SUR LES N TELS QUE J_{0}(N) SOIT ℚ-ISOGÈNE

À UN PRODUIT DE COURBES ELLIPTIQUES

Henri Cohen

Le but de cette note est de déterminer tous les entiers impairs N tels que J_{0}(N) soit isogène à un produit de courbes elliptiques. Ceci équivaut à déterminer les N tels que toutes les valeurs propres des opérateurs de Hecke T_{p} soient rationnelles (et donc entières). La restriction à N impair est due à l’utilisation de l’opérateur T_{2}. L’utilisation d’autres T_{p} conduirait à des résultats plus généraux, et cela permet de ramener le cas de N quelconque à l’examen d’un nombre fini de valeurs.

L’idée de base pour traiter ce problème dans le cas N premier est due à Serre, et je me suis contenté de généraliser cette idée à N impair quelconque. La généralisation à toutes les valeurs de N sera mentionnée à la fin.

L’idée de Serre est la suivante. Puisque les valeurs propres λ de T_{2} sur S_{2}(Γ_{0}(N)) sont des entiers, et que d’autre part on a |λ| < 2\sqrt{2}, on a donc λ = 0, ±1 ou ±2. D’autre part puisque N est impair, T_{2} est hermitien et donc diagonalisable. Il en résulte que le polynôme minimal de T_{2} n’a que des racines simples, et est donc un diviseur du polynôme X(X^{2} − 1^{2})(X^{2} − 2^{2}). En conséquence, si l’on pose

f(X) = X^{2}(X^{2} − 1)(X^{2} − 4) ,

on a f(T_{2}) = 0 en tant qu’opérateur sur S_{2}(Γ_{0}(N)).

En utilisant les relations de récurrence donnant T_{2^{k}} en fonction de T_{2^{k−1}} et T_{2^{k−2}}, on obtient après un court calcul que

f(T_{2}) = T_{64} + 5T_{16} + 10T_{4} + 8T_{1} .

L’outil fondamental que nous allons utiliser est la formule de traces de Selberg-Eichler. Nous allons estimer la trace de f(T_{2}) en utilisant la relation que nous venons d’obtenir, et nous allons montrer que cette trace ne peut pas être nulle pour N assez grand, ce qui montrera que pour ces N, f(T_{2}) ne peut pas être nul. Il restera ensuite un nombre fini de cas à examiner. Nous ne donnons la formule que pour S_{2}(Γ_{0}(N)). Pour la formule correspondante pour S_{k}(Γ_{0}(N), χ), je réfère à [Coh].

Théorème 1. Soit Tr_{2}(n, N) la trace de l’opérateur de Hecke T_{n} sur S_{2}(Γ_{0}(N)), et supposons que (n, N) = 1. Pour tout entier m, soit ψ(m) le cardinal de la droite projective sur ℤ/mℤ, en d’autres termes

ψ(m) = m ∏_{p|m} (1 + \frac{1}{p}) .

On a Tr_{2}(n, N) = A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4}, avec

A_{1} = \{ \begin{matrix}0 si n n’est pas un carré \\ \frac{ψ(N)}{12} & si n est un carré \end{matrix}

A_{2} = −\frac{1}{2} ∑_{t^{2}−4n<0} ∑_{f^{2}|t^{2}−4n} h′ (\frac{t^{2} − 4n}{f^{2}}) μ(t, f, n) ,

où, en posant N_{f} = (N, f) on a

μ(t, f, n) = \frac{ψ(N)}{ψ(N/N_{f})} ∑_{\begin{matrix}x (mod 2N/N_{f}) \\ x^{2}≡(t^{2}−4n)/f^{2} (mod 4N/N_{f}) \end{matrix}} 1

et où h′(d) est le nombre de classes formes quadratiques définies positives primitives de discriminant d, sauf pour d = −3 (h′(−3) = 1/3) et d = −4 (h′(−4) = 1/2 ;h′(d) = 0 si d n’est pas congru à 0 ou 1 modulo 4).

A_{3} = − ∑_{\begin{matrix}d|n \\ d≤\sqrt{n} \end{matrix}} d ∑_{\begin{matrix}c|N \\ (c,N/c)|(n/d−d) \end{matrix}} ϕ((c, N/c)) ,

où ϕ est la fonction d’Euler, et le terme d = \sqrt{n}, s’il existe, doit être compté avec un coefficient 1/2.

A_{4} = σ_{1}(n) ,

la somme des diviseurs de n.

Nous appliquerons cette formule à n = 1, 4, 16 et 64. Ces valeurs de n sont des carrés, et il est facile de voir que quand N est grand, dans ce cas A_{1} est le terme dominant. Ceci explique le choix du polynôme f(X), plutot que le polynôme plus simple f(X)/X qui annule également T_{2}.

Un examen des différentes valeurs possibles de t^{2} − 4n (qui sont en nombre fini) montre que N_{f} ≤ 5 pour n = 64, N_{f} ≤ 3 pour n = 16 et N_{f} = 1 pour n = 1 et n = 4. Plus précisément, les seules valeurs de t pour lesquelles N_{f} est différent de 1 sont :

Pour n = 16, t = ±1 (et alors N_{f} = 3).

Pour n = 64, t = ±9 (et alors N_{f} = 5), et t = ±2, ±7, ±11 (et alors N_{f} = 3). Pour simplifier, considérons d’abord le cas N = p premier supérieur ou égal à

7 (de toutes façons, X_{0}(p) est de genre 0 pour p < 7). Dans ce cas, la formule de traces se simplifie de la manière suivante. Posons n = 2^{2α} pour α = 0, 1, 2, 3.

On vérifie que

A_{1} = (p + 1)/12, A_{3} = 2 − 3 · 2^{α}, A_{4} = 2^{2α+1} − 1 et enfin

A_{2} = −\frac{1}{2} ∑_{t^{2}−4n<0} (1 + (\frac{t^{2} − 4n}{p})) H(4n − t^{2}) ,

où H(d) est le nombre de classes de Hurwitz défini par H(d) = ∑_{f^{2}|d} h′(d/f^{2}).

Comme la trace de T_{2} est nulle sur S_{2}(Γ_{0}(1)), on déduit en particulier de la formule générale l’une des célèbres “Klassenzahlrelationen” de Hurwitz (que nous ne donnons ici que dans le cas où n est une puissance de 4) :

∑_{t^{2}−4n<0} H(4n − t^{2}) = \frac{1}{6} + 4n − 3 · \sqrt{n} .

En remplacant, on en déduit que

Tr_{2}(n, p) = \frac{p + 11}{12} − 2n + \frac{1}{2} ∑_{t^{2}−4n<0} (1 − (\frac{t^{2} − 4n}{p})) H(4n − t^{2}) .

Comme la dernière somme n’a que des termes positifs ou nuls, il en résulte que

Tr_{2}(n, p) ≥ \frac{p + 11}{12} − 2^{2α+1} .

Revenant à notre problème initial, il en résulte que

0 = Tr(f(T_{2})) ≥ 2(p + 11 − (64 + 80 + 40 + 8)) = 2(p − 181) ,

ce qui est donc contradictoire dès que p > 181. Une utilisation directe de la formule donnant Tr(f(T_{2})) montre que les seules valeurs de p pour lesquelles J_{0}(p) peut être isogène à un produit de courbes elliptiques sont p = 11, 13, 17, 19 et 37. Un examen des tables de [LN476] ou de [CSZ] montre que ces valeurs conviennent effectivement (en dehors de p = 13 où J_{0}(p) est nulle).

Passons maintenant au cas N impair général. Nous voulons minorer Tr(f(T_{2})) comme ci-dessus. Appelons B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4} les sommes des contributions provenant de A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} respectivement dans l’expression de Tr(f(T_{2})).

Il est clair que

B_{1} = 2ψ(N) .

Ce sera le terme dominant et nous le laissons sous cette forme. D’autre part on calcule aisément que B_{4} = −360.

Regardons B_{3}. Il est clair que

∑_{\begin{matrix}c|N \\ (c,N/c)|(n/d−d) \end{matrix}} ϕ((c, N/c)) ≤ ∑_{c|N} ϕ((c, N/c)) = ∏_{p^{α}∥N} (p^{⌊α/2⌋} + p^{⌊(α−1)/2⌋})

comme on le vérifie aisément. Si on appelle g(N) cette dernière expression, on a donc

B_{3} ≥ −60g(N) .

Considérons enfin B_{2}. On a le lemme suivant.

Lemme 1. Posons a = N/N_{f} et b = (t^{2} − 4n)/f^{2}. Si a est impair on a

∑_{\begin{matrix}x (mod 2a) \\ x^{2}≡b (mod 4a) \end{matrix}} 1 = ∏_{p|a} \{ \begin{matrix}p^{⌊v_{p}(a)/2⌋} & si v_{p}(b) ≥ v_{p}(a) \\ 0 & si v_{p}(b) < v_{p}(a) et v_{p}(b) impair \\ (1 + (\frac{b/p^{vp(b)}}{p})) p^{v_{p}(b)/2} & si v_{p}(b) < v_{p}(a) et v_{p}(b) pair \end{matrix}

D’autre part on vérifie que ψ(N)/ψ(N/N_{f}) ≤ ψ(N_{f}). Il en résulte que si l’on note ω(N) le nombre de diviseurs premiers de N, on a, pour les valeurs de n que nous considérons :

μ(t, f, n) ≤ 2^{ω(N)}c(t, f, n) ,

où c(t, f, n) = 6 si (t, f, n) = (±9, 5, 64) ; c(t, f, n) = 4 si (t, f, n) = (±2, 3, 64), (±2, 6, 64), (±7, 3, 64), (±11, 3, 64), (±1, 3, 16) ; c(t, f, n) = 3 si (t, f, n) = (±7, 1, 64) ; c(t, f, n) = 5/2 si (t, f, n) = (±9, 1, 64) ; c(t, f, n) = 3/2 si (t, f, n) = (±2, 1, 64), (±2, 2, 64), (±11, 1, 64), (±1, 1, 16) ; c(t, f, n) = 1 pour toutes les autres valeurs du triplet (t, f, n). (De meilleures valeurs pourraient être données pour c(t, f, n) mais nous n’en

aurons pas besoin.)

Il en résulte que pour un n donné on a

−A_{2} ≤ 2^{ω(N)−1} ∑_{t^{2}−4n<0} ∑_{f^{2}|t^{2}−4n} c(t, f, n)h′ (\frac{t^{2} − 4n}{f^{2}}) .

Il n’y a donc plus qu’un nombre de termes ne dépendant pas de N à sommer, et à l’aide d’une table de nombres de classes, on obtient, pour n = 2^{2α} :

−A_{2} ≤ 2^{ω(N)−1}(1/6 + 4n − 3\sqrt{n} + s(n))

où s(1) = s(4) = 0, s(16) = 10, s(64) = 108 (si c(t, f, n) était toujours égal à 1, la formule de Hurwitz donnerait s(n) = 0. Les valeurs de s(n) données ne font que compter les contributions supplémentaires dues au fait que c(t, f, n) n’est pas toujours égal à 1).

On en déduit que

B_{2} ≥ −381 · 2^{ω(N)} .

Nous pouvons maintenant regrouper les résultats et en déduire une contradiction pour N impair assez grand. Si J_{0}(N) est isogène à un produit de courbes elliptiques, nous devons avoir

0 = Tr(f(T_{2})) = B_{1} + B_{2} + B_{3} + B_{4} ≥ 2ψ(N) − 381 · 2^{ω(N)} − 60g(N) − 360 , (1)

où g(N) est défini ci-dessus. Il est facile de voir que g(N) et 2^{ω(N)} sont négligeables devant ψ(N) quand N tend vers l’infini, ce qui montre que N est borné.

Plus précisément, on a

g(N) = ∏_{p^{α}∥N} p^{α/2} · \{ \begin{matrix}(1 + 1/p) si α est pair \\ 2/\sqrt{p} si α est impair \end{matrix}

Comme N est impair, on a 2/\sqrt{p} < 1 + 1/p d’où l’inégalité g(N) ≤ \sqrt{N} ∏_{p|N}(1 + 1/p) = ψ(N)/\sqrt{N}.

De manière analogue, en utilisant l’inégalité x + 1/x ≥ 2 pour tout x > 0 on en déduit que

2^{ω(N)} = ∏_{p|N} 2 < ∏_{p|N} (\sqrt{p} + \frac{1}{\sqrt{p}}) = \sqrt{N} ∏_{p|N} (1 + \frac{1}{p}) = \frac{ψ(N)}{\sqrt{N}} .

Utilisant enfin la minoration triviale ψ(N) ≥ N on obtient donc

2N − 441\sqrt{N} − 180 ≤ 0

ce qui est une inégalité quadratique en \sqrt{N}, d’où on tire immédiatement

N ≤ 48800 .

Une exploration systématique sur machine pour N ≤ 48800 impair montre que la plus grande valeur de N pour laquelle l’inégalité (1) est vérifiée est N = 1785 = 3 · 5 · 7 · 17.

Ensuite, on programme sur machine la formule de trace elle même et on trouve que les seules valeurs impaires de N pour lesquelles Tr(f(T_{2})) = 0 sont N ≤ 21, ainsi que N = 25, 27, 33, 37, 45, 49, 57, 75, 99 et 121.

Un examen des tables montre que toutes les valeurs de N ci-dessus conviennent. Nous avons donc démontré le théorème suivant.

Théorème. Les seules valeurs impaires de N pour lesquelles J_{0}(N) est isogène à un produit de courbes elliptiques sont N ≤ 21 ainsi que N = 25, 27, 33, 37, 45, 49, 57, 75, 99 et 121 (dans les cas N ≤ 9, N = 13 et N = 25, J_{0}(N) est nulle).

Dans le cas général où on ne suppose plus N impair, on peut utiliser d’autres T_{p} à la place de T_{2}. Plus précisément, si N n’est pas divisible par 210, on peut utiliser p = 2, 3, 5 ou 7. La même méthode fonctionne. En effet, il est facile de voir que dans la formule de traces pour T_{n} quand n est un carré, le terme ψ(N)/12 domine asymptotiquement, et il suffit alors de vérifier que la somme pondérée de ces contributions, provenant du développement de polynômes analogues à f(T_{2}) ci-dessus, ne s’annule pas, ce que l’on fait aisément.

On en déduit donc une borne (assez grande mais explicite) pour N quand 210 ∤ N. Mais dans la décomposition de J_{0}(210) (et même de J_{0}(35)) figure une variété abélienne simple de dimension 2. Cette variété figurera donc dans la décomposition de J_{0}(N) pour tout N divisible par 210, ce qui montre que ces N ne conviennent pas. Ceci montre d’ailleurs qu’on pourrait se contenter d’utiliser 5 et 7 au lieu de 2, 3, 5 et 7.

Nous avons donc ramené le problème à un nombre fini de vérifications, que nous n’avons pas faites.