SUR QUELQUES REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET p-ADIQUES DE GL_{2}(Q_{p}) II

par

Christophe Breuil

Résumé. — Nous conjecturons que la réduction modulo p des représentations cristallines irréductibles de dimension 2 sur \overline{Q}_{p} de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) peut être prédite par la réduction modulo p de représentations p-adiques localement algébriques de GL_{2}(Q_{p}). Nous explicitons quelques calculs de telles réductions confirmant cette conjecture. Cela suggère un lien arithmétique non trivial entre les deux types de représentations.

Table des matières

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Notations et formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Définitions et conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1. Définition des représentations V_{k,a_{p},χ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Définition des représentations Π_{k,a_{p},χ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3. Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Existence de réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.1. Préparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2. Démonstration du théorème 4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. Réduction modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.1. Premiers calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2. Lemmes de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.3. Réduction modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6. Quelques vérifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.1. Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.2. Exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1. Introduction

Une question naturelle, évoquée par exemple dans [3] mais soulevée aussi indépendamment par plusieurs mathématiciens, est de savoir s’il existe un analogue p-adique continu de la correspondance de Langlands locale classique pour GL_{n} sur un corps archimédien. Si F est, disons, une extension finie de Q_{p}, peuton relier de façon “naturelle” (i.e. arithmétique ou géométrique) les, ou certaines, représentations p-adiques continues de dimension n du groupe de Weil de F avec les, ou certaines, représentations p-adiques continues de GL_{n}(F) ?

Dans cet article, presque entièrement calculatoire faute de théorie pour l’instant (à ma connaissance), nous explorons dans l’optique ci-dessus le cas particulier où F = Q_{p}, n = 2 et où les représentations galoisiennes considérées sont les représentations cristallines irréductibles de dimension 2 sur \overline{Q}_{p} de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}). Les résultats bruts des calculs et les extrapolations que l’on peut en tirer vont clairement dans le sens d’une telle correspondance, au moins dans le cas considéré, et m’ont paru suffisamment intéressants pour justifier à eux seuls une publication.

Soit k ≥ 2 un entier, a_{p} un élément de \overline{Z}_{p} de valuation strictement positive et χ : Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) → \overline{Z}_{p}^{×} le produit d’un caractère non ramifié par une puissance entière du caractère cyclotomique. Nous commençons par rappeler la construction ([5]), à partir de ces données, des représentations cristallines mentionnées plus haut (nous les notons V_{k,a_{p},χ}). Puis nous définissons, avec les mêmes données, des représentations p-adiques naturelles Π_{k,a_{p},χ} de GL_{2}(Q_{p}). Ces représentations sont simplement le produit tensoriel de la représentation algébrique Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} par une induite parabolique non ramifiée qui, la plupart du temps, est associée via la correspondance locale classique “de Hecke” pour GL_{2}(Q_{p}) à la représentation de Weil issue de V_{k,a_{p},χ} par le processus de Fontaine (voir e.g. [3]).

En vertu de notre problématique, la question est de savoir si Π_{k,a_{p},χ} est la “bonne” représentation associée à V_{k,a_{p},χ}, ou en tout cas si elle en est une bonne approximation. Plusieurs approches sont possibles pour essayer de répondre. Cet article explore l’une d’entre elles : comme les représentations irréductibles de GL_{2}(Q_{p}) sur \overline{F}_{p} sont toutes connues ([1],[2]), nous comparons la réduction modulo p de Π_{k,a_{p},χ} avec la réduction modulo p de V_{k,a_{p},χ} (plus précisément, nous comparons les semi-simplifiées modulo l’idéal maximal de \overline{Z}_{p}). L’idée étant que si la correspondance Π_{k,a_{p},χ} ↔ V_{k,a_{p},χ} a véritablement un sens arithmétique, elle doit “passer” à la réduction modulo p.

Rappelons d’abord quelques résultats de [1] et [2]. Considérons les représentations suivantes de GL_{2}(Q_{p}) sur \overline{F}_{p} (cf. §2.1 pour des définitions précises) :

π(r, λ, η) = [(ind_{GL_{2}(Z_{p})Q_{p}^{×}}^{GL_{2}(Q_{p})}Sym^{r}\overline{F}_{p}^{2})/(T − λ)] ⊗ (η ∘ dét)

où r ∈ \{0, ⋯, p−1\}, λ ∈ \overline{F}_{p} et η : Q_{p}^{×} → \overline{F}_{p}^{×} est un caractère lisse. Dans [1] et [2] il est démontré que les π(r, λ, η) sont toujours irréductibles sauf lorsque (r, λ) ∈ {(0, ±1), (p − 1, ±1)} où elles sont de longueur 2. Les π(r, λ, η) irréductibles et les sous-quotients des π(r, λ, η) réductibles épuisent les représentations lisses irréductibles avec caractère central de GL_{2}(Q_{p}) sur \overline{F}_{p} (cf. [1]). Soit ω le caractère cyclotomique modulo p (vu comme caractère de Q_{p}^{×} via le corps de classes normalisé en envoyant les Frobenius géométriques sur les uniformisantes), ω_{2} le caractère fondamental de niveau 2 et, pour s ∈ Z_{≥0} et (s, p+1) = 1, ind(ω_{2}^{s}) l’unique représentation irréductible de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) sur \overline{F}_{p} de déterminant ω^{s} et dont la restriction à l’inertie est ω_{2}^{s} ⊕ ω_{2}^{ps}. Dans [2], nous avons relié les représentations π(r, λ, η) aux représentations semi-simples de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) de dimension 2 sur \overline{F}_{p} de la façon suivante :

Définition 1.1 ([2]). — Pour r ∈ \{0, ⋯, p − 1\}, λ ∈ \overline{F}_{p} et η : Q_{p}^{×} → \overline{F}_{p}^{×} un caractère lisse, on définit la “correspondance” :

(i) si λ = 0 :

π(r, 0, η) ⟷ (ind(ω_{2}^{r+1})) ⊗ η

(ii) si λ ≠ 0 :

π(r, λ, η)^{ss} ⊕ π([p−3−r], λ^{−1}, ω^{r+1}η)^{ss} ⟷ (\begin{matrix}nr(λ^{−1})ω^{r+1} & 0 \\ 0 & nr(λ) \end{matrix}) ⊗ η

où nr(x) est le caractère non ramifié qui envoie le Frobenius arithmétique sur x, “ss” signifie “semi-simplifiée” et [p−3−r] est l’unique entier dans {0, ⋯, p−2} congru à p − 3 − r modulo p − 1.

Revenons au contenu de cet article. Quitte à tordre, on se ramène à χ = 1 et on note V_{k,a_{p}} = V_{k,a_{p},1} et Π_{k,a_{p}} = Π_{k,a_{p},1}. En reformulant Π_{k,a_{p}} comme induite compacte, on en définit un sous-\overline{Z}_{p}[GL_{2}(Z_{p})]-module de type fini naturel Θ_{k,a_{p}} qui l’engendre sur \overline{Q}_{p}. On conjecture que Θ_{k,a_{p}} est un \overline{Z}_{p}-réseau, i.e. qu’il ne contient pas de \overline{Q}_{p}-droite. La conjecture principale de l’article est alors que la réduction modulo p de Θ_{k,a_{p}} correspond à la réduction modulo p d’un réseau de V_{k,a_{p}} (après semi-simplification) par la correspondance 1.1 (rappelons que “modulo p” signifie modulo l’idéal maximal de \overline{Z}_{p}). Autrement dit (cf. conjecture 3.3.5) :

Conjecture 1.2. — La semi-simplifiée modulo p de Π_{k,a_{p}} est associée à la semi-simplifiée modulo p de V_{k,a_{p}} par la correspondance en 1.1.

La conjecture 1.2 contient plusieurs énoncés qui semblent non triviaux : le fait que Θ_{k,a_{p}} ne contient pas de \overline{Q}_{p}-droite, le fait que sa réduction est de longueur finie et a l’une des formes particulières de la définition 1.1, etc.

Passons aux résultats en direction de cette conjecture, qui sont très partiels.

Théorème 1.3. — Supposons k ≤ 2p et k ≠ 4 si p = 2, alors Θ_{k,a_{p}} est libre sur \overline{Z}_{p} et sa réduction modulo p est un \overline{F}_{p}[GL_{2}(Z_{p})]-module de longueur finie.

Notons \overline{Π}_{k,a_{p}} la semi-simplifiée de la réduction modulo p de Θ_{k,a_{p}}.

Théorème 1.4. — (i) Supposons k ≤ p + 1, alors \overline{Π}_{k,a_{p}} = π(k − 2, 0, 1). (ii) Supposons k = p + 2 et p ≠ 2, alors :

– si val(a_{p}) < 1, \overline{Π}_{k,a_{p}} = π(p − 2, 0, ω) ≃ π(1, 0, 1)

– si val(a_{p}) ≥ 1, \overline{Π}_{k,a_{p}} = π(p−2, λ, ω)^{ss} ⊕π(p−2, λ^{−1}, ω)^{ss} où λ^{2} − \overline{\frac{a_{p}}{p}} λ+1 = 0. (iii) Supposons p + 3 ≤ k ≤ 2p, alors :

– si val(a_{p}) < 1, \overline{Π}_{k,a_{p}} = π(2p − k, 0, ω^{k−1−p}) ≃ π(k−1−p, 0, 1)

– si val(a_{p}) = 1, \overline{Π}_{k,a_{p}} = π(k−3−p, λ, ω)^{ss}⊕π(2p−k, λ^{−1}, ω^{k−1−p})^{ss} où λ = \overline{\frac{(k−1)ap}{p}} – si val(a_{p}) > 1, \overline{Π}_{k,a_{p}} = π(k−3−p, 0, ω).

Pour des raisons purement techniques, je ne suis pas arrivé à traiter complètement le cas p = 2, k = 4 et l’ai donc exclus des énoncés. Il ne fait aucun doute que les deux théorèmes restent valables dans ce cas. Je me suis limité à k ≤ 2p à cause de la multiplication probable des cas à considérer (dépendant de val(a_{p})) lorsque k grandit. Un peu plus de courage permettrait sûrement de traiter d’autres cas.

Notons \overline{V}_{k,a_{p}} la semi-simplifiée modulo p de V_{k,a_{p}}. Combiné avec la conjecture 1.2, le théorème 1.4 entraîne la conjecture “explicite” suivante :

Conjecture 1.5. — (i) Supposons k ≤ p + 1, alors \overline{V}_{k,a_{p}} = ind(ω_{2}^{k−1}). (ii) Supposons k = p + 2, alors :

– si val(a_{p}) < 1, \overline{V}_{p+2,a_{p}} = ind(ω_{2}^{2})

– si val(a_{p}) ≥ 1, \overline{V}_{p+2,a_{p}} = (\begin{matrix}nr(λ^{−1})ω & 0 \\ 0 & nr(λ)ω \end{matrix}) où λ^{2} − \overline{\frac{a_{p}}{p}} λ + 1 = 0 dans \overline{F}_{p}.

(iii) Supposons p + 3 ≤ k ≤ 2p, alors :

– si val(a_{p}) < 1, \overline{V}_{k,a_{p}} = ind(ω_{2}^{k−p})

– si val(a_{p}) = 1, \overline{V}_{k,a_{p}} = (\begin{matrix}nr(λ^{−1})ω^{k−2} & 0 \\ 0 & nr(λ)ω \end{matrix}) où λ = \overline{\frac{(k−1)ap}{p}} ∈ \overline{F}_{p}^{×}

– si val(a_{p}) > 1, \overline{V}_{k,a_{p}} = ind(ω_{2}^{k−1}).

Côté Galois, on ne connaît \overline{V}_{k,a_{p}} que dans peu de cas : si k ≤ p, la théorie de Fontaine-Laffaille donne ind(ω_{2}^{k−1}) et si a_{p} = 0, V_{k,a_{p}} s’exprime comme une induite dont la réduction (à vue) est ind(ω_{2}^{k−1}) si p+1∤k−1 et nr(√ ; \overline{−1}^{−1})ω^{\frac{k−1}{p+1}}⊕ nr(√ ; \overline{−1})ω^{\frac{k−1}{p+1}} sinon. En comparant avec 1.4, on en déduit :

Corollaire 1.6. — Les conjectures 1.2 et 1.5 sont vraies si k ≤ p ou si a_{p} = 0 et k ≤ 2p (avec k ≠ 4 si p = 2).

Notons que le (i) de 1.5 pour k = p + 1 a été démontré lorsque V_{p+1,a_{p}} provient d’une forme modulaire de poids p+1 et de niveau premier à p ([7]). Pour p + 1 ≤ k, la théorie de Fontaine-Laffaille n’est plus disponible et le calcul de \overline{V}_{k,a_{p}}, même “à la main”, n’est pas connu en général. On en est réduit à tester la conjecture 1.5 (donc la conjecture 1.2) sur ordinateur. Les formes modulaires non ordinaires en p et de niveau premier à p fournissent de nombreux exemples de représentations cristallines V_{k,a_{p}} et, par la théorie des congruences entre formes modulaires, William Stein et David Savitt ont pu “vérifier” sur ordinateur la validité de la conjecture 1.5 dans plusieurs centaines de cas. Nous terminons l’article avec quelques exemples explicites issus de leur programme.

L’auteur remercie chaleureusement William Stein et David Savitt pour lui avoir rapidement fourni de nombreux exemples confirmant la conjecture principale de cet article ainsi que pour leur disponibilité sans faille. Il remercie également Alain Genestier pour de nombreuses discussions. En guise de conclusion, il éprouve le besoin de s’excuser pour les preuves assez techniques de cet article (mais qui ont au moins l’avantage d’être élémentaires). Il espère l’existence de preuves conceptuelles et générales qui rendront un jour les calculs de cet article complètement ou partiellement inutiles.

2. Notations et formules

Pour définir et étudier les représentations Π_{k,a_{p},χ} (voir §3.2), nous introduisons quelques notations.

2.1. Notations. —

2.1.1. On fixe \overline{Q}_{p} une clôture algébrique de Q_{p} d’anneau d’entiers \overline{Z}_{p} de corps résiduel \overline{F}_{p}. On note val la valuation sur \overline{Q}_{p} telle que val(p) = 1 et | · | la norme p-adique |x| = \frac{1}{p^{val(x)}} . On normalise l’isomorphisme de la théorie du corps de classes local en envoyant les uniformisantes sur les Frobenius géométriques. On note ε le caractère cyclotomique p-adique et ω sa réduction modulo p vus aussi comme caractère de Q_{p}^{×}. En particulier, ε(p) = 1 (cf. [2],§4.2) et ε|_{Z_{p}^{×}}: Z_{p}^{×} → Z_{p}^{×} est l’identité. On note ω_{2} le caractère fondamental de niveau 2 de Serre. Pour s ∈ Z_{≥0}, (s, p + 1) = 1, on note ind(ω_{2}^{s}) l’unique représentation irréductible de dimension 2 de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) sur \overline{F}_{p} de déterminant ω^{s} et dont la restriction à l’inertie est ω_{2}^{s} ⊕ ω_{2}^{ps}. On note μ_{λ} le caractère non ramifié de Q_{p}^{×} (resp. du groupe de Weil de Q_{p}) qui envoie p (resp. les Frobenius géométriques) sur λ. Enfin, “modulo p” signifie “modulo l’idéal maximal de \overline{Z}_{p}”.

2.1.2. On reprend les notations de [2] : G = GL_{2}(Q_{p}), K = GL_{2}(Z_{p}), Z = Q_{p}^{×} ↪ G, B est le sous-groupe de G des matrices triangulaires supérieures,

I(1) = \{(\begin{matrix}a & b \\ pc & d \end{matrix}) ∈ K, a ≡ d ≡ 1 (p)\}, α = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix}), β = (\begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix}) et, si λ ∈ Z_{p},

w_{λ} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −λ \end{matrix}). On pose I_{0} = \{0\} et, si m ∈ Z_{>0}, I_{m} = \{[λ_{0}] + p[λ_{1}] + ⋯ +

p^{m−1}[λ_{m−1}], λ_{i} ∈ F_{p}} ⊂ Z_{p} où [·] désigne le représentant multiplicatif. Pour

m ∈ Z_{≥0} et λ ∈ I_{m}, on note g_{m,λ}^{0} = (\begin{matrix}p^{m} & λ \\ 0 & 1 \end{matrix}) et g_{m,λ}^{1} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ pλ & p^{m+1} \end{matrix}). On a

βg_{m,λ}^{0} = g_{m,λ}^{1}w_{0} et :

G = ( ∐_{m,λ}KZ(g_{m,λ}^{0})^{−1})∐( ∐_{m,λ}KZ(g_{m,λ}^{1})^{−1}). (1)

2.1.3. On identifie sans commentaire les représentations avec leur espace sousjacent. Soit R un anneau commutatif et σ une représentation R-linéaire de KZ sur un R-module. On note ind_{KZ}^{G}σ le R-module des fonctions f de G dans σ à support compact modulo Z telles que f(κg) = σ(κ)(f(g)) (g ∈ G, κ ∈ KZ) muni de l’action à gauche de G : (g·f)(g′) = f(g′g). Pour g ∈ G et v ∈ σ, on note [g, v] l’élément suivant de ind_{KZ}^{G}σ à support dans KZg^{−1} :

\begin{aligned}[g, v](g′) & = & σ(g′g)(v) & si & g′ ∈ KZg^{−1} \\ [g, v](g′) & = & 0 & si & g′ ∉ KZg^{−1}. \end{aligned}

On a g·[g′, v] = [gg′, v] et [gκ, v] = [g, σ(κ)(v)] si κ ∈ KZ. Par (1), tout élément de ind_{KZ}^{G}σ s’écrit de façon unique comme une somme finie ∑_{m,λ}[g_{m,λ}^{0}, v_{λ}^{m}] + ∑_{m,λ}[g_{m,λ}^{1}, w_{λ}^{m}] où v_{λ}^{m}, w_{λ}^{m} ∈ σ. Pour n ∈ Z_{≥0}, on note S_{n}(R) le sous-R-module de ind_{KZ}^{G}σ des fonctions à support dans ( ∐_{λ∈I_{n}}KZ(g_{n,λ}^{0})^{−1})∐( ∐_{λ∈I_{n}}KZ(g_{n,λ}^{1})^{−1}), c’est-

à-dire telles que les v_{λ}^{m} et w_{λ}^{m} sont nuls dès que m ≠ n, et B_{n}(R) le sous-R-module somme des S_{m} pour m ≤ n.

2.1.4. On suppose maintenant que R est une Z_{p}-algèbre (commutative). Pour k ∈ Z_{≥2}, on définit la représentation \underline{Sym}^{k−2}R^{2} de KZ comme suit : restreinte à K, c’est la représentation Sym^{k−2}R^{2} où K agit via son action naturelle sur R^{2}

et on envoie (\begin{matrix}p & 0 \\ 0 & p \end{matrix}) ∈ Z sur l’identité. On identifie \underline{Sym}^{k−2}R^{2} avec le R-module

⨁_{i=0}^{k−2} Rx^{r−i}y^{i} des polynômes homogènes de degré k − 2 en x et y à coefficients dans

R avec l’action à gauche de K donnée explicitement par :

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) x^{k−2−i}y^{i} = (ax + cy)^{k−2−i}(bx + dy)^{i} ∀i.

Si v ∈ \underline{Sym}^{k−2}R^{2} et κ ∈ KZ, on note simplement κ·v l’action de κ sur v.

Lemme 2.1.4.1. — Il existe une unique fonction ψ : G → End_{R}(\underline{Sym}^{k−2}R^{2}) à support dans KZα^{−1}KZ telle que ψ(κ_{1}α^{−1}κ_{2}) = κ_{1}∘ψ(α^{−1})∘κ_{2} pour κ_{1}, κ_{2} ∈ KZ et telle que, dans la base (x^{k−2}, x^{k−3}y, ⋯, y^{k−2}) :

ψ(α^{−1}) = (\begin{matrix}p^{k−2} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & p^{k−3} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix}) .

Démonstration. — L’unicité est claire. Pour l’existence, on peut supposer R = Z_{p} puisque ψ(α^{−1}) ∈ M_{2}(Z_{p}). Il faut vérifier que, si κ_{1}α^{−1}κ_{2} = α^{−1} dans G, alors ψ(κ_{1}α^{−1}κ_{2}) = ψ(α^{−1}). Comme \underline{Sym}^{k−2}Z_{p}^{2} ↪ \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}, on peut vérifier cette égalité sur \overline{Q}_{p}. Mais \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} = (Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}) ⊗ |dét|^{\frac{k−2}{2}} est naturellement une représentation de G via son action naturelle sur \overline{Q}_{p}^{2} (en choisissant une racine carrée de p dans \overline{Q}_{p} si k est impair). Comme κ_{1}∘α^{−1}∘κ_{2} = α^{−1} et comme α^{−1} ∈ G agit par la matrice p^{− \frac{k−2}{2}} ψ(α^{−1}), on a κ_{1}∘(p^{− \frac{k−2}{2}} ψ(α^{−1}))∘κ_{2} = p^{− \frac{k−2}{2}} ψ(α^{−1}) d’où κ_{1} ∘ ψ(α^{−1}) ∘ κ_{2} = ψ(κ_{1}α^{−1}κ_{2}) = ψ(α^{−1}).

A partir de ψ, on définit T ∈ End_{G}(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}R^{2}) par la formule usuelle (voir [1]) :

T ([g, v]) = ∑_{g′KZ∈G/KZ}[gg′, ψ(g′^{−1})(v)].

Nous explicitons cette formule dans le paragraphe qui suit.

2.2. Formulaire. — On fixe R une Z_{p}-algèbre commutative. Pour 0 ≤ m ≤ n, on note [ ]_{m} : I_{n} → I_{m} les applications “troncatures” qui envoient ∑_{i=0}^{n−1} p^{i}[λ_{i}] sur ∑_{i=0}^{m−1} p^{i}[λ_{i}] si m ≥ 1 et sur 0 si m = 0. Si λ ∈ I_{n} et λ′ ∈ I_{n′}, alors λ+p^{n}λ′ ∈ I_{n+n′}.

Lemme 2.2.1 ([2]). — Soit n ∈ Z_{≥0}, μ ∈ I_{n} et v ∈ \underline{Sym}^{k−2}R^{2}, on a :

T ([g_{n,μ}^{0}, v]) = T^{+}([g_{n,μ}^{0}, v]) + T^{−}([g_{n,μ}^{0}, v])

où :

(2)  T^{+}([g_{n,μ}^{0}, v]) = ∑_{λ∈I_{1}}[g_{n+1,μ+p^{n}λ}^{0}, (w_{0} ∘ ψ(α^{−1}) ∘ w_{λ})(v)]
(3)  T^{−}([g_{n,μ}^{0}, v]) = [g_{n−1,[μ]_{n−1}}^{0}, (w_{0}w_{\frac{[μ]_{n−1}−μ}{p^{n−1}}} ∘ ψ(α^{−1}))(v)] si n ≥ 1
= [α, ψ(α^{−1})(v)] si n = 0.

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Lemme 2.2.2. — Soit v = ∑_{i=0}^{k−2} c_{i}x^{k−2−i}y^{i} ∈ \underline{Sym}^{k−2}R^{2} et λ ∈ Z_{p} :

(4)  (w_{0} ∘ ψ(α^{−1}) ∘ w_{λ})(v) = ∑_{j=0}^{k−2} (p^{j} ∑_{i=j}^{k−2} c_{i}\binom{i}{j}(−λ)^{i−j})x^{k−2−j}y^{j}
(5)  (w_{0}w_{λ} ∘ ψ(α^{−1}))(v) = ∑_{j=0}^{k−2} ( ∑_{i=j}^{k−2} p^{k−2−i}\binom{i}{j}c_{i}(−λ)^{i−j})x^{k−2−j}y^{j}
(6)  ψ(α^{−1})(v) = ∑_{j=0}^{k−2} p^{k−2−j}c_{j}x^{k−2−j}y^{j}.

Démonstration. — Calcul élémentaire.

En posant :

T^{+}([g_{n,μ}^{1}, w]) = β·T^{+}([g_{n,μ}^{0}, (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})·w]) et T^{−}([g_{n,μ}^{1}, w]) = β·T^{−}([g_{n,μ}^{0}, (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})·w]),

on a des formules analogues avec g_{n,μ}^{1} (cf. [2]). Noter que si p = 0 dans R, ces formules se simplifient grandement :

(7)  (w_{0} ∘ ψ(α^{−1}) ∘ w_{λ})(v) = ( ∑_{i=0}^{k−2} c_{i}(−λ)^{i})x^{k−2}
(8)  (w_{0}w_{λ} ∘ ψ(α^{−1}))(v) = ∑_{j=0}^{k−2} (\binom{k−2}{j}c_{k−2}(−λ)^{k−2−j})x^{k−2−j}y^{j}.

Pour f = ∑_{m,λ}[g_{m,λ}^{0}, v_{λ}^{m}]+∑_{m,λ}[g_{m,λ}^{1}, w_{λ}^{m}], posons T^{+}(f) = ∑_{m,λ} T^{+}([g_{m,λ}^{0}, v_{λ}^{m}])+ ∑_{m,λ} T^{+}([g_{m,λ}^{1}, w_{λ}^{m}]) et de même avec T^{−}. Des lemmes 2.2.1 et 2.2.2, on déduit : Corollaire 2.2.3. — Soit m ∈ Z_{>0}, a_{p} ∈ R et, pour tout μ ∈ I_{m} (resp. μ ∈ I_{m−1}, resp. μ ∈ I_{m+1}), v_{μ}^{m} = ∑_{i=0}^{k−2} c_{i,μ}^{m}x^{k−2−i}y^{i} (resp. v_{μ}^{m−1} = ∑_{i=0}^{k−2} c_{i,μ}^{m−1}x^{k−2−i}y^{i}, resp. v_{μ}^{m+1} = ∑_{i=0}^{k−2} c_{i,μ}^{m+1}x^{k−2−i}y^{i}) des éléments de \underline{Sym}^{k−2}R^{2}. On note :

\begin{aligned}f_{m} & = & ∑_{μ∈I_{m}}[g_{m,μ}^{0}, v_{μ}^{m}] \\ f_{m−1} & = & ∑_{μ∈I_{m−1}}[g_{m−1,μ}^{0}, v_{μ}^{m−1}] \\ f_{m+1} & = & ∑_{μ∈I_{m+1}}[g_{m+1,μ}^{0}, v_{μ}^{m+1}]. \end{aligned}

Alors :

T^{−}(f_{m+1}) + T^{+}(f_{m−1}) − a_{p}f_{m} = ∑_{μ∈I_{m}} [g_{m,μ}^{0}, ∑_{j=0}^{k−2} C_{j,μ}^{m}x^{k−2−j}y^{j}]

où :

C_{j,μ}^{m} = ∑_{i=j}^{k−2} p^{k−2−i}\binom{i}{j} ∑_{λ∈F_{p}} c_{i,μ+p^{m}[λ]}^{m+1}[λ]^{i−j} + p^{j} ∑_{i=j}^{k−2} c_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1}\binom{i}{j}(\frac{[μ]_{m−1}−μ}{p^{m−1}})^{i−j} − a_{p}c_{j,μ}^{m}.

3. Définitions et conjectures

Nous définissons les représentations V_{k,a_{p},χ} (§3.1), Π_{k,a_{p},χ} (§3.2) et nous énonçons la conjecture principale (conjecture 3.3.5) qui relie les deux.

3.1. Définition des représentations V_{k,a_{p},χ}. — Soit k ∈ Z_{≥2} et a_{p} un élément de l’idéal maximal de \overline{Z}_{p}. A ces données, on associe le module filtré faiblement admissible D_{k,a_{p}} suivant : D_{k,a_{p}} est un \overline{Q}_{p}-espace vectoriel de dimension 2 de base (e_{1}, e_{2}) muni d’un automorphisme \overline{Q}_{p}-linéaire φ : D → D tel que :

\begin{aligned}φ(e_{1}) & = & p^{k−1}e_{2} \\ φ(e_{2}) & = & −e_{1} + a_{p}e_{2} \end{aligned}

et d’une filtration décroissante par des sous-\overline{Q}_{p}-espaces vectoriels (Fil^{i}D)_{i∈Z} telle que :

Fil^{i}D = D si  i ≤ 0
Fil^{i}D = \overline{Q}_{p}e_{1} si 1 ≤ i ≤ k − 1
Fil^{i}D = 0 si  i ≥ k.

On définit alors :

V_{k,a_{p}} = Hom_{φ,Fil^{·}}(D_{k,a_{p}}, B_{cris})

qui est l’espace des applications Q_{p}-linéaires de D_{k,a_{p}} dans l’anneau des périodes B_{cris} qui commutent à φ et préservent la filtration (rappelons que B_{cris} est muni d’un φ et d’une filtration décroissante (Fil^{i}B_{cris})_{i∈Z}). C’est naturellement un \overline{Q}_{p}- espace vectoriel en posant (λ·f)(x) = f(λx) pour λ ∈ \overline{Q}_{p}, f ∈ V_{k,a_{p}} et x ∈ D_{k,a_{p}}. On définit une action continue \overline{Q}_{p}-linéaire de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) sur V_{k,a_{p}} en posant (γ ·f)(x) = γ ·f(x) pour γ ∈ Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}), f ∈ V_{k,a_{p}} et x ∈ D_{k,a_{p}} (rappelons que B_{cris} est muni d’une action continue de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) qui commute aux autres structures). Un corollaire facile du résultat principal de [5] est la :

Proposition 3.1.1. — Soit k ∈ Z_{≥2}, a_{p} ∈ \overline{Z}_{p} tel que val(a_{p}) > 0 et χ : Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) → \overline{Z}_{p}^{×} un caractère cristallin, c’est-à-dire le produit d’un caractère non ramifié par une puissance entière du caractère cyclotomique. Alors les représentations V_{k,a_{p},χ} = V_{k,a_{p}} ⊗χ épuisent les représentations cristallines irréductibles de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) de dimension 2 sur \overline{Q}_{p} et les seuls isomorphismes entre elles sont V_{k,a_{p},χμ_{−1}} ≃ V_{k,−a_{p},χ}.

Démonstration. — Par [5], les V_{k,a_{p},χ} sont bien cristallines irréductibles de dimension 2. Toute représentation cristalline irréductible de dimension 2 de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) est la tordue par une unique puissance de ε d’une représentation cristalline à poids de Hodge-Tate (0, k − 1) avec k ∈ Z_{≥2}. Si χ est non ramifié, alors V_{k,a_{p},χ} est à poids de Hodge-Tate (0, k − 1) et son module filtré associé D_{k,a_{p},χ} = \overline{Q}_{p}e_{1} ⊕ \overline{Q}_{p}e_{2} a la même filtration que D_{k,a_{p}} mais pour Frobenius φ(e_{1}) = p^{k−1}χ(p^{−1})^{2}e_{2}, φ(e_{2}) = −e_{1} + a_{p}χ(p^{−1})e_{2}. Par [3],§3.1, on voit qu’on obtient ainsi toutes les représentations cristallines irréductibles de dimension 2 à poids de Hodge-Tate (0, k − 1), donc, après torsion, toutes les représentations cherchées. Si V_{k,a_{p},χ} ≃ V_{k′,a′_{p},χ′}, leurs poids de Hodge-Tate sont les mêmes ce qui entraîne k = k′ et χ′χ^{−1} non ramifié. Quitte à tordre, on est ramené à χ, χ′ non ramifiés et on a alors D_{k,a_{p},χ} ≃ D_{k,a′_{p},χ′}. Par [3],§3.1, cela entraîne χ(p^{−1})^{2} = χ′(p^{−1})^{2} et a_{p}χ(p^{−1}) = a′_{p}χ′(p^{−1}) d’où le résultat.

Notons que le déterminant de V_{k,a_{p},χ} est ε^{k−1}χ^{2}. On peut se demander s’il existe un moyen de décrire directement les représentations V_{k,a_{p}} sans passer par les modules filtrés. J’ignore la réponse à cette question sauf lorsque a_{p} = 0 :

Proposition 3.1.2. — Soit Q_{p^{2}} l’extension quadratique non ramifiée de Q_{p} dans \overline{Q}_{p}, Z_{p^{2}} son anneau d’entiers, ε_{2} : Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p^{2}}) → \overline{Q}_{p}^{×} l’un des deux caractères continus tels que, via l’injection Q_{p^{2}}^{×} ↪ Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p^{2}})^{ab}, ε_{2}|_{Z_{p^{2}}^{×}} est l’un

des deux plongements naturels Z_{p^{2}}^{×} ↪ \overline{Q}_{p}^{×} et ε_{2}(p) = 1, et soit \sqrt{−1} une racine carrée quelconque de −1 dans \overline{Q}_{p}. Alors pour tout k ≥ 2 :

(9)  V_{k,0} ≃ (ind_{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p^{2}})}^{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})}ε_{2}^{k−1}) ⊗ μ\sqrt{−1}.

Démonstration. — Il est clair que l’induite (9) est irréductible, ne dépend pas des choix et que son déterminant (vu la formule du déterminant d’une induite) est exactement ε^{k−1}. Comme elle est isomorphe à sa tordue par μ_{−1}, si elle est cristalline elle est forcément de la forme V_{k′,0} ⊗ ε^{i} (proposition 3.1.1) où k′ ∈ Z_{≥2} et 2i = k−1−k′. Comme une représentation est cristalline si et seulement si sa restriction à l’inertie l’est, il suffit de montrer que ε_{2}^{k−1} : Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p^{2}}) → Q_{p^{2}}^{×} ↪ GL_{2}(Q_{p}) est une représentation cristalline à poids de Hodge-Tate (0, k−1) (les poids de Hodge-Tate de l’induite seront alors aussi (0, k−1)). Par produit tensoriel, il suffit de montrer que ε_{2} est cristalline à poids de Hodge-Tate (0, 1). Ceci découle de [4],Th. I.2.1, où il est en particulier démontré que ε_{2} est à isogénie près le module de Tate d’un groupe formel de Lubin-Tate sur Z_{p^{2}}, donc d’un groupe p-divisible sur Spec(Z_{p^{2}}).

Remarque 3.1.3. — À isogénie près, V_{2,0} est la restriction à Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) du module de Tate p-adique d’une courbe elliptique sur Q à multiplication complexe par M en une place p inerte dans M où E a bonne réduction.

A V_{k,a_{p}}, on associe enfin la représentation non ramifiée du groupe de Weil qui envoie le Frobenius arithmétique sur le semi-simplifié de φ, i.e. sur la matrice

(\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) où λ_{1}λ_{2} = p^{k−1} et λ_{1} + λ_{2} = a_{p}.

3.2. Définition des représentations Π_{k,a_{p},χ}. — On conserve les notations du paragraphe précédent. Pour associer une représentation p-adique de G à V_{k,a_{p},χ}, une première idée est de tensoriser la représentation Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} ⊗ (χ ∘ dét) avec l’induite parabolique correspondant à la représentation non ramifiée du groupe de Weil précédente par la correspondance de “Hecke” (au sens de [6]). Une deuxième idée est de fabriquer une représentation p-adique faisant intervenir k et sur laquelle a_{p} est la “valeur propre de T_{p}”. Par exemple :

(10) Π_{k,a_{p},χ} = \frac{ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}}{(T − a_{p})(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2})} ⊗ (χ ∘ dét)

où T est l’opérateur construit au §2.1.4 (notons au passage que T − a_{p} est injectif sur ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}). Ces deux idées essentiellement coïncident :

Proposition 3.2.1. — Soit k ∈ Z_{≥2}, a_{p} ∈ \overline{Z}_{p} tel que val(a_{p}) > 0 et χ : Q_{p}^{×} → \overline{Z}_{p}^{×} le produit d’un caractère non ramifié par une puissance entière du caractère cyclotomique.

(i) Si a_{p} ∉ {±(p^{k/2} + p^{k/2−1})}, Π_{k,a_{p},χ} est (algébriquement) irréductible et :

Π_{k,a_{p},χ} ≃ Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} ⊗ [ind_{B}^{G}(μ_{λ_{1}^{−1}} ⊗ μ_{pλ_{2}^{−1}})] ⊗ (χ ∘ dét)

où λ_{1}λ_{2} = p^{k−1}, λ_{1} + λ_{2} = a_{p} et l’induite parabolique est l’induite lisse classique. (ii) Si a_{p} ∈ {±(p^{k/2} + p^{k/2−1})}, on a une suite exacte :

0 → Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} ⊗ St ⊗ (χμ_{δ} ∘ dét) → Π_{k,a_{p},χ} → Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} ⊗ (χμ_{δ} ∘ dét) → 0

où δ = \frac{p+1}{a_{p}} et St est la représentation de Steinberg usuelle de G (sur \overline{Q}_{p}). (iii) Les seuls entrelacements entre les représentations Π_{k,a_{p},χ} sont Π_{k,a_{p},χμ_{−1}} ≃ Π_{k,−a_{p},χ}.

Démonstration. — Soit λ ∈ \overline{Q}_{p}^{×} et a = λ+pλ^{−1}. Il est bien connu (voir e.g. [10]) que, si a ∉ {±(p + 1)}, on a :

\frac{ind_{KZ}^{G}1}{(T − a)(ind_{KZ}^{G}1)} →^{∼} ind_{B}^{G}(μ_{λ^{−1}} ⊗ μ_{λ})

et que, si a ∈ {±(p + 1)}, on a une suite exacte :

0 → St ⊗ (μ_{ε} ∘ dét) → \frac{ind_{KZ}^{G}1}{(T − a)(ind_{KZ}^{G}1)} → μ_{ε} ∘ dét → 0

où ε = \frac{p+1}{a} = ±1. Par ailleurs, quitte à choisir une racine carrée de p dans \overline{Q}_{p} si k est impair, on a un isomorphisme G-équivariant :

\underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} ⊗ ind_{KZ}^{G}1 →^{∼} ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}
v ⊗ f ↦ (g ↦ f(g)(g·v))

qui commute aux opérateurs Id ⊗ p^{\frac{k}{2} −1}T à gauche et T à droite. On en déduit :

Π_{k,a_{p},χ} ≃ \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} ⊗ \frac{ind_{KZ}^{G}1}{(T − p^{− \frac{k}{2} +1}a_{p})} ⊗ (χ ∘ dét).

Comme λ_{2} = p^{k−1}λ_{1}^{−1}, on a p^{− \frac{k}{2} +1}a_{p} = p^{− \frac{k}{2} +1}λ_{1}+p(p^{− \frac{k}{2} +1}λ_{1})^{−1}. Dans le cas (i), on en déduit par ce qui précède :

\frac{ind_{KZ}^{G}1}{(T − p^{− \frac{k}{2} +1}a_{p})} ≃ ind_{B}^{G}(μ_{p^{\frac{k}{2} −1}λ_{1}^{−1}} ⊗ μ_{p^{− \frac{k}{2} +1}λ_{1}}) = ind_{B}^{G}(μ_{p^{\frac{k}{2} −1}λ_{1}^{−1}} ⊗ μ_{p^{\frac{k}{2}} λ_{2}^{−1}})

d’où on obtient l’isomorphisme de (i) en prenant en compte le caractère |dét|^{\frac{k}{2} −1}. Le cas (ii) s’obtient de même. Pour l’irréductibilité dans (i) et dans les composantes de (ii), voir [11], Prop. 3.4. Pour (iii), considérons un isomorphisme G-équivariant ι : Π_{k,a_{p},χ} →^{∼} Π_{k′,a′_{p},χ′}. On peut supposer les deux représentations irréductibles, sinon le résultat est facile, et on définit (λ_{1}, λ_{2}), (λ′_{1}, λ′_{2}) comme au (i). Soit v ∈ ind_{B}^{G}(μ_{λ_{1}^{−1}}⊗μ_{pλ_{2}^{−1}}) invariant par K, alors ι(Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}⊗\overline{Q}_{p}v⊗(χ∘dét)) est une sous-représentation irréductible de K dans Π_{k′,a′_{p},χ′} nécessairement de la forme Sym^{k′−2}\overline{Q}_{p}^{2} ⊗ σ′ ⊗ (χ′ ∘ dét) avec σ′ ⊂ ind_{B}^{G}(μ_{λ′_{1}}^{−1} ⊗ μ_{pλ′_{2}^{−1}}) représentation irréductible lisse de K. Quitte à restreindre à un sous-groupe ouvert de K, on peut supposer que σ′ est une somme de copies de la représentation triviale. Comme ι(Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} ⊗ \overline{Q}_{p}v ⊗ (χ ∘ dét)) restreinte à ce sous-groupe reste irréductible, σ′ doit être de dimension 1 d’où k = k′. L’action du caractère central entraîne alors χ^{2} = χ′^{2} d’où χ = χ′ ou χ = χ′μ_{−1}. Quitte à changer λ′_{i} en −λ′_{i} (i = 1, 2), i.e. a′_{p} en −a′_{p}, on est ramené à χ = χ′ et on peut oublier ces caractères. En utilisant que la seule droite de Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} stabilisé par un sous-goupe ouvert de B est \overline{Q}_{p}x^{k−2}, on obtient facilement :

ι(\overline{Q}_{p}x^{k−2} ⊗ ind_{B}^{G}(μ_{λ_{1}^{−1}} ⊗ μ_{pλ_{2}^{−1}})) ⊂ \overline{Q}_{p}x^{k−2} ⊗ ind_{B}^{G}(μ_{λ′_{1}}^{−1} ⊗ μ_{pλ′_{2}^{−1}}).

Soit ι : ind_{B}^{G}(μ_{λ_{1}^{−1}} ⊗ μ_{pλ_{2}^{−1}}) → ind_{B}^{G}(μ_{λ′_{1}}^{−1} ⊗ μ_{pλ′_{2}^{−1}}) l’unique application telle que ι(x^{k−2} ⊗ v) = x^{k−2} ⊗ ι(v). Pour v ∈ ind_{B}^{G}(μ_{λ_{1}^{−1}} ⊗ μ_{pλ_{2}^{−1}}), soit U_{v} ⊂ K un sousgroupe ouvert qui fixe v, ι(v). Pour j ∈ {0, ⋯, k−2}, soit u_{j} ∈ Q_{p}[U_{v}] tel que u_{j} ·x^{k−2} = x^{k−2−j}y^{j}. On calcule :

\begin{aligned}ι(x^{k−2−j}y^{j} ⊗ v) & = & ι(u_{j} ·x^{k−2} ⊗ v) & = & ι(u_{j} ·(x^{k−2} ⊗ v)) & = & u_{j} ·ι(x^{k−2} ⊗ v) \\ & = & u_{j} ·(x^{k−2} ⊗ ι(v)) & = & u_{j} ·x^{k−2} ⊗ ι(v) & = & x^{k−2−j}y^{j} ⊗ ι(v). \end{aligned}

On en déduit pour tout g ∈ G :

\begin{aligned}g·ι(x^{k−2} ⊗ v) & = & g·(x^{k−2} ⊗ ι(v)) & = & g·x^{k−2} ⊗ g·ι(v) \\ g·ι(x^{k−2} ⊗ v) & = & ι(g·(x^{k−2} ⊗ v)) & = & ι(g·x^{k−2} ⊗ g·v) & = & g·x^{k−2} ⊗ ι(g·v) \end{aligned}

d’où g·ι(v) = ι(g·v) et ι est un entrelacement entre les deux séries principales. Cela entraîne λ′_{i} = λ_{i} ou (λ′_{1} = λ_{2}, λ′_{2} = λ_{1}), soit dans les deux cas a_{p} = a′_{p}.

Notons que le caractère central de Π_{k,a_{p},χ} est ε^{k−2}χ^{2}. Comme la représentation Sym^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}, même à torsion près par un caractère, ne possède pas de \overline{Z}_{p}-réseau stable par G, il n’est pas aisé de voir sur les formulations de la proposition 3.2.1 si Π_{k,a_{p},χ} contient ou non un réseau (voir ci-dessous la définition précise). De fait, nous n’utilisons pas cette proposition dans la suite, mais seulement la formulation (10). Lorsque χ = 1, on écrit Π_{k,a_{p}} au lieu de Π_{k,a_{p},1}.

3.3. Conjectures. — On suppose dorénavant χ = 1 et on conserve les notations des deux paragraphes précédents.

On appelle réseau de Π_{k,a_{p}} tout sous-\overline{Z}_{p}-module de Π_{k,a_{p}} qui engendre Π_{k,a_{p}} sur \overline{Q}_{p}, qui est stable par G et qui ne contient pas de \overline{Q}_{p}-droite. Cette dernière propriété est équivalente à être libre sur \overline{Z}_{p}. En effet, quitte à remplacer \overline{Z}_{p} par l’anneau des entiers 𝒪_{E} d’une extension finie E de Q_{p} contenant a_{p} puis à étendre les scalaires à \overline{Z}_{p}, on peut supposer que l’anneau des coefficients est 𝒪_{E}, i.e. est local, principal et complet. Comme Π_{k,a_{p}} est un E-espace vectoriel de dimension dénombrable (car ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}E^{2} l’est), on peut alors utiliser la propriété C.5 de [12].

Pour k ∈ Z_{≥2} et a_{p} ∈ \overline{Z}_{p} de valuation strictement positive, on définit :

Θ_{k,a_{p}} = Image(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} ⟶ \frac{ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}}{(T − a_{p})} = Π_{k,a_{p}}).

C’est un sous-\overline{Z}_{p}[G]-module de type fini de Π_{k,a_{p}} qui l’engendre sur \overline{Q}_{p}.

Conjecture 3.3.1. — (i) Le \overline{Z}_{p}-module Θ_{k,a_{p}} ne contient pas de \overline{Q}_{p}-droite. (ii) Le \overline{F}_{p}[G]-module Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} est de longueur finie.

En particulier Θ_{k,a_{p}} devrait donc toujours être un réseau de Π_{k,a_{p}}.

Théorème 3.3.2. — Supposons k ≤ 2p et p ≠ 2 si k = 4, alors la conjecture 3.3.1 est vraie.

Nous verrons la démonstration de ce théorème dans la suite de l’article. Notons qu’on a, par définition, une surjection :

\frac{ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}}{(T − a_{p})(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2})} ↠ Θ_{k,a_{p}}

mais qui n’est pas en général un isomorphisme :

Proposition 3.3.3. — On a :

(T − a_{p})(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}) ⊂ (T − a_{p})(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2}) ∩ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2},

cette inclusion étant une égalité si et seulement si k ≤ p + 1.

Démonstration. — L’inclusion est claire. Soit f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} tel que T (f)− a_{p}f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}, n le plus petit entier tel que f ∈ B_{n}(\overline{Q}_{p}) et écrivons f = ∑_{m=0}^{n} f_{m} où f_{m} ∈ S_{m}(\overline{Q}_{p}). L’hypothèse sur f entraîne T^{+}(f_{n}) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}. Montrons que cela implique f_{n} ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}. Il suffit de le montrer pour f_{n} de la forme [g_{n,μ}^{0}, v], car, en appliquant β, on le déduit pour f_{n} de la forme [g_{n,μ}^{1}, w], puis pour n’importe quel f_{n} par linéarité puisque les supports des T^{+}([g_{n,μ}^{0}, v]) et des T^{+}([g_{n,μ}^{1}, w]) sont tous disjoints. La formule (2) donne :

T^{+}([g_{n,μ}^{0}, v]) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} ⟺ (w_{0} ∘ ψ(α^{−1}) ∘ w_{λ})(v) ∈ \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} ∀λ ∈ I_{1}

c’est-à-dire par la formule (4), en notant v = ∑_{i=0}^{k−2}c_{i}x^{k−2−i}y^{i} :

p^{j} ∑_{i=j}^{k−2} c_{i}\binom{i}{j}(−[λ])^{i−j} ∈ \overline{Z}_{p} 0 ≤ j ≤ k − 2, λ ∈ F_{p}.

Pour j = 0, on a en particulier :

∑_{i=0}^{k−2} c_{i}(−[λ])^{i} ∈ \overline{Z}_{p} ∀λ ∈ F_{p}

ce qui entraîne c_{i} ∈ \overline{Z}_{p} pour tout i ∈ \{0, ⋯, k − 2\}, i.e. v ∈ \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}, dès que k − 2 ≤ p − 1. Cela montre f_{n} ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} si k ≤ p + 1. En remplaçant f par f − f_{n} (pour k ≤ p + 1), on est ramené au cran n − 1 et une récurrence immédiate donne f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}, d’où l’égalité de l’inclusion lorsque k ≤ p + 1. Supposons maintenant k > p + 1. Pour k = p + 2, on renvoit à la remarque 5.3.1.3. Pour k ≥ p + 3, soit v = δ^{−1}(x^{k−3}y + (−1)^{p}x^{k−2−p}y^{p}) ∈ \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} où δ est celui des éléments p, a_{p} qui a la plus petite valuation. Un calcul facile (avec les lemmes 2.2.1 et 2.2.2) montre que T ([Id, v]) − a_{p}[Id, v] ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} et il est clair que ce n’est pas le cas de [Id, v] puisque val(δ^{−1}) < 0.

Lorsque les (i) et (ii) de la conjecture 3.3.1 sont vérifiés (c’est-à-dire conjecturalement toujours), on note \overline{Π}_{k,a_{p}} la semi-simplifiée de Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p}, qui ne dépend alors pas du réseau de type fini sur \overline{Z}_{p}[G] choisi (d’où sa notation) :

Lemme 3.3.4. — Supposons que la conjecture 3.3.1 est vraie. Soit Θ un réseau de Π_{k,a_{p}} de type fini sur \overline{Z}_{p}[G], alors Θ ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} est de longueur finie, de semisimplifiée isomorphe à \overline{Π}_{k,a_{p}}.

Démonstration. — L’hypothèse de finitude entraîne qu’on peut toujours se ramener à des coefficients finis sur Q_{p} et que Θ et Θ_{k,a_{p}} sont commensurables. La preuve de Brauer-Nesbitt s’étend alors sans problème : voir par exemple [12],§I.9.6.

J’ignore si tous les réseaux de Π_{k,a_{p}} sont automatiquement de type fini sur \overline{Z}_{p}[G]. C’est vrai si \overline{Π}_{k,a_{p}} est irréductible. On note de même \overline{V}_{k,a_{p}} la semi-simplifiée modulo p de la représentation V_{k,a_{p}} du §3.1. C’est la semi-simplifiée de T ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} où T ⊂ V_{k,a_{p}} est un \overline{Z}_{p}-réseau stable par Galois quelconque.

Conjecture 3.3.5. — (i) Il existe r ∈ \{0, ⋯, p−1\} et η:Q_{p}^{×} →\overline{F}_{p} lisse tels que ou bien \overline{Π}_{k,a_{p}} ≃ π(r, 0, η) ou bien \overline{Π}_{k,a_{p}} ≃ π(r, λ, η)^{ss} ⊕ π([p−3−r], λ^{−1}, ω^{r+1}η)^{ss} pour un λ ∈ \overline{F}_{p}^{×} (avec les notations de 1.1 dans l’introduction). (ii) Dans le premier cas, on a \overline{V}_{k,a_{p}} ≃ (ind(ω_{2}^{r+1})) ⊗ η et dans le deuxième

\overline{V}_{k,a_{p}} ≃ (\begin{matrix}ω^{r+1}μ_{λ} & 0 \\ 0 & μ_{λ^{−1}} \end{matrix}) ⊗ η.

Notons que le (i) de cette conjecture précise le (ii) de la conjecture 3.3.1.

Théorème 3.3.6. — Supposons k ≤ 2p et p ≠ 2 si k = 4, alors le (i) de la conjecture 3.3.5 est vrai.

La démonstration occupe le §5.3. Nous verrons quelques cas particuliers et exemples numériques pour le (ii) de la conjecture 3.3.5 dans le §6.

4. Existence de réseaux

On démontre le (i) de la conjecture 3.3.1 pour k ≤ 2p et k ≠ 4 si p = 2.

4.1. Préparation. — Pour n ∈ Z_{≥0}, rappelons que B_{n}(\overline{Q}_{p}) désigne le sous- \overline{Q}_{p}-espace vectoriel de ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} des fonctions à support dans les classes KZ(g_{m,μ}^{0})^{−1} et KZ(g_{m,λ}^{1})^{−1} pour m ≤ n et μ, λ ∈ I_{m}.

Théorème 4.1.1. — Soit k ∈ \{2, ⋯, 2p\} et k ≠ 4 si p = 2, a_{p} ∈ \overline{Z}_{p} tel que val(a_{p}) > 0 et N ∈ Z_{>0}. Il existe une constante c ∈ Z_{≥0} dépendant seulement de N, k et a_{p} telle que pour tout n ∈ Z_{≥0} et tout f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} :

(T −a_{p})(f) ∈ B_{N}(\overline{Q}_{p})+p^{n}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} ⇒ f ∈ B_{N−1}(\overline{Q}_{p})+p^{n−c}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}.

Ce théorème sera démontré dans le paragraphe suivant. Il est encore vrai pour val(a_{p}) = 0 mais nous ne traitons pas ce cas. Il est aussi sûrement vrai sans restriction sur k. Un corollaire facile en est le :

Corollaire 4.1.2. — Pour k ≤ 2p et k ≠ 4 si p = 2, Θ_{k,a_{p}} est un \overline{Z}_{p}-module libre, i.e. ne contient pas de \overline{Q}_{p}-droite.

Démonstration. — On peut remplacer \overline{Z}_{p} par l’anneau des entiers 𝒪_{E} d’une extension finie E de Q_{p} dans \overline{Q}_{p} contenant a_{p} et il suffit de montrer que Θ_{k,a_{p}} ne contient pas de E-droite. Cela revient à montrer que si f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}𝒪_{E}^{2} est tel qu’il existe des f_{n} ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}E^{2} vérifiant :

f − (T (f_{n}) − a_{p}f_{n}) ∈ p^{n}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}𝒪_{E}^{2} ∀n ∈ Z_{≥0}

alors f ∈ (T − a_{p})(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}E^{2}). Soit N ∈ Z_{≥0} tel que f ∈ B_{N}(E), on a donc (T − a_{p})(f_{n}) ∈ B_{N}(E) + p^{n}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}𝒪_{E}^{2}, d’où f_{n} = g_{n} + p^{n−c}h_{n} avec g_{n} ∈ B_{N−1}(E) et h_{n} ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}𝒪_{E}^{2} par le théorème 4.1.1 (encore valable avec 𝒪_{E} au lieu de \overline{Z}_{p} bien entendu). Ainsi :

f ∈ (T − a_{p})(B_{N−1}(E)) + p^{n−c}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}𝒪_{E}^{2} ∀ n ∈ Z_{≥0}.

Comme (T − a_{p})(B_{N−1}(E)) est un E-espace vectoriel complet pour la topologie p-adique car de dimension finie, on en déduit f ∈ (T − a_{p})(B_{N−1}(E)).

4.2. Démonstration du théorème 4.1.1. —

4.2.1. Notons que si k ≤ p + 1, alors le théorème 4.1.1 est vrai et c = 0 convient. Cela découle du fait que si f ∈ S_{m}(\overline{Q}_{p}) ⊂ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} (m ∈ Z_{≥0}) et si T^{+}(f) ∈ p^{n}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} (n ∈ Z_{≥0}), alors f ∈ p^{n}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}. La preuve est la même que celle de la proposition 3.3.3. Dans la suite, on suppose p + 2 ≤ k ≤ 2p. Nous avons été amené à distinguer plusieurs cas, que nous présentons du plus simple au plus compliqué. L’auteur n’est pas arrivé à trouver une preuve simple valable dans tous les cas.

Supposons d’abord val(a_{p}) ≥ 1 et soit N, n et f comme dans l’énoncé 4.1.1. On peut supposer f = ∑_{m=0}^{M} f_{m} où f_{m} = ∑_{μ∈I_{m}}[g_{m,μ}^{0}, v_{μ}^{m}] + ∑_{μ∈I_{m}}[g_{m,μ}^{1}, w_{μ}^{m}] ∈ S_{N+m}(\overline{Q}_{p}) et convenir que f_{m} = 0 si m > M. On a les équations :

T^{−}(f_{m+1}) + T^{+}(f_{m−1}) − a_{p}f_{m} ∈ p^{n}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} 1 ≤ m ≤ M + 1.

Supposons f_{m+1}, f_{m} ∈ p^{n−1}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}, nous allons montrer qu’alors f_{m−1} ∈ p^{n−1}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}. Pour tout m et tout μ ∈ I_{m}, écrivons v_{μ}^{m} = ∑_{i=0}^{k−2} c_{i,μ}^{m}x^{k−2−i}y^{i}. Avec les notations du corollaire 2.2.3, on a C_{j,μ}^{m} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} pour tout j ∈\{0, ⋯, k−2\} et tout μ ∈ I_{m}. Si k = p + 2, les formules du corollaire 2.2.3 pour C_{0,μ}^{m} et C_{1,μ}^{m} entraînent (sachant que a_{p}f_{m} ∈ p^{n}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} puisque val(a_{p}) ≥ 1) :

\begin{aligned}∑_{i=0}^{k−2} c_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1}(−[λ])^{i} & ∈ & p^{n−1}\overline{Z}_{p} ∀λ ∈ F_{p} \\ ∑_{i=1}^{k−2} ic_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1}(−[λ])^{i−1} & ∈ & p^{n−1}\overline{Z}_{p} ∀λ ∈ F_{p} \end{aligned}

ce qui implique c_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1} ∈ p^{n−1}\overline{Z}_{p} pour tout i. Si p + 3 ≤ k ≤ 2p, les formules pour C_{0,μ}^{m} et C_{1,μ}^{m} entraînent c_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1} ∈ p^{n−2}\overline{Z}_{p} et la formule pour C_{p,μ}^{m} donne alors ∑_{λ∈F_{p}} c_{k−2,μ+p^{m}[λ]}^{m+1}[λ]^{k−2−p} = ∑_{λ∈F_{p}} c_{k−2,μ+p^{m}[λ]}^{m+1}[λ]^{k−3} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} pour tout μ ∈ I_{m} (\binom{k−2}{p} ∈ Z_{p}^{×}). En revenant à C_{1,μ}^{m}, on a donc en fait ∑_{i=1}^{k−2} ic_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1}(−[λ])^{i−1} ∈ p^{n−1}\overline{Z}_{p} pour tout λ ∈ F_{p} d’où (avec C_{0,μ}^{m}) c_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1} ∈ p^{n−1}\overline{Z}_{p} pour tout i. On

déduit de cela v_{μ}^{m−1} ∈ p^{n−1}\underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} et, par le même raisonnement, w_{μ}^{m−1} ∈ p^{n−1}\underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} pour tout μ ∈ I_{m−1} d’où finalement f_{m−1} ∈ p^{n−1}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}. Par récurrence on a donc f ∈ p^{n−1}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} : c = 1 convient dans ce cas.

Remarque 4.2.1.1. — La démonstration ci-dessus marche encore pour p = 2 et k = p + 2 : on a donc en fait un tout petit peu plus que les énoncés 4.1.1 et 4.1.2 puisqu’on peut rajouter le cas p = 2, k = 4 et val(a_{p}) ≥ 1.

4.2.2. Supposons maintenant 0 < val(a_{p}) < 1. Dans ce cas, la récurrence est plus délicate. Supposons d’abord p + 3 ≤ k ≤ 2p. Avec les notations du cas précédent, considérons l’hypothèse de récurrence (où on oublie les indices en μ) :

\begin{aligned}c_{0}^{m+1}, c_{k−2}^{m+1} & ∈ & \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, & c_{1}^{m+1} + c_{p}^{m+1} & ∈ & \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, & c_{i}^{m+1} & ∈ & \frac{p^{n−1}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} & ∀i \\ c_{0}^{m}, c_{k−2}^{m} & ∈ & \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, & c_{1}^{m} + c_{p}^{m} & ∈ & \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, & c_{i}^{m} & ∈ & \frac{p^{n−1}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} & ∀i. \end{aligned}

De cette hypothèse, on déduit comme précédemment (sachant que a_{p}c_{0}^{m} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} et a_{p}c_{1}^{m} ∈ p^{n−1}\overline{Z}_{p}) :

(11)  ∑_{i=0}^{k−2} c_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1}(−[λ])^{i} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∀λ ∈ F_{p}

(12)  ∑_{i=1}^{k−2} ic_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1}(−[λ])^{i−1} ∈ p^{n−2}\overline{Z}_{p} ∀λ ∈ F_{p}

ce qui entraîne en particulier c_{0}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, c_{1}^{m−1} + c_{p}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, c_{k−1−p}^{m−1} + c_{k−2}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} et c_{i}^{m−1} ∈ p^{n−2}\overline{Z}_{p} pour tout i. De l’équation C_{p,μ}^{m} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p}, on déduit :

p^{p} ∑_{i=p}^{k−2} \binom{i}{p}c_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1}(\frac{[μ]_{m−1}−μ}{p^{m−1}})^{i−p} − a_{p}c_{p,μ}^{m} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m}

d’où a_{p}c_{p}^{m} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} et donc a_{p}c_{1}^{m} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}. Avec l’équation C_{1,μ}^{m} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p}, on en déduit :

p ∑_{i=1}^{k−2} ic_{i,[μ]_{m−1}}^{m−1}(−[λ])^{i−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∀λ ∈ F_{p}

puis, avec (11), c_{i}^{m−1} ∈ \frac{p^{n−1}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∀i. Il reste à montrer c_{k−2}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}. Le même rai-

sonnement avec T^{−}(f_{m})+T^{+}(f_{m−2})−a_{p}f_{m−1} ∈ p^{n}ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} (en supposant m ≥ 2) fournit :

c_{0}^{m−2} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, c_{1}^{m−2} + c_{p}^{m−2} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, c_{i}^{m−2} ∈ \frac{p^{n−1}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∀i.

Comme p|\binom{k−2}{k−1−p}, p|\binom{k−3}{k−1−p} et p^{k−1−p}c_{i}^{m−2} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} ∀i (on utilise ici k > p + 2), l’équation C_{k−1−p,[μ]_{m−1}}^{m−1} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} entraîne −a_{p}c_{k−1−p}^{m−1} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p}. D’où c_{k−2}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} puisque c_{k−1−p}^{m−1} + c_{k−2}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}. Par récurrence et le même raisonnement avec la partie à support dans les classes KZ(g_{m,μ}^{1})^{−1}, on obtient finalement f_{m} ∈ \frac{p^{n−1}}{a_{p}} ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} pour m ≥ 0 : c = 1 + val(a_{p}) convient.

4.2.3. Supposons enfin 0 < val(a_{p}) < 1, k = p + 2 et p ≠ 2. On considère l’hypothèse de récurrence :

\begin{matrix}c_{i}^{m+1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} i ∉ \{1, p\}, c_{1}^{m+1} + c_{p}^{m+1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, c_{i}^{m+1} ∈ \frac{p^{n−1}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∀i \\ ∑_{λ∈F_{p}} c_{p,μ+p^{m}[λ]}^{m+1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∑_{λ∈F_{p}} c_{p,μ+p^{m}[λ]}^{m+1}[λ] ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} \end{matrix}

(resp. avec c_{p}^{m}). Le début de la preuve reste valable et donne :

c_{i}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} i ∉ \{1, p\}, c_{1}^{m−1} + c_{p}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p}, c_{i}^{m−1} ∈ \frac{p^{n−1}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∀i

et de même avec c_{i}^{m−2} (si m ≥ 2). Pour amorcer la récurrence, il suffit de montrer :

∑_{λ∈F_{p}} c_{1,μ+p^{m−2}[λ]}^{m−1} ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} et ∑_{λ∈F_{p}} c_{1,μ+p^{m−2}[λ]}^{m−1}[λ] ∈ \frac{p^{n}}{a_{p}} \overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m−2}.

De C_{1,μ}^{m} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m} et C_{1,μ}^{m−1} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m−1}, on déduit pour p ≠ 2 :

(13)  p ∑_{λ∈F_{p}} c_{1,μ+p^{m}[λ]}^{m+1}[λ]^{p−1} + pc_{1,[μ]_{m−1}}^{m−1} − a_{p}c_{1,μ}^{m} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m}
(14) p ∑_{λ∈F_{p}} c_{1,μ+p^{m−1}[λ]}^{m}[λ]^{p−1} + pc_{1,[μ]_{m−2}}^{m−2} − a_{p}c_{1,μ}^{m−1} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m−1}.

Supposons (par récurrence) qu’on ait U_{m+1} ∈ \overline{Z}_{p}^{×} tel que :

(15)  pc_{1,[μ]_{m}}^{m} − a_{p}U_{m+1}c_{1,μ}^{m+1} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m+1}

avec U_{m+1} ne dépendant que de m et a_{p} (ceci est bien vérifié pour m = M et m = M − 1). De (15), on déduit (puisque ∑_{λ∈F_{p}}[λ]^{p−1} = p − 1) :

p(p − 1)c_{1,[μ]_{m}}^{m} − a_{p}U_{m+1} ∑_{λ∈F_{p}} c_{1,[μ]_{m}+p^{m}[λ]}^{m+1}[λ]^{p−1} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p}

qui, combiné avec (13), donne pc_{1,[μ]_{m−1}}^{m−1} − a_{p}(1 − \frac{p^{2}(p−1)}{a_{p}^{2}U_{m+1}} )c_{1,μ}^{m} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m}.

Cette dernière équation est encore de la forme (15) en posant U_{m} = 1 − \frac{p^{2}(p−1)}{a_{p}^{2}U_{m+1}} ∈

\overline{Z}_{p}^{×}. En la combinant avec (14), on obtient de même U_{m−1} ∈ \overline{Z}_{p}^{×} tel que :

pc_{1,[μ]_{m−2}}^{m−2} − a_{p}U_{m−1}c_{1,μ}^{m−1} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p} ∀μ ∈ I_{m−1}

ce qui entraîne (puisque ∑_{λ∈F_{p}} 1 = p et ∑_{λ∈F_{p}}[λ] = 0 pour p ≠ 2) :

\begin{aligned}p^{2}c_{1,[μ]_{m−2}}^{m−2} & − & a_{p}U_{m−1} ∑_{λ∈F_{p}} c_{1,[μ]_{m−2}+p^{m−2}[λ]}^{m−1} & ∈ & p^{n}\overline{Z}_{p} \\ 0 & − & a_{p}U_{m−1} ∑_{λ∈F_{p}} c_{1,[μ]_{m−2}+p^{m−2}[λ]}^{m−1}[λ] & ∈ & p^{n}\overline{Z}_{p} \end{aligned}

d’où le résultat car p^{2}c_{1}^{m−2} ∈ p^{n}\overline{Z}_{p}. La récurrence peut se poursuivre et on achève la preuve comme avant.

Remarque 4.2.3.1. — J’ignore comment traiter ce cas lorsque p = 2.

5. Réduction modulo p

On démontre le théorème 3.3.6, en fait sa version plus précise 1.4 de l’introduction.

5.1. Premiers calculs. — Pour k ∈ Z_{≥2}, on note σ_{k−2} la représentation \underline{Sym}^{k−2}\overline{F}_{p}^{2} de KZ considérée au §2. Pour k ∈ \{2, ⋯, p + 1\}, on sait (voir [1] par exemple) que σ_{k−2} est irréductible. Par la proposition 3.3.3, on a par ailleurs pour k ≤ p + 1 :

Θ_{k,a_{p}} ≃ \frac{ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}}{(T − a_{p})(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2})}.

Comme val(a_{p}) > 0, on en déduit :

Corollaire 5.1.1. — Pour k ≤ p + 1, on a Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} ≃ \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{k−2}}{(T)} .

Dorénavant, nous supposons p+2 ≤ k ≤ 2p. Pour k > p+1, les représentations σ_{k−2} ne sont plus irréductibles. Rappelons le lemme élémentaire suivant :

Lemme 5.1.2. — Soit σ une représentation lisse de KZ sur \overline{F}_{p}. Si σ^{I(1)} est de dimension 1 et engendre σ, alors σ est irréductible.

Démonstration. — Si σ′ ⊂σ, on a 0≠σ′^{I(1)}⊂σ^{I(1)} d’où σ′^{I(1)} = σ^{I(1)} et σ′ = σ.

Lemme 5.1.3. — Soit k ∈ {p + 2, ⋯, 2p}.

(i) Si k = p + 2, on a une suite exacte de représentations de KZ :

0 ⟶ σ_{1} ⟶ σ_{p} ⟶ σ_{p−2} ⊗ (ω ∘ dét)  ⟶ 0
(x, y) ⟼ (x^{p}, y^{p})
x^{p−i}y^{i} ⟼ (−1)^{i−1}\binom{p−2}{i−1}x^{p−1−i}y^{i−1} i ≠ 0, p.

(ii) Si p + 3 ≤ k ≤ 2p, on a une suite exacte de représentations de KZ :

0 ⟶ σ_{k−3−p} ⊗ (ω ∘ dét) ⊕ σ_{k−1−p} ⟶ σ_{k−2} ⟶ σ_{2p−k} ⊗ (ω^{k−1−p} ∘ dét) ⟶ 0

avec, en termes des variables x et y :

– x^{k−2−i}y^{i} ∈ σ_{k−2} ↦ (−1)^{k−i}\binom{2p−k}{p+1−k+i}x^{p−1−i}y^{p−k+1+i} si k − 1 − p ≤ i ≤ p − 1 et x^{k−2−i}y^{i} ↦ 0 sinon

– x^{k−3−p−i}y^{i} ∈ σ_{k−3−p} ⊗ (ω ∘ dét) ↦ x^{k−3−i}y^{1+i} − x^{k−2−p−i}y^{p+i} si 0 ≤ i ≤ k−3−p

– x^{k−1−p−i}y^{i} ∈ σ_{k−1−p} ↦ \frac{1}{\binom{k−1−p}{i}}(\binom{k−2}{i}x^{k−2−i}y^{i}+\binom{k−2}{p−1+i}x^{k−1−p−i}y^{p−1+i}) si 0≤i≤k−1−p.

Démonstration. — Pour p + 2 ≤ k ≤ 2p, le sous-\overline{F}_{p}-espace vectoriel σ de σ_{k−2} engendré par (x^{k−2}, x^{k−3}y, ⋯, x^{p}y^{k−2−p}, x^{k−2−p}y^{p}, ⋯, xy^{k−3}, y^{k−2}) est stable par KZ (car, si p ≤ j ≤ 2p − 2, \binom{j}{i} ≡ 0 (p) pour j + 1 − p ≤ i ≤ p − 1). Un calcul montre que (σ_{k−2}/σ)^{I(1)} est de dimension 1 sur \overline{F}_{p} engendré par l’image de x^{p−1}y^{k−1−p} et que σ_{k−2}/σ est engendré sur \overline{F}_{p}[KZ] par l’image de x^{p−1}y^{k−1−p}. Donc σ_{k−2}/σ est irréductible par le lemme 5.1.2 et, pour des raisons de dimension et de caractère central, doit être isomorphe à σ_{2p−k} ⊗ (ω^{k−1−p} ∘ dét). Comme les matrices diagonales laissent stables \overline{F}_{p}x^{k−2−i}y^{i} pour tout i, il existe un scalaire c(k, i) ∈ \overline{F}_{p} tel que x^{k−2−i}y^{i} ↦ c(k, i)x^{p−1−i}y^{p−k+1+i} pour k − 1 − p ≤ i ≤ p − 1 (ne pas oublier la torsion par ω^{k−1−p}!). En normalisant c(k, k−1−p) = 1 et en faisant agir K sur x^{p−1}y^{k−1−p}, un calcul donne c(k, i) = (−1)^{k−i}\binom{2p−k}{p+1−k+i}. Pour k > p + 2, en développant κ·(x^{k−3}y −x^{k−2−p}y^{p}) pour κ ∈ K, on voit que la sous-représentation engendrée par x^{k−3}y − x^{k−2−p}y^{p} est exactement (x^{k−2−i}y^{i} − x^{k−1−p−i}y^{p−1+i}, 1 ≤ i ≤ k−2−p). Comme x^{k−3}y − x^{k−2−p}y^{p} y est, à scalaire près, le seul vecteur invariant sous I(1) (on vérifie cela par un calcul simple), elle est irréductible par 5.1.2 et doit être isomorphe à σ_{k−3−p} ⊗ (ω ∘ dét) vu sa dimension et son caractère central. Comme précédemment, en calculant l’action de K sur x^{k−3}y − x^{k−2−p}y^{p}, on obtient l’isomorphisme explicite de l’énoncé en termes de x, y. Pour k > p + 2, en développant κ · x^{k−2} pour κ ∈ K, on voit que la sous-représentation engendrée par x^{k−2} est exactement (\binom{k−2}{i}x^{k−2−i}y^{i} + \binom{k−2}{p−1+i}x^{k−1−p−i}y^{p−1+i}, 0 ≤ i ≤ k−1−p). Comme \binom{k−2}{i}+\binom{k−2}{p−1+i} ≡ \binom{k−1−p}{i} ∈ Z_{p}^{×} pour 0≤i≤k−1−p, elle est d’intersection nulle avec la précédente. On vérifie de manière analogue par un calcul et le lemme 5.1.2 qu’elle est irréductible et isomorphe à σ_{k−1−p} comme dans l’énoncé.

Rappelons qu’on a une surjection \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{k−2}}{T (ind_{KZ}^{G}σ_{k−2})} ↠ Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} pour tout k ≥ 2.

Corollaire 5.1.4. — Soit k ∈ {p + 2, ⋯, 2p}.

(i) Si k = p + 2, on a un isomorphisme de représentations de G :

\frac{ind_{KZ}^{G}σ_{p}}{T (ind_{KZ}^{G}σ_{p})} ⟶^{∼} (ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}) ⊗ ω ∘ dét.

(ii) Si p + 3 ≤ k ≤ 2p, on a une suite exacte de représentations de G :

0 → (ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p})⊗ω ∘ dét → \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{k−2}}{T (ind_{KZ}^{G}σ_{k−2})} → (ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k})⊗ω^{k−1−p} ∘ dét → 0.

Démonstration. — Par le lemme 5.1.3, on a une suite exacte :

0 → (ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}) ⊗ ω ∘ dét ⊕ ind_{KZ}^{G}σ_{k−1−p} → ind_{KZ}^{G}σ_{k−2} → (ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}) ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét → 0

en convenant que (ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p})⊗ω ∘ dét = 0 si k = p+2. Soit v = ∑_{i=0}^{k−2} c_{i}x^{k−2−i}y^{i} ∈ σ_{k−2}, les formules (7) et (8) avec les lemmes 2.2.1 et 5.1.3 donnent T ([Id, v]) ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{k−1−p}. Comme c’est vrai pour tout v, on a T (ind_{KZ}^{G}σ_{k−2}) ⊂ ind_{KZ}^{G}σ_{k−1−p}.

Considérons v = x^{p−1}y^{k−1−p} − y^{k−2}, le même calcul donne T ([Id, v]) = [α, −y^{k−2}]. Or, dans ind_{KZ}^{G}σ_{k−2}, [α, −y^{k−2}] engendre ind_{KZ}^{G}σ_{k−1−p} car y^{k−2} engendre σ_{k−1−p} (voir la preuve du lemme 5.1.3). Donc ind_{KZ}^{G}σ_{k−1−p} disparaît dans le quotient.

5.2. Lemmes de descente. — Les trois lemmes de ce paragraphe seront utilisés pour calculer Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} lorsque val(a_{p}) ≥ 1.

Lemme 5.2.1. — Supposons k = p + 2 et val(a_{p}) ≥ 1. Soit n ∈ Z_{>0} et f ∈ B_{n}(\overline{Q}_{p}) tel que :

(i) (T − a_{p})(f) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} (ii) l’image de (T − a_{p})(f) dans (ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}) ⊗ ω ∘ dét tombe dans B_{n}(\overline{F}_{p}). Alors il existe h ∈ B_{n−1}(\overline{Q}_{p}) tel que :

(i) (T − a_{p})(h) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} (ii) (T − a_{p})(h) et (T − a_{p})(f) ont même image dans (ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}) ⊗ ω ∘ dét.

Démonstration. — On écrit f = ∑_{m=0}^{n}(f_{m}^{0} + f_{m}^{1}) avec f_{m}^{0} = ∑_{μ∈I_{m}}[g_{m,μ}^{0}, v_{μ}^{m}], f_{m}^{1} = ∑_{μ∈I_{m}}[g_{m,μ}^{1}, w_{μ}^{m}] et on remarque que v_{μ}^{m}, w_{μ}^{m} ∈ p^{−1}\underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} pour tout m, μ par le raisonnement du §4.2.1. Notons v_{μ}^{m} = ∑_{i=0}^{p} c_{i,μ}^{m}x^{p−i}y^{i}. De T^{+}(f_{n}^{0}) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2}, on tire c_{i,μ}^{n} ∈ \overline{Z}_{p} si i ∉ \{1, p\} et c_{1,μ}^{n} + c_{p,μ}^{n} ∈ \overline{Z}_{p}. De T^{+}(f_{n}^{0}) ∈ B_{n+1}(\overline{Z}_{p}) ↦ 0 dans ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}, on tire val(c_{1,μ}^{n}) > −1, donc val(c_{p,μ}^{n}) > −1 et a_{p}f_{n}^{0} ↦ 0 dans ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}. Supposons d’abord n > 1. Pour tout μ ∈ I_{n−2}, soit (δ_{i,μ}^{n−2})_{0≤i≤p−1} l’unique p-uplet de \overline{Q}_{p}^{p} tel que :

∑_{i=0}^{p−1} δ_{i,μ}^{n−2}(−[λ])^{i} = ∑_{ν∈F_{p}} c_{p,μ+p^{n−2}[λ]+p^{n−1}[ν]}^{n}[ν]^{p}.

Noter que val(δ_{i,μ}^{n−2}) > −1 pour tout i. Posons :

f̃_{n−2}^{0} = f_{n−2}^{0} + ∑_{μ∈I_{n−2}} [g_{n−2,μ}^{0}, ∑_{i=0}^{p−1} δ_{i,μ}^{n−2}x^{p−i}y^{i}].

On a a_{p}f̃_{n−2}^{0}−a_{p}f_{n−2}^{0} ↦ 0 dans ind_{KZ}^{G}σ_{p} et de T^{−}(f_{n}^{0})+T^{+}(f_{n−2}^{0}) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2}, on déduit T^{+}(f̃_{n−2}^{0}) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} (les δ_{i,μ}^{n−2} sont fabriqués pour ça). De p | \binom{p}{j} pour 1 ≤ j ≤ p − 1, on déduit T^{−}(f_{n}^{0}) + T^{+}(f_{n−2}^{0}) − T^{+}(f̃_{n−2}^{0}) ↦ 0 dans ind_{KZ}^{G}σ_{p−2} par le corollaire 2.2.3. On vérifie aussi que T^{−}(f_{n−2}^{0}) − T^{−}(f̃_{n−2}^{0}) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} et T^{−}(f_{n−2}^{0})−T^{−}(f̃_{n−2}^{0}) ↦ 0 dans ind_{KZ}^{G}σ_{p}. Par le même raisonnement appliqué à β·f, on modifie f_{n−2}^{1} en f̃_{n−2}^{1}. Alors h = f−(f_{n}^{0}+f_{n}^{1})+(f̃_{n−2}^{0}−f_{n−2}^{0})+(f̃_{n−2}^{1}−f_{n−2}^{1}) ∈ B_{n−1}(\overline{Q}_{p}) convient. Pour n = 1, on modifie le terme f_{0}^{1} = [α, w] en posant f̃_{0}^{1} = [α, w + δ(x^{p} − xy^{p−1})] où δ = ∑_{ν∈F_{p}} c_{p,[ν]}^{1}[ν]^{p}. Alors T^{+}(f̃_{0}^{1}) − T^{+}(f_{0}^{1}) ∈ Ker(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} → ind_{KZ}^{G}σ_{p}), T^{−}(f̃_{0}^{1}) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} (δ est fabriqué pour ça) et T^{−}(f_{1}^{0}) + T^{−}(f_{0}^{1}) − T^{−}(f̃_{0}^{1}) ↦ 0 dans ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}. On supprime f_{1}^{0} comme on a supprimé f_{n}^{0}, puis de même avec f_{1}^{1} en corrigeant f_{0}^{0} = [Id, v].

Lemme 5.2.2. — Supposons p + 3 ≤ k ≤ 2p et val(a_{p}) = 1. Soit n ∈ Z_{>0} et f ∈ B_{n}(\overline{Q}_{p}) tel que :

(i) (T − a_{p})(f) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} (ii) l’image de (T −a_{p})(f) dans (ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k})⊗ω^{k−1−p} ∘dét tombe dans B_{n−1}(\overline{F}_{p}). Alors il existe h ∈ B_{n−1}(\overline{Q}_{p}) tel que :

(i) (T − a_{p})(h) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} (ii) (T −a_{p})(h) et (T −a_{p})(f) ont même image dans (ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k})⊗ω^{k−1−p} ∘dét.

Démonstration. — Noter qu’on demande ici que l’image de (T − a_{p})(f) tombe dans B_{n−1}(\overline{F}_{p}) et pas seulement B_{n}(\overline{F}_{p}) comme au lemme précédent. On garde les notations de la preuve précédente. On a encore c_{i,μ}^{m} ∈ p^{−1}\overline{Z}_{p} pour tout i, m, μ (§4.2.1). En particulier, T^{+}(f_{n}^{0}) et T^{+}(f_{n−1}^{0}) ont une image nulle dans ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}. Par hypothèse, l’image de a_{p}f_{n} ∈ S_{n}(\overline{Z}_{p}) y est donc aussi nulle, i.e. les éléments c_{k−1−p,μ}^{n}, ⋯, c_{p−1,μ}^{n} pour μ ∈ I_{n} ont une valuation > −1. De T^{+}(f_{n}^{0}) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}, on tire c_{i,μ}^{n} ∈ \overline{Z}_{p} si i ∉ \{1, ⋯, k−1−p, p, ⋯, k−2\} et c_{i,μ}^{n} +c_{i+p−1,μ}^{n} ∈ \overline{Z}_{p} si i ∈ \{1, ⋯, k−1−p\}. Donc c_{k−2,μ}^{n} = (c_{k−1−p,μ}^{n} +c_{k−2,μ}^{n})−c_{k−1−p,μ}^{n} est aussi de valuation > −1. Supposons d’abord n > 1 et, pour μ ∈ I_{n−2}, soit (δ_{i,μ}^{n−2})_{0≤i≤p−1} ∈ \overline{Q}_{p}^{p} tel que :

∑_{i=0}^{p−1} δ_{i,μ}^{n−2}(−[λ])^{i} = ∑_{ν∈F_{p}} c_{k−2,μ+p^{n−2}[λ]+p^{n−1}[ν]}^{n}[ν]^{k−2}

Posons f̃_{n−2}^{0} = f_{n−2}^{0} + ∑_{μ∈I_{n−2}}[g_{n−2,μ}^{0}, ∑_{i=0}^{p−1} δ_{i,μ}^{n−2}x^{k−2−i}y^{i}]. En utilisant p | \binom{k−2}{j} et p^{2} | p\binom{k−3}{j} lorsque k −1−p ≤ j ≤ p−1, on vérifie avec le corollaire 2.2.3 que T^{−}(f_{n}^{0}) + T^{+}(f_{n−2}^{0}) et T^{+}(f̃_{n−2}^{0}) ont même image dans ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}, ainsi que les autres propriétés de la preuve précédente. On achève comme précédemment.

Lemme 5.2.3. — Supposons p + 3 ≤ k ≤ 2p et val(a_{p}) = 1. Soit n ∈ Z_{>1} et f ∈ B_{n}(\overline{Q}_{p}) tel que :

(i) (T − a_{p})(f) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} (ii) l’image de (T − a_{p})(f) dans ind_{KZ}^{G}σ_{k−2} tombe dans B_{n−2}(\overline{F}_{p}). Alors il existe h ∈ B_{n−1}(\overline{Q}_{p}) tel que :

(i) (T − a_{p})(h) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} (ii) (T − a_{p})(h) et (T − a_{p})(f) ont même image dans ind_{KZ}^{G}σ_{k−2}.

Démonstration. — Reprenons les notations de la preuve précédente et surlignons les images dans ind_{KZ}^{G}σ_{k−2}. De \overline{T^{+}(f_{n}^{0})} = 0, on tire val(c_{i,μ}^{n}) > −1 pour tout i. En particulier \overline{a_{p}f_{n}^{0}} = 0 et donc, par hypothèse, \overline{T^{+}(f_{n−1}^{0})} = 0 d’où \overline{a_{p}f_{n−1}^{0}} = 0 encore et \overline{T^{−}(f_{n}^{0}) + T^{+}(f_{n−2}^{0})} = 0 par hypothèse. On modifie f_{n−2}^{0} en f̃_{n−2}^{0} exactement comme dans la preuve précédente. Il est clair qu’on a \overline{a_{p}f_{n−2}^{0}} = \overline{a_{p}f̃_{n−2}^{0}} et \overline{T^{−}(f_{n−2}^{0}) − T^{−}(f̃_{n−2}^{0})} = 0. Montrons que \overline{T^{+}(f̃_{n−2}^{0})} = 0. Les seules coordonnées qui peut-être ne sont pas nulles sont ∑_{i=1}^{k−2} i\overline{pc̃_{i,μ}^{n−2}}(−λ)^{i−1} = ∑_{i=1}^{k−2} i\overline{pc_{i,μ}^{n−2}}(−λ)^{i−1} (μ ∈ I_{n−2}, λ ∈ F_{p} et avec des notations évidentes). De \overline{T^{−}(f_{n}^{0}) + T^{+}(f_{n−2}^{0})} = 0, on tire pour tout μ, λ :

\begin{aligned}(k − 2)\overline{∑_{ν∈F_{p}} c_{k−2,μ+p^{n−2}[λ]+p^{n−1}[ν]}^{n}[ν]^{k−3}} + ∑_{i=1}^{k−2} i\overline{pc_{i,μ}^{n−2}}(−λ)^{i−1} & = & 0 \\ \overline{\binom{k−2}{p}}\overline{∑_{ν∈F_{p}} c_{k−2,μ+p^{n−2}[λ]+p^{n−1}[ν]}^{n}[ν]^{k−2−p}} & = & 0 \end{aligned}

comme [ν]^{k−3} = [ν]^{k−2−p} ∀ν ∈ F_{p} car k > p + 2 et comme \binom{k−2}{p} ∈ Z_{p}^{×}, on a bien ∑_{i=1}^{k−2} i\overline{pc_{i,μ}^{n−2}}(−λ)^{i−1} = 0. On modifie alors f comme avant.

5.3. Réduction modulo p. — On détermine Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} pour p+2 ≤ k ≤ 2p et p ≠ 2.

5.3.1. On commence par le cas val(a_{p}) < 1. Supposons d’abord p+3 ≤ k ≤ 2p et considérons f = [Id, a_{p}^{−1}(x^{k−3}y − x^{k−2−p}y^{p})]. On a T (f) ∈ pa_{p}^{−1}(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}) par les lemmes 2.2.1 et 2.2.2. La réduction ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} ↠ ind_{KZ}^{G}σ_{k−2} envoie T (f) − a_{p}f sur −\overline{a_{p}f} = [Id, −x^{k−3}y + x^{k−2−p}y^{p}] qui est l’image de [Id, −x^{k−3−p}] ∈ (ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}) ⊗ ω ∘ dét par l’application du lemme 5.1.3. Comme [Id, x^{k−3−p}] engendre ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p} et devient nul dans Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p}, on voit par le corollaire 5.1.4 que Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} est, pour p + 2 ≤ k ≤ 2p et val(a_{p}) < 1, un quotient de (ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}) ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét (pour k = p + 2, c’est l’énoncé 5.1.4 (i)).

Pour p + 2 ≤ k ≤ 2p, considérons f = f_{0} + f_{2} avec :

\begin{aligned}f_{2} & = & ∑_{λ∈F_{p}}[g_{2,p[λ]}^{0}, v_{λ}] \\ f_{0} & = & [Id, a_{p}^{−1}(p−1)(x^{k−2} − x^{k−1−p}y^{p−1})] \end{aligned}

où v_{λ} = a_{p}^{−1}[λ]^{2p−k}(x^{p−1}y^{k−1−p} − y^{k−2}). Par les formules (2), (4), (3) et (6), on a T^{−}(f_{0}) ∈ pa_{p}^{−1}(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}) et T^{+}([g_{2,p[λ]}^{0}, v_{λ}]) ∈ pa_{p}^{−1}(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}) pour tout λ. Par le corollaire 2.2.3, on a T^{−}(f_{2})+T^{+}(f_{0}) ∈ pa_{p}^{−1}(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}) (noter pour cela que p | ∑_{λ∈F_{p}}[λ]^{i} si i = 0 ou si p − 1 ∤ i, ∑_{λ∈F_{p}}[λ]^{i} = p − 1 si i ≠ 0 et si p − 1|i, et p|\binom{k−2}{p−1}). Par la réduction ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} ↠ ind_{KZ}^{G}σ_{k−2} :

T (f) − a_{p}f ↦ −\overline{a_{p}f} = −∑_{λ∈F_{p}}[g_{2,p[λ]}^{0}, λ^{2p−k}(x^{p−1}y^{k−1−p} − y^{k−2})] + [Id, x^{k−2} − x^{k−1−p}y^{p−1}]

et par la surjection ind_{KZ}^{G}σ_{k−2} ↠ (ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}) ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét du corollaire 5.1.4 :

−\overline{a_{p}f} ↦ −∑_{λ∈F_{p}}[g_{2,p[λ]}^{0}, λ^{2p−k}x^{2p−k}] + (−1)^{k−p}[Id, y^{2p−k}] = −T ([g_{1,0}^{0}, (−1)^{2p−k}y^{2p−k}])

(cf. le lemme 2.2.1 et les formules (7) et (8)). Comme [g_{1,0}^{0}, y^{2p−k}] engendre ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k} et comme T (f) − a_{p}f ↦ 0 dans Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p}, on voit que ce dernier

est un quotient non nul (car Θ_{k,a_{p}} est libre) de \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}}{(T)} ⊗ω^{k−1−p} ∘ dét. Mais cette représentation est irréductible ([2]), donc on a montré :

Proposition 5.3.1.1. — Pour p + 2 ≤ k ≤ 2p et val(a_{p}) < 1 (et k ≠ 4 si p = 2), on a Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} ≃ \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}}{(T)} ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét.

Remarque 5.3.1.2. — Tout ceci resterait valable pour p = 2 et k = 4 si l’on savait que Θ_{4,a_{2}} est libre sur \overline{Z}_{2} (sinon Θ_{4,a_{2}} ⊗_{\overline{Z}_{2}} \overline{F}_{2} peut être nul).

Remarque 5.3.1.3. — Supposons k = p + 2 et remplaçons a_{p}^{−1} par δ^{−1} dans l’expression de f où δ est celui des éléments p, a_{p} qui a la plus petite valuation. Alors T (f) − a_{p}f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} mais f ∉ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} (cf. proposition 3.3.3).

5.3.2. Supposons val(a_{p}) > 1 et p + 3 ≤ k ≤ 2p. Considérons f = f_{0} + f_{2} avec :

\begin{aligned}f_{2} & = & ∑_{λ∈F_{p}}[g_{2,p[λ]}^{0}, p^{−1}[λ]^{2p−k}(x^{p−1}y^{k−1−p} − y^{k−2})] \\ f_{0} & = & [Id, p^{−1}(p−1)(x^{k−2} − x^{k−1−p}y^{p−1})]. \end{aligned}

Avec le corollaire 2.2.3, on vérifie que l’on a T^{−}(f_{0}) ∈ p(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}), T^{+}(f_{2}) ∈ p(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}) + ∑_{μ∈I_{3}}[g_{3,μ}^{0}, \overline{Z}_{p}x^{k−3}y] et :

T^{−}(f_{2}) + T^{+}(f_{0}) + \binom{k−2}{p−1} \frac{p−1}{p}[g_{1,0}^{0}, x^{k−1−p}y^{p−1}] ∈ p(ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2})

+ ∑_{μ∈I_{1}}[g_{1,μ}^{0}, \overline{Z}_{p}x^{k−3}y + \overline{Z}_{p}y^{k−2}]

(le terme en y^{k−2} de droite est inutile si k < 2p). Comme (x^{k−3}y, y^{k−2}) ∈ σ_{k−2}^{2} ↦ 0 ∈ σ_{2p−k} par le lemme 5.1.3 (rappelons que k ≥ p + 3) et comme a_{p}f ↦ 0 ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{k−2} car val(a_{p}) > 1, on a :

T (f) − a_{p}f ↦ (−1)^{k−p}\overline{\binom{k−2}{p−1} \frac{p−1}{p}}[g_{1,0}^{0}, y^{2p−k}] = \frac{1}{k−1}[g_{1,0}^{0}, (−1)^{2p−k}y^{2p−k}] ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}.

Mais [g_{1,0}^{0}, y^{2p−k}] engendre ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}, donc, par le corollaire 5.1.4, Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} est un quotient de (ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}) ⊗ ω ∘ dét pour p + 3 ≤ k ≤ 2p et val(a_{p}) > 1.

Considérons f = [Id, p^{−1}(x^{k−3}y − x^{k−2−p}y^{p})]. Par la surjection sur ind_{KZ}^{G}σ_{k−2}, on a a_{p}f ↦ 0, T^{+}(f) ↦ ∑_{μ∈I_{1}}[g_{1,μ}^{0}, x^{k−3}y], T^{−}(f) ↦ 0 si k > p + 3 et T^{−}(f) ↦ −[α, xy^{p}] si k = p+3. Par le lemme 5.1.3 et le corollaire 5.1.4, l’image de T (f)−a_{p}f (ou de T (f)) dans (ind_{KZ}^{G}σ_{k−2})/(T) tombe donc dans (ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}) ⊗ ω ∘ dét et vaut \frac{1}{k−1} ∑_{μ∈I_{1}}[g_{1,μ}^{0}, x^{k−3−p}] si k > p + 3 et \frac{1}{2} ∑_{μ∈I_{1}}[g_{1,μ}^{0}, 1] + \frac{1}{2}[α, 1] si k = p + 3, c’est-à-dire dans tous les cas \frac{1}{k−1}T ([Id, x^{k−3−p}]). Cela veut dire que Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p}

est un quotient non nul de \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}}{(T)} ⊗ ω ∘ dét. Comme cette représentation est irréductible ([2]), on a finalement :

Proposition 5.3.2.1. — Pour p + 3 ≤ k ≤ 2p et val(a_{p}) > 1, on a Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} ≃ \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}}{(T)} ⊗ ω ∘ dét.

5.3.3. Supposons val(a_{p}) ≥ 1, k = p + 2 et p ≠ 2 (le cas p = 2 marcherait mais nécessiterait plus de calculs, et nous l’avons de toute manière exclus des énoncés). Considérons f = ∑_{μ∈I_{1}}[g_{1,μ}^{0}, p^{−1}(x^{p−1}y − y^{p})] et notons \overline{T^{+}(f)} et \overline{T^{−}(f)} l’image de T^{+}(f) et T^{−}(f) dans ind_{KZ}^{G}σ_{p}. Un calcul donne (corollaire 2.2.3) :

\overline{T^{+}(f)} = ∑_{μ∈I_{1}} ∑_{λ∈F_{p}}[g_{2,μ+p[λ]}^{0}, x^{p−1}y]
\overline{T^{−}(f)} = ∑_{j=0}^{p} (\overline{\binom{p}{j} ∑_{λ∈F_{p}}(−p^{−1})[λ]^{p−j}})[Id, x^{p−j}y^{j}]
= [Id, x^{p−1}y − y^{p}]

donc l’image de T (f) − a_{p}f dans (ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}) ⊗ ω ∘ dét vaut :

∑_{μ∈I_{2}}[g_{2,μ}^{0}, x^{p−2}] − \overline{\frac{a_{p}}{p}} ∑_{μ∈I_{1}}[g_{1,μ}^{0}, x^{p−2}] + [Id, x^{p−2}] = (T^{2} − \overline{\frac{a_{p}}{p}} T + 1)([Id, x^{p−2}]).

Pour val(a_{p}) ≥ 1, Θ_{p+2,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} est donc un quotient non nul de \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}}{(T^{2}− \overline{\frac{ap}{p}} T +1)} ⊗ ω ∘ dét. Vu les résultats de [1], un tel quotient ne peut être que de la forme \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}}{(T −λ)} ⊗ ω ∘ dét où λ^{2} − \overline{\frac{a_{p}}{p}} λ + 1 = 0 dans \overline{F}_{p}. Si tel est le cas, alors il existe f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Q}_{p}^{2} tel que (i) (T − a_{p})(f) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} et (ii) (T − a_{p})(f) ↦ (T − λ)([Id, x^{p−2}]) ∈ B_{1}(\overline{F}_{p}) ⊂ ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}. Par le lemme 5.2.1 et une récurrence évidente, on peut prendre f dans B_{0}(\overline{Q}_{p}), i.e. f = [Id, v] + [α, w] avec v, w ∈ p^{−1}\underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2}. Donc a_{p}f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} et T (f) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} i.e. T ([Id, v]) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} et T ([α, w]) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} (les supports étant disjoints). Des formules (4) et (6), on tire v ∈ \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2} et de même w ∈ \underline{Sym}^{p}\overline{Z}_{p}^{2}. Mais alors l’image de (T −a_{p})(f) dans ind_{KZ}^{G}σ_{p−2} est nulle et ne peut valoir (T −λ)([Id, x^{p−2}]). Donc un tel f n’existe pas et :

Proposition 5.3.3.1. — Pour k = p + 2, val(a_{p}) ≥ 1 et p ≠ 2, on a :

Θ_{p+2,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} ≃ \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{p−2}}{(T^{2} − \overline{\frac{a_{p}}{p}} T + 1)} ⊗ ω ∘ dét.

Remarque 5.3.3.2. — Ce résultat est encore valable pour p = 2.

5.3.4. Reste le cas val(a_{p}) = 1 et p + 3 ≤ k ≤ 2p. Considérons f = f_{0} + f_{2} comme au §5.3.2. On a vu que T (f) ↦ \frac{1}{k−1}[g_{1,0}^{0}, (−1)^{2p−k}y^{2p−k}] ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k} et le même calcul qu’au §5.3.1 donne −a_{p}f ↦ −\overline{\frac{a_{p}}{p}} T ([g_{1,0}^{0}, (−1)^{2p−k}y^{2p−k}]) ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}. Donc l’image de Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} dans (ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}) ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét est un quotient de \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}}{(T −λ^{−1})} ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét où λ = \overline{\frac{(k−1)a_{p}}{p}} ∈ \overline{F}_{p}^{×}. Si c’est un vrai quotient, alors il est soit nul, soit de dimension 1 si k = 2p et λ = ±1 (voir [1]). Dans ces deux cas, il existe f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} tel que (i) (T − a_{p})(f) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} et (ii) l’image de (T − a_{p})(f) dans ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k} est non nulle et tombe dans B_{0}(\overline{F}_{p}). Par le lemme 5.2.2 et une récurrence, on peut prendre f = [Id, v] + [α, w] avec v, w ∈ p^{−1}\underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}. On a comme avant T ([Id, v]), T ([α, w]) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2}. Si v = ∑_{i=0}^{k−2} c_{i}x^{k−2−i}y^{i}, cela entraîne en particulier c_{i} ∈ \overline{Z}_{p} pour i ∈ \{k −1− p, ⋯, p − 1} et i = k − 2. On en déduit (T − a_{p})([Id, v]) ↦ 0 ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k} et de même (T − a_{p})([α, w]) ↦ 0 ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k} ce qui est une contradiction. Donc l’image de Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} dans (ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}) ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét est exactement

\frac{ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}}{(T −λ^{−1})} ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét.

Considérons f = [Id, p^{−1}(x^{k−3}y − x^{k−2−p}y^{p})]. On a vu au §5.3.2 que T (f) ↦ \frac{1}{k−1}T ([Id, x^{k−3−p}]) ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{k−p−3} et le même calcul qu’au §5.3.1 donne −a_{p}f ↦ −\overline{\frac{a_{p}}{p}} [Id, x^{k−3−p}]) ∈ ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}. Donc Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} contient un quotient de

\frac{ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}}{(T −λ)} ⊗ ω ∘ dét avec λ comme précédemment. Si c’est un vrai quotient, il est soit nul, soit de dimension 1 si k = p+3 et λ = ±1 ([1]). Dans les deux cas, il existe f ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Q}_{p}^{2} tel que (i) (T − a_{p})(f) ∈ ind_{KZ}^{G} \underline{Sym}^{k−2}\overline{Z}_{p}^{2} et (ii) l’image de (T − a_{p})(f) dans ind_{KZ}^{G}σ_{k−2} est non nulle et tombe dans B_{0}(\overline{F}_{p}) ∩ ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}. Par le lemme 5.2.3, on peut prendre f = f_{0} + f_{1} avec f_{i} = f_{i}^{0} + f_{i}^{1} ∈ S_{i}(\overline{F}_{p}) (i = 0, 1). Avec les notations de la preuve de 5.2.3, on a \overline{T^{+}(f_{1})} = 0 par hypothèse d’où, comme dans loc.cit., \overline{a_{p}f_{1}} = 0. Donc \overline{T^{+}(f_{0})} = 0 d’où encore \overline{a_{p}f_{0}} = 0. Je dis qu’on a aussi \overline{T^{−}(f_{1}) + T^{−}(f_{0})} = 0. Par symétrie, il suffit de montrer \overline{T^{−}(f_{1}^{0}) + T^{−}(f_{0}^{1})} = 0. Comme \overline{T^{−}(f_{1}^{0}) + T^{−}(f_{0}^{1})} est dans l’image de ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p} (par hypothèse), les coordonnées des termes en x^{k−2−j}y^{j} sont nulles pour j = 0, j = k − 2 et k−1−p ≤ j ≤ p − 1 (cf. lemme 5.1.3). Soit j ∈ {1, ⋯, k−2−p}, la somme des coordonnées de x^{k−2−j}y^{j} et x^{k−1−p−j}y^{p−1+j} doit être nulle par 5.1.3. Cela entraîne (avec \overline{pf_{0}^{1}} = \overline{pf_{1}^{0}} = 0) :

\overline{\binom{k−2}{j} + \binom{k−2}{p−1+j}}\overline{∑_{ν∈F_{p}} c_{k−2,[ν]}^{1}[ν]^{k−2−j}} = \overline{\binom{k−1−p}{j}}\overline{∑_{ν∈F_{p}} c_{k−2,[ν]}^{1}[ν]^{k−2−j}} = 0

pour 1 ≤ j ≤ k−2−p, d’où on déduit la nullité des coordonnées restantes. Les hypothèses entraînent finalement \overline{(T − a_{p})(f)} = 0 ce qui est impossible. On a donc prouvé :

Proposition 5.3.4.1. — Pour p + 3 ≤ k ≤ 2p et val(a_{p}) = 1, on a une suite exacte :

0 → \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{k−3−p}}{(T − λ)} ⊗ ω ∘ dét → Θ_{k,a_{p}} ⊗_{\overline{Z}_{p}} \overline{F}_{p} → \frac{ind_{KZ}^{G}σ_{2p−k}}{(T − λ^{−1})} ⊗ ω^{k−1−p} ∘ dét → 0

où λ = \overline{\frac{(k−1)a_{p}}{p}} ∈ \overline{F}_{p}^{×}.

6. Quelques vérifications

Nous vérifions quelques cas de la conjecture 3.3.5.

6.1. Cas particuliers. — Rappelons (voir introduction) que la conjecture 3.3.5 avec le théorème 1.4 entraîne la conjecture très explicite suivante :

Conjecture 6.1.1. — (i) Supposons k ≤ p + 1, alors \overline{V}_{k,a_{p}} = ind(ω_{2}^{k−1}). (ii) Supposons k = p + 2, alors :

– si val(a_{p}) < 1, \overline{V}_{p+2,a_{p}} = ind(ω_{2}^{2})

– si val(a_{p}) ≥ 1, \overline{V}_{p+2,a_{p}} = (\begin{matrix}ωμ_{λ} & 0 \\ 0 & ωμ_{λ^{−1}} \end{matrix}) où λ^{2} − \overline{\frac{a_{p}}{p}} λ + 1 = 0 dans \overline{F}_{p}.

(iii) Supposons p + 3 ≤ k ≤ 2p, alors :

– si val(a_{p}) < 1, \overline{V}_{k,a_{p}} = ind(ω_{2}^{k−p})

– si val(a_{p}) = 1, \overline{V}_{k,a_{p}} = (\begin{matrix}ω^{k−2}μ_{λ} & 0 \\ 0 & ωμ_{λ^{−1}} \end{matrix}) où λ = \overline{\frac{(k−1)a_{p}}{p}} ∈ \overline{F}_{p}^{×}

– si val(a_{p}) > 1, \overline{V}_{k,a_{p}} = ind(ω_{2}^{k−1}).

Examinons déjà les cas où \overline{V}_{k,a_{p}} est connu :

Proposition 6.1.2. — (i) Si k ≤ p, \overline{V}_{k,a_{p}} = ind(ω_{2}^{k−1}). (ii) Si a_{p} = 0 et (k − 1, p + 1) = 1, \overline{V}_{k,0} = ind(ω_{2}^{k−1}).

(iii) Si a_{p} = 0 et (p + 1)| (k − 1), \overline{V}_{k,0} = (\begin{matrix}μ\sqrt{−1} & 0 \\ 0 & μ_{−\sqrt{−1}} \end{matrix}) ⊗ ω^{\frac{k−1}{p+1}} .

Démonstration. — Pour k ≤ p, cela découle de [8],§5 (voir aussi [3],§4.1) et, pour a_{p} = 0, de la proposition 3.1.2, sachant que la réduction modulo p de ε_{2} restreinte à l’inertie est le caractère fondamental ω_{2} et que ω_{2}^{p+1} est la restriction de ω à l’inertie.

La conjecture 6.1.1 est donc vraie si k ≤ p ou si a_{p} = 0.

Corollaire 6.1.3. — La conjecture 3.3.5 est vraie si k ≤ p ou bien si k ≤ 2p et a_{p} = 0 (avec p ≠ 2 si k ≠ 4).

Remarque 6.1.4. — Les (ii) et (iii) de la proposition 6.1.2 devraient être encore vrais pour a_{p} suffisamment proche de 0 (p-adiquement).

6.2. Exemples numériques. — Fixons des plongements \overline{Q} ↪ C et \overline{Q} ↪ \overline{Q}_{p}. Soit N ∈ Z_{≥1} et f une forme modulaire parabolique normalisée sur Γ_{1}(N) de poids k(f) ≥ 2 et de caractère χ. On suppose (p, N) = 1, f nouvelle forme vecteur propre des opérateurs de Hecke T_{ℓ} pour ℓ ∤ N et f non ordinaire en p. Cette dernière condition signifie val(a_{p}(f)) > 0 où a_{p}(f) est tel que T_{p}(f) = a_{p}(f)f (et a_{p}(f) est vu dans \overline{Q}_{p} via les plongements choisis).

Soit V_{f} : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(\overline{Q}_{p}) la représentation p-adique associée à f. Rappelons le théorème classique (voir e.g. [3],§4.3 pour des références précises) :

Théorème 6.2.1. — Avec les notations précédentes, on a :

V_{f} |_{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})}≃ V_{k(f),a_{p}(f)χ(p)^{1/2},χ^{1/2}}

où χ^{1/2} est un caractère non ramifié de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) de carré χ |_{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})}. En particulier, si f est une forme sur Γ_{0}(N), on a V_{f} |_{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})}≃ V_{k(f),a_{p}(f)}.

Il est tentant de se restreindre au calcul des \overline{V}_{k,a_{p}} pour V_{k,a_{p}} ≃ V_{k(f),a_{p}(f)}. En dehors des exemples numériques ci-après, le seul cas nouveau, à ma connaissance, par rapport au §6.1 est :

Théorème 6.2.2 ([7]). — Avec les notations précédentes,supposonsf depoids k = p+1, alors \overline{V}_{p+1,a_{p}(f)χ(p)^{1/2}} ≃ ind(ω_{2}). En particulier, les conjectures 6.1.1 et 3.3.5 sont vraies dans ce cas.

On donne maintenant plusieurs exemples de valeurs de k et a_{p} provenant de formes propres de caractère trivial et de niveau premier à p pour lesquels on constate que la conjecture 6.1.1 (donc la conjecture 3.3.5) est vérifiée. Ces exemples sont extraits du gros fichier [9], gracieusement créé par D. Savitt et W. Stein pour l’auteur, et que le lecteur intéressé pourra consulter pour de plus amples détails sur les formes modulaires fournissant les valeurs (k, a_{p}) ci-dessous ou pour (beaucoup) d’autres exemples explicites. Disons deux mots sur la méthode. Les formes f précédentes (supposées de caractère trivial pour simplifier) sont toutes congrues modulo p, à une torsion “cyclotomique” près, à des formes propres (non nécessairement paraboliques) pour le même groupe de congruence mais de poids compris entre 2 et p + 1. Deux formes propres f et g sont dites congrues modulo p si, pour tout ℓ ∤ pN, \overline{a_{ℓ}(f)} = \overline{a_{ℓ}(g)} dans \overline{F}_{p}. En particulier, par le théorème de Čebotarev et le théorème 6.2.1, cela entraîne \overline{V}_{k(f),a_{p}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})})^{ss} ⊗ ω^{i} pour un certain i ∈ Z_{≥0} (avec des notations évidentes). Or, rappelons qu’on connaît (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})})^{ss} quand 2 ≤ k(g) ≤ p + 1 :

Théorème 6.2.3 (Deligne, Serre, Fontaine, Edixhoven [7])

Avec les notations précédentes, (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})})^{ss} ≃ ω^{k(g)−1}μ\overline{a_{p}(g)} ⊕ μ\overline{a_{p}(g)}^{−1} si g

est ordinaire en p et (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})})^{ss} ≃ ind(ω_{2}^{k(g)−1}) sinon.

Partant de f, l’ordinateur trouve g et i, d’où \overline{V}_{k(f),a_{p}(f)} par le théorème 6.2.3.

Exemples pour p = 3 – p = 3, k = 6, a_{p} est une racine de x^{2} − 3^{2}x − 64 ∗ 3 = 0 (donc val(a_{p}) =

1/2 < 1). Il existe f de poids 6 sur Γ_{0}(26) telle que a_{3}(f) = a_{p} et il existe g de poids 2 sur Γ_{0}(26) non ordinaire en 3 telle que :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{6,a_{3}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{3}/Q_{3})})^{ss} ≃ ind(ω_{2}) ≃ ind(ω_{2}^{3}).

– p = 3, k = 6, a_{p} = 3(1 − a) où a est une racine de x^{2} − x − 16 = 0 (donc val(a_{p}) = 1). Il existe f de poids 6 sur Γ_{0}(35) telle que a_{3}(f) = a_{p} et il existe g de poids 2 sur Γ_{0}(35) ordinaire en 3 telle que \overline{a_{3}(g)} = \overline{a} − 1 et :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{6,a_{3}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{3}/Q_{3})})^{ss} ⊗ ω ≃ (\begin{matrix}ω^{4}μ\overline{a_{3}(g)} & 0 \\ 0 & ωμ\overline{a_{3}(g)}^{−1} \end{matrix}) .

On a bien \overline{a_{3}(g)} = \overline{a} − 1 = (6 − 1)\overline{\frac{a_{3}(f)}{3}} dans \overline{F}_{3}.

– p = 3, k = 6, a_{p} = −2 ∗ 3^{2} (donc val(a_{p}) = 2 > 1). Il existe f de poids 6 sur Γ_{0}(17) telle que a_{3}(f) = a_{p} et il existe g de poids 2 sur Γ_{0}(17) non ordinaire en 3 telle que :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{6,a_{3}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{3}/Q_{3})})^{ss} ⊗ ω ≃ ind(ω_{2}^{5}).

Exemples pour p = 5

– p = 5, k = 8, a_{p} est une racine de x^{2} − 72 ∗ 5 = 0 (donc val(a_{p}) = 1/2 < 1). Il existe f de poids 8 sur Γ_{0}(9) telle que a_{5}(f) = a_{p} et il existe g de poids 4 sur Γ_{0}(9) non ordinaire en 5 telle que :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{8,a_{5}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{5}/Q_{5})})^{ss} ⊗ ω^{2} ≃ ind(ω_{2}^{3}).

– p = 5, k = 10, a_{p} = 36∗5^{2} −14∗5∗a où a est une racine de x^{2} −9x−568 = 0 (donc val(a_{p}) = 1). Il existe f de poids 10 sur Γ_{0}(21) telle que a_{5}(f) = a_{p} et il existe g de poids 4 sur Γ_{0}(21) ordinaire en 5 telle que \overline{a_{5}(g)} = −\overline{a} et :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{10,a_{5}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{5}/Q_{5})})^{ss} ⊗ ω ≃ (\begin{matrix}ω^{8}μ\overline{a_{5}(g)} & 0 \\ 0 & ωμ\overline{a_{5}(g)}^{−1} \end{matrix}) .

On a bien \overline{a_{5}(g)} = −\overline{a} = (10 − 1)\overline{\frac{a_{5}(f)}{5}} dans \overline{F}_{5}.

– p = 5, k = 8, a_{p} = −16 ∗ 5^{2} (donc val(a_{p}) = 2 > 1). Il existe f de poids 8 sur Γ_{0}(14) telle que a_{5}(f) = a_{p} et il existe g de poids 2 sur Γ_{0}(14) non ordinaire en 5 telle que :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{8,a_{5}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{5}/Q_{5})})^{ss} ⊗ ω ≃ ind(ω_{2}^{7}).

Exemples pour p = 11

– p = 11, k = 14, a_{p} = 727757 ∗ 11 + 177 ∗ a où a est une racine de x^{2} − 238 ∗ 11x − 2461573 ∗ 11 = 0 (donc val(a_{p}) = 1/2 < 1). Il existe f de poids 14 sur Γ_{0}(8) telle que a_{11}(f) = a_{p} et il existe g de poids 4 sur Γ_{0}(8) non ordinaire en 11 telle que :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{14,a_{11}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{11}/Q_{11})})^{ss} ≃ ind(ω_{2}^{3}).

– p = 11, k = 20, a_{p} = 574606812 ∗ 11 (donc val(a_{p}) = 1). Il existe f de poids 20 sur Γ_{0}(2) telle que a_{11}(f) = a_{p} et il existe g de poids 8 sur Γ_{0}(2) ordinaire en 11 telle que \overline{a_{11}(g)} = 3 et :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{20,a_{11}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{11}/Q_{11})})^{ss} ⊗ ω ≃ (\begin{matrix}ω^{18}μ\overline{a_{11}(g)} & 0 \\ 0 & ωμ\overline{a_{11}(g)}^{−1} \end{matrix}) .

On a bien \overline{a_{11}(g)} = 3 = 8 ∗ 10 = (20 − 1)\overline{\frac{a_{11}(f)}{11}} dans \overline{F}_{11}.

– p = 11, k = 16, a_{p} = −45660 ∗ 11^{2} (donc val(a_{p}) = 2 > 1). Il existe f de poids 16 sur Γ_{0}(8) telle que a_{11}(f) = a_{p} et il existe g de poids 4 sur Γ_{0}(8) non ordinaire en 11 telle que :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{16,a_{11}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{11}/Q_{11})})^{ss} ⊗ ω ≃ ind(ω_{2}^{15}).

On termine avec trois exemples où p = 2 et k = 4 = p + 2 :

– p = 2, k = 4, a_{p} est une racine de x^{2} − 2x − 2 = 0 (donc val(a_{p}) = 1/2 < 1). Il existe f de poids 4 sur Γ_{0}(11) telle que a_{2}(f) = a_{p} et il existe g de poids 2 sur Γ_{0}(11) non ordinaire en 2 telle que :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{4,a_{2}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{2}/Q_{2})})^{ss} ≃ ind(ω_{2}) = ind(ω_{2}^{2}).

– p = 2, k = 4, a_{p} = −2 (donc val(a_{p}) = 1). Il existe f de poids 4 sur Γ_{0}(23) telle que a_{2}(f) = a_{p} et il existe g de poids 2 sur Γ_{0}(23) ordinaire en 2 telle que \overline{a_{2}(g)} = λ où λ^{2} + λ + 1 = λ^{2} − \overline{\frac{a_{2}(f)}{2}}λ + 1 = 0 dans \overline{F}_{2} et :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{4,a_{2}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{2}/Q_{2})})^{ss} ≃ (\begin{matrix}μ\overline{a_{2}(g)} & 0 \\ 0 & μ\overline{a_{2}(g)}^{−1} \end{matrix}) ≃ (\begin{matrix}μ_{λ} & 0 \\ 0 & μ_{λ^{−1}} \end{matrix}) .

– p = 2, k = 4, a_{p} = 2^{2} (donc val(a_{p}) = 2 > 1). Il existe f de poids 4 sur Γ_{0}(21) telle que a_{2}(f) = a_{p} et il existe g de poids 2 sur Γ_{0}(21) ordinaire en 2 telle que \overline{a_{2}(g)} = 1 et :

\overline{V}_{k,a_{p}} = \overline{V}_{4,a_{2}(f)} ≃ (\overline{V}_{g}|_{Gal(\overline{Q}_{2}/Q_{2})})^{ss} ≃ (\begin{matrix}μ\overline{a_{2}(g)} & 0 \\ 0 & μ\overline{a_{2}(g)}^{−1} \end{matrix}) ≃ (\begin{matrix}μ_{1} & 0 \\ 0 & μ_{1} \end{matrix}) .

On a bien 1^{2} + 1 = 0 dans \overline{F}_{2} ( !).

Références

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C. Breuil, Département de Mathématiques, U.M.R. 8628 du C.N.R.S., Université Paris-

Sud, 91405 Orsay, France • E-mail : breuil@math.u-psud.fr