_{2} (mod 2),

et donc w_{2} = − (\frac{−B_{2}}{2} ). De même si E_{1} admet en p ≥ 3 une réduction multiplicative, alors p |̸B_{p}(A_{p} − B_{p}) et c_{6} ≡ B_{p} (mod p). Si la courbe a une réduction additive en p ≥ 3, alors w_{p} = − (\frac{−q}{p} ), avec q ∈ \{1, 2, 3, c_{6}\}, suivant le symbole de Kodaira (voir [28]). Pour E_{1}, si p|B_{p}(A_{p} −B_{p}), alors le type de Kodaira pour p est de la forme I_{n}^{∗} et q = 1. □

Dans le cas où le signe de l’équation fonctionnelle de E_{1}(s, t) est 1, on peut calculer la valeur de L(1) à la précision 10^{−k} à l’aide de l’expression (voir [5] ou [12]) :

L(1) = 2 ∑_{n=1}^{m} \frac{a_{n}}{n} e^{−2πn/\sqrt{N}},

où m vérifie :

m ≥ \frac{\sqrt{N}}{2π} (2 log 2 + k log 10 − log (1 − e^{−2π/\sqrt{N}})) .

Le calcul de la valeur de L(1) devient donc assez long pour de grandes valeurs du conducteur. Ceci est la principale raison du choix de la limite N ≤ 10^{10}, imposée dans ce travail pour calculer L(1).

3. Courbe E_{1}

On commence par donner une expression pour le nombre de Tamagawa C_{1} de E_{1}(s, t). On a

C_{1} = ∏_{p|N_{1}} c_{p},

où N_{1} est le conducteur de E_{1}(s, t), et pour p|N_{1}, c_{p} est le nombre de Tamagawa local de E_{1}(s, t) relatif à p.

Proposition 3.1. Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. Soient p un facteur premier de st(s − t) et A_{p} et B_{p} donnés par la table I. Soit n_{p} = ord_{p}(A_{p}). Le nombre de Tamagawa c_{p} relatif à p pour E_{1} est donné dans la table II pour p = 2, et pour p ≥ 3, on a

c_{p} = \{ \begin{matrix}2n_{p} & si (p, B_{p}) = 1 et (\frac{−B_{p}}{p} ) = 1, \{type I_{2n_{p}}\}, \\ 2 & si (p, B_{p}) = 1 et (\frac{−B_{p}}{p} ) = −1, \{type I_{2n_{p}}\}, \\ 4 & si (p, B_{p}) = p, \{type I_{2n_{p}−2}^{∗}\}. \end{matrix}

Preuve. Il suffit d’appliquer l’algorithme de Tate décrit dans [5] ou [7]. □

Remarque 3.1. Si s et t sont tels que dans la table II on a u_{0} = 2, alors f_{2} ≤ 1, et A_{2} et B_{2} vérifient A_{2} ≡ 0, 16 (mod 32) et B_{2} ≡ 3 (mod 4), alors en effectuant le changement de variables (x, y) = (4X, 8Y + 4X), la courbe E_{1}(s, t) devient :

Y^{2} + XY = X^{3} − \frac{A_{2} + B_{2} + 1}{4}X^{2} + \frac{A_{2}B_{2}}{16} X,

avec pour discriminant minimal Δ(s, t) = s^{2}t^{2}(s − t)^{2}/256.

Table II
Courbes E_{1}(s, t).
A_{2}  B_{2}  type  f_{2}  c_{2}  u_{0}
4S + 2  2T + 1  III  5  2  1
8S + 4  4T + 1  I_{0}^{∗}  4  2  1
16S + 4  4T + 3  I_{1}^{∗}  3  2  1
16S + 12  4T + 3  I_{1}^{∗}  3  4  1
16S + 8  4T + 1  I_{2}^{∗}  4  4  1
16S + 8  4T + 3  III^{∗}  3  2  1
32S + 16  4T + 1  I_{4}^{∗}  4  4  1
32S + 16  4T + 3  I_{0}  0  1  2
2^{k+5}(2S + 1)  4T + 1  I_{2k+6}^{∗}  4  4  1
2^{k+5}(2S + 1)  8T + 3  I_{2k+2}  1  2  2
2^{k+5}(2S + 1)  8T + 7  I_{2k+2}  1  2k + 2  2
2^{k+2}(2S + 1)  4T + 2  I_{2k+2}^{∗}  6  4  1

En ce qui concerne l’ordre du sous-groupe des points de torsion de E_{1}(s, t), on a le résultat suivant.

Théorème 3.1. Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. On désigne par (a, b) l’un des couples (s, t), (t, s), (s − t, −t), (−t, s − t), (t − s, −s) ou (−s, t − s). Alors le sous-groupe des points de torsion de E_{1}(s, t) est :

T_{1} = \{ \begin{matrix}ℤ/2ℤ × ℤ/8ℤ & si a = −16u^{4}v^{4}, b = −(u + v)^{4}(u − v)^{4}, \\ ℤ/2ℤ × ℤ/6ℤ & si a = 16uv^{3}, b = −(u − 3v)(u + v)^{3}, \\ ℤ/2ℤ × ℤ/4ℤ & si a = −u^{2}, b = −v^{2}, \\ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ & sinon, \end{matrix}

où u et v sont des rationnels quelconques.

Preuve. Soient a et b deux entiers. La courbe E_{1}(a, b) admet 3 points de 2-torsion non triviaux, (0, 0), (a, 0) et (b, 0). Le théorème de Mazur implique alors que le sous-groupe des points de torsion de E_{1}(a, b) est de la forme ℤ/2ℤ × ℤ/2mℤ, avec 1 ≤ m ≤ 4. D’autre part, les courbes elliptiques ayant ℤ/2ℤ × ℤ/2mℤ pour sous-groupe de points de torsion sont classifiées (voir Appendice). Il suffit donc d’identifier E_{1}(a, b) avec l’une de ces courbes. □

Pour calculer la période Ω_{1} de E_{1}(s, t), on peut supposer s > t du fait que E_{1}(s, t) = E_{1}(t, s).

Proposition 3.2. Soient s et t deux entiers avec s > t et (s, t) est sans facteurs carrés. Soit u_{0} donné dans la table II. Alors la période de E_{1}(s, t) est :

Ω_{1}(s, t) = \frac{2u_{0}}{\sqrt{A}} ∫_{0}^{∞} \frac{dX}{\sqrt{X(X + 1)(X + α)}},

où A = max(s, s − t, −t) et 0 < α < 1 est donné par :

α = \{ \begin{matrix}\frac{s−t}{s} & si 0 < t < s, \\ \frac{s}{s−t} & si t < 0 < s, \\ \frac{s}{t} & si t < s < 0. \end{matrix}

Preuve. Soit s > t tels que (s, t) est sans facteurs carrés. La période de E_{1}(s, t) est le double de sa période réelle :

Ω_{1} = 2u_{0} ∫_{max(0,s)}^{∞} \frac{dx}{\sqrt{x(x − s)(x − t)}}.

Si 0 < t < s, on pose X = (x − s)/s. Si t < 0 < s, on pose X = (x − s)/(s − t). Enfin si t < s < 0, on pose X = −x/t. On obtient alors l’expression de Ω_{1}, qui dépend du paramètre α, et qui vérifie en plus 0 < α < 1. □

Remarque 3.2. Dans la pratique, on peut calculer la valeur de la période Ω_{1} de E_{1}(s, t) en utilisant la méthode de la moyenne arithméticogéométrique AGM (voir par exemple [5] ou [12]). Ainsi, avec les notations de la proposition ci-dessus et en supposant s > t, on a

Ω_{1}(s, t) = \frac{2πu_{0}}{\sqrt{A}} × \frac{1}{AGM(1, \sqrt{α})}.

4. Courbe E_{2}

Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. Le conducteur de E_{2}(s, t) est le même que celui de E_{1}(s, t), donné par la proposition 2.1. Le sous-groupe des points de torsion de E_{2}(s, t) est donné par le théorème suivant.

Théorème 4.1. Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. On désigne par (a, b) l’un des couples (s, t) ou (t, s). Le sousgroupe des points de torsion de E_{2}(s, t) est :

T_{2} = \{ \begin{matrix}ℤ/2ℤ × ℤ/8ℤ & si a = (u^{2} + v^{2})^{4}, b = ((u^{2} − v^{2})^{2} − 4u^{2}v^{2})^{2}, \\ ℤ/12ℤ & si a = (u^{2} + v^{2})^{3}(u^{2} + 4uv + v^{2}), \\ & b = (u + v)^{6}(u − v)^{2}, \\ ℤ/8ℤ & si a = (2u − v)^{4}, b = v^{2}(8u^{2} − 8uv + v^{2}), \\ ℤ/2ℤ × ℤ/4ℤ & si a = (u + v)^{2}, b = (u − v)^{2}, \\ ℤ/6ℤ & si a = (u + 3v)(u − v)^{3}, b = (u − 3v)(u + v)^{3}, \\ ℤ/4ℤ & si a = u^{2}, b = u(u − v), \\ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ & si a = w(u + v)^{2}, b = w(u − v)^{2}, \\ ℤ/2ℤ & sinon, \end{matrix}

où u, v et w sont des rationnels quelconques.

Preuve. Soient a et b deux entiers. La courbe E_{2}(a, b) admet au moins un point de 2-torsion non trivial. Le théorème de Mazur implique alors que le sous-groupe des points de torsion de E_{1}(a, b) est de la forme ℤ/mℤ, avec m = 2, 4, 6, 8, 10, 12, ou ℤ/2ℤ × ℤ/2mℤ, avec 1 ≤ m ≤ 4. Il suffit d’identifier E_{2}(a, b) avec l’une des courbes de l’Appendice. On va montrer cependant que E_{2}(a, b)(ℚ)_{tors} ne peut pas être de la forme ℤ/2ℤ × ℤ/6ℤ ou ℤ/10ℤ.

En identifiant E_{2}(a, b) et E_{2×6}(u, v), u et v doivent vérifier la relation

−16uv^{3}(u + v)^{3}(u − 3v) = (a − b)^{2},

et donc −uv(u + v)(u − 3v) = c^{2}, pour un rationnel c. On peut supposer (u, v) = 1. Ainsi le point (u/v, c/v^{2}) est rationnel sur la courbe elliptique d’équation y^{2} = −x(x + 1)(x − 3). En posant x = −X + 1 et y = Y, cette courbe s’écrit :

Y^{2} = (X − 1)(X − 2)(X + 2).

Le rang de cette courbe, calculé inconditionellement par les systèmes de calcul APECS [6], MWRANK [7] et SIMATH [31] est nul. Les points de torsion non triviaux sont (1, 0), (±2, 0), (4, ±6) et (0, ±2). On en déduit alors les possibilités (u, v) = (0, 1), (±1, 1), (±3, 1), pour lesquelles la courbe E_{2×6}(u, v) est singulière. Ceci montre que E_{2}(a, b) ne peut pas avoir un sous-groupe de torsion de la forme ℤ/2ℤ × ℤ/6ℤ.

En identifiant E_{2}(a, b) et E_{10}(u, v), u et v doivent vérifier la condition 16u^{5}(u+v)^{5}(u^{2} +3uv +v^{2}) = (a−b)^{2}, et donc u(u+v)(u^{2} +3uv +v^{2}) = c^{2} pour un rationnel c. On peut alors supposer que (u, v) = 1, et donc (v/u, c/u^{2}) est un point rationnel sur la courbe elliptique d’équation

Y^{2} = (X + 1)(X^{2} + 3X + 1).

Cette courbe est aussi de rang nul, son groupe de torsion contient les points (−1, 0), (0, ±1) et (−2, ±1). Ceci donne (u, v) = (1, −1), (1, 0), (1, −2), mais dans ces cas, E_{10}(u, v) est singulière. □

Comme E_{2}(s, t) = E_{2}(t, s), on peut supposer dans la proposition cidessous que t < s.

Proposition 4.1. Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés et t < s. Soient A_{2} et B_{2} définis par la table I. Soit u_{0} = u_{0}(A_{2}, B_{2}) donné par la table IV si A_{2} = s − t et par la table III sinon. Soient β = \frac{s+t}{s−t} et

α = \{ \begin{matrix}\frac{(s+t−2\sqrt{st})^{2}}{(s−t)^{2}} & si 0 < t < s, \\ \frac{4\sqrt{st}}{2\sqrt{st}−s−t} & si t < s < 0. \end{matrix}

Alors 0 < α < 1, −1 < β < 1 et la période de E_{2}(s, t) est :

Ω_{2} = \{ \begin{matrix}\frac{u_{0}}{2\sqrt{s−t}} ∫{∞ \atop 0} \frac{dX}{\sqrt{X(X^{2}+2βX+1)}} & si t < 0 < s, \\ \frac{u_{0}}{\sqrt{|s|}+\sqrt{|t|}} ∫{∞ \atop 0} \frac{dX}{\sqrt{X(X+1)(X+α)}} & sinon. \end{matrix}

Preuve. Soit u_{0} = u_{0}(A_{2}, B_{2}) donné par la table III ou IV. On pose k = 1 si st < 0 et k = 3 si st > 0. On a alors

Ω_{2} = \frac{(k + 1)u_{0}}{4} ∫_{x_{0}}^{∞} \frac{dx}{\sqrt{x(x^{2} + 2(s + t)x + (s − t)^{2})}},

où x_{0} = 0 si st < 0 et x_{0} = max(0, −(s + t) + 2\sqrt{st}) si st > 0.

Si st > 0, on a k = 3, et x^{2} + 2(s + t)x + (s − t)^{2} = (x − x_{2})(x − x_{3}), avec x_{2} = −(s + t) + 2\sqrt{st} et x_{3} = −(s + t) − 2\sqrt{st}. Si 0 < t < s, on pose x = −x_{3}X, ce qui donne :

Ω_{2} = \frac{u_{0}}{\sqrt{s + t + 2\sqrt{st}}} ∫_{0}^{∞} \frac{dX}{\sqrt{X(X + 1)(X + α)}},

avec α = x_{2}/x_{3}. Si t < s < 0, on pose x = x_{2}X + x_{2}, ce qui donne :

Ω_{2} = \frac{u_{0}}{\sqrt{−(s + t) + 2\sqrt{st}}} ∫_{0}^{∞} \frac{dX}{\sqrt{X(X + 1)(X + α)}},

avec α = (x_{2} − x_{3})/x_{2}.

Si st < 0, alors t < 0 < s et k = 1. On pose x = (s − t)X, ce qui donne

Ω_{2} = \frac{u_{0}}{2\sqrt{s − t}} ∫_{0}^{∞} \frac{dX}{\sqrt{X(X^{2} + 2βX + 1)}},

avec β = \frac{s+t}{s−t}. Il est facile alors de voir que 0 < α < 1 et −1 < β < 1. □

Remarque 4.1. Comme dans la remarque 3.1, on peut calculer Ω_{2} = Ω_{2}(s, t) à l’aide de la fonction AGM par les formules :

Ω_{2} = \{ \begin{matrix}\frac{2πu_{0}}{\sqrt{s−t}} × \frac{1}{AGM(2,\sqrt{2}\sqrt{β+1})} & si t < 0 < s, \\ \frac{2πu_{0}}{\sqrt{|s|}+\sqrt{|t|}} × \frac{1}{AGM(1,\sqrt{α})} & sinon. \end{matrix}

Le nombre de Tamagawa C_{2} de la courbe E_{2}(s, t) est

C_{2} = ∏_{p|N_{2}} c_{p},

où N_{2} est le conducteur de E_{2}(s, t), et pour p|N_{2}, c_{p} est le nombre de Tamagawa local de E_{2}(s, t) relatif à p. Le calcul de c_{p} dépend de la valeur prise par max(ord_{p}(st), 2 ord_{p}(s − t)).

4.1. Cas où ord_{p}(s − t) = min(ord_{p}(s), ord_{p}(t), ord_{p}(s − t)).

Soit p un facteur premier de st(s − t). On suppose que A_{p} et B_{p} donnés par la table I vérifient {A_{p}, B_{p}} = {s, t}. Alors on peut déterminer le nombre de Tamagawa local c_{p} pour E_{2}(s, t) à l’aide de la proposition suivante.

Proposition 4.2. Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. Soit p un nombre premier divisant st(s − t) tel que les nombres A_{p} et B_{p}, donnés par la table I, vérifient {A_{p}, B_{p}} = {s, t}. On pose n_{p} = ord_{p}(A_{p}). Le nombre de Tamagawa local c_{p} de la courbe E_{2}(s, t) est donné par la table III si p = 2, et si p ≥ 3, alors :

c_{p} = \{ \begin{matrix}n_{p} & si p |̸B_{p} et (\frac{−B_{p}}{p} ) = 1, \{type I_{n_{p}}\}, \\ (2, n_{p}) & si p |̸B_{p} et (\frac{−B_{p}}{p} ) = −1, \{type I_{n_{p}}\}, \\ 3 + (\frac{A_{p}B_{p}p^{−np−1}}{p} ) & si p|B_{p} et n_{p} est impair, \{type I_{n_{p}−1}^{∗}\}, \\ 3 + (\frac{B_{p}p^{−np}}{p} ) & si p|B_{p} et n_{p} est pair, \{type I_{n_{p}−1}^{∗}\}. \end{matrix}

Preuve. Ceci découle de l’algorithme de Tate(voir [5] ou [7]). □

Remarque 4.2. Si s et t vérfient s ≡ 0, 16 (mod 32) et t ≡ 3 (mod 4), alors E_{2}(s, t) est stable ou semi-stable en 2. Soit ε_{0} = (t − 7)/4 (mod 2). En posant (x, y) = (4X + 1, 8Y + 4X − 4ε_{0}) dans E_{2}(s, t), on obtient la courbe :

Y^{2} + XY − ε_{0}Y = X^{3} + \frac{s + t + 1}{2}X^{2} + \frac{(s − t)^{2} + 4(s + t) + 8ε_{0} + 3}{16}X

+ \frac{(s − t)^{2} + 2(s + t) − 16ε_{0} + 1}{64},

qui est alors minimale avec pour discriminant

Δ_{2} = \frac{1}{16}st(s − t)^{4}.

Table III
Courbe E_{2}(s, t) avec {A_{2}, B_{2}} = {s, t}.
A_{2}  B_{2}  type  f_{2} c_{2}  u_{0}
4S + 2  4T + 1  I_{0}^{∗}  5  2  1
4S + 2  4T + 3  I_{0}^{∗}  5  1  1
16S + 4  4T + 1  I_{2}^{∗}  4  4  1
16S + 12  4T + 1  I_{2}^{∗}  4  2  1
8S + 4  4T + 3  III^{∗}  3  2  1
32S + 8  4T + 1  I_{3}^{∗}  4  2  1
32S + 24  4T + 1  I_{3}^{∗}  4  4  1
16S + 8  4T + 3  II^{∗}  3  1  1
64S + 16  4T + 1  I_{4}^{∗}  4  4  1
64S + 48  4T + 1  I_{4}^{∗}  4  2  1
32S + 16  4T + 3  I_{0}  0  1  2
2^{k}(4S + 1)  8T + 1  I_{k+5}^{∗}  4  4  1
2^{5+k}(4S + 3)  8T + 1  I_{k+5}^{∗}  4  2  1
2^{5+k}(4S + 1)  8T + 5  I_{k+5}^{∗}  4  2(2, k + 3) 1
2^{5+k}(4S + 3)  8T + 5  I_{k+5}^{∗}  4  2(2, k + 4) 1
2^{5+k}(2S + 1)  8T + 3  I_{k+1}  1  (2, k + 1)  2
2^{5+k}(2S + 1)  8T + 7  I_{k+1}  1  k + 1  2
2^{2}(8S + 3)  2(4T + 1) I_{5}^{∗}  6  2  1
2^{2}(8S + 3)  2(4T + 3) I_{5}^{∗}  6  4  1
2^{2}(8S + 7)  2(4T + 1) I_{5}^{∗}  6  4  1
2^{2}(8S + 7)  2(4T + 3) I_{5}^{∗}  6  2  1
2^{3+2k}(8S + 1) 2(8T ± 1) I_{2k+6}^{∗} 6  4  1
2^{3+2k}(8S + 1) 2(8T ± 3) I_{2k+6}^{∗} 6  2  1
2^{2+2k}(8S + 1) 2(2T + 1) I_{2k+5}^{∗} 6  4  1
2^{4+2k}(8S + 3) 2(4T + 1) I_{2k+7}^{∗} 6  4  1
2^{4+2k}(8S + 3) 2(4T + 3) I_{2k+7}^{∗} 6  2  1
2^{3+2k}(8S + 3) 2(8T + 1) I_{2k+6}^{∗} 6  4  1
2^{3+2k}(8S + 3) 2(8T + 3) I_{2k+6}^{∗} 6  4  1
2^{3+2k}(8S + 3) 2(8T + 5) I_{2k+6}^{∗} 6  2  1
2^{3+2k}(8S + 3) 2(8T + 7) I_{2k+6}^{∗} 6  2  1
2^{2+2k}(8S + 5) 2(2T + 1) I_{2k+5}^{∗} 6  2  1
2^{3+2k}(8S + 5) 2(8T ± 1) I_{2k+6}^{∗} 6  2  1
2^{3+2k}(8S + 5) 2(8T ± 3) I_{2k+6}^{∗} 6  4  1
2^{4+2k}(8S + 7) 2(4T + 1), I_{2k+7}^{∗} 6  2  1
2^{4+2k}(8S + 7) 2(4T + 3) I_{2k+7}^{∗} 6  4  1
2^{3+2k}(8S + 7) 2(8T + 1) I_{2k+6}^{∗} 6  2  1
2^{3+2k}(8S + 7) 2(8T + 3) I_{2k+6}^{∗} 6  2  1
2^{3+2k}(8S + 7) 2(8T + 5) I_{2k+6}^{∗} 6  4  1
2^{3+2k}(8S + 7) 2(8T + 7) I_{2k+6}^{∗} 6  4  1

4.2. Cas où ord_{p}(s − t) = max(ord_{p}(s), ord_{p}(t), ord_{p}(s − t)) ≥ 2.

Soit p un facteur premier de st(s−t) tel que les valeurs A_{p} et B_{p} donnés par la table I vérifient A_{p} = s − t et B_{p} = −t.

Proposition 4.3. Soient s et t deux entiers tels que (s, t) est sans facteurs carrés. Soit p un nombre premier divisant st(s − t) tel que ord_{p}(st) < 2 ord_{p}(s − t). On pose n_{p} = ord_{p}(s − t). Si p = 2, le nombre de Tamagawa c_{2} de la courbe E_{2}(s, t) est donné par la table IV. Si p ≥ 3, alors :

c_{p} = \{ \begin{matrix}4n_{p} & si (p, t) = 1 et (\frac{t}{p}) = 1, \{Type I_{4n_{p}}\}, \\ 2 & si (p, t) = 1 et (\frac{t}{p}) = −1, \{Type I_{4n_{p}}\}, \\ 4 & si (p, t) = p, \{Type I_{4(n_{p}−1)}^{∗}\}. \end{matrix}

Preuve. C’est aussi une application détaillée de l’algorithme de Tate. □

Table IV

Courbe E_{2}(s, t) avec A_{2} = s − t, B_{2} = −t.

s − t  t  type  f_{2} c_{2}  u_{0}
8S + 2  8T ± 1 I_{3}^{∗}  5  4  1
8S + 2  8T ± 3 I_{3}^{∗}  5  2  1
8S + 6  8T + 1 I_{3}^{∗}  5  4  1
8S + 6  8T + 3 I_{3}^{∗}  5  4  1
8S + 6  8T + 5 I_{3}^{∗}  5  2  1
8S + 6  8T + 7 I_{3}^{∗}  5  2  1
8S + 4  4T + 1 III  3  2  2
8S + 4  4T + 3 II  4  1  2
16S + 8  8T + 1 I_{1}^{∗}  3  4  2
16S + 8  8T + 5 I_{1}^{∗}  3  2  2
16S + 8  4T + 3 I_{0}^{∗}  4  2  2
32S + 16  4T + 1 I_{0}  0  1  4
32S + 16  4T + 3 I_{4}^{∗}  4  4  2
2^{k+5}(2S + 1) 8T + 1 I_{4k+4} 1  4k + 4 4
2^{k+5}(2S + 1) 8T + 5 I_{4k+4} 1  2  4
2^{k+5}(2S + 1) 4T + 3 I_{4k+8}^{∗} 4  4  2
4(2S + 1)  4T + 2 II  6  1  2
8(2S + 1)  4T + 2 I_{0}^{∗}  6  2  2
2^{k+4}(2S + 1) 4T + 2 I_{4k+4}^{∗} 6  4  2

5. Détermination de bons paramètres s et t

Pour que le rapport (3) soit assez grand pour la courbe E_{1}(s, t) ou E_{2}(s, t), il faut que les quantités correspondantes Ω_{i}, C_{i}, et N_{i}, i = 1, 2, soient assez petites. Les propositions 3.2 et 4.1 mettent en évidence la présence d’un facteur K_{i}^{−1} dans l’expression de Ω_{i}, i = 1, 2, avec

K_{i} = \{ \begin{matrix}\sqrt{max(|s|, |t|, |s − t|)} & si i = 1, \\ \sqrt{|s − t|} & si i = 2 et st < 0, \\ \sqrt{|s|} + \sqrt{|t|} & si i = 2 et st > 0. \end{matrix}

Ceci montre donc que les bons paramètres s et t pour le rapport (3) sont tels que C_{i} et N_{i} sont relativement petits en comparaison de K_{i}, i = 1, 2, et donc en comparaison du discriminant. Ainsi, on doit chercher des courbes elliptiques de la forme E_{1}(s, t) et E_{2}(s, t) ayant un assez grand rapport de Szpiro (voir par exemple [25]). Ce rapport est défini pour une courbe elliptique E/ℚ par :

σ = \frac{log |Δ|}{log N},

où Δ est le discriminant minimal de E et N son conducteur. On peut utliser les bons exemples pour la conjecture abc (voir [26]) pour construire des courbes elliptiques de la forme E_{1}(s, t) et E_{2}(s, t), mais on donne ici une autre méthode pour exhiber des exemples plus adaptés à notre situation.

Soient x, y et z des entiers vérifiant 0 < x < y < z, (x, y) = 1 et x+y = z. Soit d un entier sans facteurs carrés (y compris d = ±1). Compte tenu des relations d’isomorphisme (4) et (5), on calcul le rapport (3), relatif à la courbe E_{1}(s, t), où (s, t) est l’un des couples suivants

(s, t) = (dx, −dy), (dx, dz),

avec d ≥ 1. On calcul de même le rapport (3), relatif à la courbe E_{2}(s, t), où (s, t) est l’un des couples suivants

(s, t) = (dx, −dy), (dx, dz), (dy, −dx), (dy, dz),

avec ici d ∈ ℤ.

La présence du facteur d dans les couples ci-dessus correspond en fait à des tordues quadratiques. Soient s_{0} et t_{0} deux entiers sans facteurs carrés communs. Un résultat dû à Kohnen et Zagier [17] implique en effet l’existence de tordues quadratiques E_{1}(ds_{0}, dt_{0}) et E_{2}(ds_{0}, dt_{0}) de rangs nuls, avec |d| ≤ N_{1}^{2}, où N_{1} est le conducteur commun de E_{1}(s_{0}, t_{0}) et E_{2}(s_{0}, t_{0}). Si on admet l’Hypothèse de Riemann, alors d vérifie |d| ≤ N_{1}^{ε} (voir [14] ou [32]). La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer implique alors l’existence d’entiers d tels que |d| est assez petits, pour lesquels les courbes elliptiques E_{1}(s, t) et E_{2}(s, t) sont de rang nuls.

On décrit maintenant une méthode pour déterminer des entiers x, y et z, qui donneront des paramètres s et t comme ci-dessus. Soient 2 = p_{1} < p_{2} < ⋯ < p_{n} les n premiers nombres premiers. Soient A, B et C des entiers premiers entre eux deux à deux, donnés par :

A = ∏_{i=1}^{n} p_{i}^{k_{i}}, B = ∏_{i=1}^{n} p_{i}^{l_{i}}, C = ∏_{i=1}^{n} p_{i}^{m_{i}},

où, pour i = 1, ⋯, n, k_{i}, l_{i} et m_{i} sont des entiers. On considère l’équation linéaire

AX − BY = CZ,  (6)

en entiers non nuls X, Y et Z, vérifiant (AX, BY) = 1. S’il y a une solution (X, Y, Z) vérifiant cette condition, alors T = XY^{−1} (mod C), avec 0 < T < C, vérifie la congruence

T ≡ BA^{−1} (mod C).  (7)

Il existe donc deux entiers U et Q tels que AT −B = CQ et X = T Y −CU, ce qui donne Z = QY − AU. Ceci montre donc que l’équation (6) admet une infinité de solutions. On doit cependant fixer une limite X_{0}, Y_{0} et Z_{0} pour chacune des variables X, Y et Z. On peut alors déterminer des entiers X, Y et Z en considérant le système d’inéquations :

\{ \begin{matrix}|T Y − CU| ≤ X_{0}, \\ |QY − AU| ≤ Z_{0}, \\ |Y | ≤ Y_{0}, \end{matrix}

en entiers Y et U. Ce système peut être résolu par exemple en utilisant l’algorithme LLL (voir [22]). D’autre part, le Théorème de Minkowski sur les formes linéaires assure l’existence d’une solution de ce système vérifiant (Y, U) ≠ (0, 0) si X_{0}Y_{0} ≥ C, X_{0}Z_{0} ≥ B et Y_{0}Z_{0} ≥ A. Les entiers x, y et z recherchés pour les paramètres s et t seront alors :

x = min (|AX|, |BY |, |CZ|) /D,
z = max (|AX|, |BY |, |CZ|) /D,
y = z − x,

où D = (AX, BY).

6. Résultats numériques

On donne dans cette partie des exemples de courbes elliptiques E_{i}(s, t), i = 1, 2, ayant un grand groupe de Tate-Shafarevich. Les tables V et V I concernent le cas où le rang est nul et le conducteur est inférieur à 10^{10}. Dans ce cas, on calcule la valeur de l’ordre du groupe de Tate-Shafarevich sous forme d’un carré, ainsi que le rapport (1).

Les valeurs de s et t vérifient s > t, sont sans facteurs carrés communs, et sont déterminées par la méthode décrite dans la partie 5, avec les données suivantes :

2 = p_{1} < p_{2} < ⋯ < p_{46} = 199,
0 < A = p_{i}^{k_{i}}, B = p_{j}^{k_{j}}, C = p_{h}^{k_{h}} ≤ 2^{32},
X_{0} = Y_{0} = Z_{0} = 2^{16},
− 21 ≤ d ≤ 21.

Pour les tables V et V I, certaines valeurs de s et t ne forment pas de bons exemples pour la conjecture abc (voir [26]). Ainsi, dans la table V I, la courbe E_{2}(3 · 5^{8} · 83 · 107, −2^{8} · 3 · 41^{3}) est telle que γ = 1.1422, mais le rapport de Oesterlé-Masser (voir par exemple [26]) de la relation correspondante 2^{8} · 41^{3} + 5^{8} · 83 · 107 = 3^{20} est

\frac{log 3^{20}}{log(2 · 3 · 5 · 41 · 83 · 107)} ≈ 1.355773,

et donc n’est pas un bon exemple pour la conjecture abc. Signalons enfin un exemple remarquable. Les courbes

E_{1}(3 · 83^{2} · 103^{2}, −2^{3} · 3), E_{2}(3 · 83^{2} · 103^{2}, −2^{3} · 3),
E_{2}(−3 · 83^{2} · 103^{2}, 3^{6} · 67^{3}), E_{2}(3^{6} · 67^{3}, 2^{3} · 3),

sont isogènes, ont le même rapport γ ≈ 1.0187, et donc le même ordre du groupe de Tate-Shafarevich |� | = 87^{2}.

Table V
Courbes E_{1}, r_{1} = 0 et N_{1} ≤ 10^{10}, γ ≥ 1.
s N_{1} |T_{1}| Ω_{1} L(1) |� | γ
t  C_{1}
−2^{35} · 11  1532016816 4 0.1022 × 10^{−5} 14.9757 428^{2} 1.1459
−11 · 19^{5} · 13883  128
2^{5} · 3 · 7^{13} · 11 6305720190 4 0.1238 × 10^{−5} 8.3133 458^{2} 1.0861
−5^{14} · 11 · 19  512
5^{9} · 7^{2} 287175 4 0.1285 × 10^{−2} 3.2113 25^{2} 1.0245
5  64
3 · 83^{2} · 103^{2}  41240376 4 0.4243 × 10^{−3} 12.8470 87^{2} 1.0187
−2^{3} · 3  64

Table V I

Courbes E_{2}, r_{2} = 0 et N_{2} ≤ 10^{10}, γ ≥ 1.

s N_{2} |T_{2}| Ω_{2} L(1) |� | γ
t  C_{2}
−2^{5} · 3 · 7^{13} · 11  6305720190 2 0.6192 × 10^{−6} 8.3133 1832^{2} 1.3318
−11^{8} · 37^{2} · 353  16
−2^{35} · 11  1532016816 2 0.5109 × 10^{−5} 14.9757 856^{2} 1.2770
−11 · 19^{5} · 13883  16
−5 · 101^{5}  406517930 2 0.2741 × 10^{−4} 3.5366 508^{2} 1.2572
−2^{5} · 13^{5} · 4423  2
−2^{4} · 3^{7} · 5 · 547 287175 2 0.6423 × 10^{−3} 3.2113 50^{2} 1.2451
−5^{9} · 7^{2}  8
−5^{13} · 181  51636585 2 0.1337 × 10^{−4} 0.6707 224^{2} 1.2189
−2^{4} · 3 · 11 · 13^{2} · 19^{5}  4
−3^{5} · 5 · 7^{3} · 67^{2}  17179470 2 0.1453 × 10^{−3} 7.0705 156^{2} 1.2125
−2^{5} · 3 · 11^{7}  8
2^{5} · 3 · 7^{13} · 11  6305720190 2 0.6192 × 10^{−6} 8.3133 916^{2} 1.2090
−5^{14} · 11 · 19  64
−2^{26} · 5 · 29^{2}  1137465840 2 0.5914 × 10^{−5} 6.7962 536^{2} 1.2055
−3^{3} · 7^{10} · 37  16
−3^{17} · 7  6758136 2 0.1045 × 10^{−3} 1.2188 108^{2} 1.1909
−2^{3} · 3 · 11 · 23 · 53^{3}  4
−2^{9} · 3^{18} · 13^{2}  7433609040 2 0.5426 × 10^{−6} 7.6809 768^{2} 1.1692
−3 · 11^{5} · 17 · 31^{3} · 137  96
2^{5} · 5 · 41 1230 2 0.7757 × 10^{−1} 2.4823 8^{2} 1.1691
−1  2
−2^{5} · 5 · 41 1230 2 0.7757 × 10^{−1} 2.4823 8^{2} 1.1691
−3^{8}  2
−3 · 5^{11} · 7 · 29 · 97 718032315 2 0.3700 × 10^{−5} 2.5211 352^{2} 1.1502
−2^{4} · 13^{9} · 17  22
11 · 19^{5} · 13883  1532016816 2 0.2044 × 10^{−4} 14.9757 428^{2} 1.1459
3^{2} · 11^{7}  16
3 · 5^{8} · 83 · 107  32770890 2 0.6151 × 10^{−4} 4.8225 140^{2} 1.1422
−2^{8} · 3 · 41^{3}  16
−2^{9} · 3^{17} · 13^{2}  309733710 2 0.1880 × 10^{−5} 0.7624 260^{2} 1.1377
−11^{5} · 17 · 31^{3} · 137  24
−7 · 11^{5} · 13^{2}  1191190 2 0.4549 × 10^{−3} 2.4600 52^{2} 1.1297
−2^{15} · 7^{3} · 17  8
−3 · 19 · 509^{3}  10270602 2 0.7247 × 10^{−4} 0.3067 92^{2} 1.1203
−2^{19} · 3^{5} · 59  2
2^{5} · 13^{5} · 4423  406517930 2 0.5482 × 10^{−4} 3.5366 254^{2} 1.1173
7^{7}  4
−2 · 19 · 509^{3}  109553088 2 0.4438 × 10^{−4} 2.2722 160^{2} 1.0966
−2^{20} · 3^{4} · 59  8
2^{6} · 5 · 17 · 41 · 193 4035630 2 0.9577 × 10^{−3} 3.9226 64^{2} 1.0937
−1  4

20 ABDERRAHMANE NITAJ

Table V I (suite) Courbes E_{2}, r_{2} = 0 et N_{2} ≤ 10^{10}, γ ≥ 1.

s N_{2} |T_{2}| Ω_{2} L(1) |� | γ
t  C_{2}
−2^{6} · 5 · 17 · 41 · 193 4035630 2 0.9577 × 10^{−3} 3.9226 64^{2} 1.0937
−3^{16}  4
−2 · 7 · 11^{8}  69736128 2 0.5735 × 10^{−4} 4.2428 136^{2} 1.0881
−2^{21} · 3^{3} · 53  16
2^{21} · 3^{3} · 53  69736128 2 0.1147 × 10^{−3} 4.2428 136^{2} 1.0881
2 · 89  8
−2^{4} · 3 · 5 · 7^{11}  1023841665 2 0.9121 × 10^{−5} 1.4301 280^{2} 1.0864
−3 · 11^{4} · 29^{3} · 443  8
−2^{2} · 3 · 281^{3}  33612096 2 0.1925 × 10^{−3} 6.7370 108^{2} 1.0807
−2 · 7^{5} · 89^{2}  12
5 · 31^{5} · 73  355132590 2 0.6145 × 10^{−4} 1.2290 200^{2} 1.0765
−2^{11} · 5231  2
−5^{9} · 17^{3}  7516550 2 0.6414 × 10^{−4} 2.5144 70^{2} 1.0734
−2^{10} · 5 · 37^{4}  32
2^{26} · 5 · 29^{2}  1137465840 2 0.5914 × 10^{−5} 6.7962 268^{2} 1.0725
−631  64
3^{8} · 227 194766 2 0.2451 × 10^{−2} 1.6571 26^{2} 1.0700
−2^{13} · 13^{3}  4
2^{4} · 3^{3} · 41^{4}  2251515 2 0.3597 × 10^{−3} 3.5967 50^{2} 1.0698
7^{2} · 523  16
5 · 11^{5} · 13 · 17^{3}  87151350 2 0.2770 × 10^{−4} 0.9654 132^{2} 1.0683
−2^{7} · 5^{7}  8
2^{3} · 3^{3} · 5 · 7^{3} · 127 2026920 2 0.4580 × 10^{−3} 4.7488 48^{2} 1.0663
−1  18
2^{4} · 3 · 11 · 13^{2} · 19^{5} 51636585 2 0.2673 × 10^{−4} 0.6707 112^{2} 1.0627
7^{3}  8
−2^{6} · 3 · 5 · 7 · 13^{5} · 17 144195870 2 0.3051 × 10^{−4} 5.0609 144^{2} 1.0582
−13 · 239^{4}  32
3^{15} · 5 · 17  29790120 2 0.8996 × 10^{−4} 3.0456 92^{2} 1.0510
−2^{2} · 17  16
−3^{2} · 5^{5} · 47^{2} 334170 2 0.7971 × 10^{−3} 2.4998 28^{2} 1.0479
−2^{18} · 3 · 79  16
3 · 11^{5} · 17 · 31^{3} · 137 7433609040 2 0.2170 × 10^{−5} 7.6809 384^{2} 1.0472
3 · 5^{3}  96
−2^{3} · 3 · 7^{2} · 13^{5} 334170 2 0.1503 × 10^{−3} 3.1175 82^{2} 1.0382
−3^{5} · 5^{7} · 23  16
−2^{5} · 3 · 5^{2} 210 2 0.1282 2.0519 4^{2} 1.0371
−7^{4}  4
2^{5} · 3 · 5^{2} 210 2 0.1282 2.0519 4^{2} 1.0371
−1  4
5^{9} · 7^{2} 287175 4 0.2569 × 10^{−2} 3.2113 25^{2} 1.0245
5  32

Table V I (suite) Courbes E_{2}, r_{2} = 0 et N_{2} ≤ 10^{10}, γ ≥ 1.

s N_{2} |T_{2}| Ω_{2} L(1) |� | γ
t  C_{2}
2^{4} · 3^{7} · 5 · 547 287175 2 0.6423 × 10^{−3} 3.2113 25^{2} 1.0245
−5  32
2^{17} · 3 · 17 251430 2 0.2394 × 10^{−2} 2.7576 24^{2} 1.0223
−17 · 29^{3}  8
3 · 83^{2} · 103^{2}  41240376 2 0.2122 × 10^{−3} 12.8470 87^{2} 1.0187
−2^{3} · 3  32
−3 · 83^{2} · 103^{2}  41240376 2 0.4243 × 10^{−3} 12.8470 87^{2} 1.0187
−3^{6} · 67^{3}  16
3^{6} · 67^{3}  41240376 2 0.4243 × 10^{−3} 12.8470 87^{2} 1.0187
2^{3} · 3  16
−19 · 509^{3}  27388272 2 0.6276 × 10^{−4} 2.2911 78^{2} 1.0176
−2^{19} · 3^{4} · 59  24
2^{35} · 11  1532016816 2 0.5109 × 10^{−5} 14.9757 214^{2} 1.0148
−3^{2} · 11^{7}  256
2^{3} · 3 · 11 · 23 · 53^{3} 6758136 2 0.2090 × 10^{−3} 1.2188 54^{2} 1.0146
3  8
3 · 5^{11} · 7 · 29 · 97 718032315 2 0.7399 × 10^{−5} 2.5211 176^{2} 1.0142
−11^{3}  44
−2^{5} · 5^{11} · 19^{2}  2231367600 2 0.4183 × 10^{−5} 3.6023 232^{2} 1.0121
−3 · 5 · 7^{5} · 11^{3} · 41^{2}  66
−2 · 3^{12}.5^{2}  7207200 2 0.6094 × 10^{−3} 3.2959 52^{2} 1.0009
−3 · 5 · 7 · 13  8
−2^{13} · 5 · 29^{2} · 37^{3} 529364550 2 0.4682 × 10^{−5} 0.8653 152^{2} 1.0004
−5^{10} · 11^{4} · 13  32

7. Appendice

On donne dans cette partie l’expression générale des courbes elliptiques définies sur ℚ, suivant la forme de leur sous-groupe de torsion (voir [16], [20] ou [25]). Les paramètres u et v représentent des rationnels pour lesquels le discriminant correspondant n’est pas nul. Ces discriminants peuvent être non minimaux.

1. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/2ℤ × ℤ/8ℤ,

E_{2×8} : Y^{2} = X(X + 16u^{4}v^{4})(X + (u^{2} − v^{2})^{4}).

Le discriminant est alors

Δ_{2×8} = 2^{12}u^{8}v^{8}(u^{2} − v^{2})^{8}(u^{2} + v^{2})^{4}(u^{2} − 2uv − v^{2})^{2}(u^{2} + 2uv − v^{2})^{2}.

22 ABDERRAHMANE NITAJ

2. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/12ℤ, E_{12} : Y^{2} = X(X^{2} + a_{2}X + a_{4}),

avec

a_{2} = \frac{1}{4}(u^{4} − v^{4})^{2} + uv(u^{4} + v^{4})(u^{2} + uv + v^{2}),
a_{4} = u^{6}v^{6}(u^{2} + uv + v^{2})^{2}.

Le discriminant est Δ_{12} = u^{12}v^{12}(u − v)^{2}(u + v)^{6}(u^{2} + v^{2})^{3}(u^{2} + uv + v^{2})^{4}(u^{2} + 4uv + v^{2}).

3. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/2ℤ × ℤ/6ℤ, E_{2×6} : Y^{2} = X(X − 16uv^{3})(X + (u − 3v)(u + v)^{3}),

et de discriminant

Δ_{2×6} = u^{2}v^{6}(u + v)^{6}(u − v)^{6}u + 3v)^{2}(u − 3v)^{2}.

4. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/10ℤ, E_{10} : Y^{2} = X(X^{2} + a_{2}X + a_{4}),

avec

a_{2} = −(2u^{2} + 2uv + v^{2})(4u^{4} + 12u^{3}v + 6u^{2}v^{2} − 2uv^{3} − v^{4}),
a_{4} = 16u^{5}(u + v)^{5}(u^{2} + 3uv + v^{2}),

et de discriminant

Δ_{10} = −2^{12}u^{10}v^{5}(u + v)^{10}(2u + v)^{5}(u^{2} + 3uv + v^{2})^{2}(4u^{2} + 2uv − v^{2}).

5. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/9ℤ, E_{9} : Y^{2} = X^{3} + a_{2}X^{2} + a_{4}X + a_{6},

avec

a_{2} = u^{6} − 6u^{5}v − 10u^{3}v^{3} + 9u^{4}v^{2} + 6u^{2}v^{4} + v^{6},
a_{4} = 8(u^{3} − u^{2}v − v^{3})u^{2}v^{4}(u − v)(u^{2} − uv + v^{2}),
a_{6} = 16u^{4}v^{8}(u − v)^{2}(u^{2} − uv + v^{2})^{2}.

Le discriminant est alors Δ_{9} = 2^{12}u^{9}v^{9}(u − v)^{9}(u^{2} − uv + v^{2})^{3}(u^{3} − 6u^{2}v + 3uv^{2} + v^{3}).

6. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/8ℤ,

E_{8} : Y^{2} = X(X^{2} + a_{2}X + a_{4}),

avec

a_{2} = \frac{1}{4} (8u^{4} − 16u^{3}v + 16u^{2}v^{2} − 8uv^{3} + v^{4}) ,
a_{4} = u^{4}(u − v)^{4}.

et tels que a_{2}^{2}−4a_{4} = (2u−v)^{4}v^{2}(8u^{2}−8uv+v^{2}) n’est pas un carré parfait. Le discriminant est alors

Δ_{8} = u^{8}v^{2}(u − v)^{8}(2u − v)^{4}(8u^{2} − 8uv + v^{2}).

7. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/2ℤ × ℤ/4ℤ,

E_{2×4} : Y^{2} = X(X^{2} + u^{2})(X + v^{2}),

tels qu’il n’existe pas de rationnels p et q vérifiant E_{2×4}(u, v) = E_{2×8}(p, q). Le discriminant est alors

Δ_{2×4} = 16u^{4}v^{4}(u + v)^{2}(u − v)^{2}.

8. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/7ℤ,

E_{7} : Y^{2} = X^{3} + a_{2}X^{2} + a_{4}X + a_{6},

avec

a_{2} = u^{4} − 6u^{3}v + 3u^{2}v^{2} + 2v^{3}u + v^{4},
a_{4} = 8u^{2}v^{3}(u − v)(u^{2} − uv − v^{2}),
a_{6} = 16u^{4}v^{6}(u − v)^{2}.

Le discriminant est alors

Δ_{7} = 2^{12}u^{7}v^{7}(u − v)^{7}(u^{3} − 8u^{2}v + 5uv^{2} + v^{3}).

9. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/6ℤ,

E_{6} : Y^{2} = X(X^{2} − \frac{1}{4}(8u^{2} − 12uv + 3v^{2})X + u(u − v)^{3}),

tels que −v(8u − 9v) n’est pas un carré parfait. Le discriminant est alors

Δ_{6} = −u^{2}v^{3}(u − v)^{6}(8u − 9v).

10. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/4ℤ ,

E_{4} : Y^{2} = X(X^{2} + 2u(2u − v)X + u^{2}v^{2}),

et tels que u(u − v) n’est pas un carré parfait. Le discriminant est alors

Δ_{4} = 2^{8}u^{7}v^{4}(u − v).

11. Courbes de sous-groupe de torsion de la forme ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ ,

E_{2×2} : Y^{2} = X(X − u)(X − v),

tels qu’il n’existe pas de rationnels p et q vérifant E_{2×2}(u, v) = E_{2×4}(p, q) ou E_{2×2}(u, v) = E_{2×6}(p, q) ou E_{2×2}(u, v) = E_{2×8}(p, q). Le discriminant est alors

Δ_{2×2} = 2^{4}u^{2}v^{2}(u − v)^{2}.

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   E-mail address: nitaj@math.uni-sb.de